2011高一数学学案：2.1.1《变量与函数的概念》(新人教B版必修一)
高中数学人教B版必修一学案：2.1.1变量与函数的概念(映射)
高一数学第二章第四课时学案2.1.1函数-------变量与函数的概念一．学习目标1.了解映射的概念基表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否为映射，感受对应关系在函数概念中的作用，挺高对数学应用性的认识。
二．自主学习1、映射的定义：设A、B是两个___________，如果按照某种_____________f,对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中有_______________元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的___________，记作:______________________. 称y是x在映射f的作用下的__________，记作y=f(x),x称作y的____________。
其中A叫做映射f的________,由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的___________。
2.一一映射定义：设A，B是两个非空集合，映射f是集合A到集合B的________，并且对于集合B中的_________元素，在集合A中都__________一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在_______________关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B上的_________。
3.映射与函数有怎样的关系？三．典例分析例1：如下图所示的对应中，哪些是A到B的映射？例2、下列对应是不是A到B的映射？（1）A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9}，f:乘2加1（2）A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数（3）A=R+，B=R，f:求平方根（4）A={x|0≤x<1}，B={y|y≥1} ，f:取倒数四．快乐体验1、在下列集合E 到集合F 的对应中，不．能构成E 到F 的映射是（ ）A B C D2、设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A → B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n+4，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A 、6B 、7C 、8D 、93、设f:A →B 是集合A 到集合B 的映射，下列命题中是真命题的是（ ） A. A 中不同元素，必有不同的象； B. B 中每一个元素，在A 中必有原象； C. A 中每一个元素在B 中必有象； D. B 中每一个元素在A 中的原象唯一.4、已知映射f:A →B 的对应法则是f:(x,y)→（x+y,x-y ）(x,y ∈R),那么与B 中元素（2,1）对应的A 中元素是（ ）A. (3,1)B. (31,22)C. (31,-22) D. (1,3)5、已知集合A={a,b},B={1,2,3},则从A 到B 的不同映射有几个？从B 到A 的不同映射有几个？A 到B 上的一一映射有几个？五．今天我们学到了什么？xy x f 21:=→x y x f 61:=→xy x f 31:=→xy x f =→:AC BD 例4已知M= }{60≤≤x x {}30≤≤=y y P 下列对应中，不能看成是M 到P 的映射的是（ )例 3下面的对应，不是从M 到N 的映射的是（ ）A{}7,6,4,3,1=M {}1,1-=N ()xy x f 1:-=→Z M =R N =B xy x f =→:{}4,3,2=M {}8,6,4=N x y x f 2:=→C D 2:xy x f =→{}0≥=x x M {}0≥=y y N。
高中数学第二章函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法学习导航学案新人教B版必修1
函数-2.1.2 函数表示方法自主整理设集合A是一个非空数集,对A内任意数x,按照确定法那么f,都有唯一确定数值y与它对应,那么这种对应关系叫做集合A上一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,自变量取值范围A叫做函数定义域;如果自变量取值a,那么由法那么f确定值y称作函数在a处函数值,记作y=f(a)或y|x=a.所有函数值构成集合{y|y=f(x),x∈A}叫做函数值域.函数定义含有三个要素,即定义域A、值域C与对应法那么f.当且仅当两个函数定义域与对应法那么都分别一样时,这两个函数才是同一个函数.(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点线段来表示(如下表).用实心点表示端点包括在区间内,用空心点表示端点不包括在区间内.