第10章组合变形
第10章变形能法
2 3 2 3
dj
j
m n
(b)
由此求得:
A
3PR PR 2GI p 2 EI
3 3
10.2 莫尔定理
莫尔定理是一种能够求 解在复杂载荷作用下的结构 任一处广义位移的有效工具。 现在以梁为例，利用变 形能的概念和特性来导出莫 尔定理。 假设梁在外力 , …… 1 2 a 作用下发生弯曲变形，如图 所示。今要确定在上述外力 作用下，梁上任意一点C的 挠度 。
p0
A
(b)
C
B
p
1
p
….
2
p
0
A
C
B
(c)
U1 U U 0 P0
因为在 P0 和 1， 2 …共同作用下的弯矩
为 M ( x) M 0 ( x) ，所以还可以表示为
[ M ( x) M ( x)] U1 dx l 2 EI
0 2
两式是相等的，即：
U U 0 0
M nl Mn M , j , GI p
2 n
a. Mn为恒值：圆轴的扭转变形能可写为
M l GI p 2 1 U W Mj j 2 2GI p 2l
b.若内力偶矩沿圆轴的轴线连续变化，即 M n M n ( x) ，可得到整个圆轴的变形能为
2 Mn ( x)dx U dU l l 2GI p
10.1 杆件变形能的计算
一、基本变形时的变形能
现在来研究在几种基本变形下的变形能 计算。 1.轴向拉伸或压缩 对于等直杆的轴向拉伸或压缩，在线弹 性范围内，外力与杆件的轴向变形量呈线性 关系。
第10章 组合变形
10.1 组合变形的概念 工程中大多数的杆件在荷载作用下，往往同时发生两种或两种以上的变形。
在小变形的前提下，一般采用叠加原理计算组合变形的强度问题。即当杆件 承受复杂荷载作用而同时产生几种变形时，只要将荷载进行适当地分解，使 杆在各分荷载的作用下发生基本变形，再分别计算各基本变形所引起的应力， 然后将计算结果叠加，就可得到总的应力。实践证明：在线弹性、小变形的 情况下，用叠加原理所得到的结果与实际情况是相当符合的。
第10章 组合变形
【本章教学要点】 知识模块 组合变形的概念 叠加原理 掌握程度 掌握 掌握 掌握 理解 斜弯曲构件 重点掌握 偏心受压（受拉）构 件 截面核心的概念 理解 重点掌握 了解 知识要点 基本变形、组合变形 适用条件：小变形、线弹性 叠加法求解组合变形的步骤 斜弯曲概念 危险截面、危险点的确定；应力公式；强度条 件 偏心受压（受拉）概念
危险截面、危险点的确定；应力公式；强度条 件
截面核心
【本章技能要点】
技能要点
掌握程度
应用方向
斜弯曲构件计算
偏心受压（受拉）构件 计算 截面核心
掌握
掌握 了解
危险截面、危险点的判别；强度校核、截面设 计、许可荷载确定
危险截面、危险点的判别；强度校核、截面设 计、许可荷载确定 截面核心的确定
【导入案例】 工程结构的变形：单一或多样？
例10-5 试求图10.16所示偏心受拉杆的最大正应力。
7.5 I I 50
K z y I-I 截面 （b） 图 10.16
P 2kN
20
10 40 15 （a）
10.4 截面核心 10.4.1 截面核心的概念 人为地将偏心压力的作用点限制在截面形心周围的一个区域，则杆件整 个横截面上就只产生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用的区域就称 为截面核心。 10.4.2 截面核心的确定
工程力学之组 合 变 形
工程力学第10章组合变形学习目标(1)了解组合变形的概念及其强度问题的分析方法；(2)掌握斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲和偏心压缩的应力及强度计算。
10.1 组合变形的概念例如，烟囱的变形，除自重W引起的轴向压缩外，还有水平风力引起的弯曲变形，同时产生两种基本变形，如图10-1(a)所示。
又如图10-1(b)所示，设有吊车的厂房柱子，作用在柱子牛腿上的荷载F，它们合力的作用线偏离柱子轴线，平移到轴线后同时附加力偶。
此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形。
再如图10-1(c)所示的曲拐轴，在力F作用下，AB 段同时产生弯曲变形和扭转变形。
10.1 组合变形的概念图10-110.1 组合变形的概念上述这些构件的变形，都是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。
研究组合变形问题依据的是叠加原理，进行强度计算的步骤如下：(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量。
(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力。
(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力。
(4)判断危险点的位置，建立强度条件。
10.2例如图10-2(a)所示的横截面为矩形的悬臂梁，外力F作用在梁的对称平面内，此类弯曲称为平面弯曲。
斜弯曲与平面弯曲不同，如图10-2(b)所示同样的矩形截面梁，外力F的作用线通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。
斜弯曲是两个平面弯曲的组合，本节将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
10.2图10-210.210.2.1 正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，但因切应力值很小，一般不予考虑。
下面结合图10-3（a）所示的矩形截面梁说明斜弯曲时正应力的计算方法。
