第八章组合变形构件的强度
材料力学-组合变形杆件的强度计算
当压力作用在截面形心附近的一个区域内时，可保证
中性轴不穿过横截面。
截面核心
横截面上不 偏心压缩杆件
出现拉应力
压力必须作用 在截面核心上
截面核心的边界如何确定 ？
当压力作用在截面核心的边界上时，与此 相对应的中性轴正好与横截面相切。
ay ＝－
iz2 yF
az ＝－
iy2 zF
截面核心 是凸区域
yF
向，设钢的 [s ] = 160 MPa。试按第三强度理论校核
轴的强度。
5 kN 1.5 kN·m
12 kN
12.5 kN
2.1 kN
7 kN 9.1 kN
1.5 kN·m
4.5 kN
与P206 例 9-8 略有不同
内力图
作业：
9－17(a)、23
在 xz 平面内
产生平面弯曲
Mz ＝ F ·yF 纯弯曲
在 xy 平面内
产生平面弯曲
压-弯-弯 组合变形
F My
Mz
FN ＝ F
My ＝ F ·zF Mz ＝ F ·yF
FN My
Mz
轴力FN 引起的：
s ＝－ F
A
弯矩 Mz 引起的：
s ＝－ Mz y
Iz
弯矩 My 引起的：
s ＝－ My z
l
y
s F、q 共同引起的： ＝ s ＋ s ＝ FN － M ( x ) y
smax ＝
FN A
＋
Mmax Wz
A
Iz
smin ＝
FN － Mmax A Wz
smin ＝
FN － Mmax A Wz
smax ＞s
smax ＝s
第八章 组合变形 构件的强度计算1
P
D1
=159.4MPa<[ ]
图示矩形截面梁，截面宽度b＝90mm，高度h＝180mm。 梁在两个互相垂直的平面内分别受有水平力F1和铅垂 力F2 。若已知F1＝800N， F2＝1650N， L ＝1m，试 求梁内的最大弯曲正应力并指出其作用点的位置。 M y = F1 L F2 M z = F2 L
或单向压缩)，故：
FN M z ,max s max = + A Wz
强度条件
max≤ [ ]
例1
• 最大吊重P=8kN的起重机， AB杆的工字钢，材料为A3 钢，[]=100MPa，选择工 字钢型号。
“M”
“N”
Mmax=12kN· m
N=40kN
先按弯曲正应力选择工字钢型号； 再按组合变形的最大正应力校核强度，必要 时选择大一号或大二号的工字钢； 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
-3
2
求内力(作用于截面形心) 取研究对象如图
N=P kN, -2 My =42.5´ 10 P kNm
危险截面 各截面相同 应力分布
危险截面 各截面相同 应力分布
N引起的应力
My引起的应力
N P = MPa σ¢ = A 15
σⅱ t max =
M y zo Iy M y z1 Iy
z
x
F1
L L
σ max =
My Wy
+
Mz Wz
组合变形构件的强度
第八章 组合变形构件的强度8．1概 述到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。
而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。
例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC 的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。
又如图8—2a 所示的齿轮轴，若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。
载荷P 使轴产生弯曲变形；矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。
这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。
在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。
由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。
因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。
其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。
当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。
本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。
8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。
图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。
在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
第八章 组合变形时的强度计算 ppt课件
ppt课件
8
四. 横截面上中性轴方程
为确定横截面上最大正应力点的位置，应先求截面上的
中性轴位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令y0、z0
代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴的方程为：
My Iy
z0
- Mz Iz
y0 0
s My z - Mz y
Iy
Iz
由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。它
