双三次Bezier曲面
双三次bezier曲面法向量计算
双三次Bezier曲面法向量计算在计算机图形学中，双三次Bezier曲面是一种常用的曲面表示方法，它可以通过控制点来描述复杂的曲面形状。
在实际应用中，我们经常需要计算Bezier曲面上各点的法向量，以便进行光照、渲染和其他图形处理操作。
本文将从基础概念开始，逐步深入地探讨双三次Bezier曲面法向量的计算方法。
1. 什么是双三次Bezier曲面先来了解一下什么是双三次Bezier曲面。
双三次Bezier曲面是由两个方向上分别为双三次Bezier曲线的曲面组成。
它由16个控制点所确定，其中4x4个点可以用来描述曲面形状，而每个控制点可以在3D空间中确定。
在三维空间中，双三次Bezier曲面可以被表示为B(u, v)=ΣΣPijBi(u)Bj(v)，其中Pij为控制点，Bi(u)和Bj(v)为Bezier基函数。
2. 双三次Bezier曲面法向量的计算接下来，我们将讨论如何计算双三次Bezier曲面上各点的法向量。
对于双三次Bezier曲面上的某一点，我们可以通过偏导数来计算其法向量。
具体而言，我们可以使用以下公式来计算双三次Bezier曲面上某一点的法向量：N(u, v)=Bv(u, v)×Bu(u, v)。
3. 法向量的应用法向量在图形学中有着广泛的应用。
比如在渲染中，法向量可以帮助我们计算光照效果，使得曲面看起来更加真实。
另外，在非真实感渲染中，法向量也可以用来渲染卡通风格的图像。
法向量还可以用于碰撞检测、物体拾取等应用领域。
4. 个人观点和理解对于双三次Bezier曲面法向量的计算，我个人认为这是计算机图形学中非常重要的一个知识点。
理解并掌握了曲面法向量的计算方法，可以帮助我们更好地处理曲面的光照效果、渲染和交互操作。
深入理解法向量的应用也可以为我们在图形学领域的研究和开发提供更多的可能性。
总结通过本文的讨论，我们了解了双三次Bezier曲面的基本概念，以及如何计算曲面上各点的法向量。
双三次Bezier曲面
实验六 双三次Bezier 曲面一、实验目的根据Bizer 曲面的基础知识和数学基础，对其算法进行程序设计，验证算法的正确性，并通过程序结果加深对常用曲面数学模型的理解。
二、实验任务（2学时）Bezier 曲面算法及其程序设计。
三、实验内容和实验步骤1、算法描述Bezier 曲面是由Bezier 曲线拓广而来，以两组正交的Bezier 曲线控制点构造空间网格来生成曲面。
m×n 次张量积形式的 Bezier 曲面的定义如下(参照教材P200式7-20)：（u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕双三次Bezier 曲面定义如下(参照教材P201式7-21)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕展开上式，有代入得到：)()(),(m 0i ,,0,∑∑===v B u B P v u p n j m i n j j i 33,,3,3i 00(,)()() i j i j j p u v P B u B v ===∑∑0,30,00,10,20,31,31,01,11,21,30,31,32,33,32,02,12,22,32,33,03,13,23,33,3()()(,)()()()()()()B v P P P P B v P P P P p u v B u B u B u B u P P P P B v P P P P B v ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦320,3321,3322,333,3()331()363()33()B u u u u B u u u u B u u u B u u ⎧=-+-+⎪=-+⎪⎨=-+⎪⎪=⎩320,3321,3322,333,3()331()363()33()B v v v v B v v v v B v v vB v v ⎧=-+-+⎪=-+⎪⎨=-+⎪⎪=⎩0,00,10,20,31,01,11,21,3322,02,12,22,313313630(,)13300P P P P P P P P p u v u u u P P P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥32133136303300v v v ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥令则有： 生成曲面时可以通过先固定u, 变化v 得到一簇Bezier 曲线；然后固定v ，变化u 得到另一簇Bezier 曲线，两簇曲线交织生成Bezier 曲面。
《计算机图形学》练习测试题
