实验二-命题公式的等值演算与真值表
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命题公式及其真值表
第二节 命题公式及其真值表在上节中，用,,p q r L 表示确定的简单命题。
简单命题又称为命题常项或命题常元。
命题常项有确定的真值。
在数理逻辑中，不仅要研究具体的逻辑关系，还要研究抽象的逻辑关系，因而不仅要有命题常项，还要有命题变项。
称真值可以变化的简单陈述句为命题变项或命题变元，仍然用,,p q r L 表示命题的变项。
命题常项、命题变项及联结词可按下述定义合式的公式。
定义2.1 （1）单个的命题变项（或常项）是合式公式；（2）若A 是合式公式，则（¬A ）也是合式公式；（3）若A ，B 是合式公式，则（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）也是合式公式；（4）有限次地应用（1）～（3）形成的符号串都是合式公式。
这样定义的合式公式也称为命题公式，简称公式。
单独使用（¬A ），（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）时，外层括号可以省去，即可写成¬A ，A ∧B ，A ∨B ，A →B ，A ↔B 。
在定义 2.1.中出现的A ，B L 是用来表示任意的合式公式的。
在以下的论述中出现的A ，B ，C 等也同样是用来表示任意公式的。
定义2.2 设1p ，2p L ，n p 是出现在公式A 中的全部的命题变项，给1p ，2p L ，np 各指定一个真值，称为A 的一个赋值或解释。
若指定的一组真值使A 的真值为1，则称这组真值为A 的成真赋值（或成真解释）。
若指定的一组真值使A 的真值为0，则称这组真值为A 的成假赋值（或成假解释）。
本书中对含n 个命题变项的公式的赋值形式做如下规定：（1）设A 中含的命题变项为1p ，2p L ，n p ，赋值12n a a a L （i a 为0或1）是指11p a =，22p a =，L ，n n p a =。
（2）若出现在A 中的命题变项为p ，q ，r ，L ，赋值12n a a a L 是指1p a =，2q a =，L ，即按字典顺序赋值。
命题公式分类及等值演算2
关于合式公式的说明
• (┐A)、(A∧B)等公式单独出现时，外层括号可以省 去，写成┐A、A∧B等。 • 公式中不影响运算次序的括号可以省去， 如公式(p∨q)∨(┐r)可以写成p∨q∨┐r。 • 合式公式的例子： (p→q)∧(q r) (p∧q)∧┐r p∧(q∧┐r) • 不是合式公式的例子 pq→r (p→(r→q)
• 这些具体的等值式都被称为原来的等值式模式的 代入实例。 • 由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程为 等值演算。 • 置换规则 设Φ(A)是含公式A的命题公式，Φ(B)是 用公式B置换了Φ(A)中所有的A后得到的命题公 式，若BA，则Φ(B)Φ(A)。
关于等值演算的说明
• 等值演算的基础 – 等值关系的性质： 自反性：AA。 对称性：若AB，则BA。 传递性：若AB且BC，则AC。 – 基本的等值式 – 置换规则 • 等值演算的应用 – 证明两个公式等值 – 判断公式类型 – 解判定问题
说 明
因为每一步都用置换规则，故可不写出 熟练后，基本等值式也可以不写出 通常不用等值演算直接证明两个公式不等值
例 用等值演算法验证等值式 (p∨q)→r (p→r)∧(q→r)
解答
(p→r)∧(q→r) (┐p∨r)∧(┐q∨r) (蕴含等值式)
(┐p∧┐q)∨r
┐(p∨q)∨r (p∨q)→r
例 用等值演算判断下列公式的类型： （1）(p→q)∧p→q （2）(p→(p∨q))∧r （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
解答
(1) (p→q)∧p→q (┐p∨q)∧p→q ┐((┐p∨q)∧p)∨q (┐(┐p∨q)∨┐p)∨q （蕴涵等值式） （蕴涵等值式） （德摩根律）
定义1.8 赋值或解释
F2命题逻辑等值演算
保持等值性的两条规则
代入规则: 等值式模式的代换实例是等值式. 在蕴涵等值式 A B AB 中取 A 为 p, B 为 q 得
p q p q. 而取 A 为 p q r, B 为 p q 则得
(p q r) (p q) (p q r) (pq). †具体的等值式叫做等值式模式的代入实例.
101 1 1
011
110 1 1
110
111 1 1
111
离散数学(60). W&M.
