第十章 组合变形的强度计算
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第10章 组合变形
10.1 组合变形的概念 工程中大多数的杆件在荷载作用下，往往同时发生两种或两种以上的变形。
在小变形的前提下，一般采用叠加原理计算组合变形的强度问题。即当杆件 承受复杂荷载作用而同时产生几种变形时，只要将荷载进行适当地分解，使 杆在各分荷载的作用下发生基本变形，再分别计算各基本变形所引起的应力， 然后将计算结果叠加，就可得到总的应力。实践证明：在线弹性、小变形的 情况下，用叠加原理所得到的结果与实际情况是相当符合的。
第10章 组合变形
【本章教学要点】 知识模块 组合变形的概念 叠加原理 掌握程度 掌握 掌握 掌握 理解 斜弯曲构件 重点掌握 偏心受压（受拉）构 件 截面核心的概念 理解 重点掌握 了解 知识要点 基本变形、组合变形 适用条件：小变形、线弹性 叠加法求解组合变形的步骤 斜弯曲概念 危险截面、危险点的确定；应力公式；强度条 件 偏心受压（受拉）概念
危险截面、危险点的确定；应力公式；强度条 件
截面核心
【本章技能要点】
技能要点
掌握程度
应用方向
斜弯曲构件计算
偏心受压（受拉）构件 计算 截面核心
掌握
掌握 了解
危险截面、危险点的判别；强度校核、截面设 计、许可荷载确定
危险截面、危险点的判别；强度校核、截面设 计、许可荷载确定 截面核心的确定
【导入案例】 工程结构的变形：单一或多样？
例10-5 试求图10.16所示偏心受拉杆的最大正应力。
7.5 I I 50
K z y I-I 截面 （b） 图 10.16
P 2kN
20
10 40 15 （a）
10.4 截面核心 10.4.1 截面核心的概念 人为地将偏心压力的作用点限制在截面形心周围的一个区域，则杆件整 个横截面上就只产生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用的区域就称 为截面核心。 10.4.2 截面核心的确定
材料力学(单辉祖)第十章组合变形
17
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
工程力学(静力学与材料力学)-10-组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
TSINGHUA UNIVERSITY
产生斜弯曲的加载条件
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
产生斜弯曲的加载条件
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当外力施加在梁的对称面(或主轴平面)内时，梁将产生 平面弯曲。所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是 对称面(或主轴平面)，梁也将会产生弯曲，但不是平面弯曲， 这种弯曲称为斜弯曲(skew bending)。
兀jmj第10组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲大压应力计算公式为iv第10章组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲还可以证明在斜弯曲情形下横截面依然存在中性轴而且中性轴一定通过横截面的形心但不垂直于加栽方向这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别之组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲时强度条件第10章组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲时强度条件在最大正应力作用点只有正应力作用因此斜组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲个平面弯曲一般生产车间所用的吊车大梁两端由钢轨支撑可以简化为简支梁
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第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
TSINGHUA UNIVERSITY
