B样条曲线与曲面..
B样条曲线曲面1
ε
d = f ( x0 , x1 , x2 , x) dx
3.3 B样条的递推定义
de Boor-Cox递推定义
⎧1 xi < x < xi +1 Bi , 0 ( x) = ⎨ ⎩0 Otherwise
Bi ,k ( x) = −x x − xi x Bi ,k −1 ( x) + i + k +1 Bi +1,k −1 ( x) xi + k − xi xi + k +1 − xi +1
由(3.11)： ( xi + 2 − x) + − ( xi +1 − x) + ( xi +1 − x) + − ( xi − x) + − xi + 2 − xi +1 xi +1 − xi M i ,1 ( x) = xi + 2 − xi 可得： M i ,1 ( x) = 0， M i ,1 ( x) = xi + 2 − x , ( xi + 2 − xi )( xi + 2 − xi +1 ) x > xi+2 x ∈ [ xi +1 , xi + 2 ]
(3.15)
并约定
0 =0 0
3.3.1 B样条基的推导 1. 0次B样条
⎧1 xi < x < xi +1 Bi , 0 ( x) = ⎨ ⎩0 Otherwise
称之,0 ( x) “移位”可得： B
⎧ x − xi ⎪ x −x ⎪ i +1 i ⎪ xi + 2 − x Bi ,1 ( x) = ⎨ ⎪ xi + 2 − xi +1 ⎪ ⎪ 0 ⎩ xi < x < xi +1 xi +1 < x < xi + 2 Otherwise
b样条曲线曲面
B样条曲线的性质具体分析
• 1. 局部支柱性 B样条曲线与Bezier曲线的主要差别在于它 们的基函数。Bezier曲线的基函数在整个参 数变化区间内，只有一个点或者两个点处 函数值为零。而B样条的基函数是一个分段 函数，在参数变化范围内，每个基函数在tk 到tk+m的子区间内函数值不为0，在其余区 间为0，这一重要的特征称为局部支柱性。
• B样条的局部支柱性对曲线和曲面的设计有 两个方面的影响：一是第k段曲线段（p（t） 在两个相邻节点值[tk，tk+1）（m－1≤k≤n） 上的曲线段）仅仅由m个控制顶点Pk－m＋ 1，Pk－m＋2，…Pk控制。若要修改该段 曲线，仅修改这m个控制顶点即可。二是修 改控制顶点Pk对B样条曲线的影响是局部的。 对于均匀m次B样条曲线，调整一个顶点Pk 的位置只影响B样条曲线p（t）在区间[tk， tk+m）的部分，即最多只影响与该顶点有 关的m段曲线。局部支柱性是B样条最具魅 力的性质。
由于Bk,m(t)的各项分母可能为0，所以这里规定 0/0=0。m是曲线的阶参数，（m－1）是B样条曲 线的次数，曲线在连接点处具有（m－2）阶连续 性。tk是节点值，T＝（t0，t1，…tn＋m）构成了 m－1次B样条函数的节点矢量，其中的节点是非减 序列，所生成的B样条曲线定义在从节点值tm－1 到节点值tn+1的区间上，而每个基函数定义在t的 取值范围内的tk到tk＋m的子区间上。从公式可以 看出，仅仅给定控制点和参数m不足以完全表达B 样条曲线，还需要给定节点矢量来获得基函数。
B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法二
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论 2次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论 3次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
பைடு நூலகம்
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
Bezier实现高速列车外形
作业2：
第一部分 自由曲面设计理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
B样条曲线曲面
第二章三维形态基本建模方法第一节形体的空间定位及表示方法一、空间、物体和结构我们每天的生活发生在三维环境中，而且充满着三维物体，我们总是看到、感到三维。
当设计实体模型时，我们通常认为许多事情理所当然。
但在用计算机对三维场景模型化时，那么我们不得不熟悉大量的计算机软件工具，这些工具可用于模型化物体和环境。
在描述三维场景的三维模型化软件中使用的许多基本约定是基于各种行业中使用的传统约定。
例如，建筑师为了用一个简明的方法表达他们设计的空间，使用各种涉及测量、构图和定序的约定。
即使简单的矩形房间设计也要测量多次，以便于房间的所有构件放在被设计放置的地方。
此外，为了准确地按照设计师的图纸来建造，泥瓦工需要进行测量。
多年来泥瓦工和建筑师已形成约定，如何测量空间、建造物体、在结构中安装，它们的约定是精确、简洁的。
我们用类似的约定来描述用一个计算机程序模拟的三维空间中物体的尺寸、位置和次序。
