高三数学二轮复习教学案一体化：函数的性质及应用(2)
高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用 人教版 教案
高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用考情动态分析函数是高中数学中的重要内容，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程，函数也是一条纽带，它把中学数学各个分支紧紧地连在一起，特别是新教材中的导数的涉入，使函数的内容更加充实、方法更加灵活，自然就成为高考的重点和热点．近几年高考试题中函数部分占有相当大的比重，所考查的内容主要有函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、反函数以及函数图象的变换等．其中多项式函数（含二次函数）、指数函数、对数函数仍是重点考核的内容．高考主要涉及：①直接通过具体函数考查某些性质；②以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查；③函数与解析几何、数列等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题等综合性强的新颖试题．如2003年高考试题中的3、5、7、9题，2004年高考试题（江苏卷）中的8、11、22题，2005年高考试题（江苏卷）中的2、13、15、17、22题．二轮复习时要注意引导学生用函数的思想和方法去看待问题、解决问题，并揭示其内在联系．纵观近几年来的高考试题，以基础层次或中档难度的试题考查函数的图象，特别是图象的平移、对称变换，充分体现了图象在解题中的作用（数形结合的思想）．以中等难度、组合形式一题多角度考查函数的性质预计成为新的热点或方向．函数极易与不等式、方程、最值、参数的取值范围的探求及数形结合、解析几何综合在一起编拟综合性较强的高档解答题来测试对函数思想方法的理解与灵活运用，考查等价转化及数形结合、分类讨论等解题策略的理解和掌握程度．§1.1 函数的性质考点核心整合函数的性质主要体现在五个方面：1．能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域．确定函数定义域时，常从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不等于0；（2）偶次根式被开方数大于等于0；（3）对数式的真数大于零，底数大于0且不等于1；（4）指数为0时，底数不等于0．定义域经常和判定函数的奇偶性、求函数单调区间、求参数范围或解函数相关不等式相关联，在函数有意义的条件下转化求解．2．函数的值域在函数y = f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．确定函数的值域的原则：（1）当函数y = f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；（2）当函数y = f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；（3）当函数y = f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由实际问题的实际意义确定．值域的求法比较多，注意选择不同条件的适用性．如：判别式法、三角代换法、反函数法、不等式法、单调性法、图象法、数形结合法、导数法．值域往往与实际问题中的最优值或数列问题相关联．3．函数的奇偶性如果对于函数y = f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x) = –f(x)[ f(-x) = f(x)] ，那么函数f(x)就叫做奇函数（偶函数）．在此定义中，只有当函数定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断．4．函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1、x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2) [f(x1)＞f(x2)]，则称在区间D上为单调函数．反映在图象上，若函数f(x)是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左向右是上升（下降）的．或如果函数f(x)在给定区间(a，b)上恒有f '(x)＞0[f '(x)＜0]，则称f(x)在区间(a，b)上是增（减）函数，(a，b)为f(x)的单调增（减）区间．5．函数的周期性设函数y = f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得任何x∈D，都有f(x + T) = f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为y = f(x)的一个周期．周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现．注意从代数变换角度分析．考题名师诠释【例1】设函数f(x) = -x1 + |x|（x∈R），区间M = [a，b](a＜b），集合N = {y|y = f(x)，x∈M}，则使M = N成立的实数对(a，b)有………………………………（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个解析由f(-x) = -f(x)，可得f(x) = -x1 + |x|是奇函数，故f(x)的图象关于原点成中心对称．当x＞0时，f(x) = -x1 + x，据y1-1O此可以作出f (x )在x ∈R 上的图象（如图所示）．观察f (x )的图象可知，f (x )在R 上是减函数，要使M = [a ，b ](a ＜b )与N = {y |y = f (x )，x ∈M }相等，必须a ＜0，b ＞0（由图可知a 、b 同号显然不能满足题意）．故有⎩⎨⎧ f (a ) = b ，f (b ) = a ．即⎩⎨⎧ - a 1 - a = b ， - b 1 - b = a ．，解得a = b = 0，与题设a ＜b 矛盾，从而不存在满足题意的实数对(a ，b )，应选A ．答案 A评述 本题为存在性问题，它融函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及函数图象于一炉，颇有新意，解题时要善于从函数表达式中捕捉函数的性质，通过考察函数图象的特征来处理问题，这就需要我们有较强的数形转化能力．【例2】已知函数f (x ) = 13x 3 + 12ax 2 + 2bx + c 在(0，1)内取得极大值，在(1，2)内取得极小值，求b - 2a - 1的取值范围．解 f '(x ) = x 2+ ax + 2b ．依题意，方程x 2+ ax + 2b = 0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2．于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>'<'>'0)2(0)1(0)0(f f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>++>012020b a b a b不等式组表示的平面区域如右图所示，其中A (-2，1)，B (-1，0)，D (1，2)．设C (a ，b )为可行域（阴影部分）内任一点，而b - 2a - 1的几何意义为直线CD 的斜率．由图可知k BD ＞k CD ＞k AD ，故 14＜b - 2a - 1＜1．评述 通过对函数f (x )求导，将f (x )在(0，1)内取得极大值、在(1，2)内取得极小值的问题转化为研究二次方程f '(x ) = x 2+ ax + 2b = 0根的分布问题，利用二元一次不等式组的几何背景，联系斜率公式，运用数形结合的数学思想求得取值范围． 深化拓展若此题条件不变，结论改为：求a 2+ b 2的取值范围． 答案：1＜a 2+ b 2＜5【例3】设偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数（b ＞a ＞0），试判断F (x ) = (12)f (x ) – x在区间[-b ，-a ]上的单调性，并加以证明．解 ∵f (x )是偶函数，且在[a ，b ]上单调递增．∴f (x )在[-b ，-a ]上单调递减，f (x ) - x 在[-b ，-a ]上单调递减． 故F (x ) = (12)f (x ) - x在[-b ，-a ]上单调递增．证明：设-b ≤x 1＜x 2≤-a ，a ≤-x 2＜-x 1≤b ，∴F (x 1)F (x 2) = (12)f (x 1) - x 1(12)f (x 2) - x 2 = (12)f (x 1) – f (x 2) + (x 2 – x 1) = (12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)． ∵f (x )在上[a ，b ]单调递增，f (–x 1)＞f (–x 2)，∴f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＞0．∴0＜(12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＜1．∴F (x 1)F (x 2)＜1．故F (x 1)＜F (x 2)．∴F (x )为[-b ，-a ]上的增函数． 评述 本题是采用定义法证明函数的单调性，也是最通用的方法，此外还有利用基本函数性质递推、导数法等方法．【例4】（2005年上海模拟）已知集合M D 上满足下列性质的函数的全体：对于定义在D 中的任何两个自变量x 1、x 2(x 1≠x 2)，都有|f (x 1) – f (x 2)|＜|x 1 – x 2|成立．（1）当D = R 时，f (x ) = x cos θ+ sin θ[θ∈(0，π)]是否属于M D ，为什么？ （2）当D = R +时，试证明函数f (x ) = ax(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）是否存在一个集合D R +时，使得函数f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ？给出你的结论，并说明理由． （1）解 设任意x 1、x 2∈R (x 1≠x 2)，|f (x 1) – f (x 2)| = |( x 1 – x 2)cos θ| = |cos θ|| x 1 – x 2|，∵θ∈(0，π)，∴|cos θ|∈[0，1）． 又∵| x 1 – x 2|＞0，∴|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立． 故f (x ) = x cos θ+ sin θ，θ∈(0，π)属于M D ．（2）证明 当D = R +时，f (x ) = a x(0＜a ＜1)不属于M D ．举例：令x 1 = a n，x 2 =a n + 1（n ∈N *），此时| x 1 – x 2| = |a n – a n + 1| = an (n + 1)＜a ． 而|f (x 1) – f (x 2)| = |n – (n + 1)| = 1＞a ，则|f (x 1) – f (x 2)|＞| x 1 – x 2|．∴f (x ) = a x(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）解 存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ．设x 1、x 2∈R +，且x 1≠x 2．若|f (x 1) – f (x 2)| = |a x 1 – a x 2|= a | x 1 – x 2|x 1x 2＜| x 1 – x 2|成立，∵| x 1 – x 2|＞0，∴只需x 1x 2＞a 成立．故存在D = (a ，+∞)时，任取x 1、x 2∈(a ，+∞)都有|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立． ∴存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ． （注：D 的存在是不唯一的，对于的非空子集均正确） 考能提升训练 一、选择题1．（2005年全国卷Ⅰ，理7）设b ＞0，二次函数y = ax 2+ bx + a 2– 1的图象为下列之一，则a 的值为……………………… （ ） A ．1 B ．-1C ．-1-52D ．