1.3命题公式及翻译
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• 上节介绍了将命题表示为符号串。
• 是否每个符号串都是命题呢？
pq→ • 什么样的符号串才是命题呢？
• 如下定义的符号串才是命题。
下面给出命题公式的递归定义。
(1)
(2) (3)
单个命题变元是合式公式，并称为原子命题公式。
若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。 若A，B是合式公式， 则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB)也是合式公式。
（¬p ∧ q）→ ¬r的真值表
p q r
F F F F F T F T F F T T
¬p
T T T T
¬r
T F T F
¬p ∧ q
F F T 1
（¬p ∧ q）→ ¬r
T T T F
T F F
T F T T T F T T T
F
F F F
T
F T F
F
F F F
T
T T T
• 从表可知公式(1)的成假赋值为FTT，其他7个赋值都是成 真赋值。 • 公式（2）、（3）略。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例
求(p∧q) → (¬(q∨r))的成真和成假赋值。 解： 令(p∧q) → (¬(q∨r))为A。 要使A为假，必须p∧q为真且¬(q∨r)为假。 从而p∧q必须为真，且q∨r也必须为真。 故A的成假指派为TTT和TTF. A的成真指派为FFF、TFF、FTF、FFT、FTT、 TFT。
例
• 例 写出下列公式的真值表，并求它们的成真赋值 和成假赋值： （1）（¬p ∧ q）→ ¬r （2）（p ∧ ¬p ） ↔ （q ∧ ¬q ） （3） ¬（p → p） ∧q ∧r
说明
• A是可满足式：A至少有一个成真赋值。 • 永真式一定是可满足式，反之则不真。 • 真值表可用来判断公式的类型： – 若真值表最后一列全为T，则公式是永真式（重言式）。 – 若真值表最后一列全为F，则公式是永假式（矛盾式）。 – 若真值表最后一列至少有一个T，则公式是可满足式。
例：
三、翻译
若指定的一组值使A的真值为T，则称这组值为A的成真赋值； 若使A的真值为F，则称这组值为A的成假赋值。
定义 在命题公式A中，对A的每一个赋值，就确定了A的一个真值， 把它们汇列成表，称该表为命题公式A的真值表。
2
赋值
• 命题公式的真值由其中的命题变元的值 完全确定。 • 公式(p∨q)→r – 若将 p解释成：2是素数 ，T – q解释成：3是偶数， F – r解释成： 是无理数 ，T 2 – 此时公式 (p∨q)→r 被解释成 一个真命题。 – 但是若作别的解释，公式(p∨q)→r 也可以被解释成一 个假命题。
§1.3 命题公式与翻译
一、命题公式的定义
一个赋予特定内容的命题的真值是确定的，只有“T”
和“F”两种，即命题常项或称为命题常元。 一个没有任 何意义的没有赋予具体内容的命题是一个命题变元。
下面我们正式定义命题变元： 定义：以“真”“假”为其变域的变元称为命题变元。
公式、命题公式（命题形式、合式公式 well-formed formula, wff ）
(2)如果这个材料无趣,或者习题难, 那么这门课程就不使人喜欢。 (3)这个材料有趣,意味着习题难,反之亦然。 (4)或者这个材料有趣, 或者习题难,二者恰具其一。
解：设 P表示”这个材料有趣”, Q表示”这些习题难”, R表示”这门课使人喜欢”,
例 设A=明天上午七点下雨, B=明天上午七点刮风,C=我去学校, 试用A，B，C表示下列复合命题： (1)如果明天上午七点不刮风下雨，则我去学校； (2)如果明天上午七点不下雨并且也不刮风，则我去学校； (3)如果明天上午七点下雨或不刮风，则我去学校； (4)明天我风雨无阻，一定去学校； (5)只有当明天上午七点不下雨并且也不刮风时，我才去学校； (6)只有当明天上午七点下雨或刮风都不发生时，我才去学校．
(4)
只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才是合式公式。
合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称为公式。
下列符号串都是合式公式：
(¬p) (p∧(¬q)) (p ∨(¬p)) (p ↔(¬p)) (p ∧(¬p)) ((p ∧ p) →(¬(p ∨r)))
下列符号串是否为命题公式？
（1）pq → （2）(p¬q) （3）( ( (p∧(¬q)) （4）p∧(¬q) （5）¬p
例
• • • • p，q是0层公式。 ¬p ∧ q是2层公式。 (¬p ∧ q) → r 是3层公式。 (¬(p → ¬q )) ∧((r ∨ s) ↔ ¬p )是4层公式。
命题公式的分类
