工程力学——组合变形的强度计算
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12组合变形的强度计算.
例 一桥墩如图示。承受的荷载为：上部结构传递给桥墩的压力F0＝ 1920kN，桥墩墩帽及墩身的自重F1＝330kN，基础自重F2＝1450kN， 车辆经梁部传下的水平制动力FT＝300kN。试绘出基础底部AB面上的 正应力分布图。已知基础底面积为b×h＝8m×3.6m的矩形。
3700kN 1740kNm
例
FB
FAx
FBy
FAy
FBx
F
49.7kN
30kNm
B左截面压应力最大
max
FN M z A Wz
3
Mz Wz
Wz 187.5cm3
查表并考虑轴力的影响：
20a Wz 237cm
A 35.5cm
2
max
49.7 103 30 106 140.6MPa 2 3 35.5 10 237 10
bh 2 a b 1.786mm 12 F
12.1 弯扭组合变形的强度计算
一、弯扭组合变形的应力分析F
MBy B Iz M max max Wz
a
L
F Fa
T IP T max WP
2
B
x x 2 13 x 2 2
B
FL
1 3
2 4 2
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
Fa
2 3 2
二、弯扭组合变形的强度计算
图示圆轴.已知,F=8kN,M=3kNm,［σ］=100MPa,试用第 三强度理论求轴的最小直径. T 3kNm M max FL 4kNm F
工程力学弯扭组合
试按第四强度理论校核轴的强度。
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
上海应用技术学院
Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 1 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
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例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支 承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许 用应力[s ]=100 MPa。 试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
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㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析 由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点： 取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 MesMa来自lBsM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
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Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 1 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
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例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支 承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许 用应力[s ]=100 MPa。 试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
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㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析 由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点： 取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 MesMa来自lBsM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b
工程力学之组 合 变 形
工程力学第10章组合变形学习目标(1)了解组合变形的概念及其强度问题的分析方法；(2)掌握斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲和偏心压缩的应力及强度计算。
