可以确定一张三次Bezier曲面片
基于镶嵌的三次Bezier曲面细分
控制点 ， ６ 共 ４个控制点。根据 ， 细分层次 ｄ ＝ ｌ ，即未 细分 时， 每片贝塞尔曲面仅计算 得到 ４个顶点 。当 ｄ ＝２时 ，每 片贝塞尔曲面计算得到 （ ２＋１ （ ） ２＋１ ）＝ ９个顶 点。当 ｄ
：３时 ， 每片贝塞尔 曲面计算得到（ １ （ ３＋ ） ３＋１ ）＝ １ ６个 顶点。与 以往作法不 同的是本方法主要在外 壳着色 器、 镶嵌 、 域着色器完成 由控 制： 顷点生 成新顶点 ， 而不 是在 Ｇ Ｕ或 者在 Ｐ
２ 镶 嵌处 理基 本过 程
Ｄｒ ｔ ｉ ｃ Ｄ的渲染管线与镶嵌 特性最 密切的 阶段如 图 １ ｅ３ 所 示。外壳着色器 （ ｕ ｈｄｒ控制 自动生成顶 点的数 量和算 Ｈ ｌＳａｅ ｌ ）
法， 定义镶嵌过 程的细分级 别 ， 再送 入 固定 功能镶嵌 （ ｅｓｌ． Ｔ ｓｅ ａ
控制点的输入和输 出数量 不一定相 同。对于 贝塞尔 曲面 ， 外 壳着色器一次输入也输 出一个控制点 ， 传递到域着 色器。 直接
所需 曲面 ， 进行相应 的法线平移 、 置换贴 图 ， 产生新 的模型 。
性地位 ， 该参 数曲面 的细分 在 图形 显示 、 计算 、 设计 等 方面有 着重要 的理论和 实际应用价值 。低代价 曲面细分方法 已经探 索 了近 １ ，ｏｐ细分 、 Ｏ年 Ｌ ｏ 蝴蝶改进法 、ａ ｕｌ ｌｒ Ｃ ｔｌ ａｋ细分方法 、 ｍ Ｃ
贝塞尔曲线——精选推荐
2．2．3 Bezier曲线在工程设计中，由给定型值点进行曲线设计往往由于型值点的误差而得不到满意的结果。
另一方面，在一些更注重外观的设计中，型值点的精度又不很重要。
从1962年起，法国雷诺汽车公司的Bezier开始构造他的以“逼近”为基础的参数曲线表示法。
以这种方法为基础，完成了一种自由型曲线和曲面的设计系统UNIS-URF，1972年在雷诺汽车公司正式使用。
Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（称为特征多边形）的各顶点唯一地定义出来的。
在多边形的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则使用控制曲线的导数、阶次和形式。
第一条和最后一条折线则表示出曲线在起点和终点处的切线方向。
曲线的形状趋向仿效多边折线的形状。
改变控制点与改变曲线形状有着形象生动的直接联系。
如图2．6所示。
1）Bezier曲线的定义给定 n＋ l个空间向量bi(i= 0，l，…，n），称 n次参数曲线段为Bezier曲线。
式中使用了Bernstein多项式Bi，n（u）作为基函数：u是局部参数，u∈[0，1]。
我们给出n＝3的Bezier曲线的矩阵表示：则有 P(u)=UMB2）Bezier曲线的性质Bezier曲线的基本数学表达式：这说明Bezier曲线在始点和终点处的切线方向是与Bezier控制多边形的第一边及最后一边的走向一致。
这说明曲线在起点和终点处的二阶导数仅与相邻的二点位置有关，而与其余各点的位置关。
Bezier曲线的这一特性说明，只需适当移动控制点就能获得满意的曲线位置和形状。
利用这个特性，当采用分段Bezier 曲线时，只要保证曲线在接点处的折线共线，就可以得到C1连续性。
如图2．7所示的一个公共端点的二条Bezier曲线，当两段曲线的控制折线在接点处共线时，就保证了它们连成的曲线在公共端点的一阶连续。
Bezier曲线还具有凸包性，即B6zier曲线均落在由它的控制点形成的凸壳内。
所谓凸壳是指用橡皮图从外面去套所有控制点所形成的凸多边形。
三次TC-Bézier与H-Bézier曲线曲面的光滑拼接
ｂｔｅｎｔｅ ｕ ｅ ｎ ｕｆ ｅ ａ ｅｅ ｅｔ ｅｙａｐｉ ｎｃｍ ｌ ａ ｄｃｒｅａｄ ｓｒ ｃ ｅｉ ｙａｊｓｎ ｅｓａｅ ｆｔｅ ｅｗ ｅ ｒ ｓａｄｓｒ ｃｓｃ ｂ ｆ ｃｖｌ ｐｌ ｄ ｉ ｏ ｐｉ ｔ ｕｖ ｕ ａｅｄｓ ｎ ｂ ｄｕｔ ｇｔ ｈｐｓｏ ｈ ｈ ｃｖ ａ ｎ ｉ ｅ ｃｅ ｎ ｆ ｇ ｉ ｈ
三次Bezier曲线原理及实现代码
Bezier曲线原理及实现代码（c++）一、原理：贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。
贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。
这条线由下式给出：且其等同于线性插值。
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪：。
TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。
一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。
P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：。
现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。
一般化P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即。
例如：。
如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。
则用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。
一些关于参数曲线的术语，有即多项式又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。
点P i称作贝塞尔曲线的控制点。
多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。
贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P 0 至P 1 的 B(t ) 所描述的曲线。
例如当 t=0.25 时，B(t ) 即一条由点 P 0 至 P 1 路径的四分之一处。
就像由 0 至 1 的连续 t ，B(t ) 描述一条由 P 0 至 P 1 的直线。
用有理双三次Bezier曲面片混合二次曲面
ｔ ｐ ｓｏ ｌｎ ｉ ｇ ｐ ｒ ｍｅ ｅ ｓ Ｉ ｄ ｉ ｏ ，ａ ｘ ｍｐ ｅ ｏ ｌｎ ｉ ｇ ｆ ｅ ｃ ｎ ｓ ｉ ｕ ｔａ ｅ ｈ ｔ ｔ ｉ ｍｅ ｈ ｄ ｙ ｅ ｆ ｂ ｅ ｄ ｎ ａ ａ ｔ ｒ ． ｎ ａ ｄ ｔ ｎ ｎ ｅ ａ ｌ ｆｂ ｅ ｄ ｎ ｉ ｏ ｅ ｌ ｓｒ ｔ ｓ ｔ ａ ｈ ｓ ｉ ｖ ｌ ｔｏ
维普资讯
第１ ９卷
第 ９期
计算 机辅 助设计 与 图形学 学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＯＭ ＰＵＴＥＲ— ＤＥ ＤＥＳ ＧＮ ＆ Ｃ Ｃ ＡＩ Ｄ Ｉ ＯＭ Ｐ ＵＴＥＲ ＧＲＡＰＨＩ Ｓ Ｃ
Ｖｏ ． ９．Ｎ ｏ． １１ ９ Ｓ ｐ．，２ ７一 ｅ ００
ｒ ｔｏ ａ ｉｕ ｃ Ｂ６ ｉｒｐ ｔ ｈ ｓ．Ｇ ｃ ｎ ｉ ｏｕ ｏ ａ ｔｉ ｃ ｉｖ ｄ ｂ ｔ ｅ ｗｏ ｐ ｔ ｈ ｓ ａ ａ ｉｎ ｌｂ ｃ ｂｉ ｚｅ ａ ｃ ｅ ｏ ｔｎｕ ｓｃ ｎｔ ｃ ｓ ａ ｈ ｅ ｅ ｅ ｗｅ ｎ ｔ ａ ｃ ｅ ｎｄ Ｇ ｂ ｔ ｅ ｈ ｅ ｗｅ ｎ ｔ ｅ ｂｌｎ ｉ ｇ ｓ ｒａ ｅ ａ ａ ｈ ｑｕ ｄ ｉ ．Ｅｘ ｌ ｉ ｒ ｐ ｅ ｅ ｔ ｔｏ ｓ ｏ ｏ ｒ ｌｐ ｉ ｓｏ ｗｏ ｐ ｔ ｈ ｓ ａ ｅ ｇｉｅ ｅ ｄ ｎ ｕ ｆ ｃ ｎｄ ｅ ｃ ａ ｒｃ ｐ ｉ ｔ ｅ ｒ ｓ ｎ ａ ｉｎ ｆｃ ｎｔｏ ｏ ｎｔ ｆ ｔ ａ ｃ ｅ ｒ ｖ ｎ．Ｔｈ ｃ ｅ
mfc 三次贝塞尔曲线拼接圆
mfc 三次贝塞尔曲线拼接圆MFC(Microsoft Foundation Classes)是Microsoft提供的一个用于快速开发Windows应用程序的框架。
在MFC中，图形处理常常是应用程序中的重要组成部分。
在本文中，我将探讨使用MFC实现三次贝塞尔曲线拼接圆的方法和技巧。
让我们来了解一下什么是三次贝塞尔曲线。
三次贝塞尔曲线是一种平滑的曲线，它由起始点、终止点和两个控制点组成。
通过调整控制点的位置，可以改变曲线的形状。
三次贝塞尔曲线的公式如下所示：B(t) = (1 - t)³P0 + 3(1 - t)²tP1 + 3(1 - t)t²P2 + t³P3在这个公式中，P0是起始点的坐标，P1和P2是控制点的坐标，P3是终止点的坐标，t是一个0到1之间的参数。
这个参数决定了曲线上的点的位置。
现在，让我们将三次贝塞尔曲线和圆形联系起来。
我们知道圆是一个由无限多个点组成的曲线，这些点的距离圆心的距离是相等的。
我们可以使用三次贝塞尔曲线来模拟圆形。
为了拼接圆，我们需要使用多个三次贝塞尔曲线来逼近圆的形状。
我们可以将圆分成若干个相等的弧段，并将每个弧段近似为一个三次贝塞尔曲线。
通过在相邻的曲线之间设置控制点使得曲线能够平滑地连接起来，从而拼接成一个完整的圆。
在MFC中，我们可以使用CPoint类来表示点的坐标。
对于每个三次贝塞尔曲线，我们需要四个CPoint对象来表示起始点、两个控制点和终止点。