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间［a,b］{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间［a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b］(2)无穷区间概念:关于-∞,+∞作为区间一端或两端区间称为无穷区间,它定义与符号如下表:{x|x≥a}［a,+∞){x|x>a}(a,+∞){x|x≤a}(-∞,a］{x|x<a}(-∞,a)R(-∞,+∞)取遍数轴上所有值设A、B是两个非空集合,如果按某种对应法那么f,对A内任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,那么称f是集合A 到集合B映射.这时,称y是x在映射f作用下象,记作f(x).于是y=f(x),x称作y原象,映射f也可记为f:A→B,x→f(x).其中A叫做映射f定义域(函数定义域推广),由所有象f(x)构成集合叫做映射f值域,通常记作f(A).(1)列表法:通过列出自变量与对应函数值表来表达函数关系方法;(2)图象法:就是用函数图象来表达函数关系;(3)解析法:如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达,那么这种表达函数方法叫做解析法(也称公式法).在函数定义域内,对于自变量x不同取值区间,有着不同对应法那么,这样函数通常叫做分段函数.高手笔记1.(1)“y=f(x)〞中“f〞是函数符号,可以用任意字母表示,如“y=g(x)〞;(2)函数符号“y=f(x)〞中f(x)表示与x对应函数值,是一个数,而不是f 乘x.2.对应法那么可以有多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法与图象法,不管是哪种形式,都必须是确定,且使集合A中每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应.3.函数是建立在两个非空数集间一种对应,假设将其中条件“非空数集〞弱化为“任意两个非空集合〞,按照某种法那么可以建立起更为普通元素之间对应关系,这种对应就叫映射.A到B映射与B到A映射是截然不同.4.区间与数轴是严密联系在一起,在识别与使用区间符号时都不能脱离开数轴.区间端点值取舍是很容易出错地方,一定要准确判断是该用小括号还是中括号,正确书写.在用数轴表示时也要注意实心点与空心点区别.对于某些不能用区间表示集合就仍用集合符号表示.5.对于分段函数问题,一般要分别转化成在定义域内每一个区间上来解决.要明确分段函数是一个函数,不是多个函数,只是这个函数较为特殊,不像一般函数可以用一个解析式表示,而只能分段表示.分段函数画法要领是根据各段上函数解析式,分段画出各段图象.6.假设y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它取值范围是g(x)值域与(m,n)交集.名师解惑1.如何理解构成函数三要素:定义域、对应关系与值域求值域有几种常用方法剖析:(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数定义域,函数定义域包含三种形式:①自然型:指函数解析式有意义自变量x取值范围(如:分式函数分母不为零,偶次根式函数被开方数为非负数,等等);②限制型:指命题条件或人为对自变量x限制,这是函数学习重点,往往也是难点,因为有时这种限制比拟隐蔽,不容易注意,或者即使注意到,在解题时却忘记用到;③实际型:解决函数综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x实际意义.(2)求函数值域是比拟困难数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数值域问题.求法主要有以下几种:①配方法(转化为二次函数);②判别式法(转化为二次方程);③不等式法(运用不等式各种性质);④函数法(运用根本函数性质或抓住函数单调性、函数图象等).2.函数有哪几种表示法？各有什么优点与缺乏？剖析:(1)表示函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.现实生活中如:商场各种商品与其价格之间函数关系就是用列表法表示;房地产公司出售商品房,总价格与面积之间函数关系就是用解析式来表示;工厂每月产量与月份之间函数关系是用图表来表示.(2)表示函数三种方法优点与缺乏,分别说明如下.①用解析式表示函数优点是简明扼要、标准准确.可以利用函数解析式求自变量x=a时对应函数值,还可利用函数解析式列表、描点、画函数图象,进而研究函数性质,又可利用函数解析式构造特点,分析与发现自变量与函数间依存关系,猜测或推导函数性质(如对称性、增减性等),探求函数应用等.缺乏之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y对应值需要逐个计算、有时比拟繁杂.②列表法优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间数量关系,于是一些数学用表应运而生.如用立方表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系计价表,方便收款.列表法缺点是只能列出局部自变量与函数对应值,难以反映函数变化全貌.③用图象表示函数优点是形象直观,清晰呈现函数增减变化、点对称、最大(或小)值等性质.图象法缺乏之处是所画出图象是近似、局部,观察或由图象确定函数值往往不够准确.由于以上表示函数三种方法具有互补性,因此在实际研究函数时,通常是三种方法交替使用.3.如何理解映射？