B样条和贝塞尔曲线曲面的拼接
离散点拟合曲线-Bezier-B样条
b1 y1 y0
b2
1 2
(
y0
2
P1
y1
y2 )
2. 二次B 样条曲线的特点
①起点为P0、P1点的中点，
并与线段P0P1相切；
P0
P2
§3 B样条曲线
②终点为P1、P2点的中点，并与线段P1P2相切； ③除起点、终点外，中间点将曲线拉向自己。
④二次B 样条曲线为“平均通过式”曲线
3. 多点时二次B 样条曲线的应用
pj() pj() 及 pj() pj() 称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 2连续。
。 显然C 2连续比C 1连续要求更高，曲线的连接更光滑。
另外还有更高的连续标准，但对一般绘图，曲线段的 连接满足C 1或C 2连续，其光滑已足够。
§2 贝塞尔曲线
一、Bezier 曲线
1. 特征多边形
§3 B样条曲线
P1 P0
……
Pn-1 Pn
Ps
边界处理示意图
Pe
Ps 在 P1 、P0 的延长线上，且 Ps0 P01
Pe 在Pn1、Pn 的延长线上，且 Pen Pnn1
y(t
)
b0
b1t
b2t
2
(0 t 1)
其中
a0 x0 a1 2( x1 x0 ) a2 x0 2x1 x2
b0 y0 b1 2( y1 y0 ) b2 y0 2 y1 y2
绘制方法：将参数 t 的区间[0 , 1]划分为 n 等份，依 次取t = 1/n , 2/n , 3/n , … ，利用曲线参数方程计算对应的 各点坐标，并用直线段依次连接各点。
对于这类曲线的绘制，首先要找出一种合理的拟合方 法来设计曲线方程。
最新B样条曲线正算反算贝塞尔曲线拼接曲面车身CAD作业答案汇总
B样条曲线正算反算贝塞尔曲线拼接曲面车身C A D作业答案1、贝塞尔曲线的拼接用matlab画代码如下：% By lyqmathclc; clear all; close all;p=[1 2; 4 8; 6 15; 9 18];p=p';t=linspace(0,1,200);n=size(p,2)-1;r=0;for k=0:nr=r+prod(1:n)/(prod(1:k)*prod(1:n-k))*p(:,k+1)*(t.^k.*(1-t).^(n-k));endplot(r(1,:),r(2,:),p(1,:),p(2,:),'-or')2、B样条曲线的正算function Byt8(p0,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7)t=0:0.001:1;%m=[-1 3 -3 1;3 -6 3 0;-3 0 3 0;1 4 1 0];x=p0(1)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p1(1)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)... +p2(1)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p3(1)*(1/6)*t.^3;y=p0(2)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p1(2)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)... +p2(2)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p3(2)*(1/6)*t.^3;%plot([p0(1) p1(1) p2(1) p3(1)],[p0(2) p1(2) p2(2) p3(2)]);hold on;plot(x,y,'r');x=p1(1)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p2(1)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)... +p3(1)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p4(1)*(1/6)*t.^3;y=p1(2)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p2(2)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)... +p3(2)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p4(2)*(1/6)*t.^3;%plot([p0(1) p1(1) p2(1) p3(1)],[p0(2) p1(2) p2(2) p3(2)]);hold on;x=p2(1)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p3(1)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)...+p4(1)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p5(1)*(1/6)*t.