（2） 对于圆形、正方形等 Iy=Iz 的截面，有 = ，中性轴 和合成弯矩M垂直，梁发生平面弯曲，正应力可用合成弯矩 M 按正应力计算公式计算。(这样的截面不可能发生斜弯曲)
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10
五、强度分析
在确定中性轴的位置后，作平行于中性 轴的两直线，分别与横截面周边相切于D1、 D2两点，该两点即分别为横截面上拉应力和 压应力为最大的点。是危险点。
Iz
弯距My 引起的正应力 s M y 的分布图
s '' My z
Iy
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（4）危险点应力
saM W zz M W yy7.0 2MaP
sc
Mz
Wz
My Wy
70.2MaP
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（5）分析与讨论
若将截面改为直径 D
=
50
mm的圆形，则截面的惯性矩I
z
Iy
因为危险截面上 MZ =M y= 1kN.m ，则 中性轴位置 = 45 o，梁将发生平面弯曲。
第八章 组合变形时的强度计算
§8-1 概述
一、组合变形的概念
1.组合变形：构件发生两种或两种以上基本变形的变形形式。
P q
hg
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组合变形的强度计算
组合变形的强度计算 组合变形的概念拉伸与弯曲的组合一.组合变形的概念1.组合变形:在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形PRzxyPP2、组合变形的研究方法——叠加原理叠加原理应用的基本步骤：①外力分析：将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形.②内力分析：分析每种载荷的内力，确定危险截面.③应力分析：分别计算构件在每种基本变形情况下的危险将各基本变形情况下的应力叠加，确定最④强度计算:二.弯曲与拉伸(的组合杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯曲与拉伸（压缩）的组合偏心拉伸:弯曲与拉伸的组合变形链环受力立柱受力拉伸与弯曲组合的应力分析ϕϕsin p p cos p p y x ==A P x ='σy I M x l P M zy =''-=σ)(作用下：z T W M A N max max +=σzC W M A N max max -=σ危险截面处的弯矩抗弯截面模量y I M A N z +=''+'=σσσ根据叠加原理，可得x 横截面上的总应力为[]T z max max T W M A N σσ≤+=[]c zmax max C W M A N σσ≤-=强度条件为例:悬臂吊车,横梁由25 a 号工字钢制成，l =4m ，电葫芦重Q 1=4kN ，起重量Q2=20kN , α=30º, [σ]=100MPa，试校核强度。
取横梁AB为研究对象，受力如图b所示。
梁上载荷为P =Q1+Q2= 24kN，斜杆的拉力S 可分解为X B和Y B（1）外力计算横梁在横向力P和Y A、Y B作用下产生弯曲；同时在X A和X B作用下产生轴向压缩。
第八章 组合变形构件的强度
弯曲与拉伸（或压缩）组合变形构件的应力和强度计算 弯曲与拉伸（或压缩）
P = Pcosϕ x P = Psin ϕ y
（1）轴向 分力P 为轴向外力，在此力有单独作用下， 分力Px为轴向外力，在此力有单独作用下，杆将产生 轴向拉伸，杆横截面上各点将产生数值相等的拉应力， 轴向拉伸，杆横截面上各点将产生数值相等的拉应力， 其值为： 其值为：
例8-1 悬臂吊车如图示。横梁用25a号工字钢制成，梁长l=4m, 悬臂吊车如图示。横梁用25a号工字钢制成 梁长l=4m, 号工字钢制成， 斜杆与横梁的夹角α=30 电葫芦重Q =4kN， 斜杆与横梁的夹角α=30o，电葫芦重Q1=4kN，起重量 Q2=20kN，材料的许用应力[σ]=100MPa，试校核横梁的强度。 =20kN，材料的许用应力[ ]=100MPa，试校核横梁的强度。
解：（1）外力分析 ：（1 （2）作内力图
1 M = Q = 0.2Q l 4 1 T = Q = 0.18Q D 2
（3）求最大安全载荷 由于轴的危险点牌复杂应力状态， 由于轴的危险点牌复杂应力状态，故应按强度理论进行 强度计算。采用第三强度理论： 强度计算。采用第三强度理论：
M2 +T2 σeq3 = ≤[σ] W 即 :
解：（1）计算内力 ：（1 由于钢板在截面1 处有一半圆槽，因而外力P 由于钢板在截面1-1处有一半圆槽，因而外力P对此截面为偏 心拉伸，其偏心距之值为： 心拉伸，其偏心距之值为：
b b−r e= − = 0.5cm 2 2 截面1 处的轴力和弯矩分别为： 截面1-1处的轴力和弯矩分别为：
N = P =80kN =80000N M = Pe =80000×0.005= 400N.m
15000 6000 σt max = + 3 =32.5M <[σ] Pa 2 πd πd 4 32
组合变形构件的强度计算
eP
Mz
P
z
y
h
b
竖杆的危险点在横截面的 内侧边缘处 ;
4、计算危险点处的正应力
tmax
FN A
Mz Wz
158MPa
tmax [ ]
立柱满足强度条件。
组合变形构件的强度计算
_+
z ++
_+
++
组合变形构件的强度计算
例2 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示， 材料的许用拉应力[]t＝30MPa，许用压应力[]c＝
吊斗上方的吊杆AE的各段均是38毫米×38毫米的正
方形截面，A、E两处铰接，且ED＝BC＝380毫米，
