七年级上册数学 平面图形的认识(一)综合测试卷(word含答案)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，， .

（1）猜想与的数量关系，并说明理由；

（2）若，求的度数；

（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角，试探究等于多少度时，并简要说明理由.

【答案】（1）解：，理由如下：

，

（2）解：如图①，设，则，

由（1）可得，

，

，

（3）解：分两种情况：

①如图1所示，当时，，

又，

；

②如图2所示，当时，，

又，

.

综上所述，等于或时， .

【解析】【分析】（1）由∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可求出∠BCD+∠ACE的度数.

（2）如图①，设∠ACE=a，可得∠BCD=3a，结合（1）可得3a+a=180°，求出a的度数，即得∠BCD的度数.

（3）分两种情况讨论，①如图1所示，当AB∥CE时，∠BCE=180°-∠B=120°，②如图2所示，当AB∥CE时，∠BCE=∠B=60°，分别求出∠BCD的度数即可.

2．感知：如图①，∠ACD为△ABC的外角，易得∠ACD=∠A+∠B(不需证明) ；

（1）探究：如图②,在四边形ABDC中,试探究∠BDC与∠A、∠B．、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）应用：如图③，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ 恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=________度；(直接填答案，不需证明) （3）拓展：如图④，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=100°，∠BDC=150°，则∠BEC=________度. (直接填答案，不需证明)

【答案】（1）解：如图5，连接AD并延长至点F.

∵∠BDF为△ABD的外角，

∴∠BDF=∠BAD+∠B，

同理可得∠CDF=∠CAD+∠C，

∴∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，

即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；

（2）40°

（3）125°

【解析】【解答】解：（2）由题意可得∠BXC=90°，由（1）中结论可得∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，

∵∠A=50°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；（3）如图6，∵∠A=100°，∠BDC=150°，∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，

∴∠ABD+∠ACD=150°-100°=50°，

∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，

∴∠ABE+∠ACE= （∠ABD+∠ACD）=25°，

又∵∠BEC=∠A+∠ABE+∠ACE，

∴∠BEC=100°+25°=125°.

【分析】（1）如图5，连接AD并延长至F，然后利用三角形外角的性质进行分析证明即可得到∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；（2）由题意可知∠BXC=90°，结合∠A=50°和（1）中所得结论即可得到∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；（3）如图6，利用（1）中所得结论结合已知条件进行分析解答即可.

3．如图，点C在∠AOB的边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C.

（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；

（2）试说明CG平分∠OCD；

（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF？并说明理由．

【答案】（1）解：∵DE//OB ，∴∠O=∠ACE，（两直线平行，同位角相等）

∵∠O =40°，

∴∠ACE =40°，∵∠ACD+∠ACE= (平角定义)∴∠ACD=

又∵CF平分∠ACD ，

∴ (角平分线定义)

∴∠ECF=

（2）证明：∵CG⊥CF，

∴ .

∴

又∵）

∴

∵

∴ (等角的余角相等）

即CG平分∠OCD

（3）解：结论：当∠O=60°时，CD平分∠OCF ．

当∠O=60°时

∵DE//OB，

∴∠DCO=∠O=60°.

∴∠ACD=120°.

又∵CF平分∠ACD

∴∠DCF=60°，

∴

即CD平分∠OCF

【解析】【分析】（1）根据平行线“两直线平行，同位角相等”，求得∠ACE＝40°，根据平角的定义以及CF平分∠ACD ，可得到∠ACF＝70°，然后求出∠ECF的度数；

（2）根据∠DCG＋∠DCF＝90°，∠GCO＋∠FCA＝90°，以及∠ACF＝∠DCF，可得到∠GCO ＝∠GCD，即可证明CG平分∠OCD；

（3）根据两直线平行，内错角相等得出∠DCO＝∠O＝60°，根据角平分线可得到∠DCF＝60°，以此可得∠DCO＝∠DCF，即CD平分∠OCF．

4．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.

（1）如果∠A=80°，求∠BPC= ________.

（2）如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)________.

（3）将直线MN绕点P旋转。

(i)当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。

(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问(i)中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。

【答案】（1）130°

（2）90°﹣∠A

（3）解：(i)∠MPB+∠NPC= ? ∠A.

理由如下：

∵∠BPC= +∠A，

∴∠MPB+∠NPC= ?∠BPC=180°?( + ∠A)= ?12 ∠A.

(ii)不成立,有∠MPB?∠NPC= ? ∠A.

理由如下：

由题图④可知∠MPB+∠BPC?∠NPC= ，

由(1)知：∠BPC= + ∠A，∴∠MPB?∠NPC= ?∠BPC= ?( + ∠A)=

? ∠A.