让我们从定义空间或场景的边界开始三维空间的定义，最简单的方法是想象我们是在一个大立方体内工作。
可以将这个立方体当作我们的空间或环境。
在这个立方体中的物体是可见的，在其外部的物体是不可见的。
在这个空间中的主参考点称为主空间原点。
这个原点通常位于这个空间的中心。
根据模型需要和方案，该点也可放在或重新放在其他点上。
所有三维空间都有3个基本的维：宽度、高度和深度。
表达三维空间中这些维的普遍方法是使用箭头或轴。
通常用字母X表示标记三维空间宽度的轴；用Y表示标记三维空间高度的轴；用Z表示标记三维空间深度的轴。
这三个轴交叉的空间点就是主坐标原点。
直角坐标系可以用来定义三维空间中特定的位置，精确定位三维空间中物体的点。
René Descartes是一位18世纪法国的哲学家和数学家，他正式使用标记为X、Y、Z的3个轴表示三维空间中维的思想。
他推导出的坐标系称为笛卡尔坐标系，在该系统中每个轴被分成许多测量单位。
原理上，这些单位是抽象的值，它可表示不同的测量单位和维刻度。
08_B样条曲线曲面
1 2 F ( t ) ( 1 t ) 0, 2 2 将 代入 P ( t ) 1 2 F1, 2 ( t ) ( 2t 2t 1) 2 F (t ) 1 t 2 2, 2 2
重要
PF
为了使P(t)能过P(i)点，只要使
Pi ,Pi 1 ,Pi 2 重合
尖点也可通过三重节点的方法得到 Pi ,Pi 1 ,Pi 2 为了使曲线和某一直线L相切，只要取
位于L上及
ti 3
的重数不大于2。
三次B样条曲线的一些特例
节点矢量：分为三种类型：均匀的，准均匀/开放均匀的和 非均匀的；
P ( t ) Pi Fi ,n ( t )
n
t [0,1]
i 0,1,, n
叫做n次B样条曲线段。
i 0
P ( t ) Pi Fi ,n ( t )
i 0
n
t [0,1]
i 0,1,, n
1 n i j j n 其中： Fi ,n ( t ) ( 1 ) C ( t n i j ) n1 n! j 0
B样条（Spline）曲线
在实际应用中，以Bernstein基函数构造的Bezier曲线有 许多优越性，但同时也存在一些缺点，主要有两点不足 之处： （1）其一是Bezier曲线不能作局部修改，即改变某一个 控制点，对整个曲线都有影响； （2）其二是当n较大，控制点较多时，Bezier曲线使用 起来不方便，即对曲线的控制减弱。若使用分段三次 Bezier曲线代替n阶Bezier曲线，则对控制点必须附加某 些条件，拼接比较复杂，也不便于使用。其原因是调和 函数在（0，1）的整个区间内均不为零。
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种常用的曲面表示方法，具有较好的灵活性和平滑性，广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计和工业设计等领域。
B样条曲面构建算法设计与实现是其中的核心内容。
本文将简要介绍B样条曲线和曲面的基本原理，然后详细阐述B样条曲面构建算法的设计与实现。
1. B样条曲线与曲面的基本原理B样条曲线是一种由控制点和节点序列所确定的曲线，其特点是局部控制和局部变化。
B样条曲线的参数化表示为：C(u) = Σ Ni,n(u) Piu为参数，Ni,n(u)为B样条基函数，Pi为控制点。
B样条曲线的节点序列决定了曲线的形状，通常采用均匀节点序列或非均匀节点序列。
均匀节点序列是指节点之间的间隔相等，非均匀节点序列是指节点之间的间隔不等。
B样条曲面是由两个参数u和v确定的二维曲面，其参数化表示为：B样条曲面构建算法的设计主要包括节点序列的确定、控制点的确定和B样条基函数的计算。
（1）节点序列的确定节点序列的确定一般采用均匀节点序列或非均匀节点序列。
均匀节点序列的确定比较简单，只需根据控制点数量和阶数确定节点个数和间隔即可。
非均匀节点序列的确定需要根据曲线或曲面的需要来决定。
通常采用的方法是将控制点均匀分布在参数空间，并根据需要将节点向重心区域移动，以实现对曲线或曲面局部细节的调控。
控制点的确定需要根据实际需求来决定。
一般情况下，控制点的数量和位置会影响曲线或曲面的形状。
在进行控制点的确定时，可以根据需要先构造一条初步的曲线或曲面，然后通过调整控制点的位置和数量来达到期望的效果。
（3）B样条基函数的计算B样条基函数的计算是B样条曲线和曲面构建算法中的关键步骤。
B样条基函数的计算可以采用递归方法或矩阵方法。
递归方法是一种简单直观的计算方法，其基本思想是利用递归关系式来计算B样条基函数的值。
B样条曲面构建算法的实现主要分为离散算法和连续算法两种。
离散算法是将曲面离散化为网格，然后通过调整网格顶点的位置来实现对曲面形状的调控。
B样条曲线----曲线曲面
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线 三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线 •
