B样条曲线曲面的性质及其生成算法的研究

B样条曲线曲面的性质及其生成算法的研究XXX（XXX学院数学与信息科学学院05级信本（2）班）摘要从B样条曲线曲面的定义入手，阐述了B样条曲线曲面的性质，在生成算法中提出了一个扩展B样条曲线曲面的新方法.扩展B样条曲线曲面的关键是为新增加的点确定节点值.生成算法的基本思想是:首先，B样条曲线和扩展部分在连接点处满足2GC连续，用能量极小化方法确定扩展部分的曲线形状，通过对曲线重新参数化使两部分曲线满足2C连续，进而确定新增加点的节点值.文章还讨论了运用该方法进行B样条曲面扩展，且以实例对新方法与其它方法进行了比较.关键词：B样条曲线; B样条曲面;参数化;曲线扩展Research On The Nature Of B-spline Curves And Surfaces AndTheir Generation AlgorithmYongning ZhangCollege of Mathematics and Information Science , Xianyang Normal University , InformationClass 05(2)AbstractFirst, the definitions of B-spline curves and surfaces are introduced, and then the nature of B-spline curves and surfaces are studied. On the final, a new generation algorithm on expansion of B-spline curves and surfaces is proposed. The key thought of expansion of B-spline curves and surfaces is to determine the value of the new points. The basic idea of generation algorithm is: First of all, B-spline curve and the extension of the connecting points in a row to meet with the energy minimization method to determine the extension of the curve shape of the curve through re-parameterized so that the two parts meet the continuous curve, and then determine the new value of the node points. The article also discussed the use of the method of B-spline surfaces expansion, and compared an example of the new method with other methods.Keywords: B-spline curve; B-spline surfaces; parameter; curve extension目录引言........................................................... - 3 - 1．B样条曲线.................................................. - 3 -1.1 B样条基函数的定义...................................... - 3 -1.2 B样条曲线的定义........................................ - 3 -1.3 B样条曲线的性质....................................... - 4 -1.3.1 严格的凸包性...................................... - 4 -1.3.2 分段参数多项式.................................... - 4 -1.3.3 可微性或连续性.................................... - 4 -1.3.4 几何不变性........................................ - 4 -1.3.5 局部可调性........................................ - 4 -1.3.6近似性............................................ - 5 -1.3.7变差缩减性........................................ - 5 -1.4 B样条曲线的分类....................................... - 5 -1.4.1均匀B样条曲线.................................... - 5 -1.4.2 非均匀B样条曲线.................................. - 6 -1.5 B样条曲线的生成算法.................................... - 7 -1.5.1B样条曲线的扩展................................... - 7 -1.5.2 2GC连续条件...................................... - 8 -1.5.3确定 的值........................................ - 8 -1.5.4确定节点u的值.................................... - 9 -1.5.5求控制顶点........................................ - 9 -2.1 B样条曲面的定义....................................... - 12 -2.2 B样条曲面的性质...................................... - 12 -2.3 B样条曲面的分类...................................... - 12 -2.3.1 均匀B样条曲面................................... - 12 -2.3.2 非均匀B样条曲面................................. - 13 -2.4 B样条曲面的生成算法.................................. - 14 -3.应用........................................................ - 15 - 4结论........................................................ - 16 - 谢辞.......................................................... - 17 - 参考文献...................................................... - 17 -引言B 样条曲线曲面以其直观性、连续性、局部可控性、使用方便、灵活等特点，在计算机图形学和CAD 中得到了广泛的应用，成为重要的曲线曲面描述工具. 在曲线曲面的设计中，经常需要对己有的B 样条曲线曲面进行扩展，并且要求扩展的曲线曲面满足一定的几何形状要求或者其它的工程要求.B 样条曲线曲面的扩展是在保持原有形状不变的情况下，使新的曲线曲面通过新给定的点.因此，B 样条曲线扩展问题，实际上是对给定B 样条曲线和扩展点的插值问题.目前曲线曲面插值有多种方法，一般通过反算控制顶点来实现.在一些CAD 系统中，B 样条曲线的扩展是通过增加一段Bezie:曲线，然后将扩展后的整个曲线转换为B 样条形式.1．B 样条曲线1.1 B 样条基函数的定义给定参数u 轴上的一个分割1{}(),(0,1,2,)i i i U u u u i +=≤=…，m ，由下列递推关系定义的,()i p N u 称为U 的p 次(p+1阶)B 样条基函数。

1,01,()0,i i i u u u N u +≤≤⎧=⎨⎩其他 （1-1-1） 1,,11,1111()()()i p i i p i p i p i i i p i u u u u N u N u N u u u u u ++-++++++--=+-- （1-1-2） 000=规定 其中，p 表示B 样条的次数（即为p+1阶），i u 为节点，U 为节点矢量。

1.2 B 样条曲线的定义：设01,,...,n p p p 为给定空间的n+1个控制顶点，01{,,...,}m U u u u =是m+1个节点矢量，称下列参数曲线,0()()ni i p i C u p N u ==∑ a u b ≤≤ （1-2-1）为p 次的B 样条曲线，折线01,,...,n p p p 为B 样条曲线的控制多边形。

其中次数p,控制顶点个数n+1,节点个数m+1具有如下关系：m=n+p+1图1 B 样条曲线 1.3 B 样条曲线的性质：1.3.1 严格的凸包性曲线严格位于控制多边形的突包内，如果1[,),1,i i u u u p i m p +∈≤<--C(u)位于控制顶点1,...,i i p p -所建立的凸包内。

图2 B 样条曲线的凸包性：1.3.2 分段参数多项式C(u)在每个区间1[,)i i u u u +∈上都是次数不高于p 的多项式。

1.3.3 可微性或连续性C(u)在每一曲线段内部是无限可微的，在定义域内重复度为k 的节点处，则使p-k 次可微或具有p-k 阶参数连续性。

1.3.4 几何不变性B 样条曲线的形状和位置与坐标系的选取无关。

1.3.5 局部可调性因为,()i p N u 只在区间1[,)i i p u u ++中为正，在其他地方均取0值，使得p 次的B 样条曲线在修改时只被相邻的p+1个顶点控制，而与其他顶点无关，当移动其中的一个顶点i p 时，只影响到定义在区间1[,)i i p u u ++上那部分曲线，并不对整条曲线产生影响。