-1+52（1） （2） （3） （4）2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞0，f (2) = (a + 1)(2a – 3)，则a 的取值范围是…………………………………………………… （ ） A ．a ＜32B ．a ＜32且a ≠-1C ．a ＞32或a ＜-1D ．-1＜a ＜323．(2005年黄冈模拟)设函数f (x ) = log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2005) = 8，则f (x 12) + f (x 22) + … + f (x 20052)的值等于………………………………… （ ） A ．4B ．8C ．16D ．2log a 84．函数在y = a x在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a 等于………………（ ） A ．12B ．2C ．4D ．145．(2005年全国卷Ⅰ，8)设0＜a ＜1，函数f (x ) = log a (a 2x– 2a x– 2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是 A ．(-∞，0)B ．(0，+∞)C ．(-∞，log a 3)D ．(log a 3，+∞)二、填空题6．(2005年北京海淀模拟)函数y = x 2的图象F 按向量a = (3，-2)平移得到F'，则F' 的解析式为 ．7．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (12 - x ) = f (12 + x )，则f (1) + f (2) + f (3) = ．三、解答题8．已知函数y = 12log a (a 2x )·log a (ax )(2≤x ≤4)的最大值是0，最小值是- 18，求a 的值．9．已知f (x )是定义在[-1，1]上的奇函数，当a 、b ∈[-1，1]，且a + b ≠0时，有f (a ) + f (b )a + b＞0．（1）判断函数f (x )的单调性，并给以证明；（2）若f (1) = 1，且f (x )≤m 2– 2bm + 1对所有x ∈[-1，1]，b ∈[-1，1]，恒成立，求实数m 的取值范围．10．(2005年山东卷，19)已知x = 1是函数f (x ) = mx 3– 3(m + 1)x 2+ nx + 1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m ＜0．（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求f (x )的单调区间；（3）当x ∈[-1，1]时，函数y = f (x )的图象上任意一点的斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．简明参考答案一、1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 二、6．y = x 2– 6x + 7 7．0三、8．121-1 Ox y1-1 Ox y1-1 Ox y1-1 Ox y9．（1）增函数，证明略；（2）m ∈(-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞)． 10．（1）n = 3m + 6；（2）f (x )在(-∞，1 + 2m )，（1，+∞）上单调递减，在(1 + 2m，1)上单调递增；（3）-43＜m ＜0．。
高三二轮复习教学案函数
高三二轮复习教学案——函数（1）班级 学号 姓名一、考试内容及要求：1．已知函数f (x)=2x+1，x ∈[1,5]，则f (2x －3)= ____________2．已知集合B={1，4}，若2:x x f →是A 到B 的函数，则满足条件的集合A 有_____个3．若函数xx k k x f 212)(⋅+-=（k 为常数）在定义域上为奇函数，则k=____________4．已知函数f (x)是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，f (－1)=0，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则∑=∈2010))(2(k Z k kf 的值=____________5．设f (x)是定义在[－1，1]上的偶函数，f (x)与g (x)的图象关于直线x=1对称，且当x ∈[2,3]时，g (x)=a(x －2)－2(x －2)3 （a 为常数）(1)求f (x)的解析式(2)若f (x)在[0，1]上是增函数，求实数a 的范围 (3)若a ∈[－6,6]，问能否使f (x)的最大值为46．已知函数),,()(R c b a cxb ax x f ∈++=满足f(－1)=0，并且对x>0，≤01)(-x f xx 2)1(2-≤恒成立．（1）求a ，b ，c 的值； （2）若xm x f x g 4)()(-=在(0，2]上是减函数，求实数m 的取值范围7．已知函数xx x f --=274)(2，x ∈[0，1]．（1）求f(x)的值域；（2）设a ≥1，函数g(x)=x 3－3ax 一2a ，x ∈[0，1]．若对于任意的x 1∈[0，1]，总存在x 0∈[0，1]，使得g(x 0)=f(x 1)成立，求a 的取值范围．高三二轮复习教学案——函数（2）班级 学号 姓名1．已知f (x+2)=4x 2+4x+3，x ∈R ，则f (x)的值域为______________2．（1）函数g (x)= x 2－ax+3在),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是________________ （2）函数g (x)= x 2－ax+3的增函数为),2[+∞，则实数a 的取值范围是_________________ 3．已知二次函数f (x)=ax 2+bx+c 的导数为f ’(x)，f ’(0)>0，对于任意实数x ，有f (x)≥0，则)0(')1(f f -的最小值为__________4．已知函数()(01)x x f x a ma a a -=+>≠且 是R 上的奇函数， 求函数2()g x m x ax m a =++的零点5．设a ∈R ，函数1||)(2+-+=a x x x f ，x ∈R ，求f(x)的最小值．6．将函数21()2f x ax a =-的图象向右平移1a个单位，再向下平移12a个单位，平移后得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的表达式；（2）若函数()g x 在2]上的最小值为()h a ，求()h a 的最大值。
(江苏专用)高考数学二轮复习 专题2函数的性质及应用(II)学案
专题2函数的性质及应用(Ⅱ)高考中考查函数性质的形式不一，时而填空题，时而解答题，时而与其他章节综合，在解决问题的某一步骤中出现.在二轮复习中要注重知识点之间的联系，同时还要注意结合函数图象解决问题.,此外，函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是近年来新增的一个考点，也要引起足够的重视.1．已知函数F (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.解析：由题意知F (－x )＝－F (x )，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12－1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12＝2.令t ＝x ＋12，则f (t )＋f (1－t )＝2.分别令t ＝0，1n ，2n ，…，n －1n ，nn，得f (0)＋f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＝…＝2. ∵a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，∴由倒序相加法得2a n ＝2(n ＋1)，故a n ＝n ＋1. 答案：n ＋12．(2012·徐州期末)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题 ①当c ＝0，y ＝f (x )是奇函数；②当b ＝0，c <0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中命题正确的是________．解析：当c ＝0时f (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，①正确；当b ＝0，c <0时由f (x )＝0得x |x |＋c ＝0，只有一个正根，②正确；若P (x ，y )是y ＝f (x )图象上的任意一点，则f (－x )＝－x |x |－bx ＋c ＝2c －(x |x |＋bx ＋c )＝2c －y ，即P ′(－x,2c －y )也在y ＝f (x )的图象上，③正确；④不正确，如b ＝－2，c ＝0时，f (x )＝0有3个实数根．答案：①②③3．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )．给出下列命题： ①f (x )必是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图象必关于直线x ＝1对称； ③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④f (x )有最大值|a 2－b |. 其中正确的序号是________．解析：①显然是错的；②由于函数加了绝对值，所以对于一个函数值可能对应的x 值有4个，故不一定得到对称轴是x ＝1；由于a 2－4≤0时，f (x )＝x 2－2ax ＋b ，故③正确；④结合函数图象，可以判定函数无最大值．答案：③4．(2012·淮阴联考)给出下列四个结论：①函数y ＝k ·3x(k 为非零常数)的图象可由函数y ＝3x的图象经过平移得到； ②不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞；③定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)·f (x )＝－1，则f (x )是周期函数；④已知f (x )满足对x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝7.其中正确结论的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 解析：由|k |·3x＝3x ＋log 3|k |(k ≠0)知①正确；由2∉M 得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即a ≥14，故②不正确；由f (x＋1)＝－1f x 得f (x ＋2)＝f (x )，故③正确；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2得f (x )＋f (1－x )＝2且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝7正确． 答案：①③④5．给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12；②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k ∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期是1；④函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上是增函数． 则其中真命题是________．解析：由m －12＜x ≤m ＋12解得－12≤x －m ≤12，故命题①正确；由f (k －x )＝|k －x －{k －x }|＝|k －x －(k －{x })|＝|－x ＋{x }|＝f (x )知②正确，④不正确；同理③正确．答案：①②③[典例1](2012·泰兴中学调研)设n 为正整数，规定：f n (x )＝f {f […f (x )]}n 个f ，已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，0≤x ≤1，x －1， 1＜x ≤2.