第九章组合变形的强度计算

WZ
bh2 6
90 140 2 6
2.94 10 5 mm 3
Wy
b 2 h 140 90 2
6
6
1.89 10 5 mm 3
由强度条件代入数值得：
max
M
m
ax
(
os
WZ
sin )
Wy
1.62 106 ( 0.894 0.447 ) 2.94 105 1.89 105
8.76MPa
经判断点为危险点，其应力为拉应力，大
小为
A
FN A
Mz Wz
得M：y
Wy
A 140 MPa
三、截面核心
1．概念 当偏心压力作用在截面形心周围 的一个区域内时，杆件整个横截面上只产 生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用 的区域就称为截面核心。
2．截面核心的确定
对于许用拉应力远小于许用压应力的混凝 土、砖石等脆性材料，过大的拉应力将会 使构件产生裂缝，这种情况必须避免。
2
max
max
F A
Mz Wz
min
m
in
F A
Mz Wz
4．强度条件
显然，杆件横截面各点均处于单向拉压状 态，其强度条件为
max
F A
Mz Wz
min
F Mz A Wz
例9-3 横截面为正方形的短柱承受荷载F，
若在短柱中开一切槽，其最小截面积为原 面积的一半，如图9-9所示。试问切槽后， 柱内最大压应力是原来的几倍？
由强度条件：
max
1 WZ
(M Z
WZ Wy
)
WZ
M
z
h b
M
y
3.3 105 mm3
根据已知条件 h 1.5，矩形截面，解得 h 144mm,b 9b6m取m整
h 150mm, b 100mm
第三节 偏心压缩（拉伸）
当外荷载作用线与杆轴线平行但不重合时， 杆件将产生压缩(拉伸)和弯曲两种基本弯形，这 类问题称为偏心压缩（拉伸）。如图9-6所示杆件 ，如力作用在某一轴线上，则产生压缩（拉伸） 和弯曲变形，称为单向偏心压缩(偏心压缩)图9-6 （a）。如力作用在轴线外的截面的任意点上，称 为双向偏心压缩（拉伸）图9-6（b）。
解得：h 372mm取整 380mm
6
此时产生的最大压应力为：
max
F A
MZ WZ
145 10 3 200 380
9 10 6 200 380 2
6
1.908 1.87 3.78MPa
二、双向偏心压缩(拉伸)时的应力和强度条件
图9-11
1．荷载简化
如图9-11（a），已知
至 y 轴的偏心距为e
解：切槽前的压应力
N A
F 4a 2
切槽后最大压应力应为偏心压缩情况下截
面边缘的最大压应力
max
N A
My Wy
2
F a2
两者的比值是：
F
max
2 a2
8
F
4a 2
例11-4 图9-10所示举行截面柱，柱顶有屋 架传来的压力 F1 100 kN ；牛腿上承受吊车梁 传来的压力 F2 45kN；与轴线的偏心距e 0.2m 。已知柱宽b 200mm 。求：
所以
max
F A
Mz Wz
145 103
200 300
9 106 200 300
6
0.58MPa
max
F A
Mz Wz
145 103
200 300
9 106 200 300
6
5.42MPa
（2）求截面高度和最大压应力 要使截面不产生拉应力，应满足
max
F A
MZ WZ
0
145 10 3 9 10 5 0 200 h 200 h2
一、 外力分解
如图9-2（a），外荷载可沿坐标轴和分解
，得
Fy F cos
Fz R sin
其中是梁产生绕轴的平面弯曲，使梁柱产
生绕轴的平面弯曲。因此，斜弯曲实际上 是两个互相垂直的平面弯曲的组合。
二、 内力分析
斜弯曲梁的强度是由最大正应力来控制的 ，所以，弯矩的计算是最主要的。
设在距端点为的任意横基面上，引起的截
IY
即
FN M Z y MY z 0
设
y0
A
、z
0为中IZ性轴上I 的y 点的坐标，则中性
轴方程为
F A
Fey IZ
y0
Fez Iy
z0
0
即
1
ey iz2
y0
ez
i
2 y
z0
0
上式也称为零应力线方程，是一直线方程。
式中i
2 z
Iz A
,
i
2 y
Iz A
分别称为截面对z、y轴
的惯性半径，也是截面的几何量。
一、单向偏心压缩(拉伸)时的应力和强度 条件