通过调整这四个点的坐标，我们可以控制曲线的形状。
现在让我们来编写一个程序来实现这个功能。
我们需要创建一个MFC 应用程序，并添加一个绘图区域。
在绘图区域中，我们可以使用MFC 提供的函数来绘制曲线和圆。
接下来，我们需要计算每个弧段的起始点、终止点和控制点的坐标。
由于圆是对称的，我们可以使用旋转和平移的方法来计算这些点的坐标。
对于第一个弧段，起始点和终止点的坐标可以通过简单的旋转获得。
三次HC-Bézier曲线的分割算法和拼接条件
ａ ｎ ｄ ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ ｓ ．Ａ ｆ ａ ｍｉ ｌ ｙ ｏ ｆ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ Ｂ６ ｚ ｉ ｅ ｒ ｃ ｕ ｖｅ ｒ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ｏ ｆ ｈ ｙ ｐ ｅ ｒ ｂ ｏ ｌ ｉ ｃ ｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｗｉ ｔ ｈ ａ ｓ ｈ ａ ｐ ｅ ｐａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｗａ ｓ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ， ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｃ ｕｒ ｖ ｅ ｓ ａ ｒ ｅ ｃ ａ ｌ ｌ ｅ ｄ ａ ｓ ＨＣ－ Ｂ６ ｚ ｉ ｅ ｒ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｓ ．Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐａ ｐ ｅ ｒ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｓ ｔ ｈ ｅ ｓ ｕ ｂｄ ｉ ｖ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎｎ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｏ ｎ ｄｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｃ ｕｂ ｉ ｃ ＨＣ・ ・ Ｂ６ ｚ ｉ ｅ ｒ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｓ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ＨＣ－ － Ｂ６ ｚ ｉ ｅ ｒ ｂａ ｓ ｉ ｓ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ａ ｎ ｄ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｐｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ．Ｔ ｈｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ａ ｒ ｅ ｕ ｓ ｅ ｆ ｕ ｌ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈｅ ｓ ｈ ａ ｐ ｅ ｍｏ ｄｉ ｉｃ ｆ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｒ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ＨＣ— Ｂ６ ｚ ｉ ｅ ｒ ｃ ｕ ｖｅ ｒ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ：ＨＣ－ Ｂ６ ｚ ｉ ｅ ｒ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｓ ； Ｂ６ ｚ ｉ ｅ ｒ ｃ ｕｒ ｖ ｅ ｓ； ｓ ｕ ｂ ｄ ｉ ｖ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ
三次Bezier曲线
三次Bezier曲线一、程序设计功能：1.设计绘图窗口，能实现数据的多次输入；2.具有多次绘图功能，能实现不同数据的绘图；3.具有清屏功能，在画完该次图形后，清除图像并重建坐标系，4.具有数据完整性检测功能，当数据输入不完整时，通过弹窗提示用户数据输入不完整。