(1)解不等式f (x )≤x ；(2)设集合A ＝{0,1,2}，对任意x ∈A ，证明：f 3(x )＝x ；(3)探求f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫89；(4)若集合B ＝{x |f 12(x )＝x ，x ∈[0,2]}，证明：B 中至少包含有8个元素． [解] (1)①当0≤x ≤1时，由2(1－x )≤x 得，x ≥23.∴23≤x ≤1.②当1＜x ≤2时，∵x －1≤x 恒成立，∴1＜x ≤2.由①，②得，f (x )≤x 的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫23≤x ≤2.(2)证明：∵f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝1， ∴当x ＝0时，f 3(0)＝f (f (f (0)))＝f (f (2))＝f (1)＝0；当x ＝1时，f 3(1)＝f (f (f (1)))＝f (f (0))＝f (2)＝1；当x ＝2时，f 3(2)＝f (f (f (2)))＝f (f (1))＝f (0)＝2.即对任意x ∈A ，恒有f 3(x )＝x .(3)f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫89＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫89＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－89＝29，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫89＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫89＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫29＝149， f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫89＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫89＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫149＝149－1＝59，f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫89＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫89＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－59＝89. 一般地，f 4k ＋r ⎝ ⎛⎭⎪⎫89＝f r ⎝ ⎛⎭⎪⎫89(k ∈N ，r ∈N *)．∴f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫89＝f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫89＝89.(4)由(1)知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23，∴f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23.则f 12⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23.∴23∈B .由(2)知，对x ＝0，或1，或2，恒有f 3(x )＝x ， ∴f 12(x )＝f 4×3(x )＝x .则0,1,2∈B .由(3)知，对x ＝89，29，149，59，恒有f 12(x )＝f 4×3(x )＝x ，∴89，29，149，59∈B . 综上所述23，0,1,2，89，29，149，59∈B .∴B 中至少含有8个元素．本题给出新定义内容，第一问就是解不等式，第二问实际就是对定义的认识直接套用，第三问就需要对定义进行更深一步的认识，探究函数值之间存在的规律．[演练1]对于定义在D 上的函数y ＝f (x )，若同时满足(1)存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得任取x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c (c 是常数)； (2)对于D 内任意x 2，当x 2∉[a ，b ]时总有f (x 2)>c . 称f (x )为“平底型”函数．判断f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，f 2(x )＝x ＋|x －2|是否是“平底型”函数？简要说明理由． 解：f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|是“平底型”函数， 存在区间[1,2]使得x ∈[1,2]时，f (x )＝1， 当x <1和x >2时，f (x )>1恒成立；f 2(x )＝x ＋|x －2|不是“平底型”函数，不存在[a ，b ]⊆R 使得任取x ∈[a ，b ]，都有f (x )＝常数． [典例2](2012·南京一模)对于函数f (x )，若存在实数对(a ，b )，使得等式f (a ＋x )·f (a －x )＝b 对定义域中的每一个x 都成立，则称函数f (x )是“(a ，b )型函数”．(1)判断函数f (x )＝4x是否为“(a ，b )型函数”，并说明理由；(2)已知函数g (x )是“(1,4)型函数”，当x ∈[0,2]时，都有1≤g (x )≤3成立，且当x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2－m (x －1)＋1(m >0)，试求m 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝4x是“(a ，b )型函数”， 因为由f (a ＋x )·f (a －x )＝b ，得16a＝b ， 所以存在这样的实数对，如a ＝1，b ＝16. (2)由题意得，g (1＋x )·g (1－x )＝4， 所以当x ∈[1,2]时，g (x )＝4g2－x，其中2－x ∈[0,1]． 而x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2＋m (1－x )＋1＝x 2－mx ＋m ＋1>0，且其对称轴方程为x ＝m2.①当m2>1，即m >2时，g (x )在[0,1]上的值域为[g (1)，g (0)]，即[2，m ＋1]．则g (x )在[0,2]上的值域为[2，m ＋1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m ＋1，2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m ＋1，m ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤3，4m ＋1≥1，此时无解；②当12≤m 2≤1，即1≤m ≤2时，g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，g0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋1－m 24，m ＋1，所以g (x )在[0,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋1－m 24，m ＋1∪⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4m ＋1，4m ＋1－m 24， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋1－m 24≤3，m ＋1≤3，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1－m 24≥1，4m ＋1≥1，解得1≤m ≤2；③当0＜m 2≤12，即0＜m ≤1时，g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，g 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋1－m 24，2，则g (x )在[0,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋1－m 24，2∪⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2，4m ＋1－m 24 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m ＋1－m 24，4m ＋1－m 24，则⎩⎨⎧m ＋1－m 24≥1，4m ＋1－m24≤3，解得2－263≤m ≤1.综上所述，所求m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－263，2.本题主要考查函数的综合性质，分类讨论思想，第一问比较容易，好入手，第二问转化有点困难，应先把函数在[1,2]上的解析式求出来，然后求值域并转化为子集关系解题．求值域实质就是二次函数中轴动区间定的类型，并且同时研究两个二次函数，要进行比较．[演练2](2012·金陵中学期末)已知函数f (x )的图象在[a ，b ]上连续不断，定义：f 1(x )＝min{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])， f 2(x )＝max{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])．其中，min{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最小值，max{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最大值．若存在最小正整数k ，使得f 2(x )－f 1(x )≤k (x －a )对任意的x ∈[a ，b ]成立，则称函数为区间[a ，b ]上的“k 阶收缩函数”．(1)若f (x )＝cos x ，x ∈[0，π]，试写出f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)已知函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]，试判断f (x )是否为[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出相应的k ；如果不是，请说明理由；(3)已知b >0，函数f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围． 解：(1)f 1(x )＝cos x ，x ∈[0，π]，f 2(x )＝1，x ∈[0，π]．(2)∵f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[－1，0，0，x ∈[0，4]，f 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[－1，1，x 2，x ∈[1，4]，∴f 2(x )－f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0，1，x ∈[0，1，x 2，x ∈[1，4].当x ∈[－1,0]时，1－x 2≤k (x ＋1)， ∴k ≥1－x ，即k ≥2；当x ∈(0,1)时，1≤k (x ＋1)，∴k ≥1x ＋1，即k ≥1； 当x ∈[1,4]时，x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥x 2x ＋1，即k ≥165.综上，存在k ＝4，使得f (x )是[－1,4]上的4阶收缩函数． (3)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)，∴在(0,2)上f ′(x )>0，f (x )递增，在(2，＋∞)上f ′(x )<0，f (x )递减． ①当0<b ≤2时，f (x )在[0，b ]上递增， ∴f 2(x )＝f (x )＝－x 3＋3x 2，f 1(x )＝f (0)＝0. ∵f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数， ∴(ⅰ)f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)对x ∈[0，b ]恒成立， 即－x 3＋3x 2≤2x 对x ∈[0，b ]恒成立， 即0≤x ≤1或x ≥2.