相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续 三次B样条曲线则达到二阶导数连续
•
角点的修改对曲线形状的影响
Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。
• 贝塞尔曲面表达式如下：
n m
P(u,v)=∑ ∑bi,jBi,n(u)Bj,m(v)
i=0 j=0
0≤u,v≤1
• 贝塞尔曲面中应用最广泛的是双3次贝塞尔曲面， 它由给出的4*4个网格点唯一决定.
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
一般称 Pij为 P(u , v) 的控制顶点，把由 Pi 0 , Pi1 , , Pim (i 0,1, , n) 和 P0 j , P , Pnj( j 0,1, , m) 组成的网格 1j , 称为 P(u , v) 的控制网格，记为{Pij } ,如图9.15所示。
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
在以上表达式中： Fk,n( t )为n次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
1 nk j j n Fk ,n (t ) (1) Cn1 (t n k j ) n! j 0
n! C 式中： ０≤t ≤ 1 r ! ( n r )! k = 0, 1, 2, …, n
Q1
Q0
P0
Q2
赤峰学院计算机系
计算机图形学
08-09第二学期
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四 角点共线的方法。 Q5 Q1 Q2 P0 P2 P3
第11-12讲 非均匀有理B样条曲线与曲面
上课内容
区间非零
次数p=2
顶点数n+1=4+1 M=n+p+1=4+2+1节点数m+1=8次数p=3
顶点数n+1=6+1
M=n+p+1=6+3+1
节点数m+1=11
9/17
11/17
例题:
三、NURBS 曲线形状的修改
（1）NURBS 曲线形状是由那些因素决定的？实际应用中，若要对NURBS 曲线作局部修改，一般可采取什么办法？
（2）如题图所示，由顶点V 0、V 1、V 2、V 3、V 4、V 5构造NURBS 曲线，改变顶点V 3所对应的权因子ω3得到的三条不同形状的曲线，B ，N ，B i 分别是ωi =0，ωi =1，ωi ≠{0,1}的对应曲线上的点。
1) 请写出ω3与点B ，N ，B i 及V 3四点之间的关系。
2) 定性分析ωi 对曲线形状的影响。
12/17圆锥曲线、圆弧及圆的NURBS 表示
CSF=ω2/ωω,
优弧、半圆可以利用重节点将两段、三段劣弧拼接组成。
内部重节点的一种给法：采用二重节点（端点仍为三重）
18/17。
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四、B 样条曲线与曲面Bezier 曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n 较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon 等用B 样条基代替Bernstein 基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：∑=+⋅=nk n k ki n i u N Pu P 0,,)()(在上式中，0 ≤ u ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：N k,n (u) 为 n 次B 样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：∑-=+--+⋅⋅-=kn j nj n j n k j k n u C n u N 01,)()1(!1)(式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B 样条曲线1一次均匀B 样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点i P （i = 0，1，…，n ）定义n 段一次（k ＝0,1，n=1）均匀B 样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段P i （u ），其定义表达为：[]10 ;,...,1 0111 1)(1≤≤=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-u n i u u P i i i P P＝（1－u ）P i －1 ＋ u P i＝ N 0，1（u ）P i －1 ＋ N 1，1（u ）P i第i 段曲线端点位置矢量：i i i i P P P P ==-)1(,)0(1，且一次均匀B 