10.1 组合变形的概念例如，烟囱的变形，除自重W引起的轴向压缩外，还有水平风力引起的弯曲变形，同时产生两种基本变形，如图10-1(a)所示。
又如图10-1(b)所示，设有吊车的厂房柱子，作用在柱子牛腿上的荷载F，它们合力的作用线偏离柱子轴线，平移到轴线后同时附加力偶。
此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形。
再如图10-1(c)所示的曲拐轴，在力F作用下，AB 段同时产生弯曲变形和扭转变形。
10.1 组合变形的概念图10-110.1 组合变形的概念上述这些构件的变形，都是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。
研究组合变形问题依据的是叠加原理，进行强度计算的步骤如下：(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量。
(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力。
(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力。
(4)判断危险点的位置，建立强度条件。
10.2例如图10-2(a)所示的横截面为矩形的悬臂梁，外力F作用在梁的对称平面内，此类弯曲称为平面弯曲。
斜弯曲与平面弯曲不同，如图10-2(b)所示同样的矩形截面梁，外力F的作用线通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。
斜弯曲是两个平面弯曲的组合，本节将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
10.2图10-210.210.2.1 正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，但因切应力值很小，一般不予考虑。
下面结合图10-3（a）所示的矩形截面梁说明斜弯曲时正应力的计算方法。
图10-310.2.1 正应力计算10.2.1.1 外力的分解由图10-3(a)可知：10.2.1.2 内力的计算如图10-3(b)所示，距右端为a 的横截面上由F y 、F z 引起的弯曲矩分别是：10.2 10.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算由M z 和M y (即F y 和F z )在该截面引起K 点的正应力分别为：F y 和F z 共同作用下K 点的正应力为：10.210-110.210.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算通过以上分析过程，我们可以将组合变形问题计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：10.210.2.2 正应力强度条件同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为：10-2即危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力［σ］。
12-2 工程力学-组合变形的强度计算
故，安全。
3 2 4 2
6.37 2 435.7 2 71.7 MPa
[例7] 方形截面杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由 轴向载荷 P 引起的 mn 截面上的最大拉应力。
解：
N M m ax A W
a2 a a a2 P P/ P / 8 2 2 4 4 6 a
§12–3
拉(压)弯组合 偏心拉（压）
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
生的变形。
P P R
x z
P
x y z Mz
P
My
y My
二、应力分析： x z Mz P
P
MZ
My
y My
P xP A
Mzy xM z Iz
xM
y
Myz Iy
P Mz y Myz x A Iz Iy
max
F1 M max A Wz F1 F e A Wz
m
m
4）强度计算 因危险点的应力是单向应力 状态，所以其强度条件为：
F1 F e max 135MPa [ ] A Wz
例11-11 如图所示为一起重支架。已知a =3.0m， b=1.0m，F=36.0kN，AB梁材料的许用应力[ ]=140 MPa。试确定AB梁槽钢的型号。
拉压与弯曲组合变形的分析步骤
(1)、外力分析：
y
x
y P1
y
y P
x
=
P1
x
+
x P2
P2
P
P1 P cos
P2 P sin
(2)、内力分析：
第八章组合变形时的强度计算
Iy
IY
由 mz 产生的正应力
s"' MZ .y Fyp y
IZ
IZ
