2020-2021学年河南省平顶山市高二上学期期末调研考试数学(理)试卷

2020-2021学年河南省平顶山市高二上学期期末调研考试数

学（理）试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．抛物线24y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．2

B ．

12

C ．

18

D ．

14

2．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若c b ==，120B =,则a 等于（ ）

A

B ．2

C D

3．设命题P:?n ∈N,n 2>2n ，则?P 为（ ） A ．?n ∈N,n 2>2n B ．?n ∈N,n 2≤2n C ．?n ∈N,n 2≤2n D ．?n ?N,n 2≤2n

4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若14611,6a a a =-+=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

5．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A ．22a b <

B ．22ab a b <

C ．

22

11

ab a b

< D ．

b a

a b

< 6．已知{}n a 是等比数列，251

2,4

a a == 则12231=n n a a a a a a +++? A ．

()

32

123

n -- B ．

()32

143

n -- C ．(

)1612

n

--

D ．(

)1614

n

--

7．设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”成立的（ ） A ．充要不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充要也不必要条件

8．已知点12,F F 是椭圆2

2:14

x C y +=的焦点，点M 在椭圆C 上且满足

1223MF MF +=12MF F ?的面积为（ ）

A B C ．2 D ．1

9．设ABC ?的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且35

cos ,cos ,3513A B b ===，

则c =（ ） A ．

14

5

B ．75

C ．

6320

D ．

3320

10．已知不等式()19a x y x y ??

++ ??

?≥对于任意正实数x 、y 恒成立.则正实数a 的最小值为（）. A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

11．已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A,B 两点，且AB 的中点为N(?12,?15)，则E 的方程为( ) A ．x 2

3?

y 26

=1 B ．x 24?

y 25

=1 C ．x 26?

y 23

=1 D ．x 25?

y 24

=1

12．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值

,M N

分别是,AC BC 的中点，则,EM AN 所成角的余弦值等于（ ） A ．

13

B

C

D ．

16

二、填空题

13．四棱柱1111ABCD A B C D -中，11160,1A AB A AD DAB A A AB AD ∠=∠=∠=?===，则1AC =__________．

14．设,x y 满足约束条件：,0

{13

x y x y x y ≥-≥-+≤，则2z x y =-的取值范围为__________．

15．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111

,2n n n

a a a a +-=

=，则2017=S __________． 16．平面内到定点()0,1F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C .关于曲线C 的几何性质，给出下列四个结论：

①曲线C 的方程为2

4x y =； ②曲线C 关于y 轴对称；

③若点(),P x y 在曲线C 上，则2y ≤；④若点P 在曲线C 上，则14PF ≤≤. 其中，所有正确结论的序号是__________．

三、解答题

17．（Ⅰ）解不等式

x 2?x?6x?1

>0；

（Ⅱ）设a >0,b >0,c >0，且a +b +c =1，求证：(1

a

?1)(1

b

?1)(1c

?1)≥8. 18．设A,B,C 为ΔABC 的内角，tanA,tanB 是关于x 的方程x 2+√3px ?p +1=0(p ∈R)的两个实根. （Ⅰ）求C 的大小

（Ⅱ）若AB =3,AC =√6，求p 的值

19．（本小题14分）在数列{}n a 中， 12a =， 1431n n a a n +=-+， *n N ∈． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；

（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意*n N ∈皆成立．

20．如图，在直棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，∠BAC =90°,AC =2√3,AA 1=√3,AB =2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D .

（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C ；

（Ⅱ）求二面角B ?A 1D ?C 的大小.

21．设12,F F 分别是椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，过1F 倾斜角为45?

的直线l 与E 相交于,A B 两点，且43

a

AB =. （Ⅰ）求E 的离心率；

（Ⅱ）设点()0,1P -满足PA PB =，求E 的方程.

22．已知抛物线2

:2C y x =，直线2y kx =+交C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，

过M 作x 轴的垂线交C 于点N .

（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB ?=，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.

参考答案

1．C 【解析】 整理为2

14x y = ，即124

p = ，焦点到准线的距离1

8d p == ，故选C. 2．D 【详解】

试题分析：由余弦定理得

,则2240a a +-=，即，解得

或

（舍）.