二、程序设计思想：先在草稿纸上求出三次Bezier曲线的各坐标参数前的系数表达式：a1 = -px(0) + 3 * px(1) - 3 * px(2) + px(3)b1 = 3 * px(0) - 6 * px(1) + 3 * px(2)c1 = -3 * px(0) + 3 * px(1)d1 = px(0)a2 = -py(0) + 3 * py(1) - 3 * py(2) + py(3)b2 = 3 * py(0) - 6 * py(1) + 3 * py(2)c2 = -3 * py(0) + 3 * py(1)d2 = py(0)然后根据三次Bezier曲线的特点来定义为以u为变量的函数，然后根据取点速率的不同来绘制相应四个顶点的曲线。
三、程序代码：Private Sub Command1_Click()Picture1.DrawWidth = 2Picture1.FontSize = 12 '此处定义绘制坐标系时的字体大小，因为后面程序要用到字体设置，故此处字体设置要重新声明，不可用系统默认的字体，否则再次绘制图形时，坐标由于字体过大而很难看Picture1.Scale (-300, 300)-(300, -300) '定义PictureBox坐标系Picture1.Line (-300, 0)-(300, 0)Picture1.Line (0, 300)-(0, -300) 'VB编译系统中，其默认的是在Form（窗体）中画图，当需要在其他属性框中画图时，需要加上其对应的属性框名称Picture1.CurrentX = 270: Picture1.CurrentY = 40: Picture1.Print "X"Picture1.CurrentX = 15: Picture1.CurrentY = 285: Picture1.Print "Y"Picture1.FontSize = 9 '坐标上的数字字体小一些For i = -280 To 280 Step 40Picture1.Line (i, 0)-(i, 8)Picture1.CurrentX = i - 12: Picture1.CurrentY = -5: Picture1.Print iNext iFor j = -280 To -40 Step 40Picture1.Line (0, j)-(8, j)Picture1.CurrentX = -28: Picture1.CurrentY = j + 10: Picture1.Print jNext jFor j = 40 To 280 Step 40Picture1.Line (0, j)-(8, j)Picture1.CurrentX = -28: Picture1.CurrentY = j + 10: Picture1.Print jNext jDim px(4) As Double '定义控制点的x坐标的数组Dim py(4) As Double '定义控制点的y坐标的数组Dim a1, b1, c1, d1 As Double '定义x系数Dim a2, b2, c2, d2 As Double '定义y系数Dim x, y, u As Double '定义曲线中的自变量u和变量x，yIf (Not IsNumeric(Text1) Or Not IsNumeric(Text2) Or Not IsNumeric(Text3) Or Not IsNumeric(Text4) _Or Not IsNumeric(Text5) Or Not IsNumeric(Text6) Or Not IsNumeric(Text7) Or Not IsNumeric(Text8)) ThenMsgBox "对不起！系统检测到数据输入不完整，请您输入完整后绘图。
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2 v 1 v
ru2 (0, v) (v)ru1 (1, v)
1 T
组合曲面所有等v线的梯度连续用矩阵表示为:
0
0 1 0 Ar A V (v) 3 2 1 1 Ar A V
1 1 v 3 3 v 2 1 v3
4、C0连续的Bézier组合曲面(位置连续)
用 Bé zier 曲面片组合曲面时 , 曲面拼合处位置 连续,要求: r1(1,v)=r2(0,v)
曲面片2 曲面片1
[1 1 1 1]AM1AT=[1 0 0 0]AM2AT
实验七
一、实验目的、要求
曲面
