三次非均匀B样条曲面的绘制
三次B样条曲线骨架卷积曲面造型
算 方 法 得 到 三 次 Ｂ样 条 曲 线 骨 架 的 势 函 数 ．
关 键 词 卷 积 曲 面 ； 隐式 曲 面 ； 阶 ； 何 造 型 降 几
中图 法 分 类 号 Ｔ ３１ Ｐ ９
Ｃｏ ｏ ｕ ｉ ｎ Ｓｕ ｆ ｃ ｏ ｅ ｉ ｇ ｆ ｒ Ｃｕ ｉ Ｓｐ ｉ ｋｅ ｅ ｏ ｎｖ ｌ ｔｏ ｒ ａ ｅ Ｍ ｄ ｌｎ ｏ ｂ ｃ Ｂ－ ｌｎｅ Ｓ ｌ ｔ ｎｓ
摘
要
提 出 一 种 基 于 Ｂ样 条 曲线 降 阶 的 三 次 Ｂ样 条 曲线 骨 架 卷 积 曲 面造 型 方 法 ． 先通 过 顶 点 扰 动 降 阶 方 法 把 首
三 次 Ｂ样 条 曲线 骨架 （ 连续 ） 阶 为 Ｃ Ｃ‘ 降 连 续 的 二 次 Ｂ样 条 ， 后 应 用 二 次 Ｂ样 条 曲线 骨 架 的 卷 积 曲 面 势 函 数 计 然
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ
Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｗｅ ｐｒ ｐ ｓ ｅ ｃ ｂ ｃ Ｂ— ｐ ｉ ｋ ｌｔ ｎ ｃ ｎ ｏ ｕ ｉ ｎ ｓ ｒａ ｅ ｍｏ ｅ ｉｇ ｍｅ ｈ ｄ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ｏ ｏ ｅ ａ ｎ ｗ ｕ ｉ ｓ ｌ ｎｅ ｓ ｅｅ ｏ ｏ ｖ ｌ ｔｏ ｕ ｆ ｃ ｄ ｌ ｔ ｏ ｎ
三次非均匀有理B样条曲线G 2连续的充分条件
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下 面探讨 Ｂ（ ）与 Ｃ（ “ ）的 Ｇ 连 续条 件
１ Ｇ。 连续 条件
两曲线 Ｂ（ 与 Ｃ（ “） ）Ｇ。 续 的充要 条件 是 Ｂ（ 连 “）与 Ｃ（ ）具有公 共连 接 点 则有 ： 定理 １ 两 曲线 Ｂ（ ）与 ｃ（ “ ）Ｇ。 连续 的 充要条件 是 ｂ ＝ Ｃ ０ 证明： 如上 所述 ， 曲线 Ｂ（ 两 “）与 Ｃ（ ）Ｇ。 连续 当 且仅 当 Ｂ（／ ／ ． ）与 Ｃ（７ 有公共 连 接 点， ＂ ｔ ）具 即
这就 定义 了两条 三次非均 匀 有理 Ｂ 样条 曲线 ． 其方程分 别 为
∑
Ｂ（ “）＝
Ｉ
．“ ） （
∑ 面ｃ ． ３） （
， ∈ ［ ． ］ 其 中， ，（ ） （ ｏ １． ，“ Ｊ
， “∈ ［ ， ］ ｃ（ ｏ １ ， ）＝￡ ———一
∑ ． ， （ ）
共 的切矢方 向， 即需
Ｂ（ “）Ｉ Ｉ＝ ｎ ）Ｉ ｏ ： Ｃ （ ： （） ３
其 ，＞， Ｂ） 舍 ｃ） 詈 其 ，“＝ Ｎ（Ｉ ） 中 ｏ （ ＝ ， ＝ ， 中 （ 骞 Ｊ ） ＝ ａ 记“ （ Ａ） ．ｎ ， “
∑ ， “ ． （ ＝∑面ｃ ） ＝∑面Ｍ． ）记 Ｂ（） “ Ｉ Ａ （） ３ ）Ｄ ） （ ∞（ ． ） （ ， ． １ ＝Ｂ（） １ （
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２０ ０ ２年 ２月
松 辽 学刊（ 自然科 学版 ）
Ｓ ｎ ｌｏＪ ｕｎ ｌＮ ｔｒｌ ｃｅ ｃ Ｅ ｉｏ ） ｏ ｇｉ ｒａ（ ａｕ ａ Ｓ ｉ ｅ ｄｔ ｎ ａ ｏ ｎ ｉ
№ ． １ Ｆｅ ｂ．
第１ 期
三次非均匀有理 Ｂ样条 曲线 Ｇ 连续 的充分条件
非均匀有理B样条NURBS曲线课件
度数和基函数共同决定了曲线的形状和性质。选择合适的 度数和基函数可以实现各种复杂的曲线形状，同时保证曲 线的光滑度和连续性。
03 NURBS曲线的生成方法
初始曲线生成
确定曲线起点和终点
根据设计需求，确定曲线的起点和终点坐标。
选择控制点
根据曲线形状要求，选择合适的控制点，控制点的数量和位置将影 响曲线的形状和精度。
确定权重因子
