材料力学 组合变形的强度问题
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材料力学材料的强度和变形行为
材料力学材料的强度和变形行为材料力学是研究材料在外力作用下的强度和变形行为的学科。
在工程设计和材料选择过程中，了解材料的强度和变形行为对提高产品性能和安全性至关重要。
本文将探讨材料的强度和变形行为，并深入了解不同材料在外力作用下的特性。
一、材料的强度1. 强度的概念材料的强度是指材料能够抵抗外力的能力。
强度取决于材料的内部结构和晶格排列。
不同材料具有不同的强度特性，例如金属材料通常具有较高的强度，而陶瓷材料则表现出较低的强度。
2. 抗拉强度抗拉强度是指材料在受到拉伸力作用下能够承受的最大应力。
材料的抗拉强度可以通过拉伸试验来测定。
在拉伸试验中，材料样品会受到均匀的拉力，直至样品发生断裂。
通过测量断裂前的拉力和样品的初始截面积，可以计算出材料的抗拉强度。
3. 压缩强度压缩强度是指材料在受到压缩力作用下能够承受的最大应力。
与抗拉强度类似，材料的压缩强度也可以通过压缩试验来测定。
在压缩试验中，材料样品会受到均匀的压力，直至样品发生压碎。
通过测量压碎前的压力和样品的初始截面积，可以计算出材料的压缩强度。
4. 剪切强度剪切强度是指材料在受到剪切力作用下能够承受的最大应力。
剪切强度通常小于抗拉强度和压缩强度。
材料的剪切强度可以通过剪切试验来测定。
在剪切试验中，材料样品会受到剪切力，直至样品发生切断。
通过测量切断前的剪切力和样品的初始截面积，可以计算出材料的剪切强度。
二、材料的变形行为1. 弹性变形弹性变形是指材料在受到外力作用后能够恢复到原始形状和尺寸的能力。
弹性变形的特点是应变与应力成正比，材料在弹性变形时不会发生永久变形。
弹性模量是衡量材料弹性变形能力的重要参数，通常以杨氏模量或剪切模量表示。
2. 塑性变形塑性变形是指材料在受到外力作用后发生永久性变形的能力。
塑性变形的特点是应变与应力不再成正比，材料在塑性变形时会改变内部结构，形成新的晶粒和位错。
塑性变形可以通过延伸试验、压缩试验或弯曲试验来观察和测定。
组合变形的强度计算
F yF
③ 求mn截面上B( y, z)点的正应力?
A
my
B n
zF
z
y
x FN y
Mz
B
z
m
O My n
y
截面内力：
FN F Mz mz FyF M y my FzF
B点应力：
B
FN A
F A
B
My Iy
z
FzF Iy
z
B
Mz Iz
y
FyF Iz
y
B
F FzF A Iy
z FyF Iz
时，引起旳变形称为偏心拉伸(或压缩)。
F F
e
A 实质上： 拉伸（压缩）与弯曲 旳组合变形
B
Fz
F的作用点A( yF，zF )
x
yF
偏心拉伸（拉伸与弯曲旳组合)
A
zF
O
y
B
求任意截面上任意一点 的正应力?
m
n
进行强度计算?
求mn截面上B( y, z)点的正应力?