对组合受力与变形的杆件进行强度计算，首先需要综 合考虑各种内力分量的内力图，确定可能的危险截面；进 而根据各个内力分量在横截面上所产生的应力分布确定可 能的危险点以及危险点的应力状态；从而选择合适的强度 理论进行强度计算。
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斜弯曲时横截面上的最大正应力
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
最大正应力
由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应 力也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩 正应力必然发生在矩形截面的角点处。
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产生斜弯曲的加载条件
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
产生斜弯曲的加载条件
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当外力施加在梁的对称面(或主轴平面)内时，梁将产生 平面弯曲。所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是 对称面(或主轴平面)，梁也将会产生弯曲，但不是平面弯曲， 这种弯曲称为斜弯曲(skew bending)。
兀jmj第10组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲大压应力计算公式为iv第10章组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲还可以证明在斜弯曲情形下横截面依然存在中性轴而且中性轴一定通过横截面的形心但不垂直于加栽方向这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别之组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲时强度条件第10章组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲斜弯曲时强度条件在最大正应力作用点只有正应力作用因此斜组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲组合受力与变形杆件的强度计算斜弯曲个平面弯曲一般生产车间所用的吊车大梁两端由钢轨支撑可以简化为简支梁
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第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
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对组合受力与变形的杆件进行强度计算，首先需要综 合考虑各种内力分量的内力图，确定可能的危险截面；进 而根据各个内力分量在横截面上所产生的应力分布确定可 能的危险点以及危险点的应力状态；从而选择合适的强度 理论进行强度计算。
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斜弯曲时横截面上的最大正应力
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
最大正应力
由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应 力也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩 正应力必然发生在矩形截面的角点处。
第十章_组合变形
坐标为x的任意截面上
M z Fy (l x) F(l x) cos M y Fz (l x) F(l x)sin
固定端截面
x
M zmax Fl cos
M ymax Fl sin
2. 应力分析
x 截面上任意一点（y，z） 正应力
Mzy Myz
Iz
Iy
F (l x)( y cos z sin )
三、两个相互垂直平面的弯曲——梁的斜弯曲概念
杆件在通过横截面形心的外载下产生弯曲变形
四、两个相互垂直平面内的弯曲问题分析 （即斜弯曲的研究方法 ） 1.分解：外载沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个