^3;y=p2(2)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p3(2)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)...+p4(2)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p5(2)*(1/6)*t.^3;%plot([p0(1) p1(1) p2(1) p3(1)],[p0(2) p1(2) p2(2) p3(2)]);hold on;plot(x,y,'r');x=p3(1)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p4(1)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)...+p5(1)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p6(1)*(1/6)*t.^3;y=p3(2)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p4(2)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)...+p5(2)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p6(2)*(1/6)*t.^3;%plot([p0(1) p1(1) p2(1) p3(1)],[p0(2) p1(2) p2(2) p3(2)]);hold on;plot(x,y,'r');x=p4(1)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p5(1)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)...+p6(1)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p7(1)*(1/6)*t.^3;y=p4(2)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p5(2)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)...+p6(2)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p7(2)*(1/6)*t.^3;%plot([p0(1) p1(1) p2(1) p3(1)],[p0(2) p1(2) p2(2) p3(2)]);hold on;plot(x,y,'r');plot([p0(1) p1(1) p2(1) p3(1) p4(1) p5(1) p6(1) p7(1)],[p0(2) p1(2) p2(2) p3(2) p4(2) p5(2) p6(2) p7(2)]);执行：>> Byt8([0,0],[1,4],[3,9],[5,7],[6,2],[7,6],[9,5],[11,3])3、B样条曲线的反算function Byangtiao8(p)t=0:0.005:1;hold onfor i=1:5x=p(1,i)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p(1,i+1)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)...+p(1,i+2)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p(1,i+3)*(1/6)*t.^3;y=p(2,i)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p(2,i+1)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)...+p(2,i+2)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p(2,i+3)*(1/6)*t.^3;plot(x,y,'k');endplot([p(1,1) p(1,2) p(1,3) p(1,4) p(1,5) p(1,6) p(1,7) p(1,8)],[p(2,1) p(2,2) p(2,3) p(2,4) p(2,5) p(2,6) p(2,7) p(2,8)]);4、双三次B样条曲面的算法// TestView.cpp : implementation of the CTestView class//#include "stdafx.h"#include "Test.h"#define ROUND(a) int(a+0.5)//四舍五入#include "math.h"//数学头文件#include "TestDoc.h"#include "TestView.h"#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CTestViewIMPLEMENT_DYNCREATE(CTestView, CView)BEGIN_MESSAGE_MAP(CTestView, CView)//{{AFX_MSG_MAP(CTestView)ON_COMMAND(ID_MENUDrawHermite, OnMENUDrawHermite)//}}AFX_MSG_MAP// Standard printing commandsON_COMMAND(ID_FILE_PRINT, CView::OnFilePrint)ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_DIRECT, CView::OnFilePrint)ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_PREVIEW, CView::OnFilePrintPreview) END_MESSAGE_MAP()/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CTestView construction/destructionCTestView::CTestView(){// TODO: add construction code here//9个型值点的初始化p1[0][0]=410;p1[0][1]=532;p1[1][0]=210;p1[1][1]=386;p1[2][0]=410;p1[2][1]=316;p1[3][0]=310;p1[3][1]=162;p1[4][0]=510;p1[4][1]=50;p1[5][0]=710;p1[5][1]=162;p1[6][0]=610;p1[6][1]=316;p1[7][0]=810;p1[7][1]=386;p1[8][0]=610;p1[8][1]=532;//9个型值点导数的初始化p2[0][0]=100;p2[0][1]=-100;p2[1][0]=100;p2[1][1]=-100;p2[2][0]=100;p2[2][1]=-100;p2[3][0]=100;p2[3][1]=-100;p2[4][0]=-100;p2[4][1]=-100;p2[5][0]=-100;p2[5][1]=100;p2[6][0]=-100;p2[6][1]=100;p2[7][0]=-100;p2[7][1]=100;p2[8][0]=-100;p2[8][1]=-100;}CTestView::~CTestView(){BOOL CTestView::PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs){// TODO: Modify the Window class or styles here by modifying// the CREATESTRUCT csreturn CView::PreCreateWindow(cs);}/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CTestView drawingvoid CTestView::OnDraw(CDC* pDC){CTestDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data hereCPen MyPen,*pOldPen;MyPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,255));//蓝色笔绘制特征多边形pOldPen=pDC->SelectObject(&MyPen);pDC->MoveTo(p1[0][0],p1[0][1]);pDC->Ellipse(p1[0][0]-2,p1[0][1]-2,p1[0][0]+2,p1[0][1]+2);//绘制特征多边形顶点for(int i=1;i<9;i++){pDC->LineTo(p1[i][0],p1[i][1]);pDC->Ellipse(p1[i][0]-2,p1[i][1]-2,p1[i][0]+2,p1[i][1]+2);}pDC->SelectObject(pOldPen);MyPen.DeleteObject();}/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CTestView printingBOOL CTestView::OnPreparePrinting(CPrintInfo* pInfo){// default preparationreturn DoPreparePrinting(pInfo);}void CTestView::OnBeginPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/) {// TODO: add extra initialization before printing}void CTestView::OnEndPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add cleanup after printing}/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CTestView diagnostics#ifdef _DEBUGvoid