高三数学一轮复习学案：函数的概念及其表示
第一讲+函数的概念及其表示 高三数学一轮复习
，k∈Z.
2.常见函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当 a＞0 时，值域为 4ac4－a b2，＋∞；当 a＜0 时，值域为－∞，4ac4－a b2.
(3)y＝xk(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y＝ax(a＞0 且 a≠1)的值域是(0，＋∞). (5)y＝logax(a＞0 且 a≠1)的值域是 R. (6)y＝sin x，y＝cos x 的值域是[－1，1]，y＝tan x 的定义域 是 R.
高考一轮总复习
第二章 函数、导数及其应用
第一讲 函数的概念及其表示
1.函数的概念
内容
函数
两个集合A，B 设A，B是两个非空的实数集
对应关系 f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中 的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y 和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
解得2－kπ4<≤x<x≤π＋4.2kπ，k∈Z， 当 k＝0 时，x∈(0，π)满足；k＝1 时，x∈(2π，3π)，则 x∈∅； k＝－1 时，x∈(－2π，－π)，则 x∈[－4，－π)， 则 f(x)的定义域为[－4，－π)∪(0，π).故选 D. 答案：D
(2)若函数 f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则 a＋
则 y＝xf(－2x1]
B.[－4，1)∪(1，8]
C.(1，2]
D.[－1，1)∪(1，2]
解析：由题意，得－ x－21≤≠20x≤ ，4， 解得－1≤x≤2 且 x≠1.故 选 D.
答案：D
考点二 求函数的解析式 [例 3](1)已知二次函数 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求 f(x)； (2)已知函数 f(x)满足 f(－x)＋2f(x)＝2x，求 f(x).
高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第一节函数的概念及其表示课件
2
故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2(x≥2).
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥2).
(4)因为f(x)+2f(-x)=x2+2x,①
所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,
所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
②-①,得
1 2
f(x)=3x -2x,
故函数 f(x)的解析式为
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的 集合{f(x)|x∈A} 叫做函数
的 值域
.
(2)如果两个函数的
定义域
两个函数是同一个函数.
相同,并且 对应关系 完全一致,那么这
微点拨对函数概念的理解
(1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系;
(2)如果两个函数的定义域和对应关系相同,这两个函数就是同一个函数,
的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
微拓展复合函数:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可
以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作
y=f(g(x)),其中y=f(u)叫做复合函数y=f(g(x))的外层函数,u=g(x)叫做y=f(g(x))
则 f(f(26))等于(
log 5 (-1), ≥ 4,
1
A.
5
1
B.
e
C.1
D.2
)
答案 (1)ln 2
(2)C
解析(1)由题意知,当x>0时,f(x)<0;
当x≤0时,f(x)=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3.
第2章 第1节 函数的概念及表示-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
►考向二 求函数的解析式[师生共研]
[例 2] (1)已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x＋3，则 f(x) 的解析式为_f(_x_)＝__－__2_x_－__3__或__f_(_x)_＝__2_x_＋；1.
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x)的解析式为_f(_x_)_＝__x_2－__1_(；x≥1)
►规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)换元法：已知复合函数 f[g(x)]的解析式，可用换元法， 此时要注意新元的取值范围.
(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)， 可用待定系数法.
(3)配凑法：由已知条件 f[g(x)]＝F(x)，可将 F(x)改写成关 于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式.
►规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解 析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等 式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1) 若 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [a ， b] ， 则 复 合 函 数 f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义 域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
命题点 2 求抽象函数的解析式
[例 1－2] 已知函数 f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则 f(2x
－1)的定义域为( C )
A.(－1，0)
B.(－2，0)
C.(0，1)
－1，0 D. 2
[自主解答] ∵函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)， 即－2＜x＜0，∴－1＜x＋1＜1， 则f(x)的定义域为(－1，1)， 由－1＜2x－1＜1，得0＜x＜1， ∴f(2x－1)的定义域为(0，1).故选C.
