离散数学之等值演算
1.3等值演算(离散数学) PPT
等值 不等值
基本等值式
1.双重否定律
A ┐┐A
2.幂等律
A A∨A, A A∧A
3.交换律
A∨B B∨A， A∧B B∧A
4.结合律
(A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
5.分配律
A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
等值演算的应用 –证明两个公式等值
–判断公式类型 –解判定问题
等值演算的应用举例
例3 证明两个公式等值 (p→q)→r (p∨r)∧(┐q∨r)
解答
(p→q)→r (┐p∨q)→r
（蕴含等值式、置换规则）
┐(┐p∨q)∨r （蕴含等值式、置换规则）
(p∧┐q)∨r
（德摩根律、置换规则）
(p∨r)∧(┐q∨r) （分配律、置换规则）
(蕴含等值式) (分配律) (德摩根律) (蕴含等值式)
例题
例5 证明：(p→q)→r 与 p→(q→r) 不等值
解答 方法一、真值表法。
方法二、观察法。易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010 是p→(q→r)的成真赋值，所以原不等值式成立。
方法三、通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。
1.3 等值演算
两公式什么时候代表了同一个命题呢？
抽象地看，它们的真假取值完全相同时即代 表了相同的命题。
设公式A,B共同含有n个命题变项，若A与B有 相同的真值表，则说明在2n个赋值的每个赋 值下，A与B的真值都相同。于是等价式AB 应为重言式。
等值的定义及说明
定义1.10 设A,B是两个命题公式，若A,B构成的 等价式AB为重言式，则称A与B是等值的，记 作AB。
离散数学-命题逻辑等值演算
消解规则
总结词
消解规则允许我们通过消除两个等价的 命题来得出新的结论。
VS
详细描述
消解规则允许我们通过消除两个等价的命 题来得出新的结论。例如，如果我们有两 个等价的命题A和B，并且知道A能推出C， 同时B能推出D，那么我们可以通过消解规 则得出C ∧ D。
03
推理规则
假言推理
总结词
假言推理是一种基于前件和后件的推理方法，前件是推理的前提，后件是推出的结论。
详细描述
假言推理的逻辑形式是“如果P，则Q”，表示当P为真时，Q也为真。例如，“如果天 下雨，则地面会湿”，当天下雨时，可以推断出地面会湿。
应用场景
假言推理在日常生活和科学研究中广泛应用，如自然语言处理、人工智能、法律推理等 领域。
拒取式与析取三段论
总结词
拒取式是一种通过否定结论 来推导前提的推理方法，而 析取三段论则是通过前提的 析取来推导结论的推理方法
人工智能中的逻辑推理是离散数学中命题逻辑等值演算的另 一个重要应用。在自然语言处理、知识表示和推理、智能决 策等领域，逻辑推理都发挥着关键作用。
通过使用命题逻辑等值演算，人工智能系统可以更好地理解 和处理复杂的逻辑关系，提高推理的准确性和效率。例如， 在专家系统中，逻辑推理可以帮助我们构建知识库和推理机 ，实现智能化的决策支持。
05
习题与思考
命题逻辑的习题练习
练习题1
理解命题逻辑的基本概念，如命题、联结词、量词等，并能够准确 判断一个语句是否为命题。
练习题2
掌握命题逻辑中的推理规则，如析取三段论、合取三段论、假言推 理等，并能够运用这些规则进行简单的逻辑推理。
练习题3
利用真值表法判断复合命题的真假值，理解复合命题的逻辑关系。
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
离散数学 等值式 范式 消解算法
15
命题公式的范式
(3) 使用分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)
求合取范式 求析取范式
公式范式的不足不惟一
16
求公式的范式
例5 求下列公式的析取范式与合取范式 (1) (pq)r (2) (pq)r
p q r 1 1 0 M6
p q r 1 1 1 M7
mi与Mi的关系： mi Mi, Mi mi
23
主析取范式与主合取范式
主析取范式——由极小项构成的析取范式 主合取范式——由极大项构成的合取范式 例如，n=3, 命题变项为 p, q, r 时，
(pqr)(pqr) m1m3 ——主析取范式 (pqr)(pqr) M1M7——主合取范式 公式A的主析取(合取)范式——与A 等值的主析取(合取)范式 定理2.5 (主范式的存在惟一定理) 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的
等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程 2. 等值演算的基础：
(1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则（见3） 3. 置换规则 设 (A) 是含公式 A 的命题公式，(B) 是用公式 B 置换 (A) 中所有的 A 后得到的命题公式 若 BA，则 (B)(A)
(pr)(qr) （对分配律） 合取范式
18 r (pq) r 消去 ((pq) r) (r (pq)) 消去 ( (pq) r) (r pq) 消去
((p q) r) ( p q r ) 否定内移
合取范式：
离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案