考点：余弦定理. 3．C

【解析】特称命题的否定为“?n ∈N,n 2≤2n ”，故选C. 4．A

【解析】由题设可得53a =-，结合111a =-可得2d =，所以212n S n n =-，则当6n =时，

212n S n n =-的值最小，应选答案A ．

5．C 【详解】

若a

>b 2

，A 不成立；若

220

{,ab a b ab a b

>?<

a b a b

==?>,所以D 不成立 ,故选C. 6．B 【解析】

∵{}n a 是等比数列，22a =，514a =，∴q 3=18，则q=1

2

， ∵

11n n n n a a a a +-=q 2=1

4

∴数列{a n a n +1}是以8为首项，1

4

为公比的等比数列 ∴a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+…+a n a n +1=

()

32

143

n --．

故选：B

点睛：本题重点考查了等差数列的通项公式及前n 项和知识，解题关键是把新数列的和理解为新等比数列的前n 项和,整体换元的思想同学们要牢固把握.

7．C 【解析】

试题分析：当0a b >≥时，2

2

a b a b a a b b >?>?>，当,a b 一正一负时，

0a b a b >?>>

0a a b b ?>>，当0a b ≥>时，220a b a b a a b b a a b b ≥>?

所以a b a a b b >?>，故选C ． 考点：充分必要条件． 8．D 【解析】

12223MF MF MO +=

= ，所以MO c ==，所以12MF MF ⊥ ，2

2

21212412{

24

MF MF c MF MF a +==+==

()

()

12 ，212(2)(1)24MF MF -== ，解得：122MF MF = ，

所以三角形的面积为121

12

S MF MF =??= ，故选D. 9．A 【解析】

3cos 5A =

，所以4sin 5A = ,5

cos 13B = ，所以12sin 13

B = ，那么

()4531256

sin sin sin cos cos sin 51351365

C A B A B A B =+=+=?+?= ，根据正弦定理：

sin sin c b C B

= ，代入可得314

561256513

c c =?=

，故选A. 10．B 【解析】

解析：因为0

a >

，所以21()()11(1a y ax x y a a x y x y

++

=+++≥++=+，由题

设可知2(19≥，所以13≥，即4a ≥，应选答案B ．

点睛：本题旨在考查基本不等式的灵活运用及运用逆向思维分析问题解决问题的能力．解答时巧妙地借助题设条件，灵活运用了基本不等式，将问题进行等价转化与化归，从而将问题

转化为求不等式2(19≥的解的问题．求解的过程体现了转化与化归的数学思想与方法的灵活综合运用 11．B

【解析】试题分析：由已知条件易得直线l 的斜率为k=k FN =1， 设双曲线方程为x 2a

2?

y 2b 2

=1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），

则有{

x 1

2

a 2

?y 12

b 2

=1x 22

a 2

?

y 2

2

b 2

=1

，

两式相减并结合x 1+x 2=-24，y 1+y 2=-30得，y 1?y 2

x 1?x 2=

4b 25a 2

，从而4b 25a 2

=1

即4b 2=5a 2，又a 2+b 2=9，解得a 2=4，b 2=5，故选B ． 考点：本题主要考查双曲线的标准方程、几何性质。

点评：中档题，涉及弦中点问题，往往可以利用“点差法”，得到斜率的表达式。 12．D 【解析】

如图，点C 在平面ABDE 内的射影为点O ，点F 为AB 的中点，连结,,OC OF CF ，

cos 3

CFO ∠=

，设正方形的边长为2，cos 13OF CF CFO =∠== ，即点C

在平面ABDE 内的射影为正方形的中心，那么四棱锥C ABDE -是正四棱锥，所以

()12AN AB AC =+ ，1

2

EM AC AE =- ，即(

)1122AN EM AB AC

AC AE ??

?=+?- ???

221111111

22cos600222cos604242442

AB AC AB AE AC AC AE ??=

?-?+-?=???-+?-??? = 1

2 ，而3AN = ，3EM =，所以11cos ,63AN EM AN EM AN EM

?=== ，故选D.

【点睛】本题主要考察了二面角和异面直线所成角的立体几何的综合问题，更多的几何问题是给出几何体，求线，面的位置关系，而本题是根据二面角确定几何体是正四棱锥，这也是本题入手的一个难点，本题也可以选择几何法求异面直线所成的角，即转化为相交直线所成的角. 13

【解析】

11AC AB AD AA =++ ，所以(

)

(

2

22

2

11

112AC AB AD AA AB AD AA AB AD AD AA =

++=+++?+?

+

== .

