行程问题中的图示解法
行程-图示解法(柳卡图)
行程问题中的图示解法一、S-T图竖轴表示路程，一般为出发后的每一时刻离出发的距离，出发时此距离为0。
横轴表示时间，一般从出发开始计时，出发点处时间为0。
图形中的每个点均表示在某一时刻时的位置。
如下图，小明从家出发去上学，家和学校的距离为2千米。
规定竖轴为离家的距离，横轴为出发的时间。
其中A点表示出发5分钟后小明在离家1千米的位置，B点表示出发10分钟后小明在离家2千米的位置，即到达学校。
可以看到B点之后，随着时间的改变小明的位置并未发生改变，即这个阶段小明均在学校里，距离家都是2千米。
在S-T图中，每个点的路程数值和时间数值的比值即为速度。
图中OB为一条直线，由三角形相似的知识我们可以知道，此直线上的任意一点的路程与时间的比值都相等，即由O到B这个阶段速度是不变的。
我们可以用OB上任意一点的数据求出速度，如看A点，路程为1千米，时间为5分钟，速度为1÷5=0.2千米/分钟。
二、柳卡图法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。
在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。
轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。
问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”(此即著名的“柳卡趣题”)【分析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。
另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。
行程问题
行 程 问 题行程问题为小学和初中数学学习的重要应用问题，在行程问题中，除特别指出外，都假定速度是常数，即匀速运动，匀速运动的基本公式十分简单： 路程=时间⨯速度但是由于路程的多样化，时间前后的差别，以及速度的变化，使得行程问题变得复杂而丰富多彩。
行程问题虽然是实际问题的初级近似，但地，由于它的各色各样的变化，使得中小学的数学知识中的许多知识点能有趣而生动地融汇其中，而成为学生能力培养的有力工具。
在各届华杯赛中，行程问题是各类问题出现频率最高的问题之一。
求解行程问题一般分如下步骤：1。
审题 2。
画示意图 3。
找关键要素 4。
列关系式 5。
分析 6。
给出答案。
下面将通过具体的问题来解释这六个步骤。
行程问题中的方程方法列方程求解行程问题是最通常的方法，也是最为有效的方法。
多数行程问题可以用列方程解方程的方法来求解。
列方程就是上述步骤中第四步中建立一个或几个含有未知数的条件等式，而第五步中的分析就是解方程。
例1．甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇。
如果二人的速度每小时个增加1千米，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。
问：甲、乙二人速度个多少？解。
设甲的速度为每小时v 千米。
因为，两人6小时相遇，所以，二人的速度和为10千米。
乙的速度为每小时10-v 千米。
二人的速度个增加1千米，速度和为12千米，因此，需要小时）(51260=相遇。
第一次甲的行程为6v ，第二次甲的行程为5（v +1）,相差1千米： .6 ,1)1(56==+-v v v答。
二人的速度分别为每小时6千米和每小时4千米。
例2． 快、中、慢三辆车同时从同一地出发， 沿一公路追赶前面一个骑自行车的人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑自行车的人。
现知快车每小时走24千米，中车每小时走20千米。
那么慢车每小时走多少千米？解。
设自行车速度为每小时v 千米，慢车每小时a 千米，三车出发时自行车在他们前面L 千米。
行程-图示解法(柳卡图)
行程问题中的图示解法一、S-T图竖轴表示路程，一般为出发后的每一时刻离出发的距离，出发时此距离为0。
横轴表示时间，一般从出发开始计时，出发点处时间为0。
图形中的每个点均表示在某一时刻时的位置。
如下图，小明从家出发去上学，家和学校的距离为2千米。
规定竖轴为离家的距离，横轴为出发的时间。
其中A点表示出发5分钟后小明在离家1千米的位置，B点表示出发10分钟后小明在离家2千米的位置，即到达学校。
