中考数学旋转综合练习题

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P'D= 3 O'D= 9 ，∴ DH=O'H﹣O'D= 6 3 ，O'H+P'D= 27 ，∴ P'（ 27 ，6 3 ）．
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55Leabharlann 55【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含 30 度角的直角三 角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键．
5．在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A 、 C 分别在 y 轴、 x 轴的正 半轴上，点 O 在原点.现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点一次落在直线 y x 上 时停止旋转，旋转过程中， AB 边交直线 y x 于点 M ， BC 边交 x 轴于点 N （如图）.
∠ DBF=∠ MAD，最后证明∠ ANE=∠ NAE=45°，得 AE=EN，所以 EN= 1 AC． 2
试题解析： （1）BF=AC，理由是： 如图 1，∵ AD⊥BC，BE⊥AC， ∴ ∠ ADB=∠ AEF=90°， ∵ ∠ ABC=45°， ∴ △ ABD 是等腰直角三角形， ∴ AD=BD， ∵ ∠ AFE=∠ BFD， ∴ ∠ DAC=∠ EBC， 在△ ADC 和△ BDF 中，
3．如图 1，在锐角△ ABC 中，∠ ABC=45°，高线 AD、BE 相交于点 F． （1）判断 BF 与 AC 的数量关系并说明理由； （2）如图 2，将△ ACD 沿线段 AD 对折，点 C 落在 BD 上的点 M，AM 与 BE 相交于点 N， 当 DE∥ AM 时，判断 NE 与 AC 的数量关系并说明理由．
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 在 y 轴正半轴上，点 B 的坐标为
（4，m）（5≤m≤7），反比例函数 y＝ 16 （x＞0）的图象交边 AB 于点 D． x
（1）用 m 的代数式表示 BD 的长； （2）设点 P 在该函数图象上，且它的横坐标为 m，连结 PB，PD ①记矩形 OABC 面积与△ PBD 面积之差为 S，求当 m 为何值时，S 取到最大值； ②将点 D 绕点 P 逆时针旋转 90°得到点 E，当点 E 恰好落在 x 轴上时，求 m 的值．
【答案】（1）5
2
；（2）O'（
9 2
，
33 2
）；（3）P'（
27 5
，
63 5
）.
【解析】
【分析】
（1）先求出 AB．利用旋转判断出△ ABB'是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）先判断出∠ HAO'=60°，利用含 30 度角的直角三角形的性质求出 AH，OH，即可得出 结论； （3）先确定出直线 O'C 的解析式，进而确定出点 P 的坐标，再利用含 30 度角的直角三角 形的性质即可得出结论． 【详解】 （1）∵ A（3，0），B（0，4），∴ OA=3，OB=4，∴ AB=5，由旋转知，BA=B'A，
为 PC 的最小值．易知 PC 的最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、
勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属 于中考压轴题．
【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7 时，S 取到最大值②m＝2+2 5
【解析】
【分析】
（1）先确定出点 D 横坐标为 4，代入反比例函数解析式中求出点 D 横坐标，即可得出结 论；
（2）①先求出矩形 OABC 的面积和三角形 PBD 的面积得出 S＝﹣ 1 （m﹣8）2+24，即可 2
得出结论；②利用一线三直角判断出 DG＝PF，进而求出点 P 的坐标，即可得出结论． 【详解】
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如图 4 中，当 A、C、D 共线时，作 OH⊥AC 于 H．
易知 AC=BD=AH﹣CH= 13 1 ． 2
综上所述：当 A、C、D 三点共线时，BD 的长为 13 1 或 13 1 ；
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（4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心，1 为半径的⊙O 上运动，过点 O 作
OH⊥AB 于 H，直线 OH 交⊙O 于 C′、C″，线段 CB 的长即为 PC 的最大值，线段 C″H 的长即
∴ EN= 1 AC． 2
4．在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（3，0），点 B（0，4），把△ ABO 绕点 A 顺时 针旋转，得△ AB′O′，点 B，O 旋转后的对应点为 B′，O． （1）如图 1，当旋转角为 90°时，求 BB′的长； （2）如图 2，当旋转角为 120°时，求点 O′的坐标； （3）在（2）的条件下，边 OB 上的一点 P 旋转后的对应点为 P′，当 O′P+AP′取得最小值 时，求点 P′的坐标．（直接写出结果即可）