∴0＜b ≤1.(ⅱ)存在x ∈[0，b ]，使得f 2(x )－f 1(x )>(x －0)成立．即存在x ∈[0，b ]，使得x (x 2－3x ＋1)<0成立． 即x <0或3－52<x <3＋52，∴只需b >3－52.综上3－52<b ≤1.②当2＜b ≤3时，f (x )在[0,2]上递增，在[2，b ]上递减， ∴f 2(x )＝f (2)＝4，f 1(x )＝f (0)＝0，f 2(x )－f 1(x )＝4，x －0＝x .∴当x ＝0时，f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)不成立． ③当b >3时，f (x )在[0,2]上递增，在[2，b ]上递减， ∴f 2(x )＝f (2)＝4，f 1(x )＝f (b )<0，f 2(x )－f 1(x )＝4－f (b )>4，x －0＝x .∴当x ＝0时，f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)也不成立． 综上3－52＜b ≤1.[典例3](2012·栟茶模拟)已知函数f (x )＝a x＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)． (1)当a >1时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e－1，试求a 的取值范围． [解] (1)证明：f ′(x )＝a xln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x－1)·ln a ， 由于a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a >0，a x－1>0， 所以f ′(x )>0.故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)当a >0，a ≠1时，因为f ′(0)＝0，且f ′(x )在R 上单调递增，故f ′(x )＝0有惟一解x ＝0.所以x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )递减极小值递增又函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，所以方程f (x )＝t ±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝(f (x ))min ＝f (0)＝1，解得t ＝2.(3)因为存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e－1，所以当x ∈[－1,1]时，|f (x )max －f (x )min |＝f (x )max －f (x )min ≥e－1.由(2)知，f (x )在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (0)＝1， f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}． 而f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a－2ln a ，记g (t )＝t －1t－2ln t (t >0)，因为g ′(t )＝1＋1t2－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，所以g (t )＝t －1t－2ln t 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g (1)＝0，所以当t >1时，g (t )>0；当0<t <1时，g (t )<0， 也就是当a >1时，f (1)>f (－1)； 当0<a <1时，f (1)<f (－1)． ①当a >1时，由f (1)－f (0)≥e－1 ⇒a －ln a ≥e－1⇒a ≥e，②当0<a <1时，由f (－1)－f (0)≥e－1 ⇒1a ＋ln a ≥e－1⇒0＜a ≤1e， 综上知，所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ∪[e ，＋∞)．本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，一二两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第三问要将“若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e－1”转化成|f (x )max －f (x )min |＝f (x )max －f (x )min ≥e－1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．[演练3](2012·无锡期中)已知二次函数g (x )对任意实数x 都满足g (x －1)＋g (1－x )＝x 2－2x －1，且g (1)＝－1.令f (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋m ln x ＋98(m ∈R ，x >0)． (1)求g (x )的表达式；(2)若∃x >0使f (x )≤0成立，求实数m 的取值范围； (3)设1＜m ≤e，H (x )＝f (x )－(m ＋1)x ，证明：对∀x 1，x 2∈[1，m ]，恒有|H (x 1)－H (x 2)|<1. 解：(1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，于是g (x －1)＋g (1－x )＝2a (x －1)2＋2c ＝(x －1)2－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，c ＝－1.又g (1)＝－1，则b ＝－12.所以g (x )＝12x 2－12x －1.(2)f (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋m ln x ＋98＝12x 2＋m ln x (m ∈R ，x >0)． 当m >0时，由对数函数性质，f (x )的值域为R ； 当m ＝0时，f (x )＝x 22>0对∀x >0，f (x )>0恒成立；当m <0时，由f ′(x )＝x ＋m x＝0⇒x ＝－m ，列表：x (0，－m )－m (－m ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )减极小值增这时，f (x )min ＝f (－m )＝－m2＋m ln －m .f (x )min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋m ln －m >0，m <0⇒－e<m <0.所以若∀x >0，f (x )>0恒成立，则实数m 的取值范围是(－e,0]． 故∃x >0，使f (x )≤0成立，实数m 的取值范围(－∞，－e]∪(0，＋∞)．(3)证明：因为对∀x ∈[1，m ]，H ′(x )＝x －1x －mx≤0，所以H (x )在[1，m ]内单调递减．于是|H (x 1)－H (x 2)|≤H (1)－H (m )＝12m 2－m ln m －12.|H (x 1)－H (x 2)|<1⇔12m 2－m ln m －12<1⇔12m －ln m －32m<0. 记h (m )＝12m －ln m －32m (1＜m ≤e)，则h ′(m )＝12－1m ＋32m 2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －132＋13>0，所以函数h (m )＝12m －ln m －32m 在(1，e]上是单调增函数．所以h (m )≤h (e)＝e 2－1－32e＝e －3e ＋12e<0，故命题成立．[专题技法归纳](1)对复杂函数的对称性应注意利用最根本的定义解决，奇偶性只是对称性中最特殊的一种． (2)对于形如：∀x 1，x 2∈[1，m ]，恒有|H (x 1)－H (x 2)|<1的问题，要注意转化成最值问题处理．同时在利用导数的正负探究函数的单调性时，为判断导函数的正负，有时还需要设计成研究导函数的最值问题．1．定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x －2||，x ≠2，1， x ＝2，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，求f (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝________.解析：作出函数f (x )的图象可以得到x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝9.f (9)＝|lg 7|＝lg 7. 答案：lg 72．若函数f (x )满足：f (x ＋3)＝f (5－x )且方程f (x )＝0恰有5个不同实根，求这些实根之和为________．解析：由题意可得到图象关于x ＝4对称，所以和为20. 答案：203．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值是________． 解析：由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在区间[－1,2]上满足f ′(x )≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1≤0，f ′2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥0，4b ＋c ＋12≤0，此问题相当于在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥0，4b ＋c ＋12≤0，下求目标函数z ＝b ＋c 的最大值．作出可行域(图略)，由图可知，当直线l ：b ＋c ＝z 过2b －c －3＝0与4b ＋c＋12＝0的交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－6时，z 最大，∴z max ＝－32－6＝－152. 答案：－1524．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别给出下面几个结论：①等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立； ②函数f (x )的值域为(－1,1)； ③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； ④函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点．其中正确结论的序号有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)解析：①显然正确；由|f (x )|＝|x |1＋|x |<1＋|x |1＋|x |＝1知②正确；可以证明f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，故③正确；由f (x )－x ＝0得x1＋|x |＝x ，此方程只有一根x ＝0，故④不正确．答案：①②③5．若关于x 的方程x 2＝2－|x －t |至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是________． 解析：方程等价于|x －t |＝2－x 2，结合y ＝|x －t |与y ＝2－x 2图象，如图，找出两边临界值，可得－94≤t ＜2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，2 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≥2，x －13， x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．解析：f (x )＝2x(x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f (x )＝(x －1)3(x <2)单调递增且值域为(－∞，1)，f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)7．