《计算机图形学》练习测试题库一．选择题1．实验表明，镜面反射系数W(θ)与物体类型和角度有关。
当角度θ在30到60度时，金、银玻璃三种物体的W(θ)值从小到大依次为( B )。
A 银、金、玻璃B 玻璃、银、金C 金、玻璃、银D 玻璃、金、银2．灰度等级为16级，分辨率为1024*1024的显示器，至少需要的帧缓存容量为（ A ）A 512KB;B 1MBC 2MB;D 3MB3．在面片的数量非常大的情况下哪一个消隐算法速度最快? ( C )A 深度缓存算法(Z-Buffer)B 扫描线消隐算法C 深度排序算法(画家算法)D 不知道4．双三次Bezier曲面的4条边界都是三次Bezier曲线，其特征网格有( C )个顶点。
A 9；B 12；C 16；D 205．下列有关平面几何投影的叙述，错误的是( C )A 透视投影又可分为一点透视、二点透视、三点透视；B 斜投影又可分为斜等测、斜二测；C 正轴测又可分为正一测、正二测、正三测；D 正视图又可分为主视图、侧视图、俯视图。
6．下面关于深度缓存消隐算法(Z-Buffer)的论断哪一条不正确? ( B )A 深度缓存算法并不需要开辟一个与图像大小相等的深度缓存数组B 深度缓存算法不能用于处理对透明物体的消隐C 深度缓存算法能并行实现D 深度缓存算法中没有对多边形进行排序7．用转角法判别点在区域的内外。
将疑点M与边界上一点P连接，当P沿边界移动一周时，M点处于区域外的是( A )A MP与给定的某条直线夹角变化值为0;B MP与给定的某条直线夹角变化值为2π；C MP与给定的某条直线夹角变化值为π；D MP与给定的某条直线夹角变化值为3π8. 在下列叙述语句中，不正确的论述为（ C ）A 在图形文件系统中，点、线、圆等图形元素通常都用其几何特征参数来描述；B 在图形系统中，图形处理运算的精度不取决于显示器的分辨率；C 在光栅扫描图形显示器中，所有图形都按矢量直接描绘显示，不存在任何处理；D 在彩色图形显示器中，使用RGB颜色模型。
chapter3Bezier 曲线与曲面
–常庚哲：中国的Bezier，曲面凸性 – 梁友栋：几何连续的浙大学派，梁叶郑马 –刘鼎元：实用的几何连续条件 • Hoschek的故事 • 刘汪佳话 –纪念Bezier的CAGD专辑
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P 1
P0
P2
P 1
P3
P3
P0
P2
图3.1.8 三次Bezier曲线
(1 t ) Bi ,n 1 (t ) tBi 1,n 1 (t )
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（6）导函数
Bi,n (t ) n[ Bi 1,n 1 (t ) Bi ,n 1 (t )], i 0,1, , n;
（7）最大值。Bi , n ( t )在 t
n
由二项式定理可知：
i i n i n B ( t ) C t ( 1 t ) [( 1 t ) t ] 1 i ,n n i 0
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（4）对称性
Bi ,n (t ) Bni ,n (t )
因为
n i Bn i ,n (t ) C n [1 (1 t )] n ( n i ) (1 t ) n i i i Cn t (1 t ) n i Bi ,n (1 t )
0=1, 0!=1
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2．Betnstein基函数的性质 （1）正性
（2）端点性质
0t 0,1 Bi ,n (t ) 0t (0,1),i 1,2, , n 1;
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（3）权性
B
i 0
n i 0
n
i ,n
(t ) 1t (0,1)
双三次Bezier曲面的绘制
课程名称：《计算机图形学》论文题目：双三次Bezier曲面的绘制教学部：年级：班级：学号：姓名：摘 要：本文主要讨论了在VC++中使用OpenGL 绘制Bezier 、NURBS 等典型曲面的一般性方法和OpenGL 的特点及功能，OpenGL 可以与Visual C++紧密接口，便于实现机械手的有关计算和图形算法，可保证算法的正确性和可靠性 。
关键词：Bezier 曲面；OpenGL ；曲面绘制一、设计概述1．设计要求1）掌握双三次Bezier 曲面定义：Bezier 曲面与 Bezier 曲线有相同的性质，Bezier 曲面片是由特征多面体的顶点决定的，利用两组正交的 Bezier 曲线逼近由控制点网格描述的曲面。
给定（n+1）*（m+1）个点Pjk （i=0，1…n ；j=0，1，...m ），则可以生成一个n*m 次的Bezier 曲面片，其表示形式为其中Pij 是Bezier 曲面片的特征多面体。