CTestView::AssertValid() const{CView::AssertValid();}void CTestView::Dump(CDumpContext& dc) const{CView::Dump(dc);}CTestDoc* CTestView::GetDocument() // non-debug version is inline{ASSERT(m_pDocument->IsKindOf(RUNTIME_CLASS(CTestDoc)));return (CTestDoc*)m_pDocument;}#endif //_DEBUG/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CTestView message handlersvoid CTestView::Hermite(CDC *pDC)//绘制Hermite三次插值样条{int a[4][4] ={{2,-2,1,1},{-3,3,-2,-1},{0,0,1,0},{1,0,0,0}};//Mh矩阵系数int b[4][2];//边界点for(int i=0;i<8;i++){b[0][0]=p1[i][0];b[0][1]=p1[i][1];//起点的坐标b[1][0]=p1[i+1][0];b[1][1]=p1[i+1][1];//终点的坐标b[2][0]=p2[i][0];b[2][1]=p2[i][1];//起点的导数b[3][0]=p2[i+1][0];b[3][1]=p2[i+1][1];//终点的导数MultiMatrix(a,b);CPen MyPen,*pOldPen;MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));pOldPen=pDC->SelectObject(&MyPen);pDC->MoveTo(p1[i][0],p1[i][1]);for(double t=0.0;t<=1;t+=1.0/400){int x=ROUND(pow(t,3)*result[0][0]+pow(t,2)*result[1][0]+ t*result[2][0]+result[3][0]);int y=ROUND(pow(t,3)*result[0][1]+pow(t,2)*result[1][1]+ t*result[2][1]+result[3][1]);pDC->LineTo(x,y);}pDC->SelectObject(pOldPen);MyPen.DeleteObject();}}void CTestView::MultiMatrix(int a[4][4],int b[4][2])//矩阵相乘{int i,j,k;for(i=0;i<4;i++)for(j=0;j<2;j++)result[i][j]=0;//矩阵清零for(i=0;i<2;i++)for(j=0;j<4;j++)for(k=0;k<4;k++)result[j][i]+=a[j][k]*b[k][i];}void CTestView::OnMENUDrawHermite(){// TODO: Add your command handler code hereCClientDC dc(this);AfxGetMainWnd()->SetWindowText("案例17:三次Hermit样条曲线");Hermite(&dc); }。
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
CAD中的曲线平滑与拟合方法
CAD中的曲线平滑与拟合方法CAD（Computer-Aided Design）是一种数字化辅助设计工具，广泛应用于工程设计、建筑设计和制造业等领域。
在CAD软件中，曲线平滑与拟合方法是非常重要的技巧之一。
本文将直入主题，介绍CAD中的曲线平滑与拟合方法。
曲线平滑是在CAD软件中处理曲线的过程，目的是通过调整曲线的控制点或参数，使得曲线更加光滑。
在CAD软件中，常用的曲线平滑方法包括B样条曲线、贝塞尔曲线和样条曲线等。
B样条曲线（B-Spline）是一种常用的曲线平滑方法。
它通过控制点来控制曲线的形状，通过调整控制点的位置，可以得到不同形状的曲线。
B样条曲线具有局部控制性，即只需要调整某一部分的控制点，就可以改变曲线的形状，这使得B样条曲线在CAD软件中得到了广泛应用。
在CAD软件中，可通过选择曲线上的点并调整其位置，或通过拖动控制点来对B样条曲线进行平滑处理。
贝塞尔曲线（Bezier）也是一种常用的曲线平滑方法。
贝塞尔曲线通过控制点和切线来控制曲线的形状。
在CAD软件中，可以通过选择曲线上的点和切线，并进行调整来平滑贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线的优点是易于控制，通过调整控制点和切线的位置可以得到各种复杂的曲线形状。
样条曲线（Spline）是一种由多个小段曲线组成的平滑曲线。
在CAD软件中，可以将曲线分为多个小段，并通过调整小段曲线的参数来平滑整个曲线。
样条曲线具有光滑性和连续性，可以得到非常平滑的曲线形状。
在CAD软件中，除了以上介绍的曲线平滑方法，还可以通过拟合曲线来实现曲线的平滑。
拟合曲线是通过给定的点集来确定一条曲线的过程。
CAD软件中通常提供了多种拟合方法，如最小二乘法拟合、最小二乘法B样条拟合和Bezier最优拟合等。