为什么说映射是一种特殊对应剖析:(1)理解映射概念,必须注意以下几点:①方向性,“集合A到集合B映射〞与“集合B到集合A映射〞往往不是同一个映射;②非空性,集合A、B必须是非空集合;③唯一性,对于集合A中任何一个元素,集合B中都是唯一确定元素与之对应,这是映射唯一性,也可以说“在集合B中〞,A中任一元素象必在集合B中,也叫映射封闭性.④存在性,就是说对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素与它对应,这是映射存在性.(2)映射也是两个集合A与B元素之间存在某种对应关系.说其是一种特殊映射,就是因为它只允许存在“一对一〞与“多对一〞这两种对应,而不允许存在“一对多〞对应.映射中对应法那么f是有方向,一般来说从集合A到集合B映射与从集合B到集合A映射是不同.讲练互动【例题1】以下各组中两个函数表示同一个函数是…( )A.f(x)=x,g(x)=n n x22B.f(n)=2n+1(n∈Z),g(n)=2n-1(n∈Z)C.f(x)=x-2,g(t)=t-2D.f(x)=,g(x)=1+x解析：两个函数一样必须有一样定义域、值域与对应法那么.A中两函数值域不同;B中虽然定义域与值域都一样,但对应法那么不同;C 中尽管表示自变量两个字母不同,但两个函数三个要素是一致,因此它们是同一函数;D中两函数定义域不同.答案：C绿色通道给定两个函数,要判断它们是否是同一函数,主要看两个方面:一看定义域是否一样;二看对应法那么是否一致.只有当两函数定义域一样且对应法那么完全一致时,两函数才可称为同一函数.只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数,比方上面对A判断即属此.变式训练1.判断以下各组中两个函数是否为同一函数,并说明理由.(1)y=x-1,x∈R 与y=x-1,x∈N ; (2)y=42-x 与y=22+•-x x ; (3)y=1+x 1与u=1+v1;(4)y=x 2与y=x 2x ;(5)y=2|x|与y=分析：判断两个函数是否为同一函数,应着眼于两个函数定义域与对应法那么比拟,而求定义域时应让原始解析式有意义,而不能进展任何非等价变换,对应法那么判断需判断它本质是否一样而不是从外表形式上下结论.解：(1)不同,因为它们定义域不同.(2)不同,前者定义域是x≥2或x≤-2,后者定义域是x≥2.(3)一样,定义域均为非零实数,对应法那么都是自变量取倒数后加1.(4)不同,定义域是一样,但对应法那么不同.(5)一样,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值结果就是y=【例题2】设f,g 都是由A 到A 映射,其对应法那么(从上到下)如下表:表1 映射f 对应法那么原象1 2 3 象 2 3 1 表2 映射g 对应法那么原象123象213试求f［g(1)］,g［f(2)］,f{g［f(3)］}.分析：此题是将映射概念与复合函数求值相结合一道典型例题,解答此题首先要弄清f［g(x)］含义与映射中原象与象关系,然后再按照有关定义解题.解：∵g(1)=2,f(2)=3,∴f［g(1)］=f(2)=3.又∵g(3)=3,∴g［f(2)］=g(3)=3.∵f(3)=1,g(1)=2,∴f{g［f(3)］}=f［g(1)］=f(2)=3.绿色通道读懂对应法那么f与g含义是解题关键,要弄清在法那么f与g作用下,集合A中元素在集合A中象是什么,要掌握象与原象定义.变式训练2.以下各图中表示对应,其中能构成映射个数是…( )图2-1-1A.4B.3C.2解析：所谓映射,是指多对一或一对一对应且A中每一个元素都必须参与对应.只有图(3)所表示对应符合映射定义,即A中每一个元素在对应法那么下,B中都有唯一元素与之对应.图(1)不是映射,因A中元素c没有参与对应,即违背A中任一元素都必须参与对应原那么.图(2)、图(4)不是映射,这两个图中集合A中元素在B中有多个元素与之对应,不满足A中任一元素在B中有且仅有唯一元素与之对应原那么.综上,可知能构成映射个数为1.答案：D3.(2007山东济宁二模,理10)A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B满足f(a)+f(b)+f(c)=0,那么这样函数f(x)有( )解析：对f(a),f(b),f(c)值分类讨论.当f(a)=-1时,f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个;当f(a)=0时,f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件函数有3个;当f(a)=1时,f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个.综上所得,满足条件函数共有2+3+2=7(个).应选C.答案：C【例题3】求以下函数值域:(1)y=x2-2x-1,x∈［0,3］;(2)y=3x;-2+(3)y=;(4)y=|x-1|+|x-2|.分析：求二次函数值域一般要数形结合,先配方找出对称轴,再考察给定区间与对称轴关系,利用二次函数在对称轴两侧单调性,求出给定区间上最大值与最小值,即可得到函数值域.除数形结合之外,求函数值域方法还有逐步求解法、判别式法、别离常数法与利用有界性等.绝对值函数通常先化为分段函数.解：(1)将原式变形,得y=(x-1)2-2,此函数对称轴为x=1,由于x∈［0,3］,∴当x=1时,y 有最小值-2.根据函数对称性知,x=3比x=0时值要大,∴当x=3时,y 有最大值2.∴这个函数值域为［-2,2］.(2)易知x≥2,∴2-x ≥0. ∴y=2-x +3≥3.∴这个函数值域为［3,+∞).(逐步求解法)(3)先别离常数,y=1311311222222+-=+-+=+-x x x x x .