当m=n=3时，特征多面体有16个顶点，其相应的Bezier 曲面片称为双三次Bezier 曲面片。
2）实现矩阵相关运算；双三次Bezier 曲面片的矩阵表示为其中2．设计方案∑∑===m i n j n j m i j i Q v B u B p v u 00,,,)()(),([0,1]v)(u,∈T T bb Q V GM UM v u =),(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=0001003303631331b M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211P P P P P P P P P P P P P P P P G []123u u u U =[]123v v v V =1）给定16个三维控制点如下：P00(200,20,0),P01(150,0,100),P02(50,-130,100),P03(0,-250,50)；P10(150,100,100),P11(100,30,100),P12(50,-40,100),P13(0,-110,100)；P20(140,280,90),P21(80,110,120),P22(30,30,130),P23(-50,-100,150)；P30(150,350,30),P31(50,200,150),P32(0,50,200),P33(-70,0,100)；2）实现键盘控制曲面旋转效果二、环境需求分析开发环境：Windows XP开发工具：Microsoft Visual Studio 2005运行环境：本系统是基于OpenGL软件接口和VC++应用程序开发的一套管理系统，本系统可以在装有Windows 98 /2000/XP/NT的操作系统下运行。
双三次b样条曲面与费格森曲面和双三次贝齐尔曲面的等价关系式
双三次b样条曲面与费格森曲面和双三次贝齐尔曲面的等价关系式双三次B样条曲面（Bi-Cubic B-Spline Surface）是一类基于多项式插值的曲面表示方法。
在计算机图形学、计算机辅助设计、机器视觉等领域中广泛应用。
而费格森曲面（Ferguson Surface）和双三次贝齐尔曲面（Bi-Cubic Bezier Surface）也是常见的曲面生成方法。
本文将介绍这三种曲面生成方法的等价关系式。
首先我们来介绍双三次B样条曲面。
B样条曲面是一种通过控制顶点来控制曲面形状的方法。
B样条曲面利用局部控制的特点，可以被看作是一种分段多项式曲面，因此具有一定的灵活性。
双三次B样条曲面是一种常用的B样条曲面表示方法，其控制点的方程用二阶分段多项式表示。
费格森曲面是另一种曲面表示方法，它采用二次多项式的形式表示曲面。
它的控制顶点包括四个点：一个内部点和三个连接该内部点的边界点。
费格森曲面对于局部变形和替换，具有一定的优势。
双三次贝齐尔曲面也是一种常用的曲面表示方法，其控制点方程用三次多项式表示。
通过控制顶点的变换，可以轻松地调整曲面的形状和平滑度。
关于这三种曲面表示方法的等价关系式，在很长一段时间内一直是一个研究热点。
事实上，它们之间有一定程度上的等价性。
具体而言，费格森曲面和双三次贝齐尔曲面都可以看作是双三次B样条曲面的一种特殊情况。
以费格森曲面为例，我们可以将其表示成如下形式：S(u,v) = [(1-u)^3P0 + 3u(1-u)^2P1 + 3u^2(1-u)P2 +u^3P3]× (1-v)^2+ [(1-u)^3Q0 + 3u(1-u)^2Q1 + 3u^2(1-u)Q2 + u^3Q3] × v^2+ 3[(1-u)^2P0 + 2u(1-u)P1 + u^2P2] × (1-v)^2v+ 3[(1-u)^2Q0 + 2u(1-u)Q1 + u^2Q2] × v^2(1-v)其中，P0、P1、P2、P3和Q0、Q1、Q2、Q3为角点坐标。
bezier曲线
T1
T (s )
N1 B1
N0 B0
O （a） 曲率和挠率比较图
（b）
插值、拟合、逼近和光顺
插值 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造 一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点 进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。
线性插值:假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的 值，用一个线形函数: y = (x) =ax+b，近似代替f(x)， (x) 称 为f(x)的线性插值函数。
抛物线插值:已知在三个互异点