权重因子用于控制曲线的形状，通过调整权重因子可以改变曲线的 弯曲程度。
曲线细分与光顺
细分
将初始曲线细分成若干个小段， 每段曲线采用B样条曲线进行拟合 ，提高曲线的精度。
光顺
对细分后的曲线进行光顺处理， 消除曲线中的拐点和平滑曲线的 形状，使曲线更加平滑和连续。
曲线修改与调整
修改控制点
参数化精度
参数化的精度决定了曲线 表示的准确性和光滑度， 精度越高，曲线表示越精 确。
控制点与权因子的影响
控制点
控制点和权因子的关系
控制点是NURBS曲线中的重要元素， 它们决定了曲线的形状和位置。通过 调整控制点的位置，可以改变曲线的 形状。
控制点和权因子共同决定了曲线的形 状，通过合理设置它们的值，可以实 现各种复杂的曲线形状。
非均匀有理B样条（ NURBS曲线课件
目录
Contents
• NURBS曲线的基本概念 • NURBS曲线的数学表示 • NURBS曲线的生成方法 • NURBS曲线的应用实例 • NURBS曲线的优缺点分析
01 NURBS曲线的基本概念
NURBS曲线的定义
NURBS曲线是一种参数曲线， 它由非均匀有理基函数（ NURBS基函数）定义。
易于实现
NURBS曲线的数学模型相对简单，易于在计算机上实现，并且 已经有了许多现成的软件工具可供使用。
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面是一种常用的曲面表示方法，它通过控制顶点和控制多项式来构建曲面。
B 样条曲面的构建算法设计与实现涉及以下几个步骤：
1. 控制顶点的设计：B样条曲面的形状由一系列控制顶点决定，因此首先需要设计控制顶点的布局。
可以根据曲面的形状需求，选择合适的顶点布局方式，如网格状、均匀分
布或非均匀分布等。
2. 控制多项式的选择：控制多项式是用来计算曲面上某一点坐标的关键因素。
可以
选择二次、三次或更高次的多项式来控制曲面的平滑度和形状，通常使用三次多项式来构
建B样条曲面。
3. 节点向量的计算：B样条曲面的构建需要计算节点向量，用于计算控制顶点的权重。
节点向量可以通过均匀分布或非均匀分布的方式来确定，常用的非均匀分布方式有均匀B
样条和非均匀B样条。
4. 曲面点的计算：根据控制顶点、节点向量和控制多项式，可以计算B样条曲面上每个点的坐标。
通过遍历曲面上的离散点，根据B样条基函数的公式计算每个点的坐标，然
后将得到的坐标进行插值，得到曲面上的所有点。
5. 曲面细化与调整：通过调整控制顶点和节点向量，可以对B样条曲面进行细化和调整，以获得更加精确和符合需求的曲面形状。
可以通过改变顶点的位置和权重，或调整节
点向量的值，来实现对曲面形状的调整。
在实现B样条曲面的算法时，可以使用计算机图形学相关的工具和库，如OpenGL、OpenCV等，利用它们提供的函数和方法来实现控制顶点的布局、计算节点向量和曲面点的坐标等操作。
同时，也可以根据具体需求，自行设计和实现B样条曲面的算法，以满足特
定的应用需求。
二次Bezier曲线与三次非均匀B样条曲线的拼接
化 为二 次 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线与三次 １ ３ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线之 间的拼接 问题 ， 并分别给 出了二次 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线与三次非均
匀 Ｂ样条 曲线的拼接 的 ， Ｇ１ ， Ｇ２ 光滑拼接 条件．
关键词 ： Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线 ， Ｂ样条 曲线 ； Ｂ ｏ ， ｉ ｅ ｒ 构造方法； 光滑拼接 ； 中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １
第３ ２卷第 １ １ 期