第二章作业 评分要求：1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)3. 总得分在采分点1处正确设置.一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次):说明证1. p ⇔(p ∧q)∨(p ∧¬q)解逻辑方程法设 p ↔((p ∧q)∨(p ∧¬q)) =0, 分两种情况讨论:⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=0)()(1)1(q p q p p 或者 ⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ↔(p ∧q)∨(p ∧¬q)无成假赋值, 为永真式.等值演算法(p ∧q)∨(p ∧¬q)⇔ p ∧(q ∨¬q)∧对∨的分配率⇔ p ∧1 排中律⇔ p 同一律真值表法用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式1. (¬p→q)→(¬q∨p)解(¬p→q)→(¬q∨p)⇔(p∨q)→(¬q∨p)蕴含等值式⇔(¬p∧¬q)∨(¬q∨p)蕴含等值式, 德摩根律⇔(¬p∧¬q)∨¬q ∨p结合律⇔p∨¬q吸收律, 交换律⇔M1因此, 该式的主析取范式为m0∨m2∨m32. (¬p→q)∧(q∧r)解逻辑方程法设(¬p→q)∧(q∧r) =1, 则¬p→q=1且q∧r=1,解得q=1, r=1, p=0 或者q=1, r=1, p=1, 从而所求主析取范式为m3∨m7, 主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M6等值演算法(¬p→q)∧(q∧r)⇔ (p∨q)∧(q∧r) 蕴含等值式⇔ (p∧q∧r)∨(q∧r) ∧对∨分配律, 幂等律⇔ (p∧q∧r) ∨ (p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧r) 同一律, 矛盾律, ∧对∨分配律⇔m7∨ m3主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M63. (p↔q)→r解逻辑方程法设(p↔q)→r =0, 解得p=q=1, r=0 或者p=q=0, r=0, 从而所求主合取范式为M0∧M6, 主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7等值演算法(p↔q)→r⇔ ((p→q)∧(q→p))→r 等价等值式⇔⌝((p→q)∧(q→p))∨r 蕴含等值式⇔ (p∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨r 德摩根律, 蕴含等值式的否定(参见PPT)⇔ (p∨q∨r)∧(⌝q∨⌝p∨r) ∨对∧分配律, 矛盾律, 同一律⇔M0∧ M6主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m74. (p→q)∧(q→r)解等值演算法(p→q)∧(q→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝q∨r) 蕴含等值式⇔ (⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧r)∨(q∧r) ∧对∨分配律, 矛盾律, 同一律⇔ (⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r) ∨ (⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r) ∨ (p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧r)⇔m1∨ m0∨ m3∨ m7主合取范式为M2∧ M4∧ M5∧ M6.解逻辑方程法设(p → q) ∧ (q → r) = 1, 则p → q =1 且q → r =1.前者解得: p=0, q=0; 或者p=0, q=1; 或者p=1, q=1.后者解得: q=0, r=0; 或者q=0, r=1; 或者q=1, r=1.综上可得成真赋值为000, 001, 011, 111, 从而主析取范式为m0∨ m1∨ m3∨ m7, 主合取范式为M2∧ M4∧ M5∧ M6.真值表法公式(p → q) ∧ (q从而主析取范式为m0∨ m1∨ m3∨ m7, 主合取范式为M2∧ M4∧ M5∧ M6.。
离散数学第2章 命题逻辑等值演算
例2.6
CHAPTER TWO
例2.6 在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音 对他是哪个省市的人进行了判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。
乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授不是上海人，也不是杭州人。 听完3人的判断，王教授笑着说，他们3人中有一人说得全对， 有一人说对了一半，有一人说得全不对。试用逻辑演算法分析 王教授到底是哪里的人？ 解： 设命题 p, q, r分别表示 ： 王教授是苏州、上海、杭州人。 则p, q, r中必有一个真命题，两个假命题。要通过逻辑演算将 真命题找出来。 设： 甲的判断为： A1= ┐p∧q; 乙的判断为：A2= p∧┐q; 丙的 判断为：A3= ┐q∧r。
等值式模式
CHAPTER TWO
当命题公式中变项较多时，用上述方法判断两个公式是否 等值计算量很大。为此，人们将一组经检验为正确的等值式作 为等值式模式，通过公式间的等值演算来判断两公式是否等值。 常用的等值式模式如下：
1.双重否定律：A⇔ ┐(┐A) 2.幂等律：A⇔A∨A, A⇔A∧A
3.交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A 4.结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C), (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C) 5.分配律：A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) (∨对∧的分配律)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r (蕴含等值式，置换规则） ⇔ (p∧┐q)∨r (德摩根律，置换规则）
⇔(p∨r)∧(┐q∨r)(分配律，置换规则） 为简便起见, 以后凡用到置换规则时, 均不必标出。