高考数学一轮复习教学案函数及其表示(含解析)
第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。
人教版高中数学高考一轮复习--函数的概念及其表示(课件)
高中总复习优化设计
GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第二章
2.1 函数的概念及其表示
课标要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关
系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的要
图象、求值及方程(不等式)问题,提升数学运算和数学抽象素养.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.函数的概念
内容
两个集合 A,B
函数
设 A,B 是两个非空数集
如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的
对应关系 f:A→B 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它
[-1,2]
.
因为 y=f(x2-1)的定义域为[-√3, √3],
所以 x∈[-√3, √3],x2-1∈[-1,2],所以 y=f(x)的定义域为[-1,2].
能力形成点3
例4
求函数的解析:式
2
(1)已知 f + 1 =lg x,求 f(x);
(2)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x);
4.设 f(x)= 0, = 0,g(x)=
则 f(g(π))的值为( B )
0,为无理数,
1, < 0,
A.1
B.0
C.-1
D.π
2025届高考数学一轮总复习第3章函数与基本初等函数第1节函数的概念及其表示新人教A版
解析 因为f(x)=
故选D.
C.5
D.4
- + 1, < 0,
2=4,
所以f(-1)=-(-1)+1=2,所以f(f(-1))=f(2)=2
选择恰当的方法.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.函数的概念
一般地,设A,B是非空的 实数集
,如果对于集合A中
的 任意一个数x ,按照某种确定的对应关系f,在集合B
概念
中都有 唯一 确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为
从集合A到集合B的一个函数
2 0232,相当于1个x值对应两个y值,不符合函数定义,即A错误;对于B选项,
取x=0和x=π,有f(g(0))=f(0)=0,f(g(π))=f(0)=π2,不符合函数定义,所以B
错误;对于 C 选项,若 f(2x-1)=x
+1
+1 2
+1 2
,令 t=2x-1,得 x= ,则 f(t)=( ) ,即 f(x)=( ) ,
选BCD.
考点二函数的定义域
例 2(1)(2024·江西赣州模拟)若函数 f(x-1)的定义域为[-2,3],则函数
f(2x-4)
g(x)= x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ -4
的定义域为( B )
1
A.[2,3]
1
B.[2,2)∪(2,3]
C.[-1,2)∪(2,4]
D.[-6,2)∪(2,4]
解析 函数 f(x-1)的定义域为[-2,3],所以由-2≤x≤3,得-3≤x-1≤2,故 f(x)的定
√
.
+ 1 > 0,
也谈高三数学一轮复习以“函数的概念及其表示方法＂为例
设 计 意 图 进 一 步 加 深 对 函数 概 念 的 理 解 ． 教 后 一 得 改 编题 有 创 意 ， 比较鲜 活 ， 但 是 有 风 险 的． 这 道 题原 题 是 求 集 合 Ａ 的个 数 ， 为 了加深 学 生 对 “ 解 析式 相 同而 定 义域 不 同 的 函数 是 不 同 的 函 数 ”的 理 解 ， 我把题 目 改 编 成求 函数 ， （ ｚ ）的个 数 ， 但后来注意到求 函数 ｇ （ ｚ ）的 个 数 是 同样 的道 理 ， 于是， 我 又 把题 目改 编 成 “ 求 函数 ＾ （ ｚ ）
一
应 ③ 也 很 直 观 地表 明值 域 ｃ Ｂ这 一 容 易 混 淆 的事 实． 教 后 一 得 学 生 对 函数 的 概 念 遗 忘 得 很 厉 害 ， 但 这
是 高 三 复 习课 ， 笔者很 纠结是 否需要 使用“ 文 氏 箭 头 图” ，
但后来念其是普通班 ， 还 是 用 了． 事实证明 ， 学 生 确 实 遗 忘 严重 ， 对 函数 概 念 一 知 半 解 ， 本 题 的设 计及 时 、 全面、 到位 ，
域是［ Ｏ ，４ ］ ，定 义 域 是 ［ 。 ，６ ］ ，则 ｂ— ｎ 的 取 值 范 围
是 ．
时教 学进 度较 快 ， 所 以学生对 此遗 忘严 重， 要 立 足 基 本 概 念． 上述 “ 文 氏箭 头 图” 较 直观 全 面地 揭 示 出 函数 概 念 的 内 涵 — — 三 个 关键 词 ： 非 空数 集 ， “ Ａ 中任 一 ” ， “ Ｂ 中唯 一 ” ． 对
１ ． ２ 教 学 目标
函数 的 图 象与 直线 Ｙ 一 １有 不 同交 点 个数 的 情 况 的 讨 论 ，
学生 明晰 解 析 式 相 同 而 定 义 域 不 同 的 函 数 不 是 相 同 的 函
高中数学教案《函数的概念及其表示》
教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。
o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。
o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。
2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。
o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。
o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。