x1 , x2 , x3 的函数值 为 y1 , y2 , y3，要求构造一个函数 ( x) ax2 bx c 使抛物线 (x)在结点 xi (i 1,2,3) 处与 f (x)在 xi 处的 值相等,求得a,b,c即构造了插值函数。
实例图示
对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢
P(0)、P(1)描述。 将P(0)、P(1)、P(0)和P(1)简记为P0、P1、P0和 P(t ) a3t 3 a2t 2 a1t a0 t [0,1] (5-1) P1，代入
得
则有
(5-2)
参数曲线的几何形式
s 0
△s→0时，得到曲线上P(s)点的曲率k(s)，即k(s)= lim
,其几何意义是曲线的单位的切矢量对弧长的转动率，
s
与主法矢量同向。曲率的倒数1/ρ,称为曲率半径.即
是曲率反映的是曲线的弯曲程度. 对于直线它的弯曲程度处处为零,从而其曲率处处为 零.而对于圆,其上各点的弯曲程度相等,从而其曲率 为常数,其曲率半径即等于它的半径。
曲线、曲面的基本理论
曲线的表示形式
6.3 Bezier曲面
（图3.1.15打上斜线的三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该
边界的及相邻两排顶点有关；…。
Bezier曲面的主要性质
（3Байду номын сангаас几何不变性 （4）对称性 （5）凸包性
P (u ,1)
P 13 P (0,1) P03 P02
P23
P (1,1) P33
P 12
P 11
P22
P21
P(0, v)
P01
3 3 P(u,v)=∑ ∑ Pij.Bi,3(u) Bj,3 (v) , i=0 j=0
u,v∈[0,1]
Pu, v B0,3 u B1,3 u B2,3 u B3,3 u p0,0 p0,1 p p 1 , 0 1,1 p2,0 p2,1 p p 3 , 0 3,1 p0,2 p0,3 B0,3 v p1,2 p1,3 B1,3 v p2,2 p2,3 B2,3 v p3,2 p3,3 B v 3 , 3
双三次Bezier曲面
双三次Bezier曲面的边界线是由四条三次Bezier曲线 构成的。双三次Bezier曲面片则由４× ４控制点确定。 曲面的形状、位置由边界上的四个角点决定。中间四个角 点只反映曲面的凹凸程度，即点P11,P12,P21,P22控制曲 面内部的形状。 1
Q00 Q 10 Q20
v
P(0,0)
u
图3.1.16 Bezier曲面片的拼接
Bezier曲面片的拼接
如果要求两曲面片达到 G 0 连续，则它们有公共的边界，即： （ 3.1.10）
P(1, v) Q(0, v)
于是有
Pni Q0i , (i 0,1,, m)
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实验六 双三次Bezier 曲面一、实验目的根据Bizer 曲面的基础知识和数学基础，对其算法进行程序设计，验证算法的正确性，并通过程序结果加深对常用曲面数学模型的理解。
二、实验任务（2学时）Bezier 曲面算法及其程序设计。
三、实验内容和实验步骤1、算法描述Bezier 曲面是由Bezier 曲线拓广而来，以两组正交的Bezier 曲线控制点构造空间网格来生成曲面。
m×n 次张量积形式的 Bezier 曲面的定义如下(参照教材P200式7-20)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕双三次Bezier 曲面定义如下(参照教材P201式7-21)：（u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕展开上式，有代入得到： )()(),(m 0i ,,0,∑∑===v B u B P v u p n j m i nj j i 33,,3,3i 00(,)()() i j i j j p u v P B u B v ===∑∑0,30,00,10,20,31,31,01,11,21,30,31,32,33,32,02,12,22,32,33,03,13,23,33,3()()(,)()()()()()()B v P P P P B v P P P P p u v B u B u B u B u P P P P B v P P P P B v ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦320,3321,3322,333,3()331()363()33()B u u u u B u u u u B u u u B u u ⎧=-+-+⎪=-+⎪⎨=-+⎪⎪=⎩320,3321,3322,333,3()331()363()33()B v v v v