直角三角形(2)PPT教学课件
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2.4解直角三角形(2)PPT课件
9.4
解直角三角形(2)
情境导入
• 1. 回顾旧知:请回答解直角三角形的概念? • 2.分组思考下列问题,看哪组做的又快又对: 在直 角三角形ABC中，∠C﹦90°,由下列条件解直角三角 形。 （1） 已知a﹦2,b﹦2,则c﹦＿, ∠A﹦＿, ∠B﹦＿. (2) 已知b﹦1,c﹦2,则∠A﹦＿，∠B﹦＿，a﹦＿. (3 )已知∠A﹦45°，C﹦2,则∠B﹦＿，a﹦＿,b﹦＿. • 3.有一块三角形的土地，已知∠A=150°， AB=20m,AC=30m,求三角形土地的面积？
C
A D
B
• 解：过点C作CD⊥AB,垂足为D. • 在直角△ACD中，AC ﹦20, CD ∠A﹦60°,由sinA= AC 得 CD=AC∙sinA=20∙sin60 3 °=20× 2 =10. 3 由 cosA= AD ,得 AC AD=AC· cosA=20×cos60°= 1 20× 2 =10. 在直角 △DBC中,由∠B=45°,CD=10 3 ,得BD=CD=10 3 .所以 AB=AD＋DB=10＋10 3 =10(1 ＋ 3 ) (厘米)
比一比
• 练习2. 在等腰三角形 ABC中，AB=AC,且一腰 长与底边的比是5 ：8， 求sinB,cosB的值。
A
B D
C
比一比
练习2. 在等腰三角 形ABC中，AB=AC, 且一腰长与底边的比 是5 ：8，求 sinB,cosB的值。
AB DC来自• 解：过点A作AD⊥ BC,垂足为D.由等腰三 角形的性质可知 BD=CD,设 AB=5t,BC=8t,则 BD=4t.在直角三角形 ABD中，由勾股定理 得AD=3t,所 以,sinB=AD/AB=3/5, cosB=BD/AB=4/5.
最新北师大版八年级数学下册《直角三角形》精品教学课件
∴∠ABP＝∠ACP＝90°
∵PB＝PC，AP＝AP
∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)
∴∠APB＝∠APC
PB＝PC，
在△PBD和△PCD中，
∠DPB＝∠DPC， DP＝DP，
∴△PBD≌△PCD(SAS)
∴∠BDP＝∠CDP
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
实践探究，交流新知
猜想： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
1．分析命题： 条件：两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等； 结论：这两个直角三角形全等．
2．数学语言： 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′； 求证：△ABC≌△A′B′C′.
开放训练，体现应用
例2 如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E
，CF⊥AD于点F.求证：AF＝BE.
证明：∵∠BAC＝90°
∴∠BAE＋∠FAC＝90°
∵BE⊥AD，CF⊥AD
∴∠BEA＝∠AFC＝90°
∴∠BAE＋∠EBA＝90°
∴∠EBA＝∠FAC.
∴∠BFD＝∠CED＝90°
DF＝DE，
在△BDF和△CDE中 ∠BFD＝∠CED，
BF＝CE，
∴△BDF≌△CDE(SAS)
∴∠B＝∠C
开放训练，体现应用
变式训练2 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，
BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.
求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.
开放训练，体现应用
例1 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方 向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABCБайду номын сангаас∠EFD的大小有什么关系？
《三角形的内角》三角形PPT(第2课时)
思考 如果一个都不知道，或只知道1个角，你能知道
三角形各角的度数吗？
新课导入
课堂小结
三角形内角和定理：三角形内角和为 180°。
为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅
助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
推论 直角三角形的两个锐角互余。
反之，有两个角互余的三角形是直角三角形。
B
C
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
A
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵
∠C =90°，
∴
∠A +∠B =90°．
B
C
直角三角形的表示：
直角三角形可以用符号“Rt△”表示.如：直角三角形ABC 可
以写成Rt△ ABC．
例1 如图，∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与
（ ）
新课导入
三角形内角和定理的辨析
例题
若一个三角形三个内角度数的比为 2︰3︰4，那么这
个三角形是( B )
A .直角三角形
B .锐角三角形
C .钝角三角形
D .等边三角形
例题
(1)一个三角形中最多有 1 个直角.
(2)一个三角形中最多有 1 个钝角.
(3)一个三角形中至少有 2 个锐角.