§2.1 等值式
涉及联结词 , 的运算律有
蕴涵等值式: A B A B 等价等值式: (AB) (AB)(BA) 假言易位: A B B A 等价否定律: A B A B 以及: A (B C) (A∧B) C 等.
离散数学(60). W&M.
§2.1 等值式
第二章 命题逻辑等值演算
§2.1 等值式 §2.2 析取范式与合取范式 §2.3 联结词的完备集
离散数学(60). W&M.
§2.2 析取范式与合取范式
公式的标准形式
实数代数 R, +, * 中, 函数有不同的表达式, 其中多项 式和多因式是“标准形式”.
即 (pq) r (pq)r.
离散数学(60). W&M.
§2.1 等值式
例2 用等值演算法证明 (pq) q p q.
证 (p q) q
q (p q)
交换律
(q p) (q∨ q)
分配律
(q p) 1
排中律和替换规则
A = A1 A2 … As; 一个合取范式是重言式 它的每个简单析取式都 是重言式.
命题公式等值式
2.3 命题公式的等值式， 蕴含关系式
2016
数学科学学院 季丹丹
本节主要内容
?一、命题公式的等值式 ?二、代入规则与替换规则,等值演算 ?三、蕴含关系式
一、命题公式的等值式
表2-3-1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
下面给出一组基本等值式
一组基本等值式
二、代入规则与替换规则,等值演算
由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程称 为等值演算 1.代入规则
? 甲：┐P∧Q； 乙：┐Q∧P； 丙：┐Q∧┐R ?又因为，若甲全错了，则有┐Q∧P，因此，乙全对. 同理，
乙全错则甲全对. 所以丙是一对一错. 故王教授的话可符号 化为：
((? P ? Q) ? ((Q ? ? R) ? (? Q ? R))) ? ((? Q ? P) ? (? Q ? R))
在重言式A中，任何命题变元Pi出现的每一处， 用另一公式代入，所得公式B仍是重言式.这就是代入规则.
求证(A→B)∨┐(A→B)为重言式. 证明 由互补律P∨┐P ? 1. 用公式(A→B)代入公式中的P.
若C是公式A中的一个连续部分，而C本身也是 公式，称C为A的子公式.
二、代入规则与替换规则,等值演算
?
? ┐A∨┐B∨C(德 ·摩根律)
?
? ┐A∨(B→C)(蕴含等值式 )
?
? A→(B→C)(蕴含等值式 )
例子
?分析：王教授只可能是其中一个城市的人或者三城市都不
是. 所以，丙至少说对了一半. 因此，可得甲或乙必有一个 人全错了.
?设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授
2016
数学科学学院 季丹丹
本节主要内容
?一、命题公式的等值式 ?二、代入规则与替换规则,等值演算 ?三、蕴含关系式
一、命题公式的等值式
表2-3-1
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下面给出一组基本等值式
一组基本等值式
二、代入规则与替换规则,等值演算
由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程称 为等值演算 1.代入规则
? 甲：┐P∧Q； 乙：┐Q∧P； 丙：┐Q∧┐R ?又因为，若甲全错了，则有┐Q∧P，因此，乙全对. 同理，
乙全错则甲全对. 所以丙是一对一错. 故王教授的话可符号 化为：
((? P ? Q) ? ((Q ? ? R) ? (? Q ? R))) ? ((? Q ? P) ? (? Q ? R))
在重言式A中，任何命题变元Pi出现的每一处， 用另一公式代入，所得公式B仍是重言式.这就是代入规则.
求证(A→B)∨┐(A→B)为重言式. 证明 由互补律P∨┐P ? 1. 用公式(A→B)代入公式中的P.
若C是公式A中的一个连续部分，而C本身也是 公式，称C为A的子公式.
二、代入规则与替换规则,等值演算
?
? ┐A∨┐B∨C(德 ·摩根律)
?
? ┐A∨(B→C)(蕴含等值式 )
?
? A→(B→C)(蕴含等值式 )
例子
?分析：王教授只可能是其中一个城市的人或者三城市都不
是. 所以，丙至少说对了一半. 因此，可得甲或乙必有一个 人全错了.