假设C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知, s ',s '',s ''' 均为拉应
力，由叠加原理，即得 C点处的正应力为：
σ σ' σ'' σ'''
任意横截面 n-n上的 C点的正应力为
c
σ F F zP z F yP y
与y轴的夹角θ为：
tgθ z0 Mz Iy Iy tgφ y0 My Iz Iz
公式中角度 是横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角 . 横截面上合成弯矩 M 为：
M
M
2 y
M
2 z
tgθ Iy tgφ Iz
讨论：
（1） 一般情况下，截面的 IzIy ,故中性轴与合成弯矩 M 所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。导致挠曲线与外 力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变பைடு நூலகம்特征。
s s ' s '' My z - Mz y
Iy
Iz
式中，Iy和Iz分别为横截面对于两对称轴y和z的惯性矩； M y和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且 其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向相一致。在具体计算中，
也可以先不考虑弯矩M y、Mz和坐标y、z的正负号，以它们的 绝对值代入，然后根据梁在P1和P2分别作用下的变形情况， 来判断上式右边两项的正负号。
FN A
Mz Wz
158 MPa
s
所以强度是安全
【例8-4】矩形截面柱如图所示。P1的作用线与杆轴线重合， P2作用在 y 轴上。已知， P1= P2=80kN，b=24cm , h=30cm。 如要使柱的m—m截面只出现压应力，求P2的偏心距e。
工程力学-弯曲与扭转的组合变形
洛 阳 职 业 技 术 学 院
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第五单元 组合变形的强度计算
模块二 弯曲与扭转的组合变形
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一、弯曲与扭转的组合变 形简介
构件在工作时机受弯曲的作用也受扭转的作用，这 样的情况我们称为弯曲和扭转组合变形，简称弯扭组合 变形。
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z F2
M M
F F1 F2
F1
2）内力分析
在xy平面上弯曲变形的内力---弯矩
FL 9 103 800 M zc 1.8 106 Nm m 4 4
y 400 400 x MZ
FAy
1.8kN· m
FBy
x
扭转变形的内力---扭矩
T M 0.6KNm 0.6 106 Nmm
D 2
T M
T M
XY平面上弯曲的外力及内力
M EZ
Fr L Fr 2a Fa 4 4 2
ZY平面上弯曲的外力及内力
B Z MY MEY
E
C
X
Ft
X
M EY Ft L Ft 2a Ft a 4 4 2
求E点合弯矩M
ME M
2 EZ
M
2 EY
Fr a 2 Ft a 2 ( ) ( ) 2 2
3）强度校核
求出圆轴的WZ
WZ
d3
32
Hale Waihona Puke 21205 .8m m3
由第三强度理论
M2 T2 （ 1.8 2 0.6 2 ） 10 6 89.5 MPa [ ] 120 MPa W 21205 .8
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第五单元 组合变形的强度计算
模块二 弯曲与扭转的组合变形
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一、弯曲与扭转的组合变 形简介
构件在工作时机受弯曲的作用也受扭转的作用，这 样的情况我们称为弯曲和扭转组合变形，简称弯扭组合 变形。
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z F2
M M
F F1 F2
F1
2）内力分析
在xy平面上弯曲变形的内力---弯矩
FL 9 103 800 M zc 1.8 106 Nm m 4 4
y 400 400 x MZ
FAy
1.8kN· m
FBy
x
扭转变形的内力---扭矩
T M 0.6KNm 0.6 106 Nmm
D 2
T M
T M
XY平面上弯曲的外力及内力
M EZ
Fr L Fr 2a Fa 4 4 2
ZY平面上弯曲的外力及内力
B Z MY MEY
E
C
X
Ft
X
M EY Ft L Ft 2a Ft a 4 4 2
求E点合弯矩M
ME M
2 EZ
M
2 EY
Fr a 2 Ft a 2 ( ) ( ) 2 2
3）强度校核
求出圆轴的WZ
WZ
d3
32
Hale Waihona Puke 21205 .8m m3