6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 10
离散数学第二章 命题逻辑等值演算
范式存在定理
定理2.3 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 定理 取范式. 取范式. 求公式 的范式的步骤 的范式的步骤： 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去 中的→, ↔ 消去A中的 中的→ A→B⇔¬ ∨B ⇔¬A∨ → ⇔¬ A↔B⇔(¬A∨B)∧(A∨¬ ∨¬B) ↔ ⇔ ¬ ∨ ∧ ∨¬ (2) 否定联结词¬的内移或消去 否定联结词¬ ¬ ¬A⇔ A ⇔ ⇔¬A∧¬ ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
真值表法
例1 判断 ¬(p∨q) 与 ¬p∧¬q 是否等值 ∨ ∧ 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬p ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 p∨q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q) ∨ ∨ ∧ ∨ ↔¬ ∧ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
实例(续)
(2) (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) ∨¬p) ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 该式为重言式. 该式为重言式 （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） （交换律） 交换律）
实例(续)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解 ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧ ∨ ∧¬ ∧¬q))∧ （分配律） 分配律） （排中律） 排中律） （同一律） 同一律） ∨¬q))∧ ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∧ ∨¬ ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ ⇔ p∧r ∧ 成假赋值. 成假赋值 总结:A为矛盾式当且仅当 ⇔ 为重言式当且仅当A⇔ 总结 为矛盾式当且仅当A⇔0; A为重言式当且仅当 ⇔1 为矛盾式当且仅当 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明 演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 演算步骤不惟一
离散数学第二章知识点
命题逻辑等值演算等值式定理：设A，B两个命题公式（即前面的合式公式），若A，B构成的等价式A↔B为重言式，则A与B是等值的，记作A⇔B(可以说该式子为等值式模式)常用的16组等值式模式：双重否定律：A⇔﹁﹁A幂定律：A⇔A∧A，A⇔A∨A交换律:A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A结合律：(A∨B)∨C⇔A(B∨C)(A∧B)∧C⇔A(B∧C)分配律:A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)德摩根律：﹁(A∨B)⇔﹁A∧﹁B﹁(A∧B)⇔﹁A∨﹁B吸收律：A∨(A∧B)⇔A，A∧(A∨B)⇔A零律：A∨1⇔1,A∧0⇔0同一律:A∨0⇔A,A∧1⇔1排中律:A∨﹁A⇔1矛盾律:A∧﹁A⇔0蕴涵等值式: A→B⇔﹁A∨B等价等值式: A↔B⇔(A→B)∧(B→A)假言易位:A→B⇔﹁B→﹁A(这里可以用逆否命题的概念证明)等价否定等值式:A↔B⇔﹁A↔﹁B(或写成﹁B↔﹁A，这里可以用逆否命题的概念证明)归谬(miu)论：(A→B)∧(A→﹁B)⇔﹁A(此处可以通过蕴涵等值式，交换律以及结合律进行结合证明)上述等值式模式可以通过真值表证明等值式的验证1.等值演算法（即通过等值式模式对原式进行变形）举例:(p∨q)→r⇔(p→r)∧(q→r)证明时可以从左边开始演算也可以从右边开始演算，无硬性要求，这里我们从右边开始演算。
(p→r)∧(q→r)⇔(﹁p∨r)∧(﹁q∨r) //蕴涵等值式⇔(﹁p∧﹁q)∨r //分配律⇔﹁(p∨q)∨r //德摩根律⇔(p∨q)→r //蕴涵等值式2.真值表法（我在第一章的最后有叙述，这里不再重述）3.观察法（也可称为带入法，此处适合用以证明两式不等值的情况）关于等值演算法的补充：等值演算法可以用以证明公式的类型。
1.当最后结果为1时为重言式（永真式）2.当最后结果为0时为矛盾式（永假式）3.当最后结果只能化成某个命题变项或公式时为可满足式析取范式与合取范式简单析取式：p,﹁p,p∨q,﹁p∨q,p∨﹁q,,﹁p∨﹁q,﹁p∨﹁q∨r等（这里可以发现的是里面都只含有析取联结词，简单析取式结构就是由析取联结词和命题变项组成的一个公式）简单合取式：p,﹁p,p∧q,﹁p∧q,p∧﹁q,,﹁p∧﹁q,﹁p∧﹁q∧r等（这里可以发现的是里面都只含有合取联结词，简单合取式结构就是由合取联结词和命题变项组成的一个公式）课本中的定理：命题变项及其否定统称为文字。
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主范式的用途(续)
(3) 判断两个公式是否等值 例 用主析取范式判断下述两个公式是否等值： ⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 故⑴中的两公式等值，而⑵的不等值. 说明： 由公式A的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然. 用公式A的真值表求A的主范式. 30