• 定义 (1) 如果A在它的所有赋值下取值均为真，则称命题公 式A为重言式(或永真式) (2) 如果A在它的所有赋值下取值均为,则称命题公式A 为矛盾式(永假式). （3）若A不是矛盾式，则称A为可满足式。 . • 例如： p ∧ (¬ p)为矛盾式，p ∨ (¬ p)为重言式。 (¬ p) ∨q为可满足式。
公式的层次
• 定义： （1）若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式。 （2）若有下面情况之一的，称A为n+1（n ≧ 0）层公式: （a）A是¬B，B是n层公式； （b）A是B∧C，其中B，C分别是i层、j层公式，且n=max(i,j); （c）A是B ∨ C，其中B，C分别是i层、j层公式，且n=max(i,j); （d）A是B → C，其中B，C分别是i层、j层公式，且n=max(i,j); （e）A是B ↔ C，其中B，C分别是i层、j层公式，且n=max(i,j); （3）若公式的层次为k，则称A是k层公式。
只有你通过了英语六级考试而且不是英语专业的学生，才可以
选修这门课。
我们可以用命题公式表示复合命题，常将这个过程称为 命题的符号化，或称为命题的翻译。命题的翻译可按如下 步骤进行： ①找出复合命题中的简单命题。
②用英文字母表示这些简单命题。
③使用命题联结词将这些英文字母连接起来。
例
试翻译下列命题。
(1)这个材料无趣,习题也不难,而且这门课程也不使人喜欢。
二、真值表的构建
命题公式的真假是由命题公式中所出现的命题变元 的真假惟一确定，命题变元的一组确定的值叫做命题的 一个指派。每个指派对应命题公式的一个确定的值，所 有的指派构成公式的值，即构成了此命题公式的真值表。
定义
设p1,p2,„,pn是出现在公式A中的全部命题符号，
给p1,p2,„,pn各指定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。
• 由定义可知：
– – – – ¬p关于p的成真赋值为F, 成假赋值为T. p ∧ q关于p、q的成真赋值为T T, 成假赋值为TF, FT, FF. p ∨ q关于p、q的成真赋值为TT, TF, FT,成假赋值为FF. 不难给出p→q、p↔q的成真和成假赋值.
• 不难看出，含n（n≧1）个命题变项的公式共有2n个不同的 赋值。 • 例如，若公式中共有p、q、r三个不同命题变项，则共有 23=8个指派，分别是： （F，F，F）（F，F，T）（F，T，F）（F，T，T） ， （T，F，F）（T，F，T）（T，T，F）（T，T，T） 。
• 是否每个符号串都是命题呢？
pq→ • 什么样的符号串才是命题呢？
• 如下定义的符号串才是命题。
下面给出命题公式的递归定义。
(1)
(2) (3)
单个命题变元是合式公式，并称为原子命题公式。
若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。 若A，B是合式公式， 则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB)也是合式公式。
（¬p ∧ q）→ ¬r的真值表
p q r
F F F F F T F T F F T T
¬p
T T T T
¬r
T F T F
¬p ∧ q
F F T 1
（¬p ∧ q）→ ¬r
T T T F
T F F
T F T T T F T T T
F
F F F
T
F T F
F
F F F
T
T T T
• 从表可知公式(1)的成假赋值为FTT，其他7个赋值都是成 真赋值。 • 公式（2）、（3）略。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例
求(p∧q) → (¬(q∨r))的成真和成假赋值。 解： 令(p∧q) → (¬(q∨r))为A。 要使A为假，必须p∧q为真且¬(q∨r)为假。 从而p∧q必须为真，且q∨r也必须为真。 故A的成假指派为TTT和TTF. A的成真指派为FFF、TFF、FTF、FFT、FTT、 TFT。
例
• 例 写出下列公式的真值表，并求它们的成真赋值 和成假赋值： （1）（¬p ∧ q）→ ¬r （2）（p ∧ ¬p ） ↔ （q ∧ ¬q ） （3） ¬（p → p） ∧q ∧r
说明
• A是可满足式：A至少有一个成真赋值。 • 永真式一定是可满足式，反之则不真。 • 真值表可用来判断公式的类型： – 若真值表最后一列全为T，则公式是永真式（重言式）。 – 若真值表最后一列全为F，则公式是永假式（矛盾式）。 – 若真值表最后一列至少有一个T，则公式是可满足式。
例：
三、翻译
若指定的一组值使A的真值为T，则称这组值为A的成真赋值； 若使A的真值为F，则称这组值为A的成假赋值。
定义 在命题公式A中，对A的每一个赋值，就确定了A的一个真值， 把它们汇列成表，称该表为命题公式A的真值表。
2
赋值