o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。
o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。
二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。
●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。
●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。
2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。
●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。
●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。
3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。
●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。
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高三数学一轮复习学案：函数的概念及其表示
一、考试要求：1、了解映射的概念；2、理解函数的概念,了解构成函数的要素；
3、在实际情境中会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数
4、了解函数与映射的关系；
5、了解简单的分段函数，并能简单应用．
二、知识梳理：
1、函数（1）函数的定义：设集合A 是一个非空 集，对A 内任意数x ，按照______的法则f ，都有 ___ 数值y 与它对应，则这种对应关系叫做_________上的一个函数。
（2）函数的两大要素：函数自变量的取值范围（集合A ）叫做函数的__________，所有函数值构成的集合叫做函数的___________。
（3）函数的表示方法：________、_________、_________。
(4)分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值范围有着不同的________，这样的函数通常叫做_________。
2、映射（1）映射的定义：设A 、B 是两个 集合，如果按照某种对应法则f 对集合A 中的 元素，在集合B 中 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射。
y 是x 在映射f 的作用下的 ，x 称作y 的 ，其中A 叫映射f 的 ，由所有象f(x)构成的集合叫映射f 的 。
（2）一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的 , 在集合A 中都有 ，则这两个集合的元素之间存在 关系，称这个映射叫集合A 到集合B 的一一映射。
3、函数与映射的关系：函数是一种特殊的________，其特殊性表现在__________。
三 基础练习：
1、下列四个命题：（1）函数是其定义域到值域的映射。
（2）x x x f -+-=23)(是函数。
（3）函数)(2N x x y ∈=的图象是一条直线.（4）函数⎩⎨⎧<-≥=)
0()0(22x x x x y 的图象是抛物线.其
中正确的个数是（ ） A ：1 B ：2 C ： 3 D ： 4
2、下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ：1-=x y 与2)1(-=x y B ：1-=x y 与1
1--=
x x y C ：x y lg 4=与2lg 2x y = D ：2lg -=x y 与100lg
x y =
3、在x y 2=，x
y 2log =，2x y =，x y 2cos = 这四个函数中，当1021<<<x x 时，使
2
)
()()2(
2121x f x f x x f +>+恒成立的函数个数是（ ） A ：0 B ：1 C ：2 D ：3 4、（2007年江西卷）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一
半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是（ ）
A ．h 2＞h 1＞h 4
B ．h 1＞h 2＞h 3
C ．h 3＞h 2＞h 4
D ．h 2＞h 4＞h 1
5、设B A f →:是从集合A 到集合B 的映射，其中{}R y R x y x B A ∈∈==,),(，
),(),(:y x y x y x f -+→，那么A 中元素（1，3）的象是____；B 中元素（1，3）的原象是
6、（2009山东）已知函数满足 ()()⎩⎨⎧>---≤-=0,2101(log )(2x x f x f x x x f ）， 则)2009(f 的值为
7、（2007年北京卷）已知函数()()x g x f ,分别由下表给出：
则()[]1g f 的值 ；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值 .
8、如果函数3)()(a x x f +=对任意R x ∈都有)1()1(x f x f --=+，试求)2()2(-+f f 的值为
9、已知函数)(x f 满足)()()·
(b f a f b a f +=且q f p f ==)3()2(则)36(f ＝
10、已知{}k A ,3,2,1=，{}
**24,,3,,7,4N k N a a a a B ∈∈+=，B y A x ∈∈,13:+=→x y x f 是从定义域A 到值域B 的一个函数。
则a 、k 、A 、B 的值分别为
11、已知函数⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
≥<<--≤+=)2(2)21(2)1(2
)(2
x x x x x x x f 若f(a)=3，则a 的值为。