【解析】【解答】(1)

故答案为：

( 2 )由 = 得∠MPB+∠NPC= ?∠BPC= 1?( + ∠A)= ? ∠A；故答案为：∠MPB+∠NPC= ? ∠A

【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和定理及∠A的度数，求出∠ABC+∠ACB的值，然后再利用三角形的内角和就可求出∠BPC的度数。

（2）根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和定理得出∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，代入计算即可得出结论。

（3）(i)根据∠MPB+∠NPC= 180 ° ?∠BPC和∠BPC= 90 ° + ∠ A，代入即可得出结论；(ii)根

据∠BPC= 90 ° + ∠ A及∠MPB?∠NPC= 180 ° ?∠BPC，代入求出即可得出结论

5．如图，已知点，且，满足 .过点分别作轴、轴，垂足分别是点A、C.

（1）求出点B的坐标；

（2）点M是边上的一个动点（不与点A重合），的角平分线交射线于点

N，在点M运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由. （3）在四边形的边上是否存在点，使得将四边形分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）解：由得：

,解得：

∴点的坐标为

（2）解：不变化

∵轴

∴BC∥x轴

∴

∵平分

∴

∴

∴

（3）解：点P可能在OC,OA边上，如下图所示，

由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形的面积为15

若点P在OC边上，可设P点坐标为，则

三角形BCP的面积为，

剩余部分面积为，

所以，解得，

P点坐标为；

若点P在OA边上，可设P点坐标为，则

三角形BAP的面积为，

剩余部分面积为，

所以，解得，

P点坐标为 .

综上,点的坐标为， .

【解析】【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性可知由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，由此可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出B点坐标；（2）根据平行线和角平分线的性质可证明，所以比值不变化；

（3）点P只能在OC,OA边上，表示出两部分的面积，依比值求解即可.

6．在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F，如图所示，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；

晓东通过观察，实验，提出猜想：BE+CD=BC，他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可．

（1）下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整；

①在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与________全等，判定它们全等的依据是________；

②由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=________°；

（2）请直接利用①，②已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．

【答案】（1）△BMF；SAS；60

（2）证明：由①知，∠BFE=60°，

∴∠CFD=∠BFE=60°

∵△BEF≌△BMF，

∴∠BFE=∠BFM=60°，

∴∠CFM=∠BFC-∠BFM=120°-60°=60°，

∴∠CFM=∠CFD=60°，

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠FCM=∠FCD，

在△FCM和△FCD中，，

∴△FCM≌△FCD（ASA），

∴CM=CD，

∴BC=CM+BM=CD+BE，

∴BE+CD=BC．

【解析】【解答】解：（1）解：①在BC上取一点M，使BM=BE，连接FM，如图所示：

∵BD、CE是△ABC的两条角平分线，

∴∠FBE=∠FBM= ∠ABC，

在△BEF和△BMF中，，

∴△BEF≌△BMF（SAS），

故答案为：△BMF，SAS；

②∵BD、CE是△ABC的两条角平分线，

∴∠FBC+FCB= （∠ABC+∠ACB），

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，

∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- ×120°=120°，

∴∠EFB=60°，

故答案为：60；

【分析】（1）①由BD，CE是△ABC的两条角平分线知∠FBE=∠FBC= ∠ABC，结合BE=BM，BF=BF，依据“SAS”即可证得△BEF≌△BMF；②利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；（2）利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论．

7．课题学习近平行线的“等角转化”功能．

阅读理解：

如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．

求∠BAC+∠B+∠C的度数．

（1）阅读并补充下面推理过程

解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝∠EAB，∠C＝________．

又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，

所以∠B+∠BAC+∠C＝180°

解题反思：

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

方法运用：

（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）

深化拓展：

（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与

CD两条平行线之间，求∠BED的度数．

【答案】（1）∠DAC

（2）解：如图2，过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴∠D＝∠FCD，

∵CF∥AB，

∴∠B＝∠BCF，

∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，

∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，

（3）解：如图3，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，

∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，

∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°．

【解析】【解答】解：（1）∵ED∥BC，

∴∠C＝∠DAC，

故答案为∠DAC；

【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．

8．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．

（1）若∠DAP=40°，∠FBP=70°，则∠APB=________．

（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由．

（3）利用(2)的结论解答：

①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由．

②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB=β，求∠AP2B(用含β的代数式表示)．

【答案】（1）

（2）由（1）可知

∠DAP，∠FBP，∠APB之间的关系为： .

（3）解：①∠P=2∠P1；

由（2）得：，

即∠P=2∠P1；

②由(2)得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，

∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，

∴

∴

【解析】【解答】（1）证明：过P作PM∥CD，

∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），

∵CD∥EF（已知），

∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），

∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），

∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质），

即

【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠APM=∠DAP，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠MPB=∠FBP，根据角的和差及等量代换即可得出

；

（2）由（1）可知∠DAP，∠FBP，∠APB之间的关系为： .（3）①∠P=2∠P1；根据（2）的结论，得，由角平分线的定义及等量代换得，

②由(2)得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，根据角平分线的定义及角的

和差，等量代换即可得出结论：∴=180°-.