正交的平面弯曲
z y
Pz
Py
P
x
z jPz
P
Py
y
Fy F cos Fz F sin
1. 内力分析
叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
二、工程实例 （Engineering eA
F1
x
P
y B
P
hg
P q
hg
水坝
厂房牛腿——偏心压缩
吊车杆——压弯组合变形
三、分析组合变形的总思路（基本方法） （Basic method for solving combined deformation）
3.应力分析（Stress analysis）
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的
应力和变形叠加,建立危险点的强度条件
=
+
=
+
+
组合变形和叠加原理
研究内容
斜弯曲
拉（压）弯组合变形 弯扭组合变形
l
M z Fy (l x) F(l x) cos M y Fz (l x) F(l x)sin
固定端截面
x
M zmax Fl cos
M ymax Fl sin
2. 应力分析
x 截面上任意一点（y，z） 正应力
Mzy Myz
Iz
Iy
F (l x)( y cos z sin )
三、两个相互垂直平面的弯曲——梁的斜弯曲概念
杆件在通过横截面形心的外载下产生弯曲变形
四、两个相互垂直平面内的弯曲问题分析 （即斜弯曲的研究方法 ） 1.分解：外载沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个
正交的平面弯曲
z y
Pz
Py
P
x
z jPz
P
Py
y
Fy F cos Fz F sin
1. 内力分析
叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
二、工程实例 （Engineering eA
F1
x
P
y B
P
hg
P q
hg
水坝
厂房牛腿——偏心压缩
吊车杆——压弯组合变形
三、分析组合变形的总思路（基本方法） （Basic method for solving combined deformation）
3.应力分析（Stress analysis）
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的
应力和变形叠加,建立危险点的强度条件
=
+
=
+
+
组合变形和叠加原理
研究内容
斜弯曲
拉（压）弯组合变形 弯扭组合变形
l
第十章 组合变形
w
wy
14
三、结论 1、“σ ”代数叠加，“τ ”和变形矢量叠加。 2、对有棱角的截面，棱角处有最大的正应力
M z max M y max max Wz Wy
15
例 ：矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m 的均布力作用， []=12MPa，许可挠度为：L/200 ，E=9GPa， q 试校核此梁的强度和刚度。
（3）叠加： k k
Mz
k
My
M z yk M y z k Iz Iy
12
y b
y b
y
a
a
x
x
z
d
c
z
d
c
My
z
F
3、强度计算 危险截面——固定端
M z max Fyl ,
M y max Fz l
危险点——“b”点为最大拉应力点，“d”点为最大压应力点。
M z max ymax M y max zmax M z max M y max max max Iz Iy Wz Wy
24
M z max FN max Wz A
c
例 ：槽型截面梁 AB如图， []=140MPa。 试选择槽型截面梁的型号。 解：1、外力分解 3m A
0
1m
B 300 C Z Fy 300 FNCD C F=40kN
25
M
A
0 8 F 3
0
4 F 3FNCD sin 30 FNCD
第四强度理论 r 4 2 3 2
M 2 z max 0.75T 2 max WZ
29
例：图示结构，q=2 kN/m2，[]=60 MPa，试用第三强度理论确 定空心柱的厚度 t （外径D=60 mm）。 x 解：1、外力的简化 q B 1 3 2 F qA 2 10 500 392 ( N ) 500 4 800
第十章 组合变形
2
4
2
2
2
(
M Wz
) 4(
2
T Wp
)
2
M
T
2
M
r3
Wz
Wz M
r4
r4
M
2
0 . 75 T Wz
Wz
r3
M
2
T
2
Wz
r4
M
2
0 . 75 T Wz
2
第三、第四强度理论的第三种表达形式