① 解法一(逐步求解法):∵x 2+1≥1,∴0<≤1.∴1>1≥-2.∴y∈［-2,1).解法二(判别式法):两边同乘x 2+1并移项,得(y-1)x 2+y+2=0. 又由①可知y<1,∴Δ=-4(y-1)(y+2)≥0.∴y∈［-2,1).解法三(利用有界性):∵y≠1,易得x 2=.又∵x 2≥0,∴≥0.∴y∈［-2,1).(4)原函数可化为y=由图2-1-2可知y∈［1,+∞).图2-1-2绿色通道求值域一定要注意定义域限制,一定要在定义域范围内求函数值域.当然,求值域一定要根据函数对应关系来确定.如果我们抓住了这些解决问题关键,求这类问题就能得心应手.变式训练4.函数y=-x2+4x+5(1≤x≤4)值域是…( )A.［5,8］B.［1,8］C.［5,9］D.［8,9］解析：y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9(x∈［1,4］).∴当x=2时,y最大=9;当x=4时,y最小=5.∴函数值域为{y|5≤x≤9}.答案：C【例题4】图2-1-3是一个电子元件在处理数据时流程图:图2-1-3(1)试确定y与x函数关系式;(2)求f(-3)、f(1)值;(3)假设f(x)=16,求x值.分析：此题是一个分段函数问题,当输入值x≥1时,先将输入值x加2再平方得输出值y;当输入值x<1时,那么先将输入值x平方再加2得输出值y.解：(1)y=(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.(3)假设x≥1,那么(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去).假设x<1,那么x2+2=16,解得x=14(舍去)或x=14-.综上,可得x=2或x=14-.绿色通道通过实例,了解简单分段函数并能简单应用是新课程标准根本要求.对于分段函数来说,给定自变量求函数值时,应根据自变量所在范围利用相应解析式直接求值;假设给定函数值求自变量,应根据函数每一段解析式分别求解,但应注意要检验该值是否在相应自变量取值范围内.变式训练5.(2007山东蓬莱一模,理13)设函数f(n)=k(k∈N*),k是π小数点后第n位数字,π=3.141 592 653 5…,那么等于____________.解析：由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…,那么有=1.答案：1【例题5】函数f(x+1)=x2-1,x∈［-1,3］,求f(x)表达式.分析：函数是一类特殊对应,函数f(x+1)=x2-1,即知道了x+1象是x2-1,求出x象,即是f(x)表达式.求解f(x)表达式此题可用“配凑法〞或“换元法〞.解法一(配凑法):∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),∴f(x)=x2-2x.又x∈［-1,3］时,(x+1)∈［0,4］,∴f(x)=x2-2x,x∈［0,4］.解法二(换元法):令x+1=t,那么x=t-1,且由x∈［-1,3］知t∈［0,4］,∴由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈［0,4］.∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x,x∈［0,4］.绿色通道函数f［g(x)］表达式,求f(x)表达式,解决此类问题一般有两种思想方法,一种是用配凑方法,一种是用换元方法.所谓“配凑法〞即把f［g(x)］配凑成关于g(x)表达式,而后将g(x)全用x取代,化简得要求f(x)表达式;所谓“换元法〞即令f［g(x)］中g(x)=t,由此解出x,即用t表达式表示出x,后代入f［g(x)］,化简成最简式.需要注意是,无论是用“配凑法〞还是用“换元法〞,在求出f(x)表达式后,都需要指出其定义域,而f(x)定义域即x取值范围应与条件f ［g(x)］中g(x)范围一致,所以说求f(x)定义域就是求函数g(x)值域.变式训练6.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(5)=-5,那么f ［f(1)］=___________.解析：∵f(x+2)=,∴f(x)=.∴f(1)===f(5)=-5.∴f(1)=-5.∴f［f(1)］=f(-5).又f(-5)=)23(11)3(1)25(1+---=--=+--f f f =f(-1)=51)1(1)21(1--=-=+--f f =51, ∴f［f(1)］=51. 答案：51 7.f(x)=x +11(x∈R 且x≠-1),g(x)=x 2+2(x∈R ), (1)求f(2)、g(2)值.(2)求f ［g(2)］值.(3)求f ［g(x)］解析式.分析：在解此题时,要理解对应法那么“f〞与“g〞含义,在求f ［g(x)］时,一般遵循先里后外原那么.解：(1)f(2)=,g(2)=22+2=6.(2)f ［g(2)］=f(6)=.(3)f ［g(x)］=f(x 2+2)=.教材链接［思考与讨论］如何检验一个图形是否是一个函数图象写出你检验法那么,图2-1-4所示各图形都是函数图象吗哪些是,哪些不是,为什么图2-1-42-1-4所示各图形中因为(1)、(3)、(4)符合“一对一〞或“多对一〞原那么,所以(1)、(3)、(4)是函数图象,而(2)中有一个x 值对应两个y 值,不满足函数“多对一〞或“一对一〞条件,所以(2)不是函数图象.。
人教B版高中数学必修一学案：2.1.1 第1课时 变量与函数的概念