22
主析取范式与主合取范式(续)
定理 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范 式和主合取范式, 并且是唯一的. 用等值演算法求公式的主范式的步骤： (1) 先求析取范式（合取范式） (2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简 单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析 取（极大项的合取），需要利用同一律（零 律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等. (3) 极小项（极大项）用名称mi（Mi）表示，并 按角标从小到大顺序排序.
23
求公式的主范式
例 求公式 A=(pq)r的主析取范式与主合 取范式. (1) 求主析取范式 (pq)r (pq)r , （析取范式） ① (pq) (pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7 , ②
24
求公式的主范式(续)
r (pp)(qq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5m7 ③ ②, ③代入①并排序，得 (pq)r m1m3m5 m6m7（主析取范式）
28
主范式的用途(续)
(2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项，则 A为重言式A的主析取范式含2n个极小项 A的主合取范式为1. A为矛盾式 A的主析取范式为0 A的主合取范式含2n个极大项 A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项 A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项
25
求公式的主范式(续)
(2) 求A的主合取范式 (pq)r (pr)(qr) , （合取范式） p r p(qq)r (pqr)(pqr) M0M2,① Nhomakorabea②
26
求公式的主范式(续)
q r (pp)qr (pqr)(pqr) M0M4 ②, ③代入①并排序，得 (pq)r M0M2M4
7
应用举例——证明两个公式不等值
例2 证明: p(qr) (pq) r 用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两 个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成 真,另一个成假. 方法一 真值表法（自己证） 方法二 观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的 的成真赋值，是右边的成假赋值. 方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
9
例3 (续)
(2) (pq)(qp) 解 (pq)(qp) (pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律） 1 由最后一步可知，该式为重言式. 问：最后一步为什么等值于1？
10
例3 (续)
(3) ((pq)(pq))r) 解 ((pq)(pq))r) (p(qq))r （分配律） p1r （排中律） pr （同一律） 这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可 满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值. 总结：A为矛盾式当且仅当A0 A为重言式当且仅当A1 说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些
0 0 1 1
( 2) F11
0 1 0 0
( 2) F12
0 1 0 1
( 2) F13
0 1 1 0
( 2) F14
0 1 1 1
( 2) F15
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
18
极小项与极大项
定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中， 若每个命题变项均以文字的形式出现且仅出现一次，称这 样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项）. 说明： n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项 2n个极小项（极大项）均互不等值 在极小项和极大项中文字均按下标或字母顺序排列 用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十 进制表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成 假赋值的十进制表示, mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称. mi与Mi的关系: mi Mi , Mi mi
19
极小项与极大项(续)
由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项 极小项 公式 p q p q p q pq
成真赋值
极大项 名称 m0 m1 m2 m3 公式 pq p q p q p q
成假赋值
名称 M0 M1 M2 M3
20
0 0 1 1
0 1 0 1
17
2元真值函数对应的真值表 p q 0 0 1 1 p 0 0 1 1 0 1 0 1 q 0 1 0 1
F0( 2) F1( 2) F2( 2) F3( 2) F4( 2) F5( 2) F6( 2) F7( 2)
0 0 0 0
F8( 2)
0 0 0 1