60°
x =18°
x =30°
新课导入
例题+变式：根据三角形内角和定理求角度
归纳 ①直接计算： 直接利用三角形的内角和180°进行计算．
②形题数解：
设某一个角为x（或将某一个角视为未知数），其余
的角用x的代数式表示，从而根据题意列出方程(组)求
解，这就是“形题数解”．
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
八年级数学直角三角形2
Ａ
３０ ゜
Ｂ
２．如图：它是人字屋架设计图，其中 ＡＢ＝ＡＣ＝５米．Ｄ是ＡＢ的中点， ＡＥ⊥ＢＣ．如果∠ＢＡＣ＝１２0゜, 求ＡＥ和ＤＥ的长度． Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
３．如图： ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＤＣ
＝９０ ° ，Ｅ是ＡＣ的中点，ＥＦ⊥ＢＤ 于Ｆ．试说明Ｆ是ＤＢ的中点．
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｆ
Ｄ
Ｃ
4.在Ｒｔ△ABC中, ∠ ACB= ９０ °,CH 是斜边AB上的高,CM是AB上中线,CT是
∠ BCA的平分线.试说明∠ 1= ∠ 2.
C
12
A
M TH
B
１．直角三角形斜边上的中线等于斜边的＿＿． ２．在Rt△ABC中∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝３０， ＡＢ＝４厘米．则ＡＣ＝＿＿＿厘米． ３．在Rt△ABC中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的中线，
若ＣＤ＝３．５厘米，则ＡＢ＝＿＿厘米．
４．在三角形ＡＢＣ中ＣＤ是ＡＢ边上的中 线．且ＣＤ＝ 1 ＡＢ．则△ABC是＿＿三角形．
HQEZ WJL321 制作
上节课学习的直角三角形知识: １．直角三角形的两个锐角互余． ２．有两个角互余的三角形是直角三角形． ３．等腰直角三角形的两个锐角都是４５ ゜
操作实践，总结规律．
任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利 用圆规比较中线与斜边的一半的长短．你发现了什 么？
（请所有同学把结果都说出来．）
总结：直角三角形性质：
Ａ
直角三角形斜边上的中线
Ｄ
等于斜边的一半
∵ ∠C= 90゜
Ｂ
Ｃ
ＣＤ是ＡＢ边上的中线．
1
∴ＣＤ＝ 2 ＡＢ（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．）
３０ ゜
Ｂ
２．如图：它是人字屋架设计图，其中 ＡＢ＝ＡＣ＝５米．Ｄ是ＡＢ的中点， ＡＥ⊥ＢＣ．如果∠ＢＡＣ＝１２0゜, 求ＡＥ和ＤＥ的长度． Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
３．如图： ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＤＣ
＝９０ ° ，Ｅ是ＡＣ的中点，ＥＦ⊥ＢＤ 于Ｆ．试说明Ｆ是ＤＢ的中点．
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｆ
Ｄ
Ｃ
4.在Ｒｔ△ABC中, ∠ ACB= ９０ °,CH 是斜边AB上的高,CM是AB上中线,CT是
∠ BCA的平分线.试说明∠ 1= ∠ 2.
C
12
A
M TH
B
１．直角三角形斜边上的中线等于斜边的＿＿． ２．在Rt△ABC中∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝３０， ＡＢ＝４厘米．则ＡＣ＝＿＿＿厘米． ３．在Rt△ABC中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的中线，
若ＣＤ＝３．５厘米，则ＡＢ＝＿＿厘米．
４．在三角形ＡＢＣ中ＣＤ是ＡＢ边上的中 线．且ＣＤ＝ 1 ＡＢ．则△ABC是＿＿三角形．
HQEZ WJL321 制作
上节课学习的直角三角形知识: １．直角三角形的两个锐角互余． ２．有两个角互余的三角形是直角三角形． ３．等腰直角三角形的两个锐角都是４５ ゜
操作实践，总结规律．
任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利 用圆规比较中线与斜边的一半的长短．你发现了什 么？
（请所有同学把结果都说出来．）
总结：直角三角形性质：
Ａ
直角三角形斜边上的中线
Ｄ
等于斜边的一半
∵ ∠C= 90゜
Ｂ
Ｃ
ＣＤ是ＡＢ边上的中线．
1
∴ＣＤ＝ 2 ＡＢ（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．）
湘教版八年级数学下册教学课件(XJ) 第1章 直角三角形 第2课时 勾股定理的实际应用
解：(1)在Rt△ ABC中，
A
别踩我,我怕疼!
C 根据勾股定理得
AB 32 42 5米，
∴这条“径路”的长为5米. （2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步). B
二 利用勾股定理求最短距离
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A 不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾 小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的勾股 定理有关，将实际问 题转化为数学问题
典例精析 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能
否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，
A A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
C
B
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
∴AB=73cm.
能力提升： 5. 为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然 后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm， 如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂， 树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一直角三角
形模型，如图.
在Rt△ABC中，
AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
AB AC2 BC2
62 82
B
AB32= 62 +（10+8）2 =360， B2 ∴AB1＜AB2＜AB3.
1.2直角三角形性质和判定(2)——勾股定理ppt.