图10-310.2.1 正应力计算10.2.1.1 外力的分解由图10-3(a)可知：10.2.1.2 内力的计算如图10-3(b)所示，距右端为a 的横截面上由F y 、F z 引起的弯曲矩分别是：10.2 10.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算由M z 和M y (即F y 和F z )在该截面引起K 点的正应力分别为：F y 和F z 共同作用下K 点的正应力为：10.210-110.210.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算通过以上分析过程，我们可以将组合变形问题计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：10.210.2.2 正应力强度条件同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为：10-2即危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力［σ］。
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
十章组合变形
667FPa
c.max
Mz1 Iy
FN A
t.max
c.max
425103 F 0.125
F
5.31105
15103
934FPa
18
目录
§10-3 拉（压）弯组合变形
F 350
M
t.max66F7 c.max93F4
（4）求压力F
FN
t.m a6 x F 67t
组合变形工程实例
弯扭组合变形
5
目录
§10-1 概 述
组合变形工程实例
压弯组合变形
6
目录
§10-1 概 述
组合变形工程实例
拉扭组合变形
7
目录
§10-1 概 述
叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的 独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、 应力、应变等是各个单独载荷作用下的值的叠加
300N.m 1400N
300N.m
1500N
150
200
解：（1）受力分析，作 计算简图
F2RMe
F2 M Re
300150N0 0.2
26
目录
§10-4 弯扭组合变形
300N.m 1400N
（2）作内力图
危险截面E 左处
300N.m
1500N
150
200
300N.m 128.6N.m
120N.m
解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基 本变形；分别考虑各个基本变形时构件的内力、应 力、应变等；最后进行叠加。
8
目录
§10-1 概 述
研究内容
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 弯扭组合变形
第十章 应力状态,强度理论与组合变形1
2 2
s
2 3
2(s1s 2
s 2s 3
s 3s1 )]
(10 11)
用主应力表示的体积改变比能为：
uV
= 1 2
6E
(s1 s 2
s 3 )2
用主应力表示的形状改变比能为：
usd
=
u
uv
=
1
6E
s 1
s2 2
s 2
s3
2
s 3
s
1
2
(10-13)
14
强度理论
问题：
复杂应力状态下 的强度？
屈服判据 s1-s3= sys Tresca条件, 1864, 法
实验验证： 很好地预测了塑性材料屈服。
设计：
强度条件： s1-s3[s]=sys/n
19
10.2.2 延性材料的屈服强度理论
四、形状改变比能理论（第四强度理论）
？ ？ 思考： Tresca条件与s2无关
滑移改变形状 能量
假说： 延性材料屈服取决于其形状改变比能 ud。
1 2
(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 [s ] = s ys / n
21
强度理论汇总：
强度条件的一般形式： 工作应力许用应力
相当应力
破 s1 理论 坏
e1 理论
sr [s]
sr1 = s1 常用
脆性破坏 [s]=sb/n 塑性屈服 [s]=sys /n
5
注意到txy=tyx，解得：
sa=sxcos2a+s ysin2a-2t xy sinacosa t a=(s x-s y)sinacosa+txy(cos2a -sin2a)
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第二节
斜 弯 曲
外力F的作用线只通过横截面的形心而不 与截面的对称轴重合，梁弯曲后的挠曲线不再 位于梁的纵向对称平面内，这类弯曲称为斜弯 斜弯 曲。斜弯曲是两个平面弯曲的组合，下面将讨 论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
一、正应力计算
斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和剪应力，但因剪应 力值很小，一般不予考虑。 斜弯曲梁的正应力计算的思路可以归纳为“先分后合”，具体 计算过程如下： 1．外力的分解：由图10-3（a）可知：Fy=Fcosφ，Fz=Fsinφ 2．内力的计算 距右端为l1的横截面上由Fy、Fz引起的弯矩分别是： Mz=Fya=Facosφ My=Fza=Fasinφ 3．正应力的计算 由Mz和My在该截面引起K点正应力分别为σ’=±Mzy/Iz ， σ’’=±Myz/Iy Mz和My共同作用下K点的正应力为
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