M
r3
M
2
T
2
M
r4
M
2
0 . 75 T
2
第三、第四强度理论的相当弯矩 使用条件： 1. 符合第二种表达形式的使用条件， 2. 圆截面杆， 3. 正应力主要由弯矩产生， 4. 切应力主要由扭矩产生。
4
( D d ) 40 . 8 10
3 4
m
2
π D (1 ) 32
124 10
6
m
3
拉伸（压缩）与斜弯曲的组合
z
x Fx φ F
y
1. 多边形截面的最大的正应力均发生在角点，
2. 曲线周边截面通过推中性轴平行线，至截面周边的 方法来确定最大正应力的位置。
二、偏心拉伸（压缩）
3.64kN 5kN A C 1.82kN z 300 300 100 B
10kN
D
x
y
A
1kN.m
5kN C
1kN.m B 10kN
3.64kN D
1.82kN
2）求内力
强度理论第十章组合变形
b
n
4、使用条件：断裂破坏，服从胡克定律。
5、缺点：对有些材料未被实验所证实。
6
§9－3 关于屈服的强度理论 三、最大切应力理论（第三强度理论；屈雷斯加屈服准则）
杜奎特（C.Duguet)最早提出；屈雷斯加最终确立了这一理论
1、基本论点：材料发生屈服破坏的主要因素是最大切应力。
2、破坏条件： m ax jx
1
第九章 复杂应力状态强度理论
§9－１ 强度理论的概念 §9－2 四种常用的强度理论 §9－3 其他强度理论
强度理论小结
第十章 组合变形
斜弯曲 轴向拉(压)与弯曲组合 偏心拉（压） 截面核心 弯曲与扭转 组合变形小结
2
§9－１ 强度理论的概念（引言）
一、概述：
简单应力状态与复杂应力状态许用应力确定的区别：
0.32m
Fs
100kN
0.32m
100kN M
32kNm
7 K 88.6
11.4
X
100
Iz 2370104 mm4
Wz 237103 mm3
Iz
/
S z max
17.2cm
X 解：1、画内力图
11
2、最大正应力校核
max
M max Wz
32106 237103
135(MPa)
3、最大切应力校核
1、基本论点：材料发生屈服破坏的主要因素是最大形状改变比能。
2、破坏条件：vd vdjx
vd
1
6E
(1 2 )2 ( 2 3)2 ( 3 1)2
vdjx
1
6E
2 s2
1
2
( 1
2)2
( 2
组合变形的强度计算
S A
XB A
20800 4.3106 Pa 0.00485
梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为
C max
S A
M max Wz
4.3 60 64.3MPa
T max
S A
M max Wz
4.3
60
55.7MPa
（3）强度校核
Cmax 64.3MPa
组合变形的强度计算
组合变形的概念 拉伸与弯曲的组合 扭转与弯曲的组合 疲劳破坏简介
一.组合变形的概念
1.组合变形:
在外力的作用下，构件若同时产生两种或两 种以上基本变形的情况
在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原 理研究组合变形问题 所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等 于各个力单独作用下变形的总和（叠加）
P=7kW，转速为n=200r/min，齿轮 Ｃ上作用力F=2.375kN与切线成
20°（啮合角），带轮D上紧、松
边拉力FT1=2FT2，皮带轮直径Ｄ
=500ｍｍ，轴材料的许用应力
[σ]=80ＭPa，试按第三强度理论
设计轴径（轴和轮重不计）。
解 ① 分析计算轴上 所受外力，并将外力向 轴心简化，
② 分析轴上危险截面内力。
l YB l P 2 0
得
P YB 2 12k N
XB
YB tg30
12 0.577
20.8k N
YA 12k N X A 20.8k N
（2）内力和应力计算
由横梁的弯矩图可知在梁中点截面
上的弯矩最大
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解：由于钢板在截面且AA 由于钢板在截面且 处有一半圆槽，因而外力P 处有一半圆槽，因而外力 对此截面为偏心拉伸， 对此截面为偏心拉伸，其 偏心距之值为： 偏心距之值为：
e=
b b−t − = 0.5cm 2 2
截面A-A的轴力和弯矩分别为 的轴力和弯矩分别为 截面
N = P = 80kN
M = Pe = 80 ×103 × 0.5 ×10−2 = 400N ⋅ m
这是在机械工程中常见的一种组合变形情况
第十章 组合变形的强度计算