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x的方程为f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：由定义运算“*”可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12－2x －1x －1，2x －1≤x －1，x －12－2x －1x －1，2x －1>x －1，＝⎩⎪⎨⎪⎧2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－18，x ≤0，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，x >0，画出该函数图象可知满足条件的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1－316，08．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝________.解析：由f (x ＋6)＝f (x )，可知函数的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝335＋3＝338.答案：3389．(2012·南师附中)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2，对于任意x ∈[t －2，t ]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析：f (x ＋t )≥2f (x )等价于f (x ＋t )≥f (2x )根据奇偶性得到函数在定义域上是单调递减函数，所以x ＋t ≤2x 恒成立，解得t ≤－ 2.答案：(－∞，－ 2 ]10．(2012·北京高考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0. 则m 的取值范围是________．解析：当x ＜1时，g (x )＜0，当x ＞1时，g (x )＞0，当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求；当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时，不符合第①条的要求；当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜－m ＋3，2m ＜－4，－m ＋3＜1或者⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－m ＋3＜2m ，2m ＜1，－m ＋3＜－4，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)． 答案：(－4，－2 )11．(2012·栟茶一模)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，是否存在m ∈R ，使得f (m )＝－a 成立时，f (m ＋3)为正数？若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有2个不等实根，证明必有一个根属于(x 1，x 2)；(3)若f (0)＝0，是否存在b 的值使{x |f (x )＝x }＝{x |f [f (x )]＝x }成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ， 所以a >0且c <0.∵f (1)＝0，∴1是f (x )＝0的一个根， 由韦达定理知另一根为c a.∵a >0且c <0，∴c a<0<1.又a >b >c ，b ＝－a －c ，∴－2<c a <－12.假设存在这样的m ，由题意，则a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －c a (m －1)＝－a <0，∴c a <m <1. ∴m ＋3>c a＋3>－2＋3＝1. ∵f (x )在(1，＋∞)单调递增， ∴f (m ＋3)>f (1)＝0， 即存在这样的m 使f (m ＋3)>0. (2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x )是二次函数． ∵g (x 1)·g (x 2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 1－f x 1＋f x 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 2－f x 1＋f x 22＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2≤0，又∵f (x 1)≠f (x 2)，g (x 1)·g (x 2)<0，∴g (x )＝0有两个不等实根，且方程g (x )＝0的根必有一个属于(x 1，x 2)． (3)由f (0)＝0得c ＝0，∴f (x )＝ax 2＋bx . 由f (x )＝x ，得方程ax 2＋(b －1)x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝1－ba，又由f [f (x )]＝x 得a [f (x )]2＋bf (x )＝x . ∴a [f (x )－x ＋x ]2＋b [f (x )－x ＋x ]＝x .∴a [f (x )－x ]2＋2ax [f (x )－x ]＋ax 2＋b [f (x )－x ]＋bx －x ＝0. ∴[f (x )－x ][af (x )－ax ＋2ax ＋b ＋1]＝0， 即[f (x )－x ][a 2x 2＋a (b ＋1)x ＋b ＋1]＝0. ∴f (x )－x ＝0或a 2x 2＋a (b ＋1)x ＋b ＋1＝0. (*) 由题意(*)式的解为0或1－ba或无解，当(*)式的解为0时，可解得b ＝－1， 经检验符合题意；当(*)式的解为1－b a时，可解得b ＝3，经检验符合题意；当(*)式无解时，Δ＝a 2(b ＋1)2－4a 2(b ＋1)<0， 即a 2(b ＋1)(b －3)<0， ∴－1<b <3.综上可知，当－1≤b ≤3时满足题意． 12．已知函数f 1(x )＝e|x －2a ＋1|，f 2(x )＝e|x －a |＋1，x ∈R ，1≤a ≤6.(1)若a ＝2，求f (x )＝f 1(x )＋f 2(x )在[2,3]上的最小值；(2)若|f 1(x )－f 2(x )|＝f 2(x )－f 1(x )对于任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围； (3)求函数g (x )＝f 1x ＋f 2x2－|f 1x －f 2x |2在[1,6]上的最小值． 解：(1)对于a ＝2，x ∈[2,3]，f (x )＝e |x －3|＋e|x －2|＋1＝e3－x＋ex －1≥2e3－x·ex －1＝2e ，当且仅当e3－x＝ex －1，即x ＝2时等号成立， ∴f (x )min ＝2e.(2)|f 1(x )－f 2(x )|＝f 2(x )－f 1(x )对于任意的实数x 恒成立，即f 1(x )≤f 2(x )对于任意的实数x 恒成立，亦即e|x －2a ＋1|≤e|x －a |＋1对于任意的实数x 恒成立，∴|x －2a ＋1|≤|x －a |＋1，即|x －2a ＋1|－|x －a |≤1对于任意的实数x 恒成立． 又|x －2a ＋1|－|x －a |≤|(x －2a ＋1)－(x －a )|＝|－a ＋1|对于任意的实数x 恒成立， 故只需|－a ＋1|≤1，解得0≤a ≤2. 又1≤a ≤6，∴a 的取值范围为1≤a ≤2. (3)g (x )＝f 1x ＋f 2x2－|f 1x －f 2x |2＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，f 1x ≤f 2x ，f 2x ，f 1x >f 2x ，①当1≤a ≤2时，由(2)知f 1(x )≤f 2(x )，g (x )＝f 1(x )＝e |x －2a ＋1|，图象关于直线x ＝2a －1对称，如右图，又此时1≤2a －1≤3，故对x ∈[1,6]，g (x )min ＝f 1(2a－1)＝1.②当2＜a ≤6时，(2a －1)－a ＝a －1>0， 故2a －1>a .x ≤a 时，f 1(x )＝e －x ＋(2a －1)>e －x ＋a ＋1＝f 2(x )， g (x )＝f 2(x )＝e |x －a |＋1；x ≥2a －1时，f 1(x )＝e x －(2a －1)<e x －a ＋1＝f 2(x )，g (x )＝f 1(x )＝e |x －2a ＋1|； a <x <2a －1时，由f 1(x )＝e －x ＋(2a －1)≤e x －a ＋1＝f 2(x )，得x ≥3a －22，其中a <3a －22<2a －1， 故3a －22≤x ＜2a －1时，g (x )＝f 1(x )＝e |x －2a ＋1|，a <x <3a －22时，g (x )＝f 2(x )＝e |x －a |＋1.因此，2＜a ≤6时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，x ≥3a －22，f2x ，x <3a －22.令f 1(x )＝e |x －2a ＋1|＝e ，得x 1＝2a －2，x 2＝2a ，且3a －22<2a －2，如右图． (ⅰ)当a ≤6≤2a －2，即4≤a ≤6时，g (x )min ＝f 2(a )＝e ；(ⅱ)当2a －2＜6≤2a －1，即72≤a ＜4时，g (x )min ＝f 1(6)＝e |6－2a ＋1|＝e 2a －7；(ⅲ)当2a －1<6，即2<a <72时，g (x )min ＝f 1(2a －1)＝1，g (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤a <72，e 2a －7，72≤a ＜4，e ，4≤a ≤6.。
高三数学二轮复习教学案一体化：函数的性质及应用(2)
专题1 函数的性质及应用（2）高考趋势1.函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题．2.函数的图像往往融合于其他问题中，而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。
另外，函数的图像本事也是解决问题的一种方法。
这些高考时常出现。
图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体，这在高考中也常出现。
通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。
在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。
在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。
考点展示1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是B2.函数xy 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21+=x y3. 函数)(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于x 轴对称，则函数)(x f 的解析式是2)1(2+-x4. 方程223x x -+=的实数解的个数为 25. 函数)1(x f y+=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称函数图象对称问题是函数部分的 一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。
定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2a bx +=对称。
定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b ax ω-=对称特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2b ax -=对称。
高三数学二轮复习教学案一体化：利用导数研究函数的性质
专题二——利用导数研究函数的性质高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大．常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值，这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压轴题。