２ ０ １ ３ 年 １ １ 月
数 学教 学研究
６ ３
二次 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线与三次非均匀 Ｂ样条 曲线的拼接
赵
摘
菲 ，张贵仓 ，葸海英
（ 西 北师范大学 数学与统计学院 ，甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
要： 利用 Ｂ样条 曲线的 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 构造 方法， 把二次 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线与三次非均 匀 Ｂ样条 曲线的拼接转
＝
（
＋
＋
，
，
６ ４
数学教学研究
第３ ２卷第 １ １ 期
２ ０ １ ３年 １ １ 月
ｗ ， ｗ ， ＋ 南 ） ，
其 中
（ 口， ｂ ， Ｃ ， ）
＝
这里 有
一
一
” ＋１一 ‰
（ Ｒ０ ， Ｒ１ ， Ｒ２ ， Ｒ３ ） 一（ （ １ －ｌ １ ） 一 ３ ＋１ １ 一 ２ ， Ｚ ２ 一 ２ ＋（ １ 一 ２ ） ｒ ｎ 一 １ ， ｒ ｎ 一１ ， ￡ ３ ｒ 一 １ ＋（ １ — — ｌ ３ ） ｒ ） ，
（ ｌ —Ｕ ｔ ｒ － １ ， ｒ ｒ ｝ １ 一 ，
科２ 一“ ” ＋ １ ， ， ｒ 卜 ３一 ｚ ‘ ２ ） ，
一种基于矩阵形式的以B样条为母线的旋转曲面
一种基于矩阵形式的以B样条为母线的旋转曲面
刘志平
【期刊名称】《淮海工学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(021)004
【摘要】旋转曲面是一类非常重要的曲面形式,给出了以B样条为母线的旋转曲面的构造方法.首先推导了三次非均匀B样条曲线的矩阵表示形式,再给出绕固定轴旋转的旋转变换矩阵,以此为基础得到旋转曲面的矩阵表示.利用给出的旋转曲面表示方法,可以很容易地使用各种数学应用软件绘制出指定的旋转曲面.最后,给了一个具体实例,并用Matlab绘制出了该旋转曲面.
【总页数】3页(P11-13)
【作者】刘志平
【作者单位】淮海工学院理学院,江苏连云港 222005
【正文语种】中文
【中图分类】O182.2
【相关文献】
1.基于推广B样条的非齐次旋转曲面细分生成 [J], 王莹;方美娥
2.计算曲线天线电流分布的一种新途径：参数形式下的B样条有限元法… [J], 李融林;俞集辉
3.一种基于矩阵LU分解的分段B样条插值法 [J], 谢志鹏;施建文
4.均匀B样条曲线的一种表示形式 [J], 陆晓岚;杭后俊
5.三次均匀B样条插值曲线和曲面的矩阵形式 [J], 符祥;郭宝龙
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三次非均匀B样条在矿井通风机叶片类曲面上的应用
其中 ， ｄ ｉ 为控制定点 ， ． （ ｕ ） 为ｋ 次规范 Ｂ样条
基 函数 ，它是 由一个 节点矢 量 的非递 减 参 数 的序 列， 也 就 是 ｋ次多 项式 样条 。 Ｂ样条 的定 义有 很多 中 ，
， 因此 ， 运用该方法
得 到非 均匀 Ｂ样 条 的节点矢 量 的公 式如下 所 示 ：
１ ６
８ ． ５ ６ ６
１ ５ ． ４ ９ ２
２ ８ ． ３ ４ ２
ｌ
ｐ （ ｕ ） ＝∑ Ｊ ７ 、 Ｉ ． ｕ ） ＝ ｇ 汹
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ７ — ０ ８
作者简介 ： 聂 凯， 晋城煤 炭规划设计 院。
２ ７ ４
《 装 备制 造技 术） ２ ０ １ ３年第 １ ０期