圆轴弯扭组合变形的强度计算方法。 圆轴弯扭组合变形的强度计算方法。
外力分析
图示的圆轴， 左端固定， 图示的圆轴 ， 左端固定 ， 右 端自由。 端自由 。 在外力偶矩和集中 力作用下， 力作用下 ， 圆轴同时发生扭 转和弯曲的组合变形。 转和弯曲的组合变形。
σ l max =
P 80 = δ (b − 2t ) 0.01× (0.08 − 2 × 0.01)
= 133.3MN/m 2 < [σ ]
第十章 组合变形的强度计算
§10－3 圆轴弯曲与扭转的组合变形 10－
在工程中只受到扭转的轴是很少见的，一 在工程中只受到扭转的轴是很少见的， 般来说，轴除受到扭转外, 般来说，轴除受到扭转外,还同时产生弯曲 变形。 变形。
第十章 组合变形的强度计算
轴力和弯矩在半圆槽底的a处都引起拉应力， 轴力和弯矩在半圆槽底的 处都引起拉应力，故得最大应力为 处都引起拉应力
σ max
80 ×103 6 × 400 = + 0.01× (0.08 − 0.01) 0.01× (0.08 − 0.01) 2 = 163.3MN/m 2 > [σ ]
N M max + = 55.4MN/m2 A W N M σ y max= − − max = −64MN/m2 A W σ y max = 64MN/m 2 < [σ ] （4）强度计算
σ l max= −
梁的强度足够
第十章 组合变形的强度计算
偏心拉伸(压缩) 偏心拉伸(压缩)
当构件受到作用线与轴线平行， 当构件受到作用线与轴线平行，但不通过横截面形 心的拉力(或压力)作用时，此构件受到偏心载荷， 心的拉力(或压力)作用时，此构件受到偏心载荷， 称为偏心拉伸( 压缩) 称为偏心拉伸(或压缩)。 偏心拉伸
σ ′′ =
σ max =
Wmax Py l = W W
抗弯截面模量
N M max + A W
σ min =
N M max − A W
该截面的上下边缘上各点是危险点， 该截面的上下边缘上各点是危险点，这些危险 点上的应力都是正应力，亦即是简单应力状态。 点上的应力都是正应力，亦即是简单应力状态。
第十章 组合变形的强度计算
建立相应的强度条件
进一步分析可知上边缘各点的拉应力最大 对于塑性材料， 对于塑性材料，可 建立强度条件 对于脆性材料，由于 对于脆性材料，由于[σ1]≠[σy]，如果最小正应力是 ≠ ， 压应力， 压应力，则应分别建立强度条件为
N M max σ max = + ≤[σ 1 ] A W N M max σ min = ≤[σ y ] A W
第十章 组合变形的强度计算
主要内容： 主要内容：
组合变形的概念与实例 弯曲与拉伸（或压缩） 弯曲与拉伸（或压缩）的组合变形 圆轴弯曲与扭转的组合变形
第十章 组合变形的强度计算
§10－1 组合变形的概念与实例 10－
在外力的作用下， 在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基 本变形的情况，就是组合变形 组合变形。 本变形的情况，就是组合变形。
∑ m A (F ) = 0
Sl sin α − P
S=
∑x=0
∑Y = 0
P = P = S cos 30° = 20.8kN
FAx
FAy A
S D FBx P
FBy B
FAy = P − S sin 30° = 12kN
FBx = FAx = 20.8kN FBy = FAy = 12kN
第十章 组合变形的强度计算
例10－3 卧式离心机转鼓重 10－ 卧式离心机转鼓重G=2000N，它固定在轴一端，如 ，它固定在轴一端， 图所示，转轴用电机直接传动。 图所示，转轴用电机直接传动。作用在圆轴横截面上的外力 偶矩m=1200N·m，材料的许用应力 σ]=80MN/m2，轴的直 偶矩 ，材料的许用应力[σ 径为d=60mm，试校核此轴的强度。 ，试校核此轴的强度。 径为
第十章 组合变形的强度计算
§10－2 弯曲与拉伸（或压缩）的组合变形 10－ 弯曲与拉伸（或压缩）
外力分析（目的是判断杆件产生何种组合变形） 外力分析（目的是判断杆件产生何种组合变形）
将力P分解为轴向分力 将力 分解为轴向分力 Px和横向分力 y 和横向分力P
Px = P cos α
弯曲 轴向拉伸
M σ = W
MT τ= WP
M和MT分别为危险截面上的弯矩和扭矩，W 和 分别为危险截面上的弯矩和扭矩， 分别为圆轴截面的抗弯和抗扭截面模量。 和W p分别为圆轴截面的抗弯和抗扭截面模量。 现取点C 来研究。 现取点 1来研究。若在该点附近 截取一单元，经理论分析， 截取一单元，经理论分析，其各 个截面上的应力情况如图e) 个截面上的应力情况如图e)