Fz
F的作用点A( yF，zF )
F y
l
4.强度计算
Mz Fy x Fx cos
①外力分解：Fy F cos， Fz F sin
②内力分析：（找危险截面）
M y Fz x Fx sin
固定端截面为危险截面：Mz Fyl Fl cos
M y Fzl Fl sin
z
z
Fz F sin
b
Fz z
y
x
h
z
A
z
F
y
yx
设中性轴与 y轴的夹角为，即
tan z0 I y sin I y tan
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
14-1组合变形-材料力学
Fz F sin
五、自由端的变形
z
A
y
y
FL3 cos
3EI z
z
B y
x
B z
FL3 sin
3EI y
B
z
y
查表7-1（3）
在 Fz B点的位移 z ：
例题14.1 图所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2， 两屋架之间的距离为4m，木檩条梁的间距为1.5m， 屋面重（包括檩条）为1.4kN/m2。若木檩条梁采
"
Iy
Iy
'
M z y M y z
Iz
Iy
cos sin
M ( y z)
Iz
Iy
四、斜弯曲时的强度条件
1、中性轴的位置
M (
Iz
yo
sin
Iy
zo )
0
tan yo Iz tan
zo
和扭矩图如图c、d
危险截面在杆的根部（固定端）
（3）应力分析
B
M W
T
T Wp
在杆的根部取一单元体分析
y 0, x B , xy T
计算主应力
1
3
B
2
( B
2
)2
2 T
2 0
（4）强度分析
选择第三、第四强度理论
r3
入偏心拉伸的强度条
4
32
件校核
32.4106 32.4MPa 35MPa
满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm
11组合变形的强度计算[63页]
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第
二 篇
式中M是集中力P在距自由端为x的横截面上引起的弯
矩，其值M=P·x。
材 料 力 学
12
11.2 斜 弯 曲
该截面上任一点K(y，z)，由Mz和My所引起的正 应力分别为
第
根据叠加原理，K点的正应力为
二
篇
材 料
式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和y的惯性矩。正
力
应力σ′和σ″的正负号，可通过平面弯曲的变形情况直
如果外力的作用平面虽然通过梁轴线，但是不与
梁的纵向对称面重合时，梁变形后的轴线就不再位于
第
外力所在的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
二
篇
材 料 力 学
9
11.2 斜 弯 曲
11.2.1 外力的分解
如图11.2(a)所示的矩形截面悬臂梁，集中力P作 用在梁的自由端，其作用线通过截面形心，并与竖向 形心主轴y的夹角为φ。
材
料
力 学
利用上式，可以进行强度校核、截面设计和确定
许用荷载。
17
11.2 斜 弯 曲
通常先假设一个 的比值，根据强度条件式 (11.4)计算出构件所需的Wz值，从而确定截面的尺寸 及计算出Wy值，再按式(11.4)进行强度校核。对于不 同的截面形状， 的比值可按下述范围选取：
矩形截面：
第
二 篇
工字形截面：
第 二 篇 材 料 力 学
10
11.2 斜 弯 曲
将力P沿截面两个形心主轴y、z方向分解为两个 分力，得
分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两个主平面
第
内发生平面弯曲。
二
篇
材 料 力 学
11
11.2 斜 弯 曲
材料力学 第11章 组合变形习题集
横截面m-m上任一点C(y，z)处由 弯矩Mz和My引起的正应力分别为
M z y M cos y M y z M sin z
Iz
Iz
Iy
Iy
38
C点的正应力
' ''
M
cos
Iz
y
sin
Iy
z
悬臂梁固定端截面A的弯矩Mz和My 均达到最大值，故该截
面是危险截面。设yo、zo为中性轴上任一点的坐标，并令σ
算 圆轴表面上与轴线成30°方位上的正应变。
32
解: (1)由内力图知，所有截面均为危险截面，危险点为靠近
轴表面的各点，应力状态如图。计算危险点的主应力。轴力
引起的正应力
FN 4F
A πd 2
扭矩引起的切应力
T M 8F