试题主要先判断或证明函数的单调区间，其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。
考点展示1.二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 一 象限 2．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别 为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = 2 ； 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= -2 ．3.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 45° 4.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a 15.设R a ∈，若函数ax e y x+=，R x ∈有大于零的极值点，则a 的取值范围1-<a6.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 2 ． 7.已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=__32_ _ 8.过点P （2，8）作曲线3x y =的切线，则切线方程为_ 12x-y-16=0或3x-y+2=0 样题剖析例1、设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。
（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。
函数的性质教案8篇
函数的性质教案8篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学教案：函数的性质与应用 (2)
高中数学教案：函数的性质与应用一、函数的基本性质1.1 定义及记法函数是一个将一个集合中的每一个元素映射到另一个集合中的元素的规则。
一般使用f(x)或y来表示函数。
在表示函数的定义域和值域时，需要注意分类讨论与区间表示方法。
1.2 函数的奇偶性若对于任意的x，f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数；若对于任意的x，f(-x) = f(x)，则称函数为偶函数。
奇函数的图像在原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
1.3 函数的单调性如果在定义域的任意两个数x1和x2上，当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)，则称函数在该区间上是递增的。
如果在定义域的任意两个数x1和x2上，当x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)，则称函数在该区间上是递减的。
单调函数可以通过绘制函数图像或求导数来判断。
1.4 函数的周期性如果存在正数T，对于任意x在定义域上，有f(x + T) = f(x)，则称函数为周期函数。
周期函数可以通过绘制函数图像来观察函数的周期性。
二、函数的应用2.1 函数模型函数可以用来描述各种实际问题中的变化规律。
通过观察问题的特征和给定条件，可以建立函数模型来求解问题。
例如，求解物体的运动问题时，可以利用函数模型来描述物体的位置随时间的变化关系。
2.2 函数的最值函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值和最小值。
最值可以通过求导数或列出表达式的值来确定。
最大值和最小值在实际问题中常用来表示最佳解以及顶点等重要的信息。
2.3 函数的图像与平移函数的图像可以通过绘制函数的图像来观察函数的特点。
对于常见的函数形式，可以通过平移图像来得到新的函数图像。
平移图像的方法是在原始函数上对输入或输出进行加减操作，得到新函数的图像。
2.4 函数的复合函数的复合是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
通过函数的复合，可以建立更复杂的函数模型来描述问题。
函数的复合可以通过将内层函数的输出代入外层函数来进行计算。
江苏省高考数学二轮复习教学案：第2讲 函数图象及性质
第2讲 函数、图象及性质1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一．2. 重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．3. 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．1. 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，则f(x)＝________.2.函数f(x)＝(x ＋1)0|x|－x的定义域为________．3.函数f(x)的定义域是R ，其图象关于直线x ＝1和点(2 , 0)都对称，f ⎝⎛⎭⎫－12＝2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫20092＝________.4.函数f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝mx ＋2，对x 1∈[－1,2]，x 0∈[－1,2]，使g(x 1)＝f(x 0)，则实数m 的取值范围是________．【例1】 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m 使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．【例2】 已知函数f(x)＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．【例3】 设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x ∈R ，常数a 为实数)． (1) 若f(x)为偶函数，求实数a 的值； (2) 设a>2，求函数f(x)的最小值.【例4】 (2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)＝x ＋a ＋a|x|，a 为实数． (1) 当a ＝1，x ∈[－1,1]时，求函数f(x)的值域；(2) 设m 、n 是两个实数，满足m ＜n ，若函数f(x)的单调减区间为(m ，n)，且n －m ≤3116，求a 的取值范围．1. (2011·辽宁)若函数f(x)＝x(2x＋1)(x－a)为奇函数，则a＝________.2.(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝________.3.(2011·上海)设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)＝x＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为____________．4.(2011·北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为________．5.(2011·上海) 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．6.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)(2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3－2log 2x ，g(x)＝log 2x. (1) 如果x ∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域； (2) 求函数M(x)＝f (x )＋g (x )－|f (x )－g (x )|2的最大值；(3) 如果对不等式f(x 2)f(x)＞kg(x)中的任意x ∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．解：令t ＝log 2x ，(1分) (1) h(x)＝(4－2log 2x)·log 2x ＝－2(t －1)2＋2，(2分) ∵ x ∈[1,4]，∴ t ∈[0,2]，(3分) ∴ h(x)的值域为[0,2]．(4分) (2) f(x)－g(x)＝3(1－log 2x)，当0＜x ≤2时，f(x)≥g(x)；当x ＞2时，f(x)＜g(x)，(5分)∴ M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ g (x )，f (x )≥g (x )，f (x )，f (x )＜g (x )， M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，3－2log 2x ，x>2，(6分)当0＜x ≤2时，M(x)最大值为1；(7分)当x ＞2时，M(x)＜1.(8分)综上：当x ＝2时，M(x)取到最大值为1.(9分)(3) 由f(x 2)f(x)＞kg(x)，得(3－4log 2x)(3－log 2x)＞k·log 2x ， ∵ x ∈[1,4]，∴ t ∈[0,2]，∴ (3－4t)(3－t)＞kt 对一切t ∈[0,2]恒成立，(10分) ①当t ＝0时，k ∈R ；(11分)②t ∈(0,2]时，k ＜(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k ＜4t ＋9t －15，(12分)∵ 4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号．(13分)∴ 4t ＋9t －15的最小值为－3.综上：k ＜－3.(14分)第2讲 函数、图象及性质1. 已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)＞f(n)，则m 、n 的大小关系为________．【答案】 m ＜n 解析： 考查指数函数的单调性a ＝5－12∈(0,1)，函数f(x)＝a x 在R 上递减．由f(m)＞f(n)得：m<n. 2. 设a 为实数，函数f(x)＝2x 2＋(x －a)|x －a|. (1) 若f(0)≥1，求a 的取值范围； (2) 求f(x)的最小值；(3) 设函数h(x)＝f(x)，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．点拨： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．解：(1) 若f(0)≥1，则－a|a|≥1⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2≥1a ≤－1.∴ a 的取值范围是(－∞，－1](2) 当x ≥a 时，f(x)＝3x 2－2ax ＋a 2， f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )，a ≥0，f ⎝⎛⎭⎫a 3，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0，当x ≤a 时，f(x)＝x 2＋2ax －a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (－a )，a ≥0，f (a )，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 2，a ＜0，综上f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0.(3) x ∈(a ，＋∞)时，h(x)≥1得3x 2－2ax ＋a 2－1≥0，Δ＝4a 2－12(a 2－1)＝12－8a 2. 当a ≤－62或a ≥62时，Δ≤0，x ∈(a ，＋∞)； 当－62＜a ＜62时，Δ＞0，得：⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －3－2a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋3－2a 23≥0，x ＞a ， 讨论得：当a ∈⎝⎛⎭⎫22，62时，解集为(a ，＋∞)； 当a ∈⎝⎛⎭⎫－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞ 当a ∈⎣⎡⎦⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.