梁AB为压缩与弯曲变形的组合
第十章 组合变形的强度计算
（2）内力分析 绘出梁的轴力图和弯矩图 中点D截面是危险截面 中点 截面是危险截面 FAx
FAy A
S D FBx P B
N = FAx = 20.8kN
M max Pl 24 × 4 = = = 24kN ⋅ m 4 4
（3）应力分析 D截面的轴向和弯曲正应力进行叠加 截面的轴向和弯曲正应力进行叠加 危险点位于D截面的上、 危险点位于 截面的上、下边缘处 截面的上
第十章 组合变形的强度计算
解：转鼓的重量使轴产生弯曲变形，同时，外力偶矩m被传递给转鼓 转鼓的重量使轴产生弯曲变形，同时，外力偶矩 被传递给转鼓 时，轴产生扭转变形。轴的受力如图。 轴产生扭转变形。轴的受力如图。 画出扭矩图的弯矩图 扭矩
M T = m = 1200 N ⋅ m
Ａ处截面上的弯矩最大
Py = P sin α
梁在P力作用下发生弯曲与轴向拉伸组合变形 梁在 力作用下发生弯曲与轴向拉伸组合变形 第十章 组合变形的强度计算
内力分析（目的是找出危险面） 内力分析（目的是找出危险面）
构件在垂直于轴线的分力P 构件在垂直于轴线的分力 y作用 下，将引起各横截面上产生不同 的弯矩，最大弯矩发生在根部A 的弯矩，最大弯矩发生在根部 截面处 M max = Pl sin α 轴在沿轴线的分力P 轴在沿轴线的分力 x作用下将引起各横截面上产生相 同的轴向拉力
解决这种情况下的强度问题步骤： 解决这种情况下的强度问题步骤：
先研究危险点的应力变化和规律，找出主应力。 先研究危险点的应力变化和规律，找出主应力。 主应力 根据材料的破坏形式，利用强度理论， 根据材料的破坏形式，利用强度理论，建立起保 强度理论 证危险点不破坏时的强度条件
第十章 组合变形的强度计算
N = P cos α
危险面在根部A截面处 危险面在根部 截面处 第十章 组合变形的强度计算
应力分析（目的是找到危险面上的危险点） 应力分析（目的是找到危险面上的危险点）
根部危险截面上由轴向拉 力引起的拉应力均匀分布
N Px P cos α = = A A A
σ′ =
横截面面积 在最大弯矩作用下， 在最大弯矩作用下，危险截 面上的应力按线性规律分布 危险截面上正应力的最大与 最小值
第十章 组合变形的强度计算
例l0-1 悬臂式起重机如图所示。横梁 为25a工字钢，其横截面面积 工字钢， l0- 悬臂式起重机如图所示。横梁AB为 工字钢 A=48.5cm2，抗弯截面模量 = 402cm3，已知梁长 抗弯截面模量W 已知梁长l=4m，α=30°，电动葫 ， 芦自重和起重量总和为P=24kN，材料的许用应力 芦自重和起重量总和为 ，材料的许用应力[σ]=100MN/m2，试校 核横梁AB的强度 的强度。 核横梁 的强度。 解：(1) 横梁外力分析与简化 取横梁AB为研究对象， 取横梁 为研究对象，受力图如图 当电葫芦移至横梁AB的中点 时为最不 当电葫芦移至横梁 的中点D时为最不 的中点 利情况， 利情况，由平衡条件可求出各约束反力
M max = − G × 0.5 = 1000 N ⋅ m
综合分析可知轴承A处的扭矩和弯矩都是 最大值，是轴的危险截面。 最大值，是轴的危险截面。 采用第三强度理论
M 2 + M T2 = = 72.3MN/m 2 < [σ ] W
σ xd3
轴的强度足够
第十章 组合变形的强度计算
例10－4 图示的转轴，C轮的皮带处于水平位置，D轮的 轮的皮带处于水平位置， 轮的 － 图示的转轴， 轮的皮带处于水平位置 皮带处于铅直位置，各皮带的张力均为T＝ 皮带处于铅直位置，各皮带的张力均为 ＝3900N和t＝ 和＝ 1500 N，若两皮带轮直径均为 ，若两皮带轮直径均为600mm，许用应力 σ]＝ ，许用应力[ 80MN／m2，试设计选择轴的直径。设轴和皮带轮的自重 试设计选择轴的直径。 ／ 均略去不计。 均略去不计。
常用的按第三强度理论建立的强度条件
σ xd 3 = σ 2 + 4τ 2 ≤[σ ]
σ xd 3 =
2 M 2 + MT ≤[σ ] W
σ xd 3 ：第三强度理论的相当应力； 第三强度理论的相当应力； σ 和 τ ：分别表示圆轴横截面上危险点处的弯曲正应力和扭转
剪应力， 剪应力， 塑性材料拉伸时的许用应力； [σ ] ：塑性材料拉伸时的许用应力； M和MT：分别为危险截面上的弯矩和扭矩。 和 分别为危险截面上的弯矩和扭矩。
e=
b b−t − = 0.5cm 2 2
截面A-A的轴力和弯矩分别为 的轴力和弯矩分别为 截面
N = P = 80kN