由第三强度理论
M2 T2 （ 1.8 2 0.6 2 ） 10 6 89.5 MPa [ ] 120 MPa W 21205 .8
弯曲与扭转组合变形的强度计算_工程力学_[共6页]
![弯曲与扭转组合变形的强度计算_工程力学_[共6页]](https://img.taocdn.com/s3/m/6ab7e43c6294dd88d1d26b3e.png)
σ1
σ+ 2
σ 2
2
+τ
2
，，
σ2
=
0
σ3
=
σ 2
−
σ 2
2
+τ2
对于塑性材料，通常选第三或第四强度理论，强度条件分别为
σ r3 = σ 2 + 4τ 2 ≤≤[σ≤] , σ r4 σ 2 + 3τ 2 [σ ]
（10.6）
将式（a）代入式（10.6）并注意到 Wp=2Wz，得到圆杆弯扭组合变形以内力表示的强度条件
= σ eq3
M 2 + = MT2 Wz
7.62 + 62 × 106 =
50.5 MPa <= [σ ]
80 MPa
π × 1253
32
计算结果表明轴 OA 的强度是足够的。
162
− 1125 × 103 1003 / 6
=6.99 MPa < [σ ]
故梁是安全的。
10.2 弯曲与扭转组合变形的强度计算
弯曲与扭转组合变形在机械工程中是很常见的，例如皮带轮传动轴、齿轮轴、曲柄轴等轴
类构件，在传递扭矩的同时往往还发生弯曲变形。
如图 10-5（a）所示水平直角曲拐，AB 段为圆杆，受集中力 F 作用。将 F 向 AB 杆的 B 端
σr3
= 1 M 2 + M Wz
2 n
≤≤[σ
]
,
σr4
= 1 M 2 + 0.75 Wz
M
2 n
[σ ]
（10.7）
工程中除了弯扭组合的杆件外，还有拉（压）与扭转的组合，或者拉压、弯曲与扭转的组 合变形，运用相同的分析方法，仍可用式（10.6）进行强度计算。
组合变形时的强度计算
§84弯曲与扭转组合变形
一、单向弯曲与扭转组合变形
1.引例：以钢制摇臂轴为例。
①外力向形心简化(建立计算模型)：
②作弯矩、扭矩图(找危险截面)：
由弯矩图知：A截面|M|→max；全梁Mn处处相同，
∴A截面为危险截面：
|TMn AP|aPL
③危险截面的危险点：A截面K1、K2点，t、s数值均为最大，
⑤用强度准则进行强度计算
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或
外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时， 梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。
斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内
同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面
∴K1、K2点均为危险点：
K1点：
sstmax|M W A z|
tMn W n
K2点：sscmax|M W A z|
tMn W n
y
A d
z
L
Tn
_
PL
M
_
P C
B a x
P Pa
K1
st Pa
K1 A
t s
s K2 t
K2
ss t
s
Байду номын сангаас
④对危险点进行应力分析：(从K1、K2点取单元体，因它们的 s、t数值分别相同，危险程度也相同，不妨取K1点研究)：
一、单向弯曲与扭转组合变形
④对危险点进行应力分析(s1≥s2≥s3)
在梁的任意横截面m—m上，由P1和P2引起的弯矩值依次为：
在梁的任意横截面m—m上，由P 和P 引起的弯矩值依次为： 试校核此夹具竖杆的强度。
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=
M max Wz
将拉伸正应力和弯曲正应力进行叠加，可得横截面
上的正应力如图 11.2(g)所示分布，横截面上的正应力总
和为
=N +M =
FN A
+
M max Wz
(11-1)
第11章 组合变形的强度计算
由正应力分布图可知危险截面位于固定端截面的上、
下边缘处，从固定端截面上、下缘取 α、b 两点，两点 都为单向应力状态。由式(11-1)可得拉(压)弯组合变形时 的强度条件：
第11章 组合变形的强度计算
第11章 组合变形的强度计算
11.1 组合变形的概念 11.2 弯曲与拉伸(压缩)组合变形的强
度计算 11.3 应力状态的概念和强度理论简介 11.4 弯曲与扭转组合变形的强度计算
第11章 组合变形的强度计算
11.1 组合变形的概念
我们在前面各章节已学习了拉伸(压缩)、弯曲、剪切、 扭转等基本变形，并学习了各种基本变形状态下的内力、 应力以及强度、刚度条件的分析计算。实际上，工程中很 多构件不只产生一种变形，往往同时存在着两种或两种以 上基本变形，称为组合变形。例如图11.1(a)所示的牛腿柱 就同时产生压缩和弯曲两种基本变形，称为压弯组合变形； 如图11.1(b)所示的传动轴，在齿轮上啮合力FN和输入力偶 M的作用下，同时产生弯曲和扭转两种基本变形，称为弯扭 组合变形；如图11.1(c)所示吊钩在力F的作用下，将同时产 生拉伸和弯曲两种基本变形，称为拉弯组合变形。