2.1.函.数 2.1.1.函.数第1课时.变量与函数的概念[学习目标].1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.[知识链接]1.在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为y ＝kx (k ≠0)，y ＝kx (k ≠0)，y ＝ax ＋b (a ≠0)，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).2.反比例函数y ＝kx (k ≠0)在x ＝0时无意义.[预习导引] 1.函数(1)函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y |y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域. 2.区间设a ，b ∈R ，且a ＜b .3.要点一.函数概念的应用例1.设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(..)A.0个B.1个C.2个D.3个答案.B解析A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.跟踪演练1.下列对应或关系式中是A到B的函数的是(..)A.A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C.A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 答案.B解析.对于A 项，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一，故不符合.对于B 项，符合函数的定义.对于C 项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D 项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合. 要点二.求函数的定义域 例2.求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x.解.(1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≤1. 所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义， 必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.∴函数的定义域为{x |x ＜0}.规律方法.1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况.2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 跟踪演练2.函数f (x )＝x －2＋1x －3的定义域是(..) A.[2,3)B.(3，＋∞)C.[2,3)∪(3，＋∞)D.(2,3)∪(3，＋∞)答案.C解析.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，即x ≥2且x ≠3. 要点三.求函数值或值域例3.已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值. 解.(1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112.规律方法.求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别. 跟踪演练3.求下列函数的值域. (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1； (3)y ＝x x ＋1.解.(1)(直接法)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}. (2)(观察法)∵函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0， ∴x ＋1≥1.∴函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞). (3)(分离常数法)∵y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1， 且定义域为{x |x ≠－1}，∴1x ＋1≠0，即y ≠1.∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}.1.下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是(..)答案.B解析.根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确. 2.函数f (x )＝x －1x －2的定义域为(..) A.[1,2)∪(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.[1,2) D.[1，＋∞)答案.A解析.由题意可知，要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2. 3.已知f (x )＝x 2＋x ＋1，则f [f (1)]的值是(..) A.11 B.12 C.13 D.10答案.C解析.f [f (1)]＝f (3)＝9＋3＋1＝13.4.