综上，当a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－62∪⎣⎡⎭⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)，当a ∈⎣⎡⎦⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞，当a ∈⎣⎡⎦⎤－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.基础训练 1. 12x 2＋12x 2. (－∞，－1)∪(－1,0) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x ＞0x ＜0，x ≠－1.3. －4 解析：函数图象关于直线x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2 , 0)对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x ＋2)＝－f(x)，∴ f(x ＋4)＝f(x)，∴ f ⎝⎛⎭⎫2 0092＝f ⎝⎛⎭⎫1 004＋12＝f ⎝⎛⎭⎫12，又f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫4＋12＝ －f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫2 0092＝2f ⎝⎛⎭⎫12＝－2f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4. 4. ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析：x ∈[－1,2]时，f(x)∈[－1,3]．m ≥0，x ∈[－1,2]时，g(x)∈[2－m,2＋2m]；m ＜0，x ∈[－1,2]时，g(x)∈[2＋2m,2－m]．m ≥0，[2－m ，2＋2m][－1,3]；m ＜0，[2＋2m,2－m][－1,3]得0≤m ≤12或－1≤m<0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 例题选讲例1 解： (1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5), ∴ 可设f(x)＝ax(x －5)(a ＞0)．∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.由已知得6a ＝12, ∴ a ＝2, ∴ f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x ∈R )．(2) 方程f(x)＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，103时，h ′(x)＜0，h(x)是减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫103，＋∞时，h ′(x)＞0，h(x)是增函数．∵ h(3)＝1＞0，h ⎝⎛⎭⎫103＝－127＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在区间⎝⎛⎭⎫3，103，⎝⎛⎭⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根．变式训练 已知函数y ＝f (x)是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f(x)(－1≤x ≤1)的图象关于原点对称．又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1) 证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y ＝f(x)，x ∈[1,4]的解析式； (3)求y ＝f(x)在[4,9]上的解析式．(1)证明： ∵ f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)， 又∵ y ＝f(x)(－1≤x ≤1)关于原点对称，∴ f(1)＝－f(－1)＝－f(4), ∴ f(1)＋f(4)＝0.(2)解： 当x ∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x －2)2－5(a ＞0)， 由f(1)＋f(4)＝0得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴ a ＝2， ∴ f(x)＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)解： ∵ y ＝f(x)(－1≤x ≤1)是奇函数，∴ f(0)＝0，又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴ 可设f(x)＝kx(0≤x ≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴ k ＝－3，∴ 当0≤x ≤1时，f(x)＝－3x ，从而当－1≤x ＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f(x)＝－3x ，∴ 当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴ f(x)＝f(x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15，当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4，∴ f(x)＝f(x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15，4≤x ≤6，2(x －7)2－5，6＜x ≤9. 点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值．例2 解： (1) 当a ＝0时，f(x)＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x), ∴ f(x)为偶函数．当a ≠0时，f(x)＝x 2＋ax(a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a ≠0， ∴ f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴ 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2) (解法1)设2≤x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a]， 要使函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x 1)－f(x 2)＜0恒成立．∵ x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立． 又∵ x 1＋x 2＞4, ∴ x 1x 2(x 1＋x 2)＞16. ∴ a 的取值范围是(－∞，16]．(解法2)当a ＝0时，f(x)＝x 2，显然在[2，＋∞)为增函数．当a ＜0时，反比例函数ax 在[2，＋∞)为增函数，∴ f(x)＝x 2＋ax 在[2，＋∞)为增函数．当a ＞0时，同解法1.(解法3)f ′(x)＝2x －ax 2≥0，对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴ a ≤2x 3而y ≤2x 3.在[2，＋∞)上单调增，最小值为16，∴ a ≤16.点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题． 例3 解：(1) 由已知f(－x)＝f(x)，即|2x －a|＝|2x ＋a|，解得a ＝0.(2) f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x ＜12a ，当x ≥12a 时，f(x)＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a ＞2，x ≥12a ，得x ＞1，从而x ＞－1，又f ′(x)＝2(x ＋1)，故f(x)在x ≥12a 时单调递增，f(x)的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24；当x ＜12a 时，f(x)＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1＜x ＜a2时，f(x)单调递增，当x ＜1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)＝a －1；由a 24－(a －1)＝(a －2)24＞0，知f(x)的最小值为a －1. 点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法．变式训练 已知函数f(x)＝x|x －2|.设a ＞0，求f(x)在[0，a]上的最大值．解： f(x)＝x|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ≥2，－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，x ＜2.∴ f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞); 单调递减区间是[1,2]．① 当0＜a ≤1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1＜a ≤2时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1＞0, 解得a ＞1＋ 2. 若2＜a ≤1＋2，则f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； 若a ＞1＋2，则f(a)＞f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)．综上，当0＜a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a ≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a ＞1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．例4 解： 设y ＝f(x)，(1) a ＝1时，f(x)＝x ＋1＋|x|，当x ∈(0,1]时，f(x)＝x ＋1＋x 为增函数，y 的取值范围为(1,1＋2]． 当x ∈[－1,0]时，f(x)＝x ＋1－x ，令t ＝x ＋1，0≤t ≤1，则x ＝t 2－1，y ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，0≤t ≤1，y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，54. ∵ 54＜1＋2， ∴x ∈[1,1]时，函数f(x)的值域为[1,1＋2]．(2) 令t ＝x ＋a ，则x ＝t 2－a ，t ≥0，y ＝g(t)＝t ＋a|t 2－a|. ① a ＝0时，f(x)＝x 无单调减区间；② a ＜0时，y ＝g(t)＝at 2＋t －a 2，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上g(t)是减函数，则在⎝⎛⎭⎫14a 2－a ，＋∞上f(x)是减函数．∴a ＜0不成立．③ a ＞0时，y ＝g(t)＝⎩⎨⎧－at 2＋t ＋a 2，0≤t ≤a ，at 2＋t －a 2，t ＞ a.仅当12a ＜a ，即a ＞312时，在t ∈⎝⎛⎭⎫12a ，a 时，g(t)是减函数，即x ∈⎝⎛⎭⎫14a 2－a ，0时，f(x)是减函数． ∴n －m ＝a －14a 2≤3116，即(a －2)(16a 2＋a ＋2)≤0. ∴a ≤2. 