?设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授
命题逻辑I 命题公式与等值演算
20
合式公式的层次 (续)
例如 公式 p p p q (p q ) r ((pq) r)(rs)
0层 1层 2层 3层 4层
21
公式的赋值
定义 给公式A中的命题变元 p1, p2, … , pn指定 一组真值，称为对A的一个赋值或解释 成真赋值: 使公式为真的赋值 成假赋值: 使公式为假的赋值 说明： 赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1. A中仅出现 p1, p2, …, pn，给A赋值12…n是 指 p1=1, p2=2, …, pn=n A中仅出现 p, q, r, …, 给A赋值123…是指 p=1,q=2 , r=3 … 含n个变元的公式有2n个赋值.
28
2元真值函数对应的真值表 p q 0 0 0 1 p 0 0 0 1 0 1 1 1 q 0 1 1 1
F0( 2) F1( 2) F2( 2) F3( 2) F4( 2) F5( 2) F6( 2) F7( 2)
0 0 0 0
F8( 2)
0 0 0 1
F9( 2)
0 0 1 0
( 2) F10
15
例
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.
(2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数.
(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲.
1 0
1 0 0
16
(5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0 连续.
p q
p q p q
q p q p p q q p q p
14
注意： pq 与 qp 等值（真值相同）
合式公式的层次 (续)
例如 公式 p p p q (p q ) r ((pq) r)(rs)
0层 1层 2层 3层 4层
21
公式的赋值
定义 给公式A中的命题变元 p1, p2, … , pn指定 一组真值，称为对A的一个赋值或解释 成真赋值: 使公式为真的赋值 成假赋值: 使公式为假的赋值 说明： 赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1. A中仅出现 p1, p2, …, pn，给A赋值12…n是 指 p1=1, p2=2, …, pn=n A中仅出现 p, q, r, …, 给A赋值123…是指 p=1,q=2 , r=3 … 含n个变元的公式有2n个赋值.
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2元真值函数对应的真值表 p q 0 0 0 1 p 0 0 0 1 0 1 1 1 q 0 1 1 1
F0( 2) F1( 2) F2( 2) F3( 2) F4( 2) F5( 2) F6( 2) F7( 2)
0 0 0 0
F8( 2)
0 0 0 1
F9( 2)
0 0 1 0
( 2) F10
15
例
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.
(2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数.
(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲.
1 0
1 0 0
16
(5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0 连续.
p q
p q p q
q p q p p q q p q p
14
注意： pq 与 qp 等值（真值相同）
真值表方法与命题演算
06
总结与展望
真值表方法与命题演算的意义与价值
逻辑基础
真值表方法与命题演算是逻辑学 的基础，为推理和判断提供了严 谨的数学工具。
精确表达
通过命题演算，可以将复杂的逻 辑关系精确地表达出来，有助于 理解和分析问题。
应用广泛
真值表方法与命题演算在计算机 科学、人工智能、决策分析等领 域有广泛的应用。
推理规则是命题演算中的重要概念，用于推导出新的命题 。
要点二
详细描述
常见的推理规则包括重写规则、消解规则、附加规则等。 这些规则可以帮助我们从已知的命题推导出新的命题。例 如，通过重写规则，我们可以将一个复合命题改写为其等 价的另一种形式；通过消解规则，我们可以消除一个蕴含 关系中的否定；通过附加规则，我们可以将一个命题附加 到另一个命题上，从而形成一个新的命题。
04
真值表在命题演算中的应用
利用真值表判断推理的有效性
判断推理的有效性
通过构建真值表，可以清晰地展示出推理过程中各个命题的真假值，从而判断推理是否 有效。
真值表的作用
真值表是判断推理有效性的重要工具，能够直观地展示出推理过程中各个命题的真假关 系，帮助我们发现推理中的错误和漏洞。
真值表的构建方法
真值表的制作方法
1 2
确定命题变量
首先确定要使用的命题变量，通常用字母表示。
列出所有可能的赋值情况
对于每个命题变量，列出所有可能的真和假两种 情况。
3
计算命题公式的真值
根据逻辑运算符（如与、或、非等）的定义，计 算每个命题公式的真值。
真值表在逻辑推理中的应用
验证逻辑公式
通过查看真值表中的数据，可以验证给定的逻辑公式 是否成立。
02 03
命题公式真值表
定义 1-3.1 命题演算的合式公式,规定为: (1)单个命题变元本身是一个合式公式; (2)如果 A 是合式公式,那么 A 是合式公式; (3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
A B , A B , A B , A B 是合式公式;
(4)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3) 所得到的包含命题变元,联结词和括号的字符串 是合式公式.