下列各组函数中，表示同一个函数的是(..) A.y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B.y ＝x 0和y ＝1C.f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D.f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2答案.D解析.A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.5.集合{x |－1≤x ＜0，或1＜x ≤2}用区间表示为________. 答案.[－1,0)∪(1,2]解析.结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2].1.对函数相等的概念的理解：(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数.2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.如{x|a＜x≤b}＝(a，b]，{x|x≤b}＝(－∞，b]是数集描述法的变式.。
数学必修Ⅰ人教新课标B版2-1-1-1变量与函数的概课件(43张)
2.特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
(－∞，
符号
[a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
＋∞)
填空： (1)集合{x|1<x≤3}用区间可表示为________； (2)集合{x|x>－2}用区间可表示为________； (3)集合{x|x≤2}用区间可表示为________. 【答案】 (1)(1,3] (2)(－2，＋∞) (3)(－∞，2]
(3)①是函数.对x≠0，x∈R的每一个x的值，有唯一的y∈R与之对应. ②不是函数.如当x＝4时，y＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数. ③不是函数.如当x＝4时，在{y|0≤y≤3}内没有值与x对应. ④是函数.当x∈{x|0≤x≤6}时，16x∈{y|0≤y≤1}⊆{y|0≤y≤3}.
阶
阶
段
段
1
3
2.1 函数
2.1.1 函数
第1课时 变量与函数的概念
学
阶 段
业 分 层
2
测
评
1.理解函数的概念，了解函数构成的三要素.(难点) 2.会求一些简单函数的定义域、值域.(重点、易错点) 3.能正确使用区间表示数集.(重点)
[基础·初探] 教材整理 1 变量与函数的概念 阅读教材 P29～P31“倒数第 11 行”以上部分，完成下列问题. 1.函数的定义 设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的 任意数x ，按照确定的法则 f，都 有 唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数.记 作 y＝f(x)，x∈A .也经常写作 函数f或函数f(x) .
2.函数的定义域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做 自变量 ，自变量取值的范围(数集 A)叫做这 个函数的 定义域 .
高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.1.1 变量与函数的
2.1.1.1 变量与函数的概念预习导航一、函数的相关概念1．函数的定义，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一(1)函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．(2)函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作f(a)或y|x .所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．＝a思考1函数符号“y＝f(x)，x∈A”中的“f”及f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如，y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一个具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如，一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28，是一个常数．思考2同一函数的判断标准是什么？提示：一般地，判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可．两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一个函数．因此判断时应注意以下四点：(1)定义域不同，两个函数也就不同．如，y＝x2(x∈R)与y＝x2(x＞0)不是同一个函数；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的．如，y＝x与y＝x2不是同一个函数；(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则．