函数的概念与定义域

函数的概念与定义域
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一、函数的概念
一、映射
1．映射：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有惟一元素和它对应，这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作：B A f →:;
2．象与原象：如果B A f →:是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的元素叫做象，
a 叫做原象;
3.映射的性质：
①方向性：集合A 到集合B 的映射与集合B 到集合A 的映射是不同的;
②任意性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都要有象，但不要求B 中的每一个元素在A 中都要有原象;
③惟一性：集合A 中元素的象是惟一的，即“一对一”、“多对一”是允许的，但“一对多”是不允许的.
二、函数
1．定义：设A 、B 是两个非空数集．．，B A f →:是从A 到B 的一个映射，则映射B A f →:就叫做A 到B 的函数，记作：()x f y =;
2．函数的三要素为:定义域、值域、对应法则，两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时，二者才能称为同一函数;
3．函数的表示法有：解析式、列表法、图像法.
例1、（1）给出下列四个对应,是映射的是（ ）
① ② ③ ④ A.②④ B.①② C. ②③ D.①④ (2)设{}{}|02,|12,A x x B y y =≤≤=≤≤在下图中,能表示从集合A 到集合B 的映射是
a m
b
c n A B a m b
c
p A B n a m
b p A B n a m
b A B
c .
A
y
1
2 x
O
1
2 .
B
y
1
2
x
O
2 1
.
D
y
1
2
1
2 x
O
.
C
y
1
2
1
2
O
x
(3)已知集合{}
04P x x =≤≤，{}
02Q x x =≤≤，下列不表示．．．
从P 到Q 的映射是 .A f ：x y x 21=
→ .B f ∶x y x 31
=→ .C f ∶x y x 3
2
=→ .D f ∶x y x =→
例2、（1）已知(),x y 在映射f 作用下的象是(),x y xy +. ① 求()2,3-在f 作用下的象
② 若在f 作用下的象是()2,3，求它的原象
（2）给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点()2,4的原象是
（3）设集合A 和B 都是实数集，映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素
13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象组成的集合是( )
.A {}1 .B {}1,0,1- .C {}0 .D {}2,1,0--
二、区间的概念
设,a b 是两个实数，而且a b <，规定：
（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；
（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b ，(,]a b ． 这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。

在数轴上，这些区间可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示（如下表），在图中，用实心点表示
包括在区间内的端点，空心点表示不包括在区间内的端点。

定义 名称 符号
数轴表示 {|}x a x b ≤≤ 闭区间 [,]a b {|}x a x b <<
开区间 (,)a b {|}x a x b ≤<
半开半闭区间 [,)a b {|}x a x b <≤
半开半闭区间
(,]a b
例3（1）用区间表示下列集合：
（1）{|||3}x x ≤； （2）{|x x R ∈且0}x ≠； （3）{|2x x ≤-或1}x >．
（2）已知集合{|54}A x x =-<<，{|1B x x =≥或0}x <，用区间表示A ，B ，A B ，A
B ．
三、求解函数的定义域
a b a b
a b
a
b
例4、求下列函数的定义域 （1）42
1
-=x y （2）x x y 312--=
（3）x
x x y 1
232+-+= （4）2)1(0++=
x x y
例5、（1）已知函数)(x f 的定义域为[]4,1，求)2(x f 的定义域
（2）已知函数)1(+x f 的定义域为[]4,2，求)12(-x f 的定义域
例6已知函数()f x 26(8)kx kx k =-++的定义域为R ，求实数k 的范围.
例7、下列各题中的两个函数是否表示同一个函数
（1）()=x f 2x ，()=x g 33x ；
（2）()=x f x ，()=x g 2x ；
（3）()=x f 1
1
2--x x ，()=x g 1+x ；
（4）()1+=x x x f ，()=
x g x x +2；
（5）()122
--=x x x f ，()122
--=t t t g ;
(6)
x x x f 2)()(=,2)()(x x
x g =
(7) ()0
x x f =,()1=x g
三、求函数解析式
求函数解析式的方法： （1） 待定系数法 （2） 换元法 （3） 配凑法
（4） 特殊值法和消元法
（5） 运用函数的性质求其解析式
例8、（1）已知)(x f 是单调递增的一次函数，且[]14)(-=x x f f ，求)(x f
（2）已知)(x f 是二次函数，且1)3()1(==f f ，)(x f 有最小值为-2，求)(x f
（3）已知函数23)1(2
+-=+x x x f ，求)(x f
（4）已知函数x x x f 8)4(+=+，求)(x f
（5）已知函数)(x f y =满足x x
f x f 2)1
()(2=+，，求)(x f
例9、（1）已知234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪
=⎨⎪<⎩
，求(2)f -，((1))f f ，((0))f f ．
（2）已知函数2(0)()1(0)0(0)x x f x x x ⎧>⎪
==⎨⎪<⎩
，求(2)f ，(2)f -，((2))f f -，(((2)))f f f -．
（3）已知()2)(,111
)(2+=≠∈+=x x g x R x x
x f 且 （1） 求)2(),2(g f
（2） 求()[]2g f （3） 求()[]x g f。