可以看到B点之后，随着时间的改变小明的位置并未发生改变，即这个阶段小明均在学校里，距离家都是2千米。
在S-T图中，每个点的路程数值和时间数值的比值即为速度。
图中OB为一条直线，由三角形相似的知识我们可以知道，此直线上的任意一点的路程与时间的比值都相等，即由O到B这个阶段速度是不变的。
我们可以用OB上任意一点的数据求出速度，如看A点，路程为1千米，时间为5分钟，速度为1÷5=0.2千米/分钟。
二、柳卡图法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。
在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。
轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。
问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”(此即著名的“柳卡趣题”)【分析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。
另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。
行程问题的画图方法与技巧
行程问题画图分析的方法与技巧————向量构图法列方程解应用题可简单概括为“审、析、列、算、查”五个步骤。
即“审题、分析、列式、计算、检查”。
其中找等量关系式就是解题的关键,然而较复杂的行程应用题的等量关系式就是很难一下子找出来的,这就需要我们在“审题”的基础上认真分析,通过不断地把未知量用含未知数的代数式表示出来,即不断地扩大已知,使等量关系“水到渠成”。
在解行程应用题时,采取画图分析的方法不仅能有利的协调学生左、右脑(科学用脑),锻炼学生分析问题的能力,而且能激发学生的学习兴趣,培养学生的创新能力。
此外,通过对物体运动、联系、发展、变化的分析与再现,也为学生不断形成辩证唯物主义世界观打下良好的基础。
⒈图的构成:行程问题都与物体的位移有着直接的关系,而速度就是既有大小,又有方向的量,所以图的主要构成就是向量。
此外,一幅完整的图还应包括图标、数据、文字、注解等,其中构成向量的有向线段有虚实、粗细及不同颜色的变化。
⒉绘图原则:在画图过程中应坚持的原则有:⑴要坚持认真审题。
审题就是解答应用题的第一步,能否顺利、准确的分析,审清题目的已知条件与问题就是基础。
⑵在认真审题基础上,“边读边画,兼顾协调”的原则。
即:在审清题目的已知条件与问题后,边读边画,并兼顾题中数据的比例关系、前后联系及隐含条件等,展开联想,合理安排。
⑶画图力求简洁与清晰明了,防止混淆不清。
在画图时要坚持画彩色图并利用有向线段的粗细与虚实等合理区分,防止混淆不清。
⑷根据题目的特点,灵活创新。
⒊绘图技巧⑴“速度、路程(数值型)”分别标在对应向量的“上、下”。
一般情况下,含未知数的代数式所表示的路程标在它们中间。
⑵用同种颜色表达同一事物及变化。
⑶用“粗细”搭配来区分物体的“同时性”与否。
同时运动的物体,用较粗的有向线段来表示。
⑷用虚、实来区分物体的“假设运动”与“真实运动”等。
1.5·V 甲 千米 1·V甲千米 2、5 V 甲千米/时30千米说明:通过运用相同较粗的有向线段表示同时性,不仅表达出了题目中的隐含条件(同时的路程),而且有利于我们联想出“相同时间内,路程比=速度比”,为解答此题提供依据。
有关行程问题的图象信息题的解法课件
行程问题在生活中的应用
交通工具的运动
如汽车、火车、飞机的行 驶，涉及到速度、时间和 距离的计算。
体育比赛
如田径、游泳、球类比赛 等，需要计算运动员的运 动成绩。
日常生活
如走路、骑自行车等，涉 及到速度和时间的计算。
02
行程问题图象信息解析
图像信息在行程问题中的作用
直观呈现问题情境
图像
THANKS
感谢观看
行程问题涉及的是物体在空间中 的移动，通过已知条件计算出物 体的运动距离、速度和时间。
行程问题的分类
01
02
03
直线行程问题
物体在直线上运动，涉及 匀速运动和匀加速运动。
曲线行程问题
物体在曲线或折线上运动 ，涉及匀速圆周运动和变 速运动。
综合行程问题
涉及多种运动形式和力的 作用，如重力、摩擦力等 。
03
行程问题图象信息题解 法
匀速直线运动问题
总结词
速度恒定，方向不变，路程与时间成正比。
详细描述
匀速直线运动是速度保持不变的直线运动，其路程与时间成正比。在图象上， 匀速直线运动的线是一条斜率为常数的直线，表示速度的大小和方向。通过图 象可以直接读出速度、路程和时间等物理量。