1、检查学生对曲面生成算法理论的掌握程度； 2、培养学生结合曲面生成算法理论，编程实现Bézier曲面、或双三次均匀B 样条曲面、或NURBS曲面设计与绘制的能力； 3、培养学生根据相关理论，能借助计算机分析解决实际问题的能力。
二、Bezier曲面算法基础
基于Bezier曲线的讨论，我们可以方便地可以给出Bezier曲面的定义和性质， Bezier曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况。 1.定义
v
r (u ) ri (v* ) Bi ,3 (u )
i 0
3
将u,v向曲线方程合并得：
r (u, v) ri (v) Bi ,3 (u ) Bi ,3 (u )r (i, j ) B j ,3 (v)
i 0 i 0 j 0 3 3 3
v
u
3、Bézier曲面片的矩阵表达式
3. 编写图形程序：
在如上图所示的此新建的Project内，Workspace视窗下 选择FileView，然后点击ThirdP Files展开它，在Source Files中找 到FirstPView.cpp文件，在该文件中找到CView类下的列函数： void C ThirdP View::OnDraw(CDC* pDC) {
rij
v
r (u , v) ri (v) Bi ,3 (u ) Bi ,3 (u )r (i, j ) B j ,3 (v)
i 0 i 0 j 0 3 3 3
u
r00 r ( B0,3 (u ) B1,3 (u ) B2,3 (u ) B3,3 (u )) 10 r20 r30 0 0 0 r00 1 r 3 0 0 2 3 3 10 (1 u u u ) 3 6 3 0 r20 1 3 3 1 r30
即:
r r
1 3i
2 0i
, 上图即为两张C0连续的Bézier曲面片.
5、C1连续的Bézier组合曲面(导矢连续)
曲面片2
曲面片1
若要得到跨界一阶导矢的连续性, 对于0≤v≤1,曲面片1在u=1的切平面 和曲面片2在u=0处的切平面重合,曲面 的法矢在跨界处连续,即:
ru2 (0, v) rv2 (0, v) (v)ru1 (1, v) rv1 (1, v)
1
1
0
1 3 0 3 1
0 3 6 3
0 0 3 3
0 r00 r 0 10 0 r20 1 r30
r01 r11 r21 r31
r02 r12 r22 r32
r03 r13 r23 r33
2
2
r00 r 10 0 0 0 1 r20 r30
r01
r02
r11 r12 r21 r22 r31 r32
r03 r13 1 0 0 0 r23 r33
r00 r 10 r20 r30
r01 r11 r21 r31
r02 r12 r22 r32
பைடு நூலகம்
r03 r13 r23 r33
1 3 1 1 1 1 3 1 0 3 6 3 0 0 3 3 0 r00 r 0 10 0 r20 1 r30 r01 r11 r21 r31 r02 r12 r22 r32 r03 r13 1 0 r23 r33
2 T
2 1 1 (r12 r ) ( r r i 0i 3i 2i )
取λ (ν )=λ ，
表明跨界的四对棱边必须共线。
三．实验步骤：
1.建立工程： ①打开Visual C++； ②选择File→New→Projects→MFC AppWizard[exe]，在Project Name内 输入工程名，并在Location选择程序文件存储路径，最后点击OK。
r01 r11 r21 r31 r01 r11 r21 r31
r02 r12 r22 r32 r02 r12 r22 r32
r03 B0,3 (v) B (v ) r13 1,3 r23 B2,3 (v) r33 B3,3 (v) r03 1 3 3 0 3 6 r13 r23 0 0 3 r33 0 0 0
2、 Bézier曲面片
给定空间16个位置点rij，可以确定一张三 次Bezier曲面片。 首先生成四条v向的三次Bezier曲线： v rij u
ri (v) rij B j ,3 (v)
j 0
3
i 0,1, 2,3
u
V*
根据“线动成面”的思想，按设定间 隔取 ，在四条v线上取点，沿u v* [0,1] 向生成三次Bezier曲线：
2. 选择欲创建的文档类型： 在Step1对话框中，选择Single Document或Multiple Documents 或Dialog based中任意一项均可，但后续操作不一样。（如选Multiple Documents）点击Finish（若还有其他需要则选Next>）；
在如下New Project Information框内下点击OK。