B v v v v B v v vB v v ⎧=-+-+⎪=-+⎪⎨=-+⎪⎪=⎩0,00,10,20,31,01,11,21,3322,02,12,22,33,03,13,23,313313630(,)133001000P P P P P P P P p u v u u u P P P P P P P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3213313630330010001v v v ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令则有： 生成曲面时可以通过先固定u, 变化v 得到一簇Bezier 曲线；然后固定v ，变化u 得到另一簇Bezier 曲线，两簇曲线交织生成Bezier 曲面。
2、要求：根据给定的16个控制顶点：P00(200,20,0),P01(150,0,100),P02(50,-130,100),P03(0,-250,50)；P10(150,100,100),P11(100,30,100),P12(50,-40,100),P13(0,-110,100)；P20(140,280,90),P21(80,110,120),P22(30,30,130),P23(-50,-100,150)；P30(150,350,30),P31(50,200,150),P32(0,50,200),P33(-70,0,100)；使用斜等测投影绘制双三次Bizer 网格曲面。
3、程序实现步骤：（工程名:BezierCurve2）步骤1：创建“BezierCurve2”工程文件；步骤2：创建类class ：“ P2”及“P3”；注意：P2 为二维点，含有两个成员变量“x ，y”，P3含有三个成员变量“x ，y ，z”。
单击右键-→“new class”-→选择类型“Generic Class”名称为“ P2”及“P3”，添加成员变量（添加至“class EACH_ENTRY { public:”之内）：class P2{public:P2();virtual ~P2(); double x;double y;};class P3{public:P3();virtual ~P3();321U u u u ⎡⎤=⎣⎦321V v v v ⎡⎤=⎣⎦1331363033001000be M --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦0,00,10,20,31,01,11,21,32,02,12,22,33,03,13,23,3P P P P P P P P P P P P P P P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(,)T T be be p u v UM PM V=double x;double y;double z;};步骤3：包含头文件并定义顶点对象。
1）在“class CBezierCurve2View : public Cview……”之前添加代码“#include "P3.h"”及“#include "P2.h"”；#include "P3.h"//包含三维坐标点类#include "P2.h"//包含二维坐标点类2）在“class CBezierCurve2View : public CView……”内添加代码：P3 P3[4][4];//三维顶点P2 P2[4][4];//二维顶点步骤4：添加成员函数。
1）C m n的函数实现，定义成员函数，命名为Multiply_n。
方法及过程参照“实验六曲线及曲面生成算法（一）”；2）伯恩斯坦多项式B m,n(t)的函数实现，添加CBezierCurve2View::bernstein。
方法及过程参照“实验六曲线及曲面生成算法（一）”；步骤5：在OnDraw（）中添加代码：注意：添加头文件#include "math.h"//数学头文件#define Round(d) int(floor(d+0.5))//四舍五入宏定义上述两行代码添加至：类CBezierCurve2View的所有成员函数代码之前。