M = Pe = 80 ×103 × 0.5 ×10−2 = 400N ⋅ m
这是在机械工程中常见的一种组合变形情况
第十章 组合变形的强度计算
圆轴弯扭组合变形的强度计算方法。 圆轴弯扭组合变形的强度计算方法。
外力分析
图示的圆轴， 左端固定， 图示的圆轴 ， 左端固定 ， 右 端自由。 端自由 。 在外力偶矩和集中 力作用下， 力作用下 ， 圆轴同时发生扭 转和弯曲的组合变形。 转和弯曲的组合变形。
σ l max =
P 80 = δ (b − 2t ) 0.01× (0.08 − 2 × 0.01)
= 133.3MN/m 2 < [σ ]
第十章 组合变形的强度计算
§10－3 圆轴弯曲与扭转的组合变形 10－
在工程中只受到扭转的轴是很少见的，一 在工程中只受到扭转的轴是很少见的， 般来说，轴除受到扭转外, 般来说，轴除受到扭转外,还同时产生弯曲 变形。 变形。
第十章 组合变形的强度计算
轴力和弯矩在半圆槽底的a处都引起拉应力， 轴力和弯矩在半圆槽底的 处都引起拉应力，故得最大应力为 处都引起拉应力
σ max
80 ×103 6 × 400 = + 0.01× (0.08 − 0.01) 0.01× (0.08 − 0.01) 2 = 163.3MN/m 2 > [σ ]
N M max + = 55.4MN/m2 A W N M σ y max= − − max = −64MN/m2 A W σ y max = 64MN/m 2 < [σ ] （4）强度计算
σ l max= −
梁的强度足够
第十章 组合变形的强度计算
偏心拉伸(压缩) 偏心拉伸(压缩)
当构件受到作用线与轴线平行， 当构件受到作用线与轴线平行，但不通过横截面形 心的拉力(或压力)作用时，此构件受到偏心载荷， 心的拉力(或压力)作用时，此构件受到偏心载荷， 称为偏心拉伸( 压缩) 称为偏心拉伸(或压缩)。 偏心拉伸
σ ′′ =
σ max =
Wmax Py l = W W
抗弯截面模量
N M max + A W
σ min =
N M max − A W
该截面的上下边缘上各点是危险点， 该截面的上下边缘上各点是危险点，这些危险 点上的应力都是正应力，亦即是简单应力状态。 点上的应力都是正应力，亦即是简单应力状态。
第十章 组合变形的强度计算
建立相应的强度条件
进一步分析可知上边缘各点的拉应力最大 对于塑性材料， 对于塑性材料，可 建立强度条件 对于脆性材料，由于 对于脆性材料，由于[σ1]≠[σy]，如果最小正应力是 ≠ ， 压应力， 压应力，则应分别建立强度条件为
N M max σ max = + ≤[σ 1 ] A W N M max σ min = ≤[σ y ] A W
第十章 组合变形的强度计算
主要内容： 主要内容：
组合变形的概念与实例 弯曲与拉伸（或压缩） 弯曲与拉伸（或压缩）的组合变形 圆轴弯曲与扭转的组合变形
第十章 组合变形的强度计算
§10－1 组合变形的概念与实例 10－
在外力的作用下， 在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基 本变形的情况，就是组合变形 组合变形。 本变形的情况，就是组合变形。
∑ m A (F ) = 0
Sl sin α − P
S=
∑x=0
∑Y = 0
P = P = S cos 30° = 20.8kN
FAx
FAy A
S D FBx P
FBy B
FAy = P − S sin 30° = 12kN
FBx = FAx = 20.8kN FBy = FAy = 12kN
第十章 组合变形的强度计算
例10－3 卧式离心机转鼓重 10－ 卧式离心机转鼓重G=2000N，它固定在轴一端，如 ，它固定在轴一端， 图所示，转轴用电机直接传动。 图所示，转轴用电机直接传动。作用在圆轴横截面上的外力 偶矩m=1200N·m，材料的许用应力 σ]=80MN/m2，轴的直 偶矩 ，材料的许用应力[σ 径为d=60mm，试校核此轴的强度。 ，试校核此轴的强度。 径为
第十章 组合变形的强度计算
§10－2 弯曲与拉伸（或压缩）的组合变形 10－ 弯曲与拉伸（或压缩）
外力分析（目的是判断杆件产生何种组合变形） 外力分析（目的是判断杆件产生何种组合变形）
将力P分解为轴向分力 将力 分解为轴向分力 Px和横向分力 y 和横向分力P
Px = P cos α
弯曲 轴向拉伸
M σ = W
MT τ= WP