图10-7(a)所示的偏心受拉杆，平行于轴线的拉力 的作用点不在截面的任何一个对称轴上，与z轴、y轴 的距离分别为ey和ez，此变形称为双向偏心拉伸 双向偏心拉伸，当F 双向偏心拉伸 为压力时，称为双向偏心压缩 双向偏心压缩。 双向偏心压缩 双向偏心压缩（拉伸）实际上是轴向压缩（拉伸） 与两个平面弯曲的组合变形。任一点的正应力由三部 分组成，计算这类杆件任一点正应力的方法，与单向 偏心压缩（拉伸）类似。 三者共同作用下，横截面上ABCD上任意点K的总 正应力为以上三部分叠加，即 F Mz y M yz / // /// (10-6) σ = σ +σ +σ = ± ± A Iz Iy
Mz FN (b) _ h (a) +
材料力学第六版答案第10章
第十章 组合变形的强度计算10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。
（a ） (b) (c) (d) 斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲弯心（）（）弯心弯心（）（）斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲“×”为危险点位置。
10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 承受一与垂直方向成ϕ＝15°的集中力P ＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa 100.14⨯=E 。
试确定①截面上中性轴的位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。
解：66.915cos 10cos =⨯==οϕP P y KN59.215sin 10sin =⨯==οϕP P z KN4310122015=⨯=z J 4cm 3310cm W z =335625121520cm J y =⨯=3750cm W y =25.74366.94max =⨯==l P M y z KN-M 94.14359.24m ax =⨯==l P M z y KN-MMPaW M W M yy z z 84.9107501094.110101025.763633maxmax max=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ 中性轴：οο47.2515tan 562510tan tan tan 411=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--ϕαy z J J 2849333105434.0101010104831066.948--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z y y EJ l P f m28933310259.010562510104831059.248--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y z z EJ l P f m 602.0259.05434.022=+=f cm方向⊥中性轴：ο47.25=α10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示，P 1＝800 N ，P 2＝1600 N 。
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( z,y)
Mz
z
O
x
FN
（2）弯曲正应力 Mz y
Iz
y
FN Mz y
A Iz
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
3.危险截面的确定 作内力图 轴力
F1
F2
F2
FN F2
l/2 l/2
弯矩
F2
M max
F1l 4
所以跨中截面是杆的危险截面
x
FN图 F1l/4
x
M图
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
oz
A
y
y
y
y
(a)
(b)
(c)
(d)
§10.2 斜弯曲 例：
Fy F cos Fz F sin
M z Fy (l x) Fcox(l x) M cos M y Fz (l x) F sin(l x) M sin
§10.2 斜弯曲
' M z y M cos y, '' M y z M sin z
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
当外力通过弯曲 中心，且平行于 形心主惯性平面 时，外力与横截 面上的剪力在同 一纵向平面内， 杆件发生平面弯 曲。
F
zA
o
y
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
如果外力不通过弯 曲中心，则将外力 向弯曲中心简化， 得到一个过弯曲中 心的外力和一个扭 矩，使杆件产生弯 曲变形的同时，还 伴随着扭转变形。
对于不具有纵向对称平面的梁，只有当外力作用在通过弯曲中 心且与形心主惯性平面平行的弯心平面内时，梁只发生平面弯 曲，如图(b)所示
§10.2 斜弯曲
外力虽然经过弯曲中心(或形心)，但其作用面与形心主 惯性平面既不重合、也不平行，如图 (c)、(d)所示，这 种弯曲称为斜弯曲。
F
F
F
o zF
oz
A
oz
截面形式
载荷条件
对 称 截 面 载荷作用在纵向对称面内
非对称实心截面或 载荷作用在形心主惯性平面内
闭口薄壁截面
非对称开口
载荷通过弯曲中心，且平行于形心
薄壁截面
主惯性平面
附注 忽略扭转变形的影响 消除了扭转变形
§10.2 斜弯曲
F
o zF A
oz
F
F
o
z
A
oz
y
y
y
y
(a)
(b)
(c)
(d)
当外力作用在纵向对称平面内时，梁发生平面弯曲，如图 (a)所示