F9( 2)
0 0 1 0
( 2) F10
(2) B=(pq)r 解 (pq)r (pq)r （消去第一个） (pq)r （消去第二个） (pq)r （否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (pq)r (pr)(qr) （对分配律） 这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）
成假 赋值
名称 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
21
000 001 010 011 100 101 110 111
000 001 010 011 100 101 110 111
主析取范式与主合取范式
主析取范式: 由极小项构成的析取范式 主合取范式: 由极大项构成的合取范式 例如，n=3, 命题变项为p, q, r时， (pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 (pqr)(pqr) M1M5 是主合取范式 A的主析取范式: 与A等值的主析取范式 A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.
德· 摩根律: (AB)AB (AB)AB 吸收律: A(AB)A, A(AB)A 零律: A11, A00 同一律: A0A, A1A 排中律: AA1 矛盾律: AA0
4
基本等值式(续)
蕴涵等值式: ABAB 等价等值式: AB(AB)(BA) 假言易位: ABBA 等价否定等值式: ABAB 归谬论: (AB)(AB) A 注意: A,B,C代表任意的命题公式 牢记这些等值式是继续学习的基础
8
应用举例——判断公式类型
例3 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) 解 q(pq) q(pq) （蕴涵等值式） q(pq) （德摩根律） p(qq) （交换律，结合律） p0 （矛盾律） 0 （零律） 由最后一步可知，该式为矛盾式.
③ （主合取范式）
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主范式的用途——与真值表相同
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值. 类似地，由主合取范式也可立即求出成 假赋值和成真赋值.
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等值演算与置换规则
等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则：若AB, 则(B)(A) 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反、对称、传递 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则
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应用举例——证明两个公式等值
例1 证明 p(qr) (pq)r 证 p (q r) p(qr) （蕴涵等值式，置换规则） (pq)r （结合律，置换规则） (pq)r （德摩根律，置换规则） (pq) r （蕴涵等值式，置换规则） 说明:也可以从右边开始演算（请做一遍） 因为每一步都用置换规则，故可不写出 熟练后，基本等值式也可以不写出
主范式的用途(续)
例 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业 的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足 以下条件： (1)若赵去，钱也去； (2)李、周两人中至少有一人去； (3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人； (4)孙、李两人同去或同不去； (5)若周去，则赵、钱也去. 试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？
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1.4 范式
析取范式与合取范式 主析取范式与主合取范式
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析取范式与合取范式
文字:命题变项及其否定的总称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, … 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式 A1A2Ar, 其中A1,A2,,Ar是简单合取式 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式 A1A2Ar , 其中A1,A2,,Ar是简单析取式
0 0 1 1
0 1 0 1
由p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
极小项 公式 p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r
成真 赋值
极大项 名称 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 公式 pqr p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r
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基本等值式
双重否定律 : 等幂律： 交换律: 结合律: 分配律: AA AAA, AAA ABBA, ABBA (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)