Wp Wp 5πd 2
危险点处的主应力为
1
2
(
)2
( )2
它在y、z两轴上的截距分别为
y* z* h / 2
该截面惯性半径的平方为
iy2
Iy A
h2 12
iz2
Iz A
b2 12
28
中性轴①对应的核心边界上点1的坐标为
ey1
iz2 y*
0
ez1
iy2 z*
h 6
按上述方法可求得与它们对应的截面核
心边界上的点2、3、4，其坐标依次为：
ey2
b 6
ez2 0
车臂的直径d。
18
解：两个缆车臂各承担缆车重量的一半，如 图。则缆车臂竖直段轴力为FN=W/2=3kN 弯矩为M=Wb/2=540N·m 危险截面发生在缆车臂竖直段左侧，由强度条件
工程力学(材料力学)6拉压杆件的强度与变形问题
机械制造中的拉压杆件
机械制造中的拉压杆件主要用于 实现运动传递、力的传递和变形 等，如连杆、活塞杆、传动轴等。
这些杆件需要在高速、高温、重 载等极端条件下工作，因此需要 具备优异的力学性能和耐久性。
在机械制造中，拉压杆件的设计 和制造需要精确控制尺寸、形状 和材料，以确保其工作性能和可
靠பைடு நூலகம்。
其他工程领域中的拉压杆件
总结词
新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等具有高强度、轻质等优点，在拉压杆件中得到广 泛应用。
详细描述
随着科技的不断发展，新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等逐渐应用于拉压杆件的制 作。这些新型材料具有高强度、轻质、耐腐蚀等优点，能够提高杆件的力学性能和使用
寿命。
高性能的拉压杆件设计
总结词
通过优化设计，可以显著提高拉压杆件的性能。
刚度分析
对杆件的刚度进行分析， 可以确定其变形程度和承 载能力，为结构设计提供 依据。
拉压杆件的稳定性问题
稳定性定义
01
稳定性是指杆件在受到载荷作用时，保持其平衡状态的能力。
稳定性分析
02
通过稳定性分析，可以确定杆件在受到载荷作用时是否会发生
失稳现象，以及失稳的临界载荷。
稳定性要求
03
在工程应用中，杆件的稳定性需要满足一定的要求，以保证结
强度失效准则
当拉压杆件内部的应力达到或超过材料的屈服极限时，杆件会发生屈服失效， 丧失承载能力。
拉压杆件的强度计算
静力分析
根据外力的大小和方向，以及杆件的几何尺寸和材料属性，计算杆件内部的应力 分布。
动力分析
考虑动载荷的影响，分析杆件在振动、冲击等动态过程中的应力变化。
拉压杆件的强度校核
材料力学 第九章组合变形杆件强度计算
cos sin y0 + z0 = 0 Iz Iy
—— 中性轴方程(过截面形心的直线) 中性轴方程(过截面形心的直线)
b 中性轴 α
cos sin y0 + z0 = 0 Iz Iy
z
d
设中性轴与水平对称轴 z 的夹角为 ,则: 的夹角为α,
y0 tan α = z0
I z sin I y cos
=9.57mm
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合 拉伸(压缩)
当杆受轴向力F和横向力 共同作用时 当杆受轴向力 和横向力q共同作用时,杆将产 和横向力 共同作用时, 生拉伸(压缩)和弯曲组合变形. 生拉伸(压缩)和弯曲组合变形. q F
A B
F
对于弯曲刚度EI较大的杆, 对于弯曲刚度 较大的杆,由横向力引起的弯 较大的杆 曲变形与截面尺寸相比很小,因此, 曲变形与截面尺寸相比很小,因此,由轴向力在弯 曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计. 曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计. 附加弯矩可以忽略不计 q F F A B w x FA q FS M=FAx-qx2/2-Fw F A M w FN x 附加弯矩 FA
第九章 组合变形杆件 的强度计算
作者:黄孟生
§ 9 -1 概 述
构件发生两种或两种以上基本变形的组合, 构件发生两种或两种以上基本变形的组合,若几种变 形所对应的应力(或变形)属于同一数量级. 形所对应的应力(或变形)属于同一数量级.则构 件的变形称为组合变形. 组合变形.
组合变形的实例: 组合变形的实例
F
y
=
Iz = tan Iy
斜弯曲时, 注:① 当 Iy≠Iz 时,则α≠ .斜弯曲时,中性轴与外力作用
线不垂直. 线不垂直. ② 当Iy = Iz 时,则α= 只发生平面弯曲,而不发生斜 .只发生平面弯曲, 弯曲. 弯曲.