• 命题公式的真值由其中的命题变元的值 完全确定。 • 公式(p∨q)→r – 若将 p解释成：2是素数 ，T – q解释成：3是偶数， F – r解释成： 是无理数 ，T 2 – 此时公式 (p∨q)→r 被解释成 一个真命题。 – 但是若作别的解释，公式(p∨q)→r 也可以被解释成一 个假命题。
§1.3 命题公式与翻译
一、命题公式的定义
一个赋予特定内容的命题的真值是确定的，只有“T”
和“F”两种，即命题常项或称为命题常元。 一个没有任 何意义的没有赋予具体内容的命题是一个命题变元。
下面我们正式定义命题变元： 定义：以“真”“假”为其变域的变元称为命题变元。
公式、命题公式（命题形式、合式公式 well-formed formula, wff ）
(2)如果这个材料无趣,或者习题难, 那么这门课程就不使人喜欢。 (3)这个材料有趣,意味着习题难,反之亦然。 (4)或者这个材料有趣, 或者习题难,二者恰具其一。
解：设 P表示”这个材料有趣”, Q表示”这些习题难”, R表示”这门课使人喜欢”,
例 设A=明天上午七点下雨, B=明天上午七点刮风,C=我去学校, 试用A，B，C表示下列复合命题： (1)如果明天上午七点不刮风下雨，则我去学校； (2)如果明天上午七点不下雨并且也不刮风，则我去学校； (3)如果明天上午七点下雨或不刮风，则我去学校； (4)明天我风雨无阻，一定去学校； (5)只有当明天上午七点不下雨并且也不刮风时，我才去学校； (6)只有当明天上午七点下雨或刮风都不发生时，我才去学校．
(4)
只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才是合式公式。
合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称为公式。
下列符号串都是合式公式：
(¬p) (p∧(¬q)) (p ∨(¬p)) (p ↔(¬p)) (p ∧(¬p)) ((p ∧ p) →(¬(p ∨r)))
下列符号串是否为命题公式？
（1）pq → （2）(p¬q) （3）( ( (p∧(¬q)) （4）p∧(¬q) （5）¬p
例
• • • • p，q是0层公式。 ¬p ∧ q是2层公式。 (¬p ∧ q) → r 是3层公式。 (¬(p → ¬q )) ∧((r ∨ s) ↔ ¬p )是4层公式。
命题公式的分类
• 定义 (1) 如果A在它的所有赋值下取值均为真，则称命题公 式A为重言式(或永真式) (2) 如果A在它的所有赋值下取值均为,则称命题公式A 为矛盾式(永假式). （3）若A不是矛盾式，则称A为可满足式。 . • 例如： p ∧ (¬ p)为矛盾式，p ∨ (¬ p)为重言式。 (¬ p) ∨q为可满足式。
公式的层次
• 定义： （1）若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式。 （2）若有下面情况之一的，称A为n+1（n ≧ 0）层公式: （a）A是¬B，B是n层公式； （b）A是B∧C，其中B，C分别是i层、j层公式，且n=max(i,j); （c）A是B ∨ C，其中B，C分别是i层、j层公式，且n=max(i,j); （d）A是B → C，其中B，C分别是i层、j层公式，且n=max(i,j); （e）A是B ↔ C，其中B，C分别是i层、j层公式，且n=max(i,j); （3）若公式的层次为k，则称A是k层公式。
只有你通过了英语六级考试而且不是英语专业的学生，才可以
选修这门课。
我们可以用命题公式表示复合命题，常将这个过程称为 命题的符号化，或称为命题的翻译。命题的翻译可按如下 步骤进行： ①找出复合命题中的简单命题。
②用英文字母表示这些简单命题。
③使用命题联结词将这些英文字母连接起来。
例
试翻译下列命题。
(1)这个材料无趣,习题也不难,而且这门课程也不使人喜欢。
二、真值表的构建
命题公式的真假是由命题公式中所出现的命题变元 的真假惟一确定，命题变元的一组确定的值叫做命题的 一个指派。每个指派对应命题公式的一个确定的值，所 有的指派构成公式的值，即构成了此命题公式的真值表。
定义
设p1,p2,„,pn是出现在公式A中的全部命题符号，
给p1,p2,„,pn各指定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。
• 由定义可知：
– – – – ¬p关于p的成真赋值为F, 成假赋值为T. p ∧ q关于p、q的成真赋值为T T, 成假赋值为TF, FT, FF. p ∨ q关于p、q的成真赋值为TT, TF, FT,成假赋值为FF. 不难给出p→q、p↔q的成真和成假赋值.
• 不难看出，含n（n≧1）个命题变项的公式共有2n个不同的 赋值。 • 例如，若公式中共有p、q、r三个不同命题变项，则共有 23=8个指派，分别是： （F，F，F）（F，F，T）（F，T，F）（F，T，T） ， （T，F，F）（T，F，T）（T，T，F）（T，T，T） 。