来的计算弊端 ， 相应的能够减少其计算量 ， 提供计算 效率 ，同时这种算法相对 比较稳定 ，数值较安全可 靠， 能够做为矿井通风机叶片类 曲线上的数值 。 三次非均匀 Ｂ样条 曲线的反算 ，可以将 曲线定 义为 ＵＥ［ ， 。 ］ Ｕ［ ， 】 内的节点值 ， 将求得 的值 依次带人到方程 中 ， 来满足其差值条件 ， 也就是如下
中图分类号 ： Ｔ Ｈ ２ １ ３ ． ４
文献标识码 ： Ｂ
文章编号 ： １ ６ ７ ２ — ５ ４ ５ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） １ ０ 机叶片类 曲面的 从上式 中能够看 出， 如果需要确定第 ｉ 个 Ｋ次 Ｂ 造型直接决定了通风机的使用效率。 这主要是 因为通 样条 的基本 函数 ，就需要 ， …， 。 等ｋ 个节 点。如果曲线方程中的 ｎ ＋ １ 个控制定点为 ， 因此就 风机造型质量 的高低就会对后续的加工精度有一定 ＋ １ 个 次 Ｂ样 条基础 函数 。 的影响 ， 继而就会影响到通风机 的使用效率 ， 不仅延 需要 ｎ 长了完工时间 ， 而且还增加了机器维修成本。 因此 ， 针 三次 非均 匀 Ｂ样 条在 矿 井通风 机 叶片 类 对 此 种情 况 ，就提 出 了一种 三 次 非均 匀 Ｂ样 条 的方 ２ 曲面上的应用 法， 来 对通 风机 叶片类 曲面 的各 截面线 进行 拟合 。
非均匀有理B样条
C (t )
n
i 0
P Bi ,n (t ), 0 t 1 i
2018/9/9 6 / 60
© 2004 Dept. of Computer Science and Engineer
常用的参数曲线 － Bezier曲线
Bernstein基函数（曲线上各点位置矢量的调和函数）形式：
n! ni ni i i i Bi ,n (t ) t 1 t Cn t 1 t i!n i !
Bernstein调和函数的性质：
-
i 0,1,, n
1）正性：
当满足
i 1,2,, n 1 0, Bi ,n (t ) 0, i n和i 0
时：
t 0,1 t (0,1)
时：
i 1,2,, n 1 i 1,2,, n 1
当满足
'' n2
C)曲率：
if t 0, C '' (0) n(n 1)( P2 2 P 1P 0 ); if t 1, C '' (1) n(n 1)( Pn 2 Pn 1 Pn 2 )
-
Bezier曲线在端点处的r阶导数，只与（r+1）个相邻点有 关，与更远的点无关；
上式要求多项式在节点处连续，即 qi 1 (ti ) qi (ti ), i 1,, k 1 但多项式在节点处不一定光滑，即在节点处可以有尖角或拐点； 多项式的阶数： - 高阶多项式有摇摆特性－》曲线绘制时不是很有用； - 最有用的分段多项式为3阶多项式：原因： 达到光滑和令人满意的曲线的最小阶数是3； 表示三维曲线所需的最小数字是3；
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%%%%%%%%%%三次非均匀B样条曲面的绘制
clc
clf
clear
A=input('请输入控制点：')%16个控制顶点要求以列向量表示点的坐标[2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5;2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5;1 2 3 1 3 4 6 2 7 5 6 2 9 1 3 4];
n=input('请输入所需绘制B样条曲线的次数：');
Vx=[A(1,1:4);A(1,5:8);A(1,9:12);A(1,13:16)];%将控制顶点的x坐标放到维数为4的方阵中
V y=[A(2,1:4);A(2,5:8);A(2,9:12);A(2,13:16)];%将控制顶点的y坐标放到维数为4的方阵中Vz=[A(3,1:4);A(3,5:8);A(3,9:12);A(3,13:16)];%将控制顶点的z坐标放到维数为4的方阵中plot3(A(1,:),A(2,:),A(3,:),'o');%输出控制顶点