样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B 样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量i P （i=0，1，…，n ）定义n －1段二次（k ＝0,1,2， n=2）均匀B 样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i （u ）（i=1，…，n －1），其定义表达为：[]10 ;1,...,1 011022121 121)(112≤≤-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-u n i u u u P i i i i P P P＝ !21（1 － 2 u ＋ u 2）P i －1 ＋ !21（1 ＋ 2 u － 2u 2）P i ＋ !21u 2 P i ＋1＝ N 0，2（u ）P i －1 ＋ N 1，2（u ）P i ＋ N 2，2（u ）P i ＋1端点位置矢量：)(5.0)0(1i i i P P P +=-，)(5.0)1(1++=i i i P P P ，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形P i-1P i 和P i P i+1的中点。
若1-i P 、i P 、1+i P 三个顶点位于同一条直线上，)(u P i 蜕化成1-i P i P 1+i P 直线边上的一段直线。
端点一阶导数矢量：1)0(--=i i i P P P ，i i i P P P -=+1)1(，i i i P P P -='+1)0(，12)1(++-='i i i P P P ，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。
二阶导数矢量：)()1(2)0(11t P P P i i i i i i ''=''=+-=''+-P P P ，即曲线段内任何点处二阶导数相等，且相邻两曲线段在节点处二阶导数不连续。
3三次均匀B 样条曲线空间n+1个顶点的位置矢量i P （i=0，1，。
，n ）构造n －2段三次（k ＝0,1,2,3，四阶n=3）均匀B 样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段P i （u ）（i=1，。
，n －2），其定义表达为：[]10 ;2,...,1 0141030303631331 161)(21123≤≤-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=++-u n i u u u u P i i i i i P P P P＝ !31（1－u ）3 P i －1＋!31（4－6u 2＋3u 3）P i ＋!31（1＋3u ＋3u 2－3u 3）P i ＋1＋!31u 3P i ＋2＝ N 0，3（u ）P i －1 ＋ N 1，3（u ）P i ＋ N 2，3（u ）P i ＋1＋ N 3，3（u ）P i ＋2端点位置矢量：)4(61)0(11+-++=i i i i P P P P ，)4(61)1(21++++=i i i i P P P P ，即起点位于三角形∆P i-1P i P i+1中线P i M 1的1/3处，终点位于三角形∆P i P i ＋1P i+2中线P i ＋1M 2的1/3处。
可见B 样条曲线的端点并不通过控制点。
端点一阶导数矢量：2/)()0(11-+-='i i i P P P ，)0(2/)()1(12++'=-='i i i i P P P P ，即曲线起点的切矢平行于∆P i-1P i P i+1的底边P i-1P i+1，其模长为底边P i-1P i+1长的1/2，同样曲线终点的切矢平行于∆P i P i+1P i+2的底边P i P i+2，其模长也为底边P i P i+2长的1/2。
且相邻两曲线段具有一阶导数连续（因)0()1(1'='+i i P P ）。
二阶导数矢量：112)0(+-+-=''i i i i P P P P ，)0(2)1(121+++''=+-=''i i i i i P P P P P ，即曲线段在端点处的二阶导数矢量等于相邻两直线边所形成的平行四边形的对角线，且两曲线段在节点处具有二阶导数连续（因)0()1(i i P P ''=''）。
若1-i P 、i P 、1+i P 三个顶点位于同一条直线上，三次均匀B 样条曲线将产生拐点；若1-i P 、i P 、1+i P 、2+i P 四点共线，则)(u P i 变成一段直线；若1-i P 、i P 、1+i P 三点重合，则)(u P i 过iP 点。
思考：用作图法绘制下图均匀三次B 样条曲线。
B 样条曲线段与段之间具有天然的连续性，具有整体的光滑特性，而Bezier 曲线段与段之间必须光滑拼接。
因此在商用系统中B 样条方法应用更为广泛。