如，函数f(x)＝x2与f(x)＝2x2虽定义域和值域均相同，但它们不是同一个函数；(4)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的．如，f(x)＝2 015x＋2 014，f(t)＝2 015t＋2 014，g(x)＝2 015x＋2 014都表示同一个函数．二、区间的概念特别提醒(1)区间表示了一个数集，主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等．(2)若[a，b]是一个确定的区间，则隐含条件为a＜b.(3)在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心圆圈表示．(4)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．(5)用＋∞，－∞表示区间的端点时不能写成闭区间的形式．思考3区间与数集有何关系？提示：(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等；(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算．。
高中数学 第二章 函数 2.1.1 第1课时 变量与函数的概念课件 新人教B版必修1.pptx
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
(3)判断下列对应是否为函数： ①x→y，y＝2x，x≠0，x∈R，y∈R； ②x→y，y2＝x，x∈N，y∈R； ③x→y，y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}； ④x→y，y＝16x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}．
【精彩点拨】 (1)根据函数的定义，函数的图象与平行于 y 轴的直线最多只 能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．
1．判断一个对应关系是否为函数的步骤 (1)判断 A，B 是否是非空数集； (2)判断 A 中任一元素在 B 中是否有元素与之对应； (3)判断 A 中任一元素在 B 中是否有唯一确定的元素与之对应． 2．判断函数是否相同的步骤 (1)看定义域是否相同； (2)看对应关系是否相同； (3)下结论．
【答案】 (1)B (2)C (3)①是函数．对 x≠0，x∈R 的每一个 x 的值，有唯一的 y∈R 与之对应． ②不是函数．如当 x＝4 时，y＝2 或－2，有两个值与之对应，因此不是函数． ③不是函数．如当 x＝4 时，在{y|0≤y≤3}内没有值与 x 对应． ④是函数．当 x∈{x|0≤x≤6}时，16x∈{y|0≤y≤1}⊆{y|0≤y≤3}．
2．函数的定义域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做__自__变__量___，自变量取值的范围(数集 A)叫做 这个函数的__定__义__域___． 3．函数的值域 如果自变量取值 a，则由法则 f 确定的值 y 称为函数在 a 处的__函__数__值___，记 作__y_＝__f_(a_)_或__y_|x_＝_a__.所有函数值构成的集合_{_y_|y_＝__f(_x_)_，__x_∈__A_}_叫做这个函数的值 域．
高中数学 2.1.1第1课时变量与函数的概念课件 新人教B版必修1
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2.下列关于函数与区间的说法正确的是
(D)
A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集
B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了
C．数集都能用区间表示
D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应
解析 函数的值域不可能为空集，故 A 错； 当两函数的定义域和值域分别相同时，但两函数的对应法则
定义的？
答 设 a，b∈R，且 a<b, (1)满足 a≤x≤b 的全体实数 x 的集合，叫做闭区间，记作[a，b]． (2)满足 a<x<b 的全体实数 x 的集合，叫做开区间，记作(a，b)． (3)满足 a≤x<b 或 a<x≤b 的全体实数 x 的集合，叫做半开半闭 区间，分别记作[a，b)或(a，b]． 问题 2 实数集 R 及 x≥a，x>a，x≤b，x<b 如何用区间表示？ 答 实数集 R 可以用区间(－∞，＋∞)表示； x≥a，x>a，x≤b，x<b 分别用区间表示为： [a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．
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探究点一 变量与函数的概念 问题 1 阅读教材 29－30 页中的(1)，(2)，(3)，(4)四个函数关
系的例子，指出这四个例子的共同特点是什么？变量之间的 对应关系采用什么形式表达的？ 答 在上面的每个例子中，都指出了自变量的变化范围、由 自变量确定因变量的对应法则，以及由此确定的因变量的取 值范围． 例子(1)和(2)中的两变量关系通过图象的形式表达的，例子(3) 中的变量间的关系通过列表的形式表达的，例子(4)中的变量 间的关系通过关系式表达的．