∴ ∠ DGP＝∠ PFE＝90°，
∴ ∠ DPG+∠ PDG＝90°，
由旋转知，PD＝PE，∠ DPE＝90°，
∴ ∠ DPG+∠ EPF＝90°，
∴ ∠ PDG＝∠ EPF，
∴ △ PDG≌ △ EPF（AAS），
∴ DG＝PF，
∵ DG＝AF＝m﹣4，
∴ P（m，m﹣4），
∵ 点 P 在反比例函数 y＝ 16 ， x
∴ m（m﹣4）＝16，
∴ m＝2+2 5 或 m＝2﹣2 5 （舍）．
【点睛】 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全 等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键．
2．在等边△ AOB 中，将扇形 COD 按图 1 摆放，使扇形的半径 OC、OD 分别与 OA、OB 重 合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△ AOB 不动，让扇形 COD 绕点 O 逆时针旋转，线 段 AC、BD 也随之变化，设旋转角为 α．（0＜α≤360°）
DAC DBF ∵ ADC BDF ，
AD BD
∴ △ ADC≌ △ BDF（AAS）， ∴ BF=AC；
（2）NE= 1 AC，理由是： 2
如图 2，由折叠得：MD=DC， ∵ DE∥ AM， ∴ AE=EC， ∵ BE⊥AC， ∴ AB=BC， ∴ ∠ ABE=∠ CBE， 由（1）得：△ ADC≌ △ BDF， ∵ △ ADC≌ △ ADM， ∴ △ BDF≌ △ ADM， ∴ ∠ DBF=∠ MAD， ∵ ∠ DBA=∠ BAD=45°， ∴ ∠ DBA﹣∠ DBF=∠ BAD﹣∠ MAD， 即∠ ABE=∠ BAN， ∵ ∠ ANE=∠ ABE+∠ BAN=2∠ ABE， ∠ NAE=2∠ NAD=2∠ CBE， ∴ ∠ ANE=∠ NAE=45°， ∴ AE=EN，
试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边 OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠ AOM 的度数；
（3）利用全等把△ MBN 的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．
试题解析：（1）∵ A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转，直线 y=x 与 y 轴的夹角是
OA OB COA DOB ，∴ △ AOC≌ △ BOD，∴ AC=BD； CO OD
（3）①如图 3 中，当 A、C、D 共线时，作 OH⊥AC 于 H．
在 Rt△ COH 中，∵ OC=1，∠ COH=30°，∴ CH=HD= 1 ，OH= 3 ．在 Rt△ AOH 中，
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AH= OA2 OH 2 = 13 ，∴ BD=AC=CH+AH= 1 13 ．
（1）求边 OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数； （3）设 MBN 的周长为 p ，在旋转正方形 OABC 的过程中， p 值是否有变化？请证明
你的结论.
【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析
【解析】
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∴ O'（ 9 ，3 3 ）； 22
（3）由旋转知，AP=AP'，∴ O'P+AP'=O'P+AP．如图 3，作 A 关于 y 轴的对称点 C，连接 O'C 交 y 轴于 P，∴ O'P+AP=O'P+CP=O'C，此时，O'P+AP 的值最小． ∵ 点 C 与点 A 关于 y 轴对称，∴ C（﹣3，0）．
为 PC 的最小值．易知 PC 的最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
详解：（1）如图 1 中，∵ △ ABC 是等边三角形，∴ ∠ AOB=∠ COD=60°，∴ 当点 D 在线段 AD 和线段 AD 的延长线上时，OC∥ AB，此时旋转角 α=60°或 240°．
故答案为 60 或 240； （2）结论：AC=BD，理由如下： 如图 2 中，∵ ∠ COD=∠ AOB=60°，∴ ∠ COA=∠ DOB．在△ AOC 和△ BOD 中，
【答案】（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE= 1 AC，理由见解析. 2
【解析】 试题分析：（1）如图 1，证明△ ADC≌ △ BDF（AAS），可得 BF=AC； （2）如图 2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直 平分线的性质得：AB=BC，则∠ ABE=∠ CBE，结合（1）得：△ BDF≌ △ ADM，则
45°，
∴ OA 旋转了 45°．
∴ OA 在旋转过程中所扫过的面积为 45 22 ． 360 2
（2）∵ MN∥ AC，