2．B 样条曲线的性质1局部性空间n+1个控制顶点i P （i=0，1，…，n ）构造（n －k ＋1）段k 次（k ＋1阶）B 样条曲线段，且每一曲线段i P （u ）（i = 1，…，n －k ＋1）由1-i P 、i P 、…、1-+k i P 等k ＋1个控制顶点确定，与其它控制点无关。
2整体性和连续性一般情况下（即无重节点、重顶点），n+1个控制顶点所构造的（n －k ＋1）段k 次（k ＋1阶）B 样条曲线段组成一完整的B 样条曲线，曲线段与段之间具有C k －1阶函数连续性（或G k －1阶几何连续性），当有K 重顶点时，将可能产生尖点（前面已介绍），虽然仍满足函数连续，但不满足几何连续。
4几何不变性改变坐标系不改变曲线形状。
5变差缩减性与Bezier 曲线性质相同。
（5）造型的灵活性由于其良好的局部特性，可以方便构造低次的复杂曲线，且编辑顶点对曲线形状的改变是局部的；由于其整体性和连续性，曲线具有整体的光滑性。
正因如此，B 样条曲线比Bezier 应用更为广泛，为商用系统普遍采用。
缺点：首末两端点不通过控制顶点，与其优点比较微不足道。
3．均匀双二次B 样条曲面已知曲面的控制点)2,1,0,(=j i ij P ，参数w u ,，且[]10,,∈w u ，2==l k ，构造步骤是：a 、沿w 向构造均匀二次B 样条曲线，即有：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=02010002010020 011022-121 1P P P WM P P P P w w w )(经转置后：[]TTB w W M P P P P 0201000=)(同上可得：[]TT B w W M P P P P 1211101=)(，[]TTB w W M P P P P 2221202=)(。
b 、再沿u 向构造均匀二次B 样条曲线，即可得到均匀二次B 样条曲面：TT B B B w w w w u W M P P P P P P P P P UM P P P UM S ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222120121110020100210)()()(),(简记为：TT B B w u W PM UM S =),(。
4．均匀双三次B 样条曲面已知曲面的控制点)3,2,1,0,(=j i j i P ，参数w u ,，且[]10,,∈w u ，3==l k ，构造双三次B 样条曲面的步骤同上述。
a 、沿w 向构造均匀三次B 样条曲线，有：[]T TB w W M P P P P P 030201000=)(，[]TTB w W M P P P P P 131211101=)(， []TT B w W M P P P P P 232221202=)(，[]TT B w W M P P P P P 333231303=)(b 、再沿u 向构造均匀三次B 样条曲线，此时可认为顶点沿滑动，每组顶点对应相同的，当值由0到1连续变化，即形成均匀双三次B 样条曲面。
此时表达式为：T T BB B w w w w w u W PM UM P P P P UM S =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(),(3210，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=33323130232221201312111003020100P P P P P P P P P P P P P P P P P ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=014103030363133161B M上式也可表达为：S （u,w ）= [N 0,3(u) N 1,3(u) N 0,3(u) N 0,3(u) ] [ P i j ]4x4 [N 0,3(w) N 1,3(w) N 2,3(w) N 3,3(w) ]T对于由控制点),...,1,0,,...,1,0(n j m i ==j i P 组成的均匀双三次B 样条曲面其定义如下：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++++++++++++++++++++)()()()()()()()(),(3,33,23,13,03,32,31,3,33,22,21,2,23,12,11,1,13,2,1,,3,33,23,13,0,w N w N w N w N P P P P P P P P P P P P P P P P u N u N u N u N w u S j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i ji j i j i j i j i j i即任意单张均匀双三次B 样条曲面片S i,j (u ，w)是由P k,l (k = i, ... , i+3, l = j, … , j+3)等16个控制点定义而成。