hold on
syms u
syms w
P_uwx=[0];
P_uwy=[0];
P_uwz=[0];
for i=1:1:4;
for j=1:1:4
u0=0;u1=0;u2=0;u3=0;u4=1;u5=1;u6=1;u7=1;%给定4个控制顶点所取的节点矢量
B1=(u4-u3-u)^3/((u4-u3)*(u4-u2)*(u4-u1));
B2=((u3-u1+u)*(u4-u3-u)^2)/((u4-u3)*(u4-u2)*(u4-u1))+((u5-u3-u)*(u4-u3-u)*(u3-u2+u))/((u5-u 2)*(u4-u3)*(u4-u2))+((u5-u3-u)^2*u)/((u5-u3)*(u5-u2)*(u4-u2));
B3=((u4-u3-u)*(u3-u2+u)^2)/((u5-u2)*(u4-u3)*(u4-u2))+((u5-u3-u)*u*(u3-u2+u))/((u5-u3)*(u5-u2)*(u4-u3))+((u6-u3-u)*u^2)/((u6-u3)*(u5-u3)*(u4-u3));
B4=u^3/((u6-u3)*(u5-u3)*(u4-u3));
B=[B1;B2;B3;B4];%三次非均匀B样条基函数矩阵（自由曲线曲面造型技术139页）
w0=0;w1=0;w2=0;w3=0;w4=1;w5=1;w6=1;w7=1;%给定4个控制顶点所取的节点矢量
C1=(w4-w3-w)^3/((w4-w3)*(w4-w2)*(w4-w1));
C2=((w3-w1+w)*(w4-w3-w)^2)/((w4-w3)*(w4-w2)*(w4-w1))+((w5-w3-w)*(w4-w3-w)*(w3-w2 +w))/((w5-w2)*(w4-w3)*(w4-w2))+((w5-w3-w)^2*w)/((w5-w3)*(w5-w2)*(w4-w2));
C3=((w4-w3-w)*(w3-w2+w)^2)/((w5-w2)*(w4-w3)*(w4-w2))+((w5-w3-w)*w*(w3-w2+w))/((w 5-w3)*(w5-w2)*(w4-w3))+((w6-w3-w)*w^2)/((w6-w3)*(w5-w3)*(w4-w3));
C4=w^3/((w6-w3)*(w5-w3)*(w4-w3));
C=[C1;C2;C3;C4];%三次非均匀B样条基函数矩阵
Puwx=Vx(i,j)* B(i)*C(j);%控制顶点的x坐标与两个方向的基函数做乘积
Puwy=V y(i,j)* B(i)*C(j);
Puwz=Vz(i,j)* B(i)*C(j);
P_uwx=P_uwx+Puwx;%得到曲面的x坐表关于u,w的表达式（自由曲线曲面造型技术146页）
P_uwy=P_uwy+Puwy;%得到曲面的y坐表关于u,w的表达式
P_uwz=P_uwz+Puwz;%得到曲面的z坐表关于u,w的表达式
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%曲面的绘制
X1=zeros(11);Y1=zeros(11);Z1=zeros(11);%形成11维0矩阵
i=1;j=1;
for m=0:1/10:1;
for n=0:1/10:1;
X=subs(P_uwx,{u,w},{m,n});%P=subs(P,{u,w},{m,n})就是把P表达式中所有u,w都用具体的m,n值代替
Y=subs(P_uwy,{u,w},{m,n});
Z=subs(P_uwz,{u,w},{m,n});
X1(i,j)=X;%将X的值放入11维的方阵
Y1(i,j)=Y;
Z1(i,j)=Z;
j=j+1;
end
j=1;
i=i+1;
end
grid;
surf(X1,Y1,Z1);
hold on
输出结果：
图1.三次非均匀曲面图。