DC＝1200毫米，BA＝1650毫米。求吊杆AB、BC、
CD各段的最大拉应力。
E
D
B
C
A
组合变形构件的强度计算
7、矩形截面简支梁长度为L＝2米，受均布载荷 q=30KN/m与拉力P＝500KN的联合作用。求梁内 最大正应力和跨度中央截面处中性轴的位置。
22
min
x
y
2
1 2
x
y
2
4
2 xy
1 2 4 2 0
22
1
2
1 2
2 4 2
2 0
3
2
1 2
2 4 2
强度校核
r3 1 3
2 4 2 105MPa [ ], 安全。
组合变形构件的强度计算
组合变形构件的强度计算
1、在矩形截面杆的中间截面挖去t/2=5mm的槽。 P＝10KN， 杆件的许用应力[σ]＝160MPａ。 校核杆件的强度。
P2 e bh2 6
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第八章 组合变形构件的强度8．1概 述到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。
而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。
例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC 的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。
又如图8—2a 所示的齿轮轴，若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。
载荷P 使轴产生弯曲变形；矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。
这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。
在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。
由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。
因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。
其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。
当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。
本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。
8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。
图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。
在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。
载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。
例如图8—3a 中的开口链环和图8—4a 中的厂房柱子，如果将其上的载荷P 向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视为两部分：一个轴向力P 和一个矩为Pe M =0 的力偶(图8—3b 、8—4b)。
轴向力P 将使杆件产生轴向拉伸(或压缩)；力偶将使杆件产生弯曲。
由此可见，偏心拉伸(或压缩)实际上就是弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。
现在讨论弯曲与拉伸(或压缩)组合变形构件的应力和强度计算。
设一矩形截面杆，一端固定，一端自由(图8—5a)，作用于自由端的集中力P 位于杆的纵对称面Oxy 内，并与杆的轴线x 成一夹角ϕ。
将外力P 沿x 轴和y 轴方向分解，得到两个分力(图8—5b)：ϕcos P P x = ϕsin P P y =其中，分力x P 为轴向外力，在此力的单独作用下，杆将产生轴向拉伸，此时，任一横截面上的轴力x P N =。
因此，杆横截面上各点将产生数值相等的拉应力，其值为AN ='σ 正应力'σ在横截面上均匀分布，如图8—5c 所示。
分力y P 为垂直于杆轴线的横向外力，在此力的单独作用下，杆将在Oxy 平面内发生平面弯曲，任一横截面的弯矩为)(x l P M y -= 此时在横截面上任一点K 的弯曲应力为ZI My=''σ ''σ沿截面高度方向的变化规律，如图8—5d 所示。
由此可见，这是一个弯曲与拉伸组合变形的杆件。
设在外力作用下杆件的变形很小，这时可应用叠加原理，将拉伸正应力'σ与弯曲正应力''σ按代数值叠加后，得到横截面上的总应力为IMyA N +=+='''σσσ ( 8—1 ) 设横截面上、下边缘处的最大弯曲应力大于(或小于)拉伸正应力，则总应力σ沿截面高度方向的变化规律如图8—5e(或8—5f)所示。
由于在固定端处横截面上的弯矩最大，因此，该截面为危险截面。
从图8—5e 可知，构件的危险点位于危险截面的上边缘或下边缘处。
在下边缘处由于'σ和''σ均为拉应力，故总应力为两者之和，由此得最大拉应力为Zt W M A N maxmax +=σ ( 8—2 ) 在上边缘，由于'σ为拉应力，而''σ为压应力，．故总应力为两者之差，由此得最大压应力为Zc W M A N max max -=σ ( 8—3 ) 上两式中的m ax M 为危险截面处的弯矩；。
Z W 为抗弯截面系数。
得到了危险点处的总应力后，即可根据材料的许用应力建立强度条件： []t Z t W M A N σσ≤+=maxmax （ 8—4 ） []c Zc W M A N σσ≤-=maxmax （ 8—5 ） 式中[]t σ和[]c σ分别为材料拉伸和压缩时的许用应力。