在CAD软件中，我们可以选择适当的拟合方法，并根据给定的点集来生成平滑的曲线。
总之，CAD软件中的曲线平滑与拟合方法是非常重要的技巧。
通过掌握这些方法，我们可以在CAD软件中更加高效地处理曲线，使得设计和制图工作更加准确和专业。
bezier bezier曲线、b-样条生成原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
Bezier&BSpline_曲线
1 1 P0 p (t ) [t 1] P 1 0 1
Bezier曲线的矩阵表示—二次Bezier曲线
n 2, 控制点序列: P0 , P1 , P2 p(t ) Pi Bi , 2 (t ) (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P1 t 2 P2
Bezier曲线的拼接
两条Bezier曲线连接有一定的条件，如右图所示，p3与Q0
重合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。
Bezier曲线的生成
Bezier曲线的缺点
1、特征多边形的顶点个数n+1决定了Bezier曲线的阶 次，即只能生成n次曲线，不灵活。 2、当n很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的 控制明显减弱。 3、 由于基函数在区间(0,1)上均不为0。因此Bezier曲 线上任何一点都受到全部所有控制点的影响。改变 任一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线 做局部修改成为不可能。
Bezier曲线的性质－对称性、凸包性、几何不变性、 变差缩减性
(1)对称性 : * 取P i P n i ( 2)凸包性 i 0,1, , n
*
有C * (t ) P i Bi , n (t ) P i Bi , n (t ) C (t )
i 0 i 0
n
n
B
i 0 n
n
i ,n
(t ) 1, 且Bi , n (t ) 0
n
(3)几何不变性
ua P ) i Bi , n (t ) P i Bi , n ( ba i 0 i 0 ( 4)变差缩减性
Bezier曲线的矩阵表示—一次Bezier曲线
n 1, 控制点序列: P0 , P 1 p (t ) Pi Bi ,1 (t ) P0 (1 t ) P t [0,1] 1t
Bezier曲线曲面的拼接
Bezier曲线曲面的拼接Bezier曲线曲面是一种常见的计算机图形学中的曲线曲面构造方法。
其原理是通过数学公式来描述一个点集合的形状。
在实际应用中，我们通常需要根据实际需求来构造或者拼接Bezier曲线曲面。
本文将着重介绍Bezier曲线曲面的拼接方法。
一、Bezier曲线曲面的构造Bezier曲线曲面的构造方法很简单，只需要给定点的坐标和曲线方程即可。
其中，点的坐标用于描述曲线上的控制点位置，而曲线方程则用于描述控制点间的线段的形状。
对于一条Bezier曲线，它的方程可以表示为：$$P(u)=\\sum_{i=0}^{n}B_i^n(u)P_i$$其中，$n$代表控制点的数量，$P_i$表示第$i$个控制点的坐标，$B_i^n(u)$是权重多项式，它可以通过如下公式计算：$$B_i^n(u)={n\\choose i}u^i(1-u)^{n-i}$$这个公式包含两个部分。
第一部分是二项式系数$C_n^i={n\\choose i}$，它描述的是从$n$个点中选取$i$个点的组合数。
第二部分是$u^i(1-u)^{n-i}$，它描述的是每个控制点在曲线上占据的位置和弧长。
通过这两部分的组合，我们可以得到一个平滑连续的Bezier曲线。
对于一条Bezier曲面，它的方程可以表示为：$$P(u,v)=\\sum_{i=0}^{n}\\sum_{j=0}^{m}B_i^n(u)B_j^m(v)P_{ij}$$其中，$n$和$m$分别代表控制点的数量，$P_{ij}$表示第$i$行，第$j$列的控制点的坐标。
这个方程就是通过控制点的二维数组来描述空间中的三维曲面的。
二、Bezier曲线曲面的拼接当需要在一个三维场景中绘制复杂的曲面形状时，往往需要将不同的曲面拼接起来。
Bezier曲线曲面的拼接可以通过各种方法实现。
以下介绍两种常用的拼接方法。
1. 曲面连接法曲面连接法需要将拼接曲面共享一个相邻控制点，从而使得两个曲面连接处的网格点重合。
贝塞尔曲面的拼接研究
贝塞尔曲面的拼接研究2012 年 1 月Bezier曲线的连接及Bezier曲面的拼接摘要根据线动成面的思想由Bezier曲面的概念引入Bezier曲面的概念，Bezier 实际上是先由控制顶点生成一个方向（设为v方向）上的Bezier曲线，然后在已竟形成的Bezier曲线上寻找控制顶点，生成另一个方向（设为u方向）上的Bezier曲线，形成控制网格，Bezier曲面是对该控制网格的逼近。
同样，类似于Bezier曲线的性质介绍了Bezier曲面的端点性质、边界线位置、凸包性等比较常见的几个性质。
几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。
所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来。