1．荷载变化
由平面一般力系中力的平移定理，将偏心力
向杆线轴线平移，得到一个通过形心的轴 向压力F 和一个力偶矩为M e Fe 的力偶，如 图9-7。
2．内力计算
用截面 m n 截取杆件上部，由平衡方程可求
得
FN F
M e F.e
显然偏心压缩杆件各个横截面的内力均相 同，所以截面 m n 可以为任意截面。
My Wy
min
FN A
Mz My Wz Wy
例9-5 试求图9-12所示偏心受拉杆的最大正 应力。
解：此杆切槽处的截面是危险截面，将力F 向切槽截面的轴线简化，得：
FN F 1kN M z 1 5 10 3 5 10 3 kN.m M y 1 2.5 10 3 2.5 10 3 kN.m
My
M y .z IZ
所以， K点的应力为
N MZ My
FN M Z .y M y .z
A
Iz
Iy
上式中各个量都可用绝对值代入，式中第二
项和第三项前的正负号观察弯曲变形的情
况来确定。
4．中性轴位置
由公式（9-7）可得
= FN M Z y MY z =0
A
IZ
3．应力计算
对于横截面上任一点 K (图9-8)，其应力是轴 向压缩应力 N 和弯曲应力 MZ的叠加。
F
N A
MZ
M z.y Iz
K 点的总应力为：
F
M z.y
A Iz
由上式计算正应力时，F、M z、y用绝对值代入 ，式中弯曲正应力可由直观判断来确定。
类似地，最大（最小）正应力必将发生在横截 面的上、下边缘（ y h ）处：
2．内力分析 截面法任取横截面ABCD，其内力均为
FN F，M z Fe y，M y Fez
3．应力计算 横截面上任意一点，坐标为y、z时的应力分
别为：
（1）由轴力 FN引起 K 点的压应力为
N
FN A
（2）由弯矩M z引起 K 点的应力为
Mz
M Z .y Iz
（3）由弯矩 M y引起 K 点应力为
Mz
My
M Z .y IZ
M y.z Iy
代入总弯矩，可得
K
M (cos
IZ
y
s in
Iy
Z)
四、 强度条件
1．中性轴位置
因中性轴上各点正应力均为零，则由式(9-
2)可得
cos y sin 0
IZ
Iy
当时，，说明中性轴是通过截面形心的直
线。
tan y1 I z tan
z1 I y
F至
z
z
轴的偏心距为
e
y
,
（1）将压力F平移至Z轴，附加力偶矩为
M 1 Fe y
（2）再将压力从轴上平移至与杆件轴线重合
，附加力偶矩为 M=2 Fe z
（3）如图9-11（b）所示，力F经过两次平移 后，得到轴向压力和两个力偶矩 M1，M 2
所以双向偏心压缩实际上就是轴向压缩和两 个相互垂直的平面弯曲的组合。
解决组合变形的强度问题可用叠加法，其 分析步骤为：
将杆件的组合变形分解为基本变形；
计算杆件在每一种基本变形情况下所产生 的应力和变形；
将同一点的应力叠加，可得到杆件在组合 变形下任一点的应力和变形。
第二节 斜弯曲
斜弯曲的条件：外力与杆件的轴垂直且通过 变形后的梁轴线不在外力作用面内弯曲。
以图9-2所示的矩形截面悬臂梁为例来讨论斜 弯曲问题的特点和它的强度计算
为了使偏心压缩杆的截面上不出现拉应力， 对于图9-11b所示矩形截面ABCD，应满足:
max
F bh
Fe y 1 bh2
0
即:
6
ey
1h 6
可见，y方向的偏心荷载应该作用在y轴 上截面中间的1/3范围内。
同理，若荷载在z方向上偏心，则只有 作用在z轴上截面中间的1/3范围内，才能保 证截面上不出现拉应力。
面总弯矩为： M Fx
两个分力和引起的弯矩值为
M Z Fy x F cosx M cos
M y Fz x F sin x M sin
三、 应力计算 在该横截面上任意点处（相应坐标）,由和 引起的正应力为
Mz
MZ .y Iz
Myy
M y .z Iy
由叠加原理，任意点的正应力为：
K
b 90mm，h 140mm，材料的许用应 力 10MPa，试校核檀条强度。
解：由题中已知条件，cos 0.894 ， sin 0.447
檀条在均布荷载的作用下，弯矩图为抛物 线，最大弯矩发生在梁的跨中截面，弯矩 值为： M max ql 2 / 8 1.62kN.m 截面对和轴的抗弯截面系数为：