FN，由平衡条件 MA = 0，得
FN× 0.8 ×2.5-8(2.5+1.5)=0 2.62
解得
FN = 42kN
把力 FN 分解为沿杆 AB 轴线的分力 Fx 和垂直杆 AB 轴
Байду номын сангаас
线的分力 Fy，分力 Fx 对杆 AC 段产生压缩作用，分力 Fy 使
得杆 AC 段产生弯曲变形，所以杆 AC 为压弯组合变形。
Fx= Fcosα Fy= Fsinα 轴向力Fx使梁产生轴向拉伸变形，横向力Fy使梁产生 平面弯曲，所以该梁产生拉弯组合变形。 画其轴力图和弯矩图如图11.2(c)、(d)所示。
第11章 组合变形的强度计算
(c) (d)
图11.2
第11章 组合变形的强度计算
图11.2
第11章 组合变形的强度计算
l
=
FN A
弯矩
M=Fe
在截面上产生呈线性分布的弯曲正应力
wb
=
M
(h I
yC
)
wa
=
M yC I
第11章 组合变形的强度计算
作轴力图和弯矩图如图 11.4(c)、(d)所示。轴力 FN 使立 柱产生拉伸变形；弯矩 M 使立柱产生弯曲变形，所以立柱 产生拉弯组合变形。m-n 截面的正应力叠加后如图 11.4(e)所 示。因机架材料为 铸铁，许 用拉应 力和许用 压应力不 同， 截面左右两 侧边缘处 各点的 强度都需 校核。
max =
FN A
+
M max Wz
≤
[
]
(11-2)
| | | min |=
FN － Mmax
A
Wz
≤ [ ]
(11-3)
对于塑性材料而言，拉、压许用应力相同，当 FN 是
拉力时，按式(11-2)进行强度校和；当 FN 是压力时，按
式(11-3)进行强度校和。对于拉、压许用应力不同或者对
于中性轴不对称的截面，要根据危险截面上、下缘处的
Fx=FN× 2.5 =40kN 2.62
Fy=FN× 0.8 =12.8kN 2.62
第11章 组合变形的强度计算
作横梁 AB 的轴力图和弯矩图如图 11.3(c)所示。从图上 可以看出截面 C 为危险截面。
(2) 先根据弯曲强度条件选取工字钢 W≥ Mmax = 12 103 =12×10－5m3=120cm3
100 106
查型钢表，选取 16 号工字梁，查得：W=141cm3，A=26.1cm2。
(3) 再考虑轴力 FN 和弯矩 M 的共同作用，进行强度校核，
在截面 C 的下缘各点产生最大压应力，数值为
y max
=
FN A
M max W
=
40 103 26.1104
12 103 141106
×106 =100.5MPa
实际情况进行计算。
第11章 组合变形的强度计算
例11-1 如图11.3(a)所示的起重机吊重F=8kN， 若横梁AB为工字钢，材料的许用应力[σ]=100MP，试 选择工字钢的型号。
(b)
(a)
图11.3
(c)
第11章 组合变形的强度计算
解：(1) 根据几何关系先求出拉杆 CD 的长度
lCD= 25002 8002 =2620mm=2.62m 作 AB 杆的受力如图 11.3(b)所示，设 CD 杆的拉力为
由内力图可知，危险截面为固定端截面。在轴力 FN 的作用下，梁的横截面上产生均匀分布的拉应力，如图
11.2(e)所示，大小为
N
=
FN A
弯 矩 在 固 定 端 截 面上 产 生 弯 曲正 应 力 ， 应力 如 图
11.2(f) 所 示 沿 截 面 呈 线 性 分 布 ， 其 最 大 值 为
M =
M max y Iz
第11章 组合变形的强度计算
图11.1 在小变形条件下，构件组合变形的应力可根据叠加原 理求解。构件上每一种载荷对应着一种基本变形，先计算 构件在基本变形下的应力，再将基本变形的应力叠加，即 得构件在组合变形下的应力。
第11章 组合变形的强度计算
11.2 弯曲与拉伸(压缩)组合变形的强度计算
弯曲与拉伸(压缩)组合变形是工程中常见的变形情况， 现以图 11.2(a)所示的矩形截面梁为例，来分析拉弯组合 变形的应力分布和强度条件。假设有一外力F作用于梁的 纵向对称平面内，并与梁的轴线成α角，画受力图如图 11.2(b)所示。将外力F分解为轴向力和横向力，可得
第11章 组合变形的强度计算
图11.4
第11章 组合变形的强度计算
解：如图 11.4(b)所示外力 F 作用线的位置与立柱轴线 平行但不重合，这种情形称为偏心拉伸，外力的作用线与
立柱的轴线间的距离称为偏心距，用 e 来表示。 用截面法，求得立柱任一位置截面 m-n 的内力，得轴力
FN=F
在截面上产生均匀分布的拉应力
与[σ]=100MPa 相差很小，故选 16 号工字钢合适。
第11章 组合变形的强度计算
例11-2 压力机架如图 11.4(a)所示，材料为铸铁，
[ y ]=120MPa，[ l ]=40MPa。工作压力 F=1500kN。立
柱截面的几何性质：A=1.8×105mm2，I=8×109mm4， h=700mm，C 为截面形心，yc=200mm，e=800mm。试校 核压力机立柱的强度。