1）窗口坐标变换，设置客户区中心为原点CBezierCurve2Doc* pDoc = GetDocument();ASSERT_V ALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data hereCRect rect;//定义客户区矩形GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y 轴垂直向上pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点rect.OffsetRect(-rect.Width()/2,-rect.Height()/2);2）初始化16个控制顶点P3[0][0].x=20; P3[0][0].y=0; P3[0][0].z=200;//P00P3[0][1].x=0; P3[0][1].y=100;P3[0][1].z=150;//P01P3[0][2].x=-130;P3[0][2].y=100;P3[0][2].z=50; //P02P3[0][3].x=-250;P3[0][3].y=50; P3[0][3].z=0; //P03P3[1][0].x=100; P3[1][0].y=100;P3[1][0].z=150;//P10P3[1][1].x=30; P3[1][1].y=100;P3[1][1].z=100;//p11P3[1][2].x=-40; P3[1][2].y=100;P3[1][2].z=50; //p12P3[1][3].x=-110;P3[1][3].y=100;P3[1][3].z=0; //p13P3[2][0].x=280; P3[2][0].y=90; P3[2][0].z=140;//P20P3[2][1].x=110; P3[2][1].y=120;P3[2][1].z=80; //P21P3[2][2].x=30; P3[2][2].y=130;P3[2][2].z=30; //P22P3[2][3].x=-100;P3[2][3].y=150;P3[2][3].z=-50;//P23P3[3][0].x=350; P3[3][0].y=30; P3[3][0].z=150;//P30P3[3][1].x=200; P3[3][1].y=150;P3[3][1].z=50; //P31P3[3][2].x=50; P3[3][2].y=200;P3[3][2].z=0; //P32P3[3][3].x=0; P3[3][3].y=100;P3[3][3].z=-70;//P333) 三维控制顶点投影（采用斜等测法）至二维点：for(int i=0;i<4;i++)for(int j=0;j<4;j++){P2[i][j].x=P3[i][j].x-P3[i][j].z/sqrt(2);P2[i][j].y=P3[i][j].y-P3[i][j].z/sqrt(2);}// 以上代码实现：从三维到二维的斜等测投影（参照教材P173：式6-42）4）绘制控制多边形CPen NewPen,*pOldPen;NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);for(int i1=0;i1<4;i1++){pDC->MoveTo(Round(P2[i1][0].x),Round(P2[i1][0].y));for(int j1=1;j1<4;j1++)pDC->LineTo(Round(P2[i1][j1].x),Round(P2[i1][j1].y));}for(int j2=0;j2<4;j2++){pDC->MoveTo(Round(P2[0][j2].x),Round(P2[0][j2].y));for(int i2=1;i2<4;i2++)pDC->LineTo(Round(P2[i2][j2].x),Round(P2[i2][j2].y));}pDC->SelectObject(pOldPen);NewPen.DeleteObject();// 以上代码绘制控制多边形5）控制顶点标注序号CString str;pDC->SetTextColor(RGB(0,0,255));for(int i3=0;i3<4;i3++){for(int j3=0;j3<4;j3++){str.Format("P%d,%d",i3,j3);pDC->TextOut(Round(P2[i3][j3].x+10),Round(P2[i3][j3].y+2),str);}}// 以上代码实现“控制顶点标注序号”6）“曲面”生成CPen PenRed(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));//定义红色笔pDC->SelectObject(&PenRed);//选择红色笔绘制曲面double dt1=0.01,dt2=0.01;double x,y,u,v;double BU03,BU13,BU23,BU33;double BV03,BV13,BV23,BV33;//U，V两个方向，三次曲面，共8个基函数for(u=0;u<=1;u=u+dt1)for(v=0;v<=1;v=v+dt2)//对每一个u，v从0~1循环1/dt2+1次后，//生成一条由1/dt2+1个点用直线串起来的“曲线”//u从0~1循环1/dt2+1次后，生成1/dt1+1条“曲线”{BU03 = bernstein(0,3,u);//计算B0,3（u）BV03 = bernstein(0,3,v);//计算B0,3（v）BU13 = bernstein(1,3,u);//计算B1,3（u）BV13 = bernstein(1,3,v);//计算B1,3（v）BU23 = bernstein(2,3,u);//计算B2,3（u）BV23 = bernstein(2,3,v);//计算B2,3（v）BU33 = bernstein(3,3,u);//计算B3,3（u）BV33 = bernstein(3,3,v);//计算B3,3（v）//严格按照教材P201页，式7-21，为了简单起见，没有使用复杂的循环x=(BU03*P2[0][0].x+BU13*P2[1][0].x+BU23*P2[2][0].x+BU33*P2[3][0].x)*BV03+ (BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].x+BU23*P2[2][1].x+BU33*P2[3][1].x)*BV13+ (BU03*P2[0][2].x+BU13*P2[1][2].x+BU23*P2[2][2].x+BU33*P2[3][2].x)*BV23+ (BU03*P2[0][3].x+BU13*P2[1][3].x+BU23*P2[2][3].x+BU33*P2[3][3].x)*BV33;y=(BU03*P2[0][0].y+BU13*P2[1][0].y+BU23*P2[2][0].y+BU33*P2[3][0].y)*BV03+ (BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].y+BU23*P2[2][1].y+BU33*P2[3][1].y)*BV13+ (BU03*P2[0][2].y+BU13*P2[1][2].y+BU23*P2[2][2].y+BU33*P2[3][2].y)*BV23+ (BU03*P2[0][3].y+BU13*P2[1][3].y+BU23*P2[2][3].y+BU33*P2[3][3].y)*BV33;if(v==0)pDC->MoveTo(Round(x),Round(y));elsepDC->LineTo(Round(x),Round(y));}//以上双重循环程序u=0、u=dt、u=2dt……u=1的共1/dt+1条“纵向”曲线段for(v=0;v<=1;v=v+dt2)for(u=0;u<=1;u=u+dt1){BU03 = bernstein(0,3,u);BV03 = bernstein(0,3,v);BU13 = bernstein(1,3,u);BV13 = bernstein(1,3,v);BU23 = bernstein(2,3,u);BV23 = bernstein(2,3,v);BU33 = bernstein(3,3,u);BV33 = bernstein(3,3,v);x=(BU03*P2[0][0].x+BU13*P2[1][0].x+BU23*P2[2][0].x+BU33*P2[3][0].x)*BV03+(BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].x+BU23*P2[2][1].x+BU33*P2[3][1].x)*BV13+(BU03*P2[0][2].x+BU13*P2[1][2].x+BU23*P2[2][2].x+BU33*P2[3][2].x)*BV23+(BU03*P2[0][3].x+BU13*P2[1][3].x+BU23*P2[2][3].x+BU33*P2[3][3].x)*BV33;y=(BU03*P2[0][0].y+BU13*P2[1][0].y+BU23*P2[2][0].y+BU33*P2[3][0].y)*BV03+(BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].y+BU23*P2[2][1].y+BU33*P2[3][1].y)*BV13+(BU03*P2[0][2].y+BU13*P2[1][2].y+BU23*P2[2][2].y+BU33*P2[3][2].y)*BV23+(BU03*P2[0][3].y+BU13*P2[1][3].y+BU23*P2[2][3].y+BU33*P2[3][3].y)*BV33;if(u==0)pDC->MoveTo(Round(x),Round(y));elsepDC->LineTo(Round(x),Round(y));}//此双重循环程序v=0、v=dt、v=2dt……v=1的共1/dt+1条“横向”曲线段//上述两批“纵向”及“横向”曲线段，犹如“织布”般“纵横交错”,dt取值越小，“布”越密实。