14．

【解析】

解析：画出不等式1

{3

0,0

x

y x y x y -≥-+≤>>表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线11

22

y x z =

-分别经过点(3,0),(1,2)A B 时z 取最大值和最小值分别为3,3-，所以 [3,3]z ∈-，应填答案[3,3]-．

点睛：本题在求解时，先画出不等式组1

{3

0,0

x y x y x y -≥-+≤>>表示的平面区域，然后巧妙地运用数形

结合思想平行移动动直线11

22

y x z =

-，从而将问题进行转化与化归为求目标函数11

22

y x z =

-的最大值和最小值问题．最后结合图形求出目标函数经过点(3,0),(1,2)A B 时z 取最大值和最小值分别为3,3-，进而使得问题获解．求解的过程体现了转化与化归的数

学思想、数形结合的数学思想与方法的灵活运用

15．1010 【解析】

当1n = 时，21

2

a = ，当2n = 时，31a =- ，当3n = 时，412a a == ，所以判断数列{}n a 是周期为3的数列，12332a a a ++= ，20176123113

67210102

S S a ?+==?+= ，

故填：1010. 16．②③④ 【解析】

设曲线C 上任一点的坐标为(),P x y ，PF d =

14y += ，

当1y ≥- 时，化简为：2

24x y =- ，函数关于y 轴对称，并且12y -≤≤ ，当1y <- 时，化简为：2

212x y =- ，函数关于y 轴对称，并且21y -≤<- ，所以判断①不正确，②正

确， ③正确，点F 是抛物线2

24x y =-的焦点，所以BF 最短为1，点()0,1F 也是

2212

x y =- 的焦点，所以到焦点的最大值为4AF = ，所以④正确，故填：②③④.

【点睛】本题主要涉及轨迹法求曲线方程的问题，同时判断所求曲线的几何性质，轨迹法求曲线方程，主要是“求什么设什么”，意思就是求哪个点的曲线方程，就设曲线上任一点的坐标为(),x y，建立关于这点的等量关系，转化为方程并化简，对于④需判断出点F是这两个抛物线的焦点，就好判断了.

17．（Ⅰ）{x|?23};（Ⅱ）(1

a ?1)(1

b

?1)(1

c

?1)≥8.

【解析】（Ⅰ）不等式可化为(x?1)(x2?x?6)>0，即(x+2)(x?1)(x?3)>0.

∴由上表，原不等式的解集为{x|?23}.

（Ⅱ）∵a+b+c=1，

∴(1

a ?1)(1

b

?1)(1

c

?1)=(a+b+c

a

?1)(a+b+c

b

?1)(a+b+c

c

?1)=(b+c

a

)(a+c

b

)(a+b

c

).

∵a>0,b>0,c>0，∴由平均值不等式b+c≥2√bc,b+c≥2√bc,b+c≥2√bc.

∴上面三个不等式相乘得(1

a ?1)(1

b

?1)(1

c

?1)≥8

18．（Ⅰ）C=60°;（Ⅱ）p=1?√3.

【解析】（Ⅰ）∵已知方程的判别式Δ=(√3p)2?4(1?p)=3p2+4p?4≥0，∴p≤2或p≥

2

3

.

由韦达定理得tanA+tanB=?√3p,tanAtanB=1?p.

∴tan(A+B)=tanA+tanB

1?tanAtanB =?√3p

1?(1?p)

=?√3，∴tanC=√3.

∵C为三角形的内角，.∴C=60°.

（Ⅱ）由正弦定理sinB =

ACsinC AB

=

√6sin60°

3

=

√22

. ∵AC

1?tan45°tan30°=2+√3， ∴p =√

3

+tanB)=√

3

+tan45°)=√3

+√3+1)=1?√3.

19．（1）证明见解析 （2）()14132

n n n n S +-=+ （3）证明见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明数列{}n a n -是等比数列，即证明

()11n n a n q a n

+-+=- （常

数），代入即可得到4q = ；（Ⅱ） 由（Ⅰ）的结果得到1

4n n a n -=+ ，根据分组转化法求

得()14132

n n n n S +-=+ ，证明140n n S S +-≤ .

试题解析：（Ⅰ）由题设1431n n a a n +=-+，得

()()*114,n n a n a n n N +-+=-∈.

又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1 ，且公比为4 的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1

=4n n a n --，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+.

所以，数列{}n a 的前n 项和()14132

n n n n S +-=+. （III ）∵()()()11121414144323

2n n n n n n n n S S ++??+++---=+-+ ???

()

()()211

34341022

n n n n =-

+-=-+-≤. ∴不等式14n n S S +≤，对任意*

n N ∈皆成立.

【点睛】一般证明一个数列是等差或等比数列都是根据数列的定义证明，在整理递推公式时，可以选择凑配法，比如本题条件凑配成()()114n n a n a n +-+=-，或者直接代入等比数列的定义，

()11n n a n a n

+-+- ，然后根据条件换掉1n a + ，也可凑配出常数.