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤314，2.高考回顾1. 12解析：f(－x)＝－f(x)恒成立或从定义域可直接得到． 2. g(x)＝e x ＋e －x2 解析： 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e －x .又因为f(x)＋g(x)＝e x ，所以g(x)＝e x ＋e －x2.3. [－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，则f(x 1)＝x 1＋g(x 1)∈[－2,5]，∵ g(x)是定义域为R 周期为1的函数，∴ 当x 2∈[1,2]时，f(x 2)＝x 1＋1＋g(x 1＋1)＝1＋x 1＋g(x 1)＝1＋f(x 1)∈[－1,6]，当x 2∈[2,3]时，f(x 2)＝x 1＋2＋g(x 1＋2)＝2＋x 1＋g(x 1)＝2＋f(x 1)∈[0,7]，∴ f(x)在区间[0,3]上的值域为[－2,7]．4. 4 解析：AB ＝22，直线AB 的方程为x ＋y ＝2，在y ＝x 2上取点C(x ，y)，点C(x ，y)到直线AB 的距离为2，|x ＋y －2|2＝2，|x ＋x 2－2|＝2，此方程有四个解．5. 解：(1) 当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2， 则f(x 1)－f(x 2)＝a(2x 1－2x 2)＋b(3x 1－3x 2)，∵ 2x 1＜2x 2，a ＞0a(2x 1－2x 2)＜0,3x 1＜3x 2，b ＞0b(3x 1－3x 2)＜0， ∴ f(x 1)－f(x 2)＜0，函数f(x)在R 上是增函数．当a ＜0，b ＜0时，同理函数f(x)在R 上是减函数．(2) f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x ＞0，当a ＜0，b ＞0时，⎝⎛⎭⎫32x ＞－a2b ，则 x ＞log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ；当a ＞0，b ＜0时，⎝⎛⎭⎫32x ＜－a2b，则x ＜log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 6. 解：(1) 由题意：当0≤x ≤20时，v(x)＝60；当20≤x ≤200时，设v(x)＝ax ＋b ，显然v(x)＝ax ＋b 在[20,200]是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20<x ≤200.(2) 依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x ≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎡⎦⎤x ＋(200－x )22＝10 0003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立． 所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．。
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专题1 函数的性质及应用（2）高考趋势1.函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题．2.函数的图像往往融合于其他问题中，而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。
另外，函数的图像本事也是解决问题的一种方法。
这些高考时常出现。
图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体，这在高考中也常出现。
通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。
在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。
在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。
考点展示1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是B2.函数xy 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21+=x y3. 函数)(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于x 轴对称，则函数)(x f 的解析式是2)1(2+-x4. 方程223xx -+=的实数解的个数为 25. 函数)1(x f y +=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称函数图象对称问题是函数部分的 一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。
定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2a bx +=对称。
定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b ax ω-=对称特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2b ax -=对称。
6. 函数21()2f x x x =-+定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，m n <，则m n += -2 样题剖析 例1.已知R 上的奇函数)(x f 在),0[+∞上是单调递增函数，且2)3(=f ,若函数)(x f 的图像向右平移1个单位后得到函数)(x g 的图像，试解不等式：02)(2)(>+-x g x g),4()2,(+∞--∞变式：若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 （-2，2） ． 例2.已知函数x b b ax x f 22242)(-+-=，R b a a x x g ∈---=,,)(1)(2其中（1） 当b=0时，若)(x f 在),2[+∞上单调递增，求a 的取值范围；1≥a（2） 求满足下列条件的所有实数对),(b a ：当a 为整数时，存在0x ，使得)(0x f 是)(x f 的最大值，)(0x g 是)(x g 的最小值。
（2224b b a -+=2)1(5--=b ，502≤<a 。
（-1，-1），（-1，3）变式：（07湖北文）设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．（I ）求实数a 的取值范围； （II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与116的大小．并说明理由． 法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，A B C D则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，．（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，令2()2h a a =． 当0a >时，()h a 单调增加，∴当03a <<-20()(32(32(17h a h <<-=-=-121617122=<+，即1(0)(1)(0)16f f f -<．法2：（I ）同解法1． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a-==，由（I ）知03a <<-1170-<<∴．又10+>，于是221112(321)1)0161616a a -=-=-+<， 即212016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得121x x a +=-，12x x a =，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，，，，0133a a a a ⎧>⎪⇔<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a 的取值范围是(03-，．（II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<． ［点评］本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．总结提炼对于解决函数的题目如果能画出示意图，则对解决问题起到很大的帮助。
作图要注意图象整体,局部,细节. 细节。
结合函数的定义域，奇偶性，值域，渐近线单调性，周期性，特定区间，极值最值点，坐标轴的交点，边界点。
带有参数的函数问题要注意不动点。
对于两个图像问题要关注交点个数，图形的相对位置。
1. 对于图像的变换，应能从两个方面认识：其一，是用一些“口诀”，如“左加、右减”等：其二是要会用求轨迹的方法去认识。
2. 函数问题结合图像，或画出草图，或头脑中有一个草图，对解题都有帮助。
自我测试1.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 0 ．2.函数f (x 的最大值为 21 ．3.若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = 224x -4.（07年江苏）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则123,,332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是 231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. 若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的最小值是 --526.若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是)1,43[7.对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ①f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)；② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)③1212()()f x f x x x -->0；④1212()()()22x x f x f x f ++<.当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是 2，3 . 8.（06江苏） 设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。
（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )（Ⅱ）求g (a )t =要使有t 意义，必须1+x ≥0且1-x ≥0，即-1≤x ≤1,∴22[2,4],t =+t ≥0 ① t的取值范围是2112t =- ∴m(t)=a(2112t -)+t=21,2]2at t a t +-∈ （2）由题意知g(a)即为函数21(),2]2m t at t a t =+-∈的最大值。
注意到直线1t a =-是抛物线21()2m t at t a =+-的对称轴，分以下几种情况讨论。
当a>0时，函数y=m(t),t ∈的图象是开口向上的抛物线的一段， 由1t a=-<0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2 (2)当a=0时，m(t)=t,t ∈,∴g(a)=2.(3)当a<0时,函数y=m(t),t ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，若1t a =-∈，即a ≤则()g a m ==若12]t a =-∈，即12a <≤-则11()()2g a m a a a =-=-- 若1(2,)t a =-∈+∞，即102a -<<则()(2)2g a m a ==+综上有2,1(),2a g a a a ⎧+⎪⎪=--⎨121,2a a a >-<<-≤。