9．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．

小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为________度。

（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为________．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系________.（直接写出结果）

【答案】（1）100°

（2）解：∠APC=α+β，

理由是：如下图，过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.

（3）∠APC=α-β；∠APC=β-α

【解析】【解答】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，

∵∠PAB=125°，∠PCD=135°，

∴∠APE=55°，∠CPE=45°，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=55°+45°=100°.

（ 3 ）解：如下图所示，当P在BD延长线上时，

过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠1=∠PAB=α，

∵∠1=∠APC+∠PCD

∴∠APC=∠1-∠PCD，

∴∠APC=α-β，

如下图所示，当P在DB延长线上时，

过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠EPC=∠PCD=β，∠EPA=∠PAB=α

又∵∠EPC=∠EPA+∠APC，

∴∠APC=β-α.

【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC

（2）过P作PE∥AB，交AC于E，推出 AB∥PE∥CD ，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β

，即可得出答案。

（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β ，即可得出答案。

10．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E ,F在BC上，且满足∠FOC =∠AOC，并且OE 平分∠BOF．

（1）求∠AOB及∠EOC的度数；

（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB: ∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；

【答案】（1）解：∵CB∥OA

∴∠BOA+∠B=180°

∴∠BOA=60°

∵∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF

∴∠EOC=∠EOF+∠FOC

= ∠BOF+ ∠F0A

= (∠BOF+∠FOA)

= ×60°

=30°

（2）解：不变

∵CB∥OA

∴∠OCB=∠COA,∠OFB=∠FOA

∵∠FOC=∠AOC

∴∠COA= ∠FOA, 即∠OCB:∠OFB=1：2

【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，易证∠BOA+∠B=180°，即可求出∠AOB的度数；再利用角平分线的定义，可证得∠BOE=∠EOF，从而可推出

∠EOC=∠AOB，代入计算求出∠EOC的度数。

（2）利用平行线的性质可证得∠OCB=∠COA，∠OFB=∠FOA，再结合已知条件可证得∠COA=∠FOA，从而可推出∠OCB: ∠OFB的值。

11．如图，在△ABC中，点E在AC边上，连结BE，过点E作DF∥BC，交AB于点D.若BE 平分∠ABC，EC平分∠BEF.设∠ADE＝α，∠AED＝β.

（1）当β＝80°时，求∠DEB的度数.

（2）试用含α的代数式表示β.

（3）若β＝kα（k为常数），求α的度数（用含k的代数式表示）.

【答案】（1）解：∵β＝80°，

∴∠CEF＝∠AED＝80°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠BEC＝∠CEF＝80°，

∴∠DEB＝180°﹣80°﹣80°＝20°；

（2）∵DF∥BC，

∴∠ADE＝∠ABC＝α，

∵BE平分∠ABC，

∴∠DEB＝∠EBC＝

∵EC平分∠BEF，

∴β＝∠CEF＝（180°﹣）＝90°﹣α；

（3）∵β＝kα，

∴90°﹣α＝kα，

解得：α＝

【解析】【分析】（1）根据对顶角的性质得到∠CEF＝∠AED＝80°，根据角平分线的定义即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；

（3）根据题意列方程即可得到结论.

12．我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离。而|5|=|5-0|，即|5-0|表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离。类似的，有：|5-3|表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5和-3在数轴上对应的两点之间的距离。一般地，点A、B在数轴上分别表示数a和b，那么点A和B之间的距离可表示为|a-b|。

利用以上知识：

（1）求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值=________。

（2）求代数式|x-1|+| x-1|+| x-3|+| x-4|的最小值。

【答案】（1）2500

（2）解：1、1……2、2……9、9……16、16，

则最中间的一个数是2，

∴当x=2,

|x-1|+|x-1|+|x-3|+|x-4|

=|x-1|+|x-2|+|x-9|+|x-16|

=(12|2-1|+6|2-2|+4|2-9|+3|2-16)|

=

=.

【解析】【解答】解：(1) 由题意得：|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值为：

|50.5-1|+|50.5-2|+|50.5-3|+…+|50.5-100|=2500.

【分析】（1）由于|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|表示数轴上某点到1、2、3……100的距离之和，因此当x所对应的点在点1和点100最中间时取最小值，这时把x=50.5代入原式求值即可.

(2)先提取将每个绝对值的系数变为整数，然后将12个1，6个2，4个9和3个16排成一组数，则最中间的一个数是2，则把2代入原式求值即是最小值.