一般情况下，对于抗拉与抗压能力不相等的材料，如铸铁和混凝土等，需用以上两式分别校核构件的强度；对于抗拉与抗压能力相等的材料，如低碳钢，则只需校核构件应力绝对值最大处的强度即可。
对于偏心拉伸的杆件，上述公式仍然成立，只须将式中的最大弯矩m ax M 改为因载荷偏心而产生的弯矩Pe M =即可。
若外力P 的轴向分力x P 为压力或偏心压缩时，上述公式中的第一项AN则应取负号。
还应指出，在上面的分析中，对于受横向力作用的杆件，横截面上除有正应力外，还有因剪力而产生的切应力，必要时还需考虑切应力的强度。
例8—1 悬臂吊车如图8—6a 所示，横梁用25a 号工字钢制成，梁长l =4m ，斜杆与横梁的夹角 30=α，电葫芦重1Q ＝4kN ，起重量2Q ＝20kN ，材料的许用应力[]σ＝100MPa 。
试校核横梁的强度。
解：(1)外力计算 取横梁AB 为研究对象，其受力图如图8—6b 所示。
梁上载荷为KN Q Q P 2421=+=，右端斜杆的拉力S 可分解为B X 、B Y 两个分力。
横梁在横向力P 和A Y 、BY 作用下产生弯曲；同时在A X 和B X 作用下产生轴向压缩。
这是一个弯曲与压缩组合的构件。
当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。
此时，由平衡条件∑=0A M ， 02=•-lP l Y B 得KN PY B 122==而KN Y X B B 8.20577.01230tan ===又由平衡条件∑=0Y 和∑=0X ，得：KN Y A 12=KN X A 8.20=(2)内力和应力计算 根据横梁的受力情形，和上面求得的数值，可以绘出横梁的弯矩图如图8—6c 所示。
在梁中点截面上的弯矩最大，其值为m N Pl M •=⨯==2400044240004max 从型钢表上查得25a 号工字钢的截面面积和抗弯截面系数分别为： 242105.485.48m cm A -⨯== 36210402402m cm W Z -⨯==所以最大弯曲应力为MPa Pa W M Z B 60107.59104022400066max max ≈⨯≈⨯==-σ 其分布如图8—6e 所示，梁危险截面的上边缘处受最大压应力、下边缘处受最大拉应力作用。
横梁所受的轴向压力为 B X N =则危险截面上的压应力为MPa Pa A X A N B c 29.41029.400485.0208006-=⨯-=-=-=-=σ 并均匀分布于横截面上，如图8—6d 所示。
故梁中点横截面上、下边缘处的总正应力分别为(图8—6f)：MPa W M A N Z c 3.646029.4maxmax -≈--=--=σMPa W M A N Zt 7.556029.4max max ≈+-=+-=σ (3)强度校核 曲于工字钢的抗拉与抗压能力相同，故只校核正应力绝 对值最大处的强度即可，即[]σσ<=MPa c 64max由计算可知，此悬臂吊车的横梁是安全的、例-8-2 图8—7a 所示的钻床，钻孔时受到压力P=15kN 。
已知偏心矩e ＝40cm ，铸铁立柱，的许用拉应力[]t σ=35MPa ，许用压应力[]c σ=120MPa ，试计算铸铁立柱所需的直径。
解：(1)计算内力立柱在力P 作用下产生偏心拉伸-，将立柱假想地截开，取上段为研究对象(图8-7b)，由平衡条件，不难求得立柱的轴力和弯矩分别为： N P N 15000==m N Pe M •=⨯==60004.015000(2)选择立柱直径 由于铸铁的许用拉应力[]t σ小手许用压应力[]c σ，因此，应根据最大拉应力m ax t σ来进行强度计算。
由公式(8—4)，[]t Zt W Pe A N σσ≤+=max 得6321035326000415000⨯≤+d d ππ 解此方程就能得到立柱的直径d 。
但因这是一个三次方程，求解较繁。
因此，在设计计算中常采用一种简便的方法。
一般在偏心距较大的情况下，偏心拉伸(或压缩)杆件的弯曲正应力是主要的，所以可先按弯曲强度条件求出立柱的一个近似直径，然后将此直径的数值稍微增大，再代入偏心拉伸的强度 条件(式8—4)中进行校核，如数值相差较大，再作调整，如此逐步逼近，最后可求得满足此方程的直径。
在此题中，先考虑弯曲强度条件[]σ≤ZW M即63103532326000⨯≤d π 由此解得立柱的近似直径m d 12.0=将其稍加增大，现取m d 12.0=，再代入偏心拉伸的强度条件校核，得[]MPa MPa t 355.32105.3232125.014.360004125.014.315000622max =<=⨯=⨯+⨯=σσ 满足强度条件，最后选用立柱直径m d 125.0=。
例8—3 一带槽钢板受力如图8—8a 所示，已知钢板宽度b ＝8cm ，厚度δ＝1cm ，边缘上半圆形槽 的半径r ＝lcm ，已知拉力P ＝80kN ，钢板许用应力[]σ＝140MPa 。
试对此钢板进行强度校核。
解：由于钢板在截面I--I 处有一半圆槽，因而外力P 对此截面为偏心拉伸，其偏心距之值为cm r r b b e 5.021222===--=截面I--I 处的轴力和弯矩分别为： N KN P N 8000080===m N Pe M •=⨯==400005.080000轴力N 和弯矩M 在半圆槽底部的。
点处都引起拉应力(图8—8b)，此处即为危险点。
由式(8—4)得最大拉应力为[]σδδσ>=⨯=-⨯⨯+-⨯=-+-=MPa Pa r b Pe r b P t 3.163103.163)01.008.0(01.04006)01.008.0(01.0800006)()(622max计算结果表明，钢板在截面I--I 处的强度不够。