同样的，复杂的曲面用Bezier曲面相互拼接起来实现。
根据光滑连续性的条件考虑连接处的光滑，从而实现Bezier曲线的光滑连接以及Bezier曲面的拼接。
关键词：光顺连续性、Bezier曲线的连接、Bezier曲面的拼接、服装仿真1 引言在虚拟现实和视景仿真应用中，天空仿真是必不可少的内容。
无论是地面还是空中、海上的视景仿真，天空背景的真实感对用户来说能大大提高视觉享受和沉浸感。
但是就目前来看，大部分软件和仿真平台对真实天空的模拟还都不太尽人意，例如著名的VEGA 仿真平台，不同气候条件下的天空仅仅是在不同颜色背景下几层贴上云纹理的平面，从地面上看去，云层明显的有一条水平的终结线。
而一旦进入这些云层，就更加明显的感到是穿过了几层毫无体积感的纹理平面。
在现实生活中，人们对天空是再熟悉不过了。
真实的天空是非常复杂的，从视觉角度分析，就有霞、雾、晕、晴、阴等等各种自然现象，而且整个天球在空间上也不是均匀体现某种颜色的，而是随着每天时间和天气状况的不同，有着千变万化的变化。
所以要完全仿真真实的天空，不仅要有图形学方面的知识，还要具备天文和大气物理学的知识，由于我们对这些知识不甚了了，只能对天空的仿真进行简化。
opencascade b样条曲线生成贝塞尔曲线
文章标题：从OpenCASCADE到B样条曲线生成贝塞尔曲线：深度探索一、引言在计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学领域，曲线生成一直是一个重要的主题。
opencascade是一个开源的CAD内核，它提供了丰富的曲线曲面生成功能。
而B样条曲线是其中的重要概念之一，它可以用来生成贝塞尔曲线，这在实际应用中具有广泛的价值。
二、opencascade简介opencascade是一个强大的CAD内核，它提供了丰富的几何建模和曲面重建功能。
通过opencascade，我们可以进行复杂的几何计算和曲面修复，为工程设计和制造提供了强大的支持。
其中，曲线生成是opencascade功能的重要组成部分，它可以帮助我们创建各种类型的曲线并进行精确的控制。
三、B样条曲线基础B样条曲线是一种经典的数学曲线模型，它通过一系列的控制点和权重进行定义。
在opencascade中，B样条曲线的生成和编辑都是非常灵活和强大的。
通过调整控制点和权重，我们可以实现对曲线形状的精细控制，从而满足不同的工程需求。
四、贝塞尔曲线应用贝塞尔曲线是一种特殊的曲线类型，它通过一系列的控制点来定义曲线形状。
在实际应用中，贝塞尔曲线具有良好的数学性质和几何特征，因此被广泛应用于CAD、动画和图形设计等领域。
opencascade的B 样条曲线可以方便地生成贝塞尔曲线，从而为各种工程应用提供了强大的支持。
五、深入探讨B样条曲线生成贝塞尔曲线5.1 B样条曲线的定义和性质在opencascade中，B样条曲线是通过一系列的控制点、权重和节点参数进行定义的。
这些参数之间复杂的关系决定了曲线的光滑性、几何特征和曲率连续性。
通过深入理解B样条曲线的数学原理，我们可以更好地掌握曲线生成的控制方法和技巧，从而达到更高的设计精度和效果。
5.2 B样条曲线的编辑和调整在实际工程设计中，曲线的编辑和调整是非常常见的需求。
opencascade提供了丰富的曲线编辑功能，包括控制点的移动、曲线的拉伸和旋转等操作。
曲面拟合的方法
曲面拟合的方法曲面拟合是一种数据处理技术，旨在通过使用数学模型来逼近给定数据点的曲面形状。
该方法在许多领域都有广泛的应用，包括计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉和地理信息系统等。
在曲面拟合中，常用的方法包括多项式拟合、样条曲线和曲面拟合、最小二乘法拟合、最小二乘平面拟合、径向基函数拟合、贝塞尔曲面拟合等。
多项式拟合是一种基于多项式函数的曲面拟合方法。
它通过将数据点与一个多项式函数的系数相连，使得该多项式函数最好地逼近给定的数据点。
多项式拟合的优点是计算简单，但它的缺点是对于复杂的曲面形状拟合效果不佳。
样条曲线和曲面拟合是一种基于分段函数的曲面拟合方法。
它将给定的数据点划分为一系列小区间，并在每个区间内使用一个函数来逼近该区间内的数据点。
通过在相邻区间内的函数之间施加平滑性条件，样条曲线和曲面拟合可以得到更平滑的曲面形状。
最小二乘法拟合是一种通过最小化实际数据与拟合曲面之间的平方误差来确定曲面参数的方法。
该方法可以用于拟合任意形状的曲面，并且能够处理带有噪声的数据。
最小二乘法拟合的优点是适用范围广泛，但它的计算复杂度较高，尤其是在数据点较多时。
最小二乘平面拟合是最小二乘法拟合的一种特殊情况，即在二维空间中拟合一个平面。
最小二乘平面拟合可以通过计算数据点的平均值和协方差矩阵来确定平面的参数，从而实现快速的拟合过程。
径向基函数拟合是一种基于径向基函数的曲面拟合方法。
径向基函数是一类具有中心对称性的函数，通过将数据点与一组基函数相乘并求和，可以逼近给定的数据点。
径向基函数拟合的优点是对于非线性曲面形状具有较好的适应性，但它的缺点是计算复杂度较高。
贝塞尔曲面拟合是一种基于贝塞尔曲线的曲面拟合方法。
贝塞尔曲线是一类具有良好数学性质的曲线，通过控制点来确定曲线的形状。
贝塞尔曲面拟合通过在二维或三维空间中使用贝塞尔曲线来逼近给定的数据点，实现曲面的拟合。
总之，曲面拟合是一种通过数学模型来逼近给定数据点的曲面形状的方法。