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重申基本研究步骤
1、分解：简化荷载：用静力等效的载荷， 使每一组只引起一种基本变形。
2、分别计算：按基本变形求解每组载荷作 用下的应力、位移。
3、叠加：按叠加原理叠加求出组合变形的 解。
§8-2 非对称弯曲（斜弯曲） 教材12-1
平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或
外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时， 梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。
4）若截面为曲线周边时，
可作//于中性轴的切线，
切点为
s
处
max
z
中性轴
y
强度计算
1）危险截面：当x=0时，M Z M Y 同时取最大
故固定端截面为危险面
2）危险点：危险截面上D1 D2 点
强度计算式：
s max
M (csoins
Iz
y1,2
csoins
Iy
z1,2 )
s
对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面， 最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。可直接根据 梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压应力所在位置， 无需确定中性轴位置。
cos
z0 Iy
sin
故中性轴的方程为
cos sin
I z y0 I y z0 0
中性轴是一条通过截面形心的直线
tan y0 Iz tan
z0 I y
为中性轴与z轴夹角
z y
D1
z
D2
中性轴
y
注： 1）中性轴仍过截面形心； 2）中性轴把截面分为受拉、
受压两个区域；
离中性3）轴同最一远横处截点面D1上、D2。s发ma生x 在
斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内
同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面
和铅垂纵对称面内发生对称弯曲。（也称为两个相互垂直平 面内的弯曲）
当外力作用面不通过主惯 性平面时,则弯曲变形后,梁 的轴线不在外力作用面内。
z Fx
F
Fy
y
斜弯曲——荷载不作用在构件的纵向对称面内， 梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
的变形和内力彼此不受影响，可采用代数相加；
2.基本解法： ①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一 种基本变形
②分别计算各基本变形下的内力及应力
③将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面的危险点)
④对危险点进行应力分析(s1≥s2≥s3) ⑤用强度准则进行强度计算
将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每个基本变 形下的内力和应力，然后进行应力叠加。
Iz Iy
求解步骤 ①外力分解和简化。 ②内力分析——确定危险面。 ③应力分析：确定危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。
四、可行性
由力作用的独立性原理出发，在线弹性范围 内，可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所 引起的变形对其它载荷作用的影响忽略不计。
实验表明，在小变形情况下这个原理是足够精 确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况下 的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷对 弹性体系所引起的总应力和总变形。
例1图
解（一）外力分析 例1图
梁在P1作用下绕z轴 弯曲（平面弯曲），在 P2作用下绕y轴弯曲 （平面弯曲），故此梁
的弯形为两个平面弯曲 的组合——斜弯曲。受 力简图如图示。
受力简图
（二）内力分析
受力简图
分别绘出Mz(x) 和My(x)图如图示。 两个平面内的最大
弯矩都发生在固定 端A截面上，A截面 为危险截面。
矩形截面梁的斜弯曲 应力计算 中性轴的位置
1、简化外力：
z
C
y
Pz P sin Py P cos
x面上的弯矩： M (x) P(l x)
Pz
Py
如何求C点的正 应力？
x面上的弯矩： M (x) P(l x)
Pz P sin 以y为中性轴弯曲 Py P cos 以z为中性轴弯曲
M y Pz (l x) P csions(l x) M csions M z Py (l x) P scions (l x) M scions
Mz 1KN m
M
y
1KN
m
（三）应力分析和最大应力 绘出A截面的应力分布图，从应力分布图可看出a、b两
点为最大拉应力和最大压应力点，即为危险点。
s Mz
Wz
y
应力分布图
Mz y
（四）计算中性轴位置及最大正应力
AB段中性轴与z轴的夹角为：（坐标原点可设在C截面处）
tan
Iz Iy
My x Mz x
s max
M zmax Iz
ymax
M ymax Iy
zmax
M zmax M ymax
Wz
Wy
s max
M z max Wz
M y max Wy
[s ]
例1 矩形截面的悬臂梁受荷载如图示。试确定危险截面、危 险点所在位置；计算梁内最大正应力及AB段的中性轴位 置；若将截面改为直径 D=50mm 的圆形，试确定危险点 的位置，并计算最大正应力。
曾经请同学们复习2-6章关于基本变形的论述，并自行总结： 1、轴向拉（压） 2、扭转 3、弯曲 4、剪切 这四种基本变形的： 内力的名称及符号、内力及内力图； 应力的计算公式和分布规律； 最大应力的公式和强度条件； 变形和应变的公式和刚度条件。
第8章
组合变形
§8-1 组合变、按基本变形求各自应力：
s M z y My cos
Iz
Iz
s
Myz
M
z
sin
Iy
Iy
z
y
Py M z
z
y
Pz M y
C点总应力：
sc
s s
M
y Iz
c os
z Iy
sin
确定中性轴的位置
设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则由
中性轴上 s 0即
0
M
y0 Iz
杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形的组合。 2.分类------①两个平面弯曲的组合(斜弯曲)
②拉伸(或压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压 ③扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩)及弯曲的组合
3.一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主， 其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。
二、组合变形工程实例
烟囱，
传动轴
吊车梁的立柱
烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
组合变形工程实例----以下是什么组合？
三、基本解法(叠加法)
1.叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起