那么是否对所有的直角三角形，都有两
直角边的平方和等于斜边的平方呢？
A
S2
S3 S1
B
C
图1-10
探究
如图1-11， 任作一个Rt△ABC， ∠C= 90°，
若BC= a，AC= b， AB= c， 那么a2+ b2= c2是
否成立呢？
c
A
b
B
a
图1-11
C
步骤１ 先剪出4 个如图1-11 所示的直角三角形，
得出梯子往上移动的距离为（A’B - AB） m.
A’
A 墙面
梯子
地面
B C’ C 图1-17
在Rt△ABC中， AC = 4 m， BC = 1.5 m， 由勾股定理得， AB = 42 - 1.52 = 13.75 3.71(m). 在Rt△A’BC’中， A’C’ = 4 m， BC’ = 1 m， A’ 故
墙上， 使梯脚C 离墙脚B 的距离为1.5 m， 准备
在墙上安装电灯. 当他爬上梯子后，
发现高度不够，于是将梯脚往墙
脚移近0.5 m， 即移动到C′处. 那么， 梯子顶端是否往上移动0.5 m 呢？
图1-16
分析
由图1-16 抽象出示意图1-17. 在Rt△ABC 中，
计算出AB； 再在Rt△A’BC’中， 计算出A’B， 则可
B
D
C
例2
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，
DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的长； （2）求△ADB的面积． A E
解(1) ∵AD平分∠CAB，
DE⊥AB，∠C=90°， C ∴CD=DE=3.
D
八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时教学课件湘教版
一个门框尺寸如图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框C通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通2过m．
∴ 只能试试斜着能否通过，
对 要角 求线 出AACC的 的A长 长1最 ，m大 怎， 样B因 求此呢需？
3.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺
B
地毯，地毯的长度至少需____7____米
C
A
4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离 树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处， 距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵 树高____1_5______米.
5．在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠A ，∠ B， ∠C 的对边分别为 a,b,c. (1) 已知: a=5, b=12, 求c. c=12. (2) 已知: b=6,•c=10 , 求a. a=8. (3) 已知: a=7, c=25, 求b. b=24. (4) 已知: a=7, c=8, 求b . b= 15.
A
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，
D
∴ AC2+ BC2＝AB2， 2.42+ BC2＝2.52，
∴BC＝0.7m. 由题意得：DE＝AB＝2.5m，
C
BE
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m.
在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°， ∴ DC2+ CE2＝DE2 ，22+ CE2＝2.52， ∴CE＝1.5m, ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.
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B
C
2020/12/10
12
直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，
那么这条直角边所对的角等于300.
A
1 已知Rt △ ABC中，∠ACB＝Rt∠, BC= 2 AB ，
求证 ∠BAC＝300
几何语言：
1
∵在Rt △ABC中, BC= 2 AB(
∴ ∠A=30°(
)
)B
C
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2.6 直角三角形(二)
2020/12/10
1
知识回顾
直角三角形的两个锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
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2
补充：直角三角形的性质：
在直角三角形中，300角所对的直角边等于斜边 的一半.
A
30 0
几何语言：
∵∠C=90°,∠A=30°(已知)
∴BC=
1B
AB （在直角三角形中，300角所对的
2020/12/10
10
补充的定理
已知Rt △ ABC中，∠ACB＝Rt∠，
1
∠BAC＝300，求证:BC= AB.
2
A
A
30 0
B
C
D
B
C
D
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11
直角三角形的性质：
在直角三角形中，300角所对的直角边等于斜边 的一半.
A
30 0
几何语言：
∵∠C=90°,∠A=30°
∴BC= 1 AB 2
5
练一练
1. 根据下列条件判断△ABC是不是直角三角 形,并说明理由
(1)∠B=50°,∠C=40°. (2) ∠B=∠C=45° (3)∠A,∠B,∠C的度数比为5:3:2.
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6
练一练
2.如图，在△ABC中，D是AB上一点， 若∠1=∠B，∠A=∠2.
则△ABC是Rt△，请说明理由.
∴ △ABC 是Rt△ABC(如果一个三角形一边上的中线
等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. )
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8
书本72页，第3,4,5题
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9
直角三角形的判定
1.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
３、如果一个三角形一边上的中线等于这条 边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
C
2 直角边等于斜边的一半.）
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3
补充的定理
A
A
30 0
B
C
D
B
C
D
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4
直角三角形的判定
1.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
∵∠Ｃ=90°
A
∴△ABC是直角三角形
B
C
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
∵∠A+∠B=90°
∴△ABC是直角三角形
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13
试一试1
根据图中的条件，求出三角形的各角、边。
5 ①
10
5
5
②
③
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14
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
15
C
12
A
2020/12/10
DBຫໍສະໝຸດ 7如如果果三三角角形形一一边边上上的的中中线线等等于于这这边边的的一一半半,,那那 么么这这个个三三角角形形是是直直角角三三角角形形.吗？
已知：如图△ ABC中，CD是AB的
C
中线，且CD=1/2AB,
求证：△ ABC是直角三角形
几何语言：
A
D
B
∵CD是AB的中线，CD = 1/2AB(已知)