T F F T
1-4 真值表与等价公式
(5) ( P Q) (P Q) 的真值表为:
P
Q
PQ
P
Q
( P Q)
P Q
( P Q) (P Q)
T T F F
T F T F
T F F F
F F T T
F T F T
F T T T
F T T T
T T T T
1-4 真值表与等价公式
1.真值表
定义1-4.1 在命题公式中,对于分量指派真值的各种可能 组合,就确定了这个命题公式的各种真值情况,把它汇列成 表,就是命题公式的真值表.
例 2 构造下列命题公式的真值表: (1) P Q ; (3) ( P Q) P ; (5) ( P Q) (P Q) . (2) P Q ; (4) ( P Q) (P Q) ;
1-4 真值表与等价公式
解 (1)
P Q 的真值表为:
P
Q
P Q
T T F F
T F T F
T F T T
(2)
P Q 的真值表为:
P
Q
P Q
T T F F
T F T F
T F T T
1-4 真值表与等价公式
2真值表等值式
注意：重言式是可满足式，但反之不真.
7
二、重言式与矛盾式
定理1 任意两个重言式的合取（或析取）仍然是重 言式。 定理2 一个重言式，对同一个命题变元均用任何公 式置换，其结果仍然是重言式。
8
三、等值式及其基本等值式
定义1 若等价式AB是重言式，则称A与B等值（逻 辑相等），记作AB，并称AB是等值式。 定理２.1 AB为重言式，当且仅当A、B具有相同 的真值表。
12
四、公式等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式 的过程 2. 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则 3. 置换规则 设 (A) 是含公式 A 的命题公式，(B) 是用公式 B 置换(A) 中所有的 A 后得到的命题公式 若 BA，则 (B)(A)
pq (pq) 1 1 0 1 0 0 1 0
(pq)q 0 0 0 0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
5
真值表的作用:
求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 区别不同 公式间的关联，判断公式的类型。
6
二、重言式与矛盾式
定义1 设A为任一命题公式， (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或 永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或 永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
等值演算在计算机硬件设计，开关理论和电子元 器件中都占据重要地位。
17
五、 ，与 ，间的区别
， 是联结词 ， 是逻辑符号，表明公式的取值情况。
18
第二讲 真值表、等值演算
主要内容
一、真值表及其作用
二、重言式与矛盾式的定义和相关结论
7
二、重言式与矛盾式
定理1 任意两个重言式的合取（或析取）仍然是重 言式。 定理2 一个重言式，对同一个命题变元均用任何公 式置换，其结果仍然是重言式。
8
三、等值式及其基本等值式
定义1 若等价式AB是重言式，则称A与B等值（逻 辑相等），记作AB，并称AB是等值式。 定理２.1 AB为重言式，当且仅当A、B具有相同 的真值表。
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四、公式等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式 的过程 2. 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则 3. 置换规则 设 (A) 是含公式 A 的命题公式，(B) 是用公式 B 置换(A) 中所有的 A 后得到的命题公式 若 BA，则 (B)(A)
pq (pq) 1 1 0 1 0 0 1 0
(pq)q 0 0 0 0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
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真值表的作用:
求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 区别不同 公式间的关联，判断公式的类型。
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二、重言式与矛盾式
定义1 设A为任一命题公式， (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或 永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或 永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
等值演算在计算机硬件设计，开关理论和电子元 器件中都占据重要地位。
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五、 ，与 ，间的区别
， 是联结词 ， 是逻辑符号，表明公式的取值情况。
18
第二讲 真值表、等值演算
主要内容
一、真值表及其作用
二、重言式与矛盾式的定义和相关结论
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《离散数学》
实验报告
学院软件学院
专业计算机科学与技术指导教师
学号
姓名
提交日期2016.3.30
实验二命题公式的等值演算与真值表
一.实验目的
熟悉逻辑运算否定、合取、析取、蕴含、等价规则，利用程序语言实现命题公式的真值表运算，使其与命题的等值演算结果相同。
二.实验内容
写出下列题目的命题公式，并应用程序语言实现命题公式的真值表以求解问题。
（一）预测比赛名次
有A,B,C,D四人参加百米赛跑，观众甲、乙、丙预测比赛的名次为：
甲说：C第一，B第二；
乙说：C第二，D第三；
丙说：A第二，D第四；
比赛结束后发现甲、乙、丙每人的预测都只对一半，试问实际名次如何(假定没有并列者)？
（二）筛选产品方案。