F zA
o
y
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
开口薄壁杆件的抗扭刚度很小，如果外力不通过弯曲中心， 将会引起较大的扭转变形和剪应力。为了避免这种情况， 必须使外力的作用线通过弯曲中心。几种常见的非对称开 口薄壁截面的弯曲中心 A 的位置，示于图 中。
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
平面弯曲的条件
上、下翼缘与腹板上的合力FQ1来自、FQ1和
FQ
2
，如图
10-2(c)所示。由大小相等、
方向相反的 FQ1 和
FQ
1
组成一力偶矩，与
FQ
2
合成后，最终得到一合力
FQ
，其数值
等于 FQ 2 ，方向平行于 FQ 2 ，作用线到腹板中线的距离为 e ，如图 10-2（d）所示。
由力矩定理得
FQ1h FQe
e
FQ 1 h FQ
b 2h 2t 4Iz
由上式可见，截面上切向内力系的合力 FQ
（即截面上的剪力）不通过截面形心，而作用在距腹板中线为
e 的纵向平面内。
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
在图 10-2（d）中，剪力 FQ
的作用线与截面对称轴 z 的交点 A ，称为弯曲中心 （或称剪切中心）
公式表明，弯曲中心的位置与材料性质和载荷大小无 关，是反映截面几何性质的一个参数。
这表明梁在斜弯曲时的挠曲平面与外力所在的纵向平面不重合。
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
拉伸（或压缩）与弯曲的组合
1.受力特点
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力。 2.变形特点
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形。
示例1 F1 产生弯曲变形
F2
F1
F2
示例2
F2 产生拉伸变形 Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
Iz
Iz
Iy
Iy
'
''
M
cos
Iz
M
sin
Iy
此式标明横截面
上的正应力是坐
标y、z的线性函
数，x截面上的正
应力变化规律如
图所示。
§10.2 斜弯曲
对整个梁来说，横截面上的最大正应力应在危险截面的角 点处，其值为
max
M y,max Wy
M z,max Wz
M max sin
Wy
M max cos
应该指出，当非对称截面梁发生横力弯曲时，横截面上切
向内力系的合力并不一定通过形心。
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心
ξ
y t
o
d
h/2
τ1
τ2 o
z
z
h/2
b
y (a)
y (b)
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
FQ1
o
z
A
o1
o
z
FQ2 FˊQ1
e
FQ
y (c)
y (d)
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
第
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
10
章
§10.2 斜弯曲
组
合
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
变
形
§10.4 扭转与弯曲
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
组合变形的概念：
杆件在外力作用下，同时发生两种或两 种以上基本变形的组合。
拉压
扭转
弯曲
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
判断下列组合 变形的类型：
拉压和弯曲
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
拉压、扭转和弯曲
§10.1 非对称截面梁的平面弯曲
截面的形心主轴与梁的
形心主惯性平面
轴线所组成的平面，称
为形心主惯性平面。因
此，对于非对称截面梁，
Me
只要载荷作用在形心主
o z0
惯性平面内，梁仍然发
x
生平面弯曲。弯曲正应
形心主轴 y
力公式仍然可以应用。
Wz
M
m
ax
sin
Wy
cos
Wz
wy
Fy l 3 3EI Z
, wz
Fzl 3 3EI y
自由端截面的总挠度为 w
w2y wz2
§10.2 斜弯曲
tan wz I z Fz I z tan
wy I y Fy I y
中性轴
ωβ
z α
F y
由于矩形截面的 I y I z ，所以
4.计算危险点的应力
F1 F2
F2
F2
A
l/2 l/2
拉伸正应力
F2
A
最大弯曲正应力
max
M max W
F1l 4W
Mmax
W
-
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
Fy
F
Fx
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
3.内力分析
横截面上内力
（1）拉(压) :轴力 FN
弯矩 Mz
（2）弯曲 剪力Fs
Mz FS
z
O
x
FN
y
因为引起的切应力较小,故一般不考虑.
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
4.应力分析 横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应
力计算公式为
（1）拉伸正应力 FN