M和MT分别为危险截面上的弯矩和扭矩，W 和 分别为危险截面上的弯矩和扭矩， 分别为圆轴截面的抗弯和抗扭截面模量。 和W p分别为圆轴截面的抗弯和抗扭截面模量。 现取点C 来研究。 现取点 1来研究。若在该点附近 截取一单元，经理论分析， 截取一单元，经理论分析，其各 个截面上的应力情况如图e) 个截面上的应力情况如图e)
梁AB为压缩与弯曲变形的组合
第十章 组合变形的强度计算
（2）内力分析 绘出梁的轴力图和弯矩图 中点D截面是危险截面 中点 截面是危险截面 FAx
FAy A
S D FBx P B
N = FAx = 20.8kN
M max Pl 24 × 4 = = = 24kN ⋅ m 4 4
（3）应力分析 D截面的轴向和弯曲正应力进行叠加 截面的轴向和弯曲正应力进行叠加 危险点位于D截面的上、 危险点位于 截面的上、下边缘处 截面的上
第十章 组合变形的强度计算
解：转鼓的重量使轴产生弯曲变形，同时，外力偶矩m被传递给转鼓 转鼓的重量使轴产生弯曲变形，同时，外力偶矩 被传递给转鼓 时，轴产生扭转变形。轴的受力如图。 轴产生扭转变形。轴的受力如图。 画出扭矩图的弯矩图 扭矩
M T = m = 1200 N ⋅ m
Ａ处截面上的弯矩最大
Py = P sin α
梁在P力作用下发生弯曲与轴向拉伸组合变形 梁在 力作用下发生弯曲与轴向拉伸组合变形 第十章 组合变形的强度计算
内力分析（目的是找出危险面） 内力分析（目的是找出危险面）
构件在垂直于轴线的分力P 构件在垂直于轴线的分力 y作用 下，将引起各横截面上产生不同 的弯矩，最大弯矩发生在根部A 的弯矩，最大弯矩发生在根部 截面处 M max = Pl sin α 轴在沿轴线的分力P 轴在沿轴线的分力 x作用下将引起各横截面上产生相 同的轴向拉力
解决这种情况下的强度问题步骤： 解决这种情况下的强度问题步骤：
先研究危险点的应力变化和规律，找出主应力。 先研究危险点的应力变化和规律，找出主应力。 主应力 根据材料的破坏形式，利用强度理论， 根据材料的破坏形式，利用强度理论，建立起保 强度理论 证危险点不破坏时的强度条件
第十章 组合变形的强度计算
N = P cos α
危险面在根部A截面处 危险面在根部 截面处 第十章 组合变形的强度计算
应力分析（目的是找到危险面上的危险点） 应力分析（目的是找到危险面上的危险点）
根部危险截面上由轴向拉 力引起的拉应力均匀分布
N Px P cos α = = A A A
σ′ =
横截面面积 在最大弯矩作用下， 在最大弯矩作用下，危险截 面上的应力按线性规律分布 危险截面上正应力的最大与 最小值
第十章 组合变形的强度计算
例l0-1 悬臂式起重机如图所示。横梁 为25a工字钢，其横截面面积 工字钢， l0- 悬臂式起重机如图所示。横梁AB为 工字钢 A=48.5cm2，抗弯截面模量 = 402cm3，已知梁长 抗弯截面模量W 已知梁长l=4m，α=30°，电动葫 ， 芦自重和起重量总和为P=24kN，材料的许用应力 芦自重和起重量总和为 ，材料的许用应力[σ]=100MN/m2，试校 核横梁AB的强度 的强度。 核横梁 的强度。 解：(1) 横梁外力分析与简化 取横梁AB为研究对象， 取横梁 为研究对象，受力图如图 当电葫芦移至横梁AB的中点 时为最不 当电葫芦移至横梁 的中点D时为最不 的中点 利情况， 利情况，由平衡条件可求出各约束反力
M max = − G × 0.5 = 1000 N ⋅ m
综合分析可知轴承A处的扭矩和弯矩都是 最大值，是轴的危险截面。 最大值，是轴的危险截面。 采用第三强度理论
M 2 + M T2 = = 72.3MN/m 2 < [σ ] W
σ xd3
轴的强度足够
第十章 组合变形的强度计算
例10－4 图示的转轴，C轮的皮带处于水平位置，D轮的 轮的皮带处于水平位置， 轮的 － 图示的转轴， 轮的皮带处于水平位置 皮带处于铅直位置，各皮带的张力均为T＝ 皮带处于铅直位置，各皮带的张力均为 ＝3900N和t＝ 和＝ 1500 N，若两皮带轮直径均为 ，若两皮带轮直径均为600mm，许用应力 σ]＝ ，许用应力[ 80MN／m2，试设计选择轴的直径。设轴和皮带轮的自重 试设计选择轴的直径。 ／ 均略去不计。 均略去不计。
常用的按第三强度理论建立的强度条件
σ xd 3 = σ 2 + 4τ 2 ≤[σ ]
σ xd 3 =
2 M 2 + MT ≤[σ ] W
σ xd 3 ：第三强度理论的相当应力； 第三强度理论的相当应力； σ 和 τ ：分别表示圆轴横截面上危险点处的弯曲正应力和扭转
剪应力， 剪应力， 塑性材料拉伸时的许用应力； [σ ] ：塑性材料拉伸时的许用应力； M和MT：分别为危险截面上的弯矩和扭矩。 和 分别为危险截面上的弯矩和扭矩。