20．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）60°

【解析】试题分析：（Ⅰ）以A 为原点，建立空间直角坐标系A-xyz ，求出相关点的坐标，求出BD ?????? ,A 1C ??????? ．通过数量积为0，证明BD ⊥A 1C ;（Ⅱ）求出平面A 1DB 的一个法向量，平面A 1DB 的一个法向量，利用斜率的数量积求解二面角B ?A 1D ?B 1的平面角即可 试题解析：（Ⅰ）证明：因为ABC ?A 1B 1C 1直三棱柱， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC . 又AB ⊥AC ，

所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直.

如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A ?xyz .

则B(2,0,?0)，C(0,2√3,0)，A 1(0,0,√3)，B 1(2,0,√3)，C 1(0,2√3,√3).

由B 1D ??????? =14

B 1

C 1????????? =(?12

,√32

,0)，得D(32

,√3

2

,√3).

所以BD ?????? =(?12

,√32

,√3)，A 1C ??????? =(0,2√3,?√3).

因为BD ?????? ?A 1C ??????? =3?3=0， 所以BD ⊥A 1C .

（Ⅱ）解：BD ?????? =(?12

,√32

,√3)，A 1B ??????? =(2,0,?√3).

设平面A 1DB 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1)，则{m ?A 1B ??????? =0,

m ?BD ?????? =0.

所以{2x 1?√3z 1=0,

?12

x 1+√3

2

y 1+√3z 1=0.

取z 1=1，得m =(√3

2,?32

,1). 又平面A 1DB 1的一个法向量为n =(0,0,1)， 所以cos?m,n?=|m?n

|m||n||?=

√4+4

+1

=1

2，

因为二面角B ?A 1D ?B 1的平面角是锐角， 所以二面角B ?A 1D ?B 1的大小是60°.

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定

21．

（Ⅰ）e =；（Ⅱ）221189x y +=.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设直线l 的方程，y x c =+与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，根据

弦长公式

12AB x =-=，再根据4

3

AB a =

，解出

c

a

的值；（Ⅱ）设AB 的中点为N ，若PA PB = ，可得PN AB ⊥ ，代入中点坐标公式得到,,a b c .

试题解析：（Ⅰ）由题设可设l 的方程为()()1122,,,,y x c A x y B x y =+. 将y x c =+代入椭圆方程得(

)()

2

2

2

222220a b

x

a cx a c

b +++-=.

∴()()1122,,,A x y B x y 满足(

)2222

121222

22

2,a c b a c x x x x a b

a b --+==++.

∵43

AB a =

，而21AB x =-=

∴2

22

443ab a a b

=+，即222a b =. ∴E

的离心率2

c e a

a ==

=

. （Ⅱ）设AB 的中点为()00,N x y ，

由（Ⅰ）知21200022

2,233

x x a c c

x c y x c a b +-===-=+=+ ∵PA PB =，∴1PN

k =-，即00

1

1y x +=-. 代入上式得3

c =，从而a =，∴3b =.

∴椭圆E 的方程为22

1189

x y +=.

22．（Ⅰ）证明见解析．

（Ⅱ）存在2k =±，使·0NA NB =． 【解析】

（Ⅰ）如图，设(

)(

)2

2

1122

,2,,2A x x B x x .

把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得1212,12

k

x x x x +=

=-. ∴1224N M x x k

x x +===，∴N 点的坐标为2,48k k ??

???

. 设抛物线在点N 处得切线l 的方程为284k k y m x ?

?-=- ???， 将2

2y x =代入上式得2

2

2048

mk k x mx -+-=，

∵直线l 与抛物线C 相切，

∴()22

2

804

8mk k m m k ???=--=-=

???，∴m k =，即//l AB . （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB ?=，则NA NB ⊥. 又∵M 是AB 的中点，∴1

2

MN AB =. 由（Ⅰ）知

()()()2

2121212111122442222224M k k y y y kx kx k x x ????=+=+++=++=+=+ ?????

. ∵MN x ⊥轴，∴222162488

M N k k k MN y y +=-=+-=

.

又12AB x -=

==

∴2168k +=2k =±，即存在2k =±，使0NA NB ?=.

点睛：本题考查的是抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，以及运用所学知识去分析问题解决问题的能力．求解第一问时联立直线与抛物线的方程组，运用斜率相等证明命题的成立；第二问求解的思路是先假设符合题设条件的参数存在，然后再依据题设条件进行分析探求，最终求出满足题设条件的在2k =±，使得问题获解．