匀加速直线运动问题
04
实际应用案例解析
生活中的行程问题解析
总结词：生活实例
详细描述：通过生活中的实际例子，如上学、上班、旅游等场景，展示行程问题 的常见性和实用性。
物理实验中的行程问题解析
总结词：物理实验
详细描述：结合物理实验，如自由落体、匀速圆周运动等，解释行程问题在物理学中的应用和解决方 法。
数学题目中的行程问题解析
详细描述
匀减速直线运动是加速度保持不变的直线运动，其速度随时间均匀减小。在图象上，匀减速直线运动的线是一条 斜率逐渐减小的直线，表示速度随时间的变化规律。通过图象可以直接读出初速度、加速度、路程和时间等物理 量。
行程问题ppt课件
Part
06
行程问题述：通过画图的方式，将行程问题中的信息以图形的方式呈现出来，有助 于直观地理解问题，找出关键信息，从而解决问题。
代数法
总结词：通用性强
详细描述：将行程问题中的未知数用代数式表示，通过设立方程或方程组来求解，这种方法通用性强，适用于各种行程问题 。
02 03
详细描述
追及问题涉及到两个物体在同一方向上移动，一个物体追赶另一个物体 直到它们相遇。这类问题需要考虑物体的速度、时间和距离，以及它们 之间的相对运动关系。
公式
距离 = 速度 × 时间
环形跑道问题
总结词
环形跑道问题主要研究在环形跑道上运动的物体之间的相对位置关系。
详细描述
在环形跑道问题中，物体在同一起点出发，沿着环形跑道运动，直到再次相遇。这类问题 需要考虑物体的速度、时间和距离，以及它们之间的相对运动关系。
Part
02
基础行程问题解析
匀速直线运动
总结词
物体在直线运动中，速度保持不变。
详细描述
匀速直线运动是速度恒定的运动，即单位时间内通过的距离相等。在匀速直线 运动中，速度、时间和距离之间的关系可以用公式表示为：速度 = 距离 / 时间。
匀加速直线运动
总结词
物体在直线运动中，速度逐渐增加。
详细描述
行程问题ppt课件
• 行程问题简介 • 基础行程问题解析 • 复杂行程问题解析 • 行程问题的数学模型 • 行程问题的实际应用 • 行程问题的解题技巧
目录
Part
01
行程问题简介
行程问题的定义
总结词
行程问题是指在一定条件下，寻找一条满足特定要求的旅行路线，通常需要考虑时间、 距离、成本等因素。
有关行程问题的图象信息题的解法PPT课件
2020年10月2日
作者：Mrchen
2
S(千米)
乙
图4表示甲、乙同地异时出发，甲比乙早
甲 出发1小时，乙走后2小时追上甲；
0 1图43
S(千米)
t(小时)
乙 甲
10
01 3
图5
t(小时)
图5表示甲、乙异地出发，甲在乙前面10 千米处，且甲比乙早出发1小时，乙走后2 小时追上甲；
∵ x＝3时，y＝0，而且x＝5时，y＝80；
∴
0 3a b 80 5a b
，解得ba
40 120
∴ 表示摩托车行驶过程的函数解析式为y＝40x－120．
y＝10x
（4）解方程组 ，
得：x=4,y=5,
y＝40x－120
再由图象可知当在3＜x＜5时间段内两车均行驶在途中，其中
当3＜x＜4时，自行车行驶在摩托车的前面；当x=4时自行车与 2020年摩10月托2车日 相遇；当4＜x＜5时，作自者：行M车rch行en驶在摩托车的后面。
乙 甲
10
01 3
图5
t(小时)
S(千米)
10
乙 甲
0 图3 6 t(小时)
S(千米)
10
甲
乙
0 图6 2
t(小时)
1
S(千米)
B
甲
A O 图1
S(千米)
C
甲
B
A0 2 3
图2
t(小时) t(小时)
S(千米)
10
乙 甲
0 图3 6 t(小时)
图1表示甲从A出发，到B地后又返回A地；
图2表示甲从A地出发，到B地休息1小时后 继续前至C地；
行程问题常用思想之图解法、综合分析
张 王
┗━━━━━━━┻━━━━┻━━━━━━━━┛ ┗━━━━━━┻━━━━━━━┻━━━━━━┛
1
探索
如图可知，小张3点到7点的4个小时比小王3点到4点的 一个小时多走15千米，从出发到2点比小王的1点到2点 也多走15千米，所以出发到2点用4个小时，出发时间是 早晨10点。
【例3】（★★★★★）迎春杯复赛 一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时 出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行， 当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时 ，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有 20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇( )千米
加油站
③比例线段图 目的：寻找速度比与路程比的关系 【例4】（★★★） 甲、乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间 不断往返行驶，已知甲车的速度是15千米/小时，乙 车的速度是25千米/小时，甲乙两车第三次相遇地点 与第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离 是多少千米？
【例5】（★★★） 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地 之间不断往返行驶.甲、乙两车的速度比为3：7，并 且甲、乙两车第1996次相遇的地点和第1997次相遇的 地点恰好相距120千米(注：当甲、乙两车同向时，乙 车追上甲车不算作相遇)。那么，A、B两地之间的距 离是多少千米？
行程问题常用思想 之图解法、综合分析
加油站
加油站
画图技巧： ①不同人，分开画 ②时间点，要标清 ③不同速，不同型
①一般线段图 主要目的：寻找路程和或差的关系 小升初热点应用题盘点—复杂工程、比例应用题
【例1】（★★★） 小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发， 相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相 遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为_______千米。
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第十一讲行程问题中的图示解法补充练习
1、龟、兔从同一起点进行200米赛跑，兔子在途中
睡觉休息，直到乌龟从身边跑过一段时间后，兔子
醒来再起身向前跑去。
根据图中的信息可知，则兔
子醒来再起身以每分钟______米的速度才能在和乌
龟同时到达终点。
2、甲、乙两人在相距180米的直路两端同时出发来回散步，甲每秒走2米，乙每秒走2.5米，每人都走了6.5分钟。
那么这段时间内他们共相遇了（迎面或同向）多少次？
3、甲、乙二人同时从A地出发同向而行去往B地，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲、乙到达B地后立即返回A地。
已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么，A、B两地相距多少千米？
4、甲、乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时，他们同时从A地出发去B地，在A、B两地间往返而行，从开始走到第三次相遇，共用了6小时。
A、B 两地相距多少千米？
5、小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇。
问他们两人第六次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
答案：
1、解析：
兔子开始的速度150÷5＝30米/分钟。
乌龟的速度150÷30＝5米/分钟。
乌龟到达终点的时间200÷5＝40分钟
兔子醒来后需要以（200－150）÷（40－39）＝50米/分钟的速度才能和乌龟同时到达终点。
2、解析：甲行全程用180÷2=90秒，乙行全程用180÷2.5=72秒。
画出柳卡图：
由图得，一共相遇5次。
3、解析：
4、解析：同向出发，第一次相遇时，两车走的路程和是2个AB之长；而到第三次相遇，两车走的路程和是2×3=6个AB之长，是（52+40）×6=552（千米），所以,A、B两地相距552÷6=92（千米）。
5、解析：二次相遇时两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了3.5×3=10.5（千米）。
第二次相遇处离乙村2千米，因此，甲、乙两村的距离是10.5-2=8.5（千米）。
第六次相遇时，两人已共同走了两村距离2×6-1=11倍的行程，其中张走了3.5×11=38.5（千米），38.5÷8.5=4…4.5，就知道第六次相遇处，离乙村8.5-4.5=4千米。