可以不同，故 B 错；
由于整数集没法用区间表示，故 C 错．所以选 D. 3.已知函数 f(11－＋xx)＝x，求 f(2)的值．
数学人教B版必修1学案课堂导学 2.1.1函数第1课时变量与函数的概念 Word版含解析
课堂导学三点剖析一、函数定义域的求法【例】求下列函数的定义域，并用区间表示.()();()();()();()().思路分析：本题考查函数定义域的求法及区间表示法，当函数解析式给出时，定义域就是使其解析式有意义的自变量的范围；当一个函数由两个以上数学式子的和\,差\,积\,商的形式构成时(如()()),定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合.解：()要使()有意义,必须≠,所以≠.故函数的定义域是{≠},区间表示为(∞)∪(∞).()要使()有意义,必须≥,所以≥,故函数的定义域是{≥},区间表示为［∞). ()由于没有意义,所以≠.①又分式的分母不可为零,开偶次方根被开方数非负,所以≠,即<.②由①②可得函数的定义域为{<且≠},区间表示为(∞)∪().()要使函数()有意义,必须所以≤<且≠,故函数的定义域为{≤<且≠},区间表示为［)∪().二、求复合函数的定义域【例】若函数()的定义域是［］,求()、()的定义域.思路分析：本题考查函数有意义的等价转换.要使()有意义,不妨把看作一个整体变量,它应适合()的定义域,转化成已知变量求解.解：∵()的定义域为［］,∴使()有意义的条件为≤≤,即≤≤,则()的定义域是［］.同理,由≤≤,即≤≤或≤≤,则()的定义域为［］∪［］.温馨提示由()的定义域求复合函数［()］的定义域类型,一般方法是,若()的定义域为,则［()］的定义域是使()∈的的集合.本题易误解为:由≤≤,∴≤≤.∴()的定义域为［］.忽视了()有意义的条件,习惯性地代换是错因.三、判断两个函数是否为同一函数【例】下列所给四组函数表示同一函数的是( )()()()()()()()()思路分析：函数三要素中当定义域,对应法则确定后,值域也就被确定了.所以判断两个函数是否为同一函数,关键是看两个函数的定义域与对应法则是否相同.解：对于()的定义域为()的定义域为［∞),不是同一函数.对于()、()的定义域为(),是同一函数.对于()的定义域为()的定义域为(∞)∪(∞),虽对应法则相同但定义域不同,不是同一函数.对于()的定义域为()的定义域为(∞)∪(∞),不是同一函数.选.答案：温馨提示本题容易出现思维片面性,只看到解析式化简以后的形式相同,而误判为同一函数,实质上定义域要以条件所给形式有意义为原则,然后再化简看对应法则,两者要兼顾,缺一不可.各个击破类题演练求函数()的定义域.解析：要使函数有意义，必须∴函数()的定义域是{≥且≠}.变式提升()已知函数()的定义域为，则实数的取值范围是( )>.－＜<<≤≤解析：当时，()有意义;当≠时，由≠,得Δ<,即<<,综合得<≤.答案：()若()的定义域为，()＝的定义域为，当时，求的取值范围.解析：由≥，得≥.∴<,或≥,即(∞)∪［∞).由()()>,得()()<.。
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2．1．1函数（第一课时）
【知识梳理】
自学课本P 29—P 31，填充以下空格。
1、设集合A 是一个非空的实数集，对于A 内 ，按照确定的对应法则f ，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作 。
2、对函数A x x f y ∈=),(，其中x 叫做 ，x 的取值范围（数集A ）叫做这个函数的 ，所有函数值的集合}),(|{A x x f y y ∈=叫做这个函数的 ，函数y=f(x) 也经常写为 。
3、因为函数的值域被 完全确定，所以确定一个函数只需要 。
4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验： ① ；② 。
【例题解析】
题型一：函数的概念
例1：下图中可表示函数y=f (x)的图像的只可能是（ ）
题型二：相同函数的判断问题 例2：已知下列四组函数：①x y x
=
与y=1
②y =y=x ③y =y =④2
1y x =+与2
1y t =+其中表示同一函数的是（ ） A ． ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④
题型三：函数的定义域和函数值问题
例3：求下列函数的定义域
1、 （1）1
()1f x x =+ （2）、0()f x x =+ （3）
、()f x =2、
例4：求函数21()1f x x =+，()x R ∈，求(0)f ,(1)f ,(2)f ,(1)f -,(2)f - 【当堂检测】
1、下列图形哪些是函数的图象，哪些不是，为什么？
2、已知下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A. ()1f x x =-和21()1
x f x x -=+ B. 0
()f x x =和()1f x =
C. 2
()f x x =和2
()(1)f x x =+ D. ()f x =和()g x =
3、求下列函数的定义域 （1）、1
()2
f x x =- （2）()f x =
（3）、0
(x
)(1)f x =+ （4）1
()2f x x
=
+-
4、已知21()1f x x =
+，21
()1
x g x x +=+ （1）求(2),g(2)f 的值
（2）求(g(2))f 的值
A B C
D。