坐标法在平面向量运算中的应用(公开课教案)
版高中数学第二章平面向量24第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版
第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，，ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3axybxy).＝＝((，)，，梳理若向量2112ab＝·数量积____________________________向量垂直平面向量的模知识点二ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．1→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211梳理向量的模及两点间的距离→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221类型一平面向量数量积的坐标运算abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1a的坐标；求(1)ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－2此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2→→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2)利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围．向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3→→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关反思与感悟于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．→→→OCtOCBCABxOyA，－－1)，在平面直角坐标系若中，已知((1,4)，)⊥(－2,3)，，(2跟踪训练3t________.则实数＝baba的夹角为，－2)，则________1．已知与＝(3，－1)，．＝(1????1331→→??ABCBABC＝，________.2．已知向量＝＝，则∠，????2222mnmnmn)，则λ－2,2)，若(＋＝)⊥(________. 3．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋abab a·b b＝____________. ＝5|＝14．已知平面向量，且，，若，则向量＝(4，－3)，|ab＝(－1,2)＝(4,3)，．5．已知ab的夹角的余弦值；与(1)求abab)，求实数λ(的值．－λ )⊥(2＋(2)若1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．a x，(若可以对比学习、注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，3．二者不能混淆，记忆．＝1 4 yb xy ab xyxy ab xxyy＝－＝0，⊥＋?0.，则，，)＝()∥?221112112224．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．5答案精析 问题导学 知识点一jjiiij 0. ＝1×1×cos 0＝1·，思考1 ·＝＝1×1×cos 0＝1，·jyxaxiyjbi ＝，＋＋＝，思考2 ∵221122yyjyyjxxxyjxiyjxixyxyabxii . ()·(＋＝＋＋)∴＝··＝(＋)＋＋2121122222121111ybabxxya 0. ?＝·＋思考3 ＝⊥0?2112yxxy ＋梳理2112yabxxy 0⊥＋?＝2211 知识点二yxiyjxa ＋，∈∵，＝R ，思考122222222jiyyjxyxaxiyji ·jxixyi ·j . )＋＋((＝)∴2＝(＋2＋ ＋)＝22i ·jji 1，0＝1，又∵，＝＝222222yaxyxa ＝|＋＋＝∴，∴|，22yax .∴||＋＝→→→yyyOAxyxxABOBx －，，)－(，，思考2 ∵)＝＝(－)－＝(11221221→22yxABxy.－|＋－＝∴|1212题型探究ba λλ)(>0)＝λ，＝(λ，21 例解 (1)设a ·b λ＝10则有，＝λ＋4a ＝(2,4)λ∴＝2，∴．a ·bb ·c 10，＝1×2－2×1＝0，(2)∵＝aab ·c 0)＝0，∴＝(ca ·b ．＝(20，－(10))1)＝10(2，－11 跟踪训练→OA ＝(16,12)例2 解 (1)由，→AB ，＝－12)(－21,3)－＝(－516,15→22OA ＝|20|＝1612＋，得→22AB 152.|－|＝＋3＝ 6→→ABAO ·→→ABOABAO. ＝(2)cos ∠cos ＝， →→ABAO ||||→→→→ABABAOOA 300. ＝－＝－[16×(－其中21,3)··21)＋12×3]＝＝－(16,12)·(－2300OAB .故cos ∠＝＝2220×15OAB ∴∠＝45°.ba ，1)∵，＝(1，－1)，＝(λ 跟踪训练2 解2baab 1. ＝|＝1＋λλ，∴|－|＝2|，·ba 为钝角，又∵的夹角，α ，1<0λ－?? ∴2?，2·1＋λλ≠1－ ，λ<1?? 即?2＋1≠0.λλ＋2??1. λ≠－<1∴λ且 1,1)．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1 (1)例3 － 7133±211. －(2)或或 2331 －跟踪训练3当堂训练π3 3.－1. 2.30° 434????，－ 4. ??552552 (2)(1)5． 925 720XX —019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。
6向量的坐标表示教案(1)
引导探究，讲练结合
学习要点及自主学习导引
学习心得
一．学生活动：
1．平面向量的基本定理：_________________________________________；
2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？
二．建构知识
1．向量的坐标表示的定义：
分别选取与 轴、 轴方向相同的_________ ， 作为_______，
对于任一向量 ， ，（ ），实数对_______
叫向量 的_______，记作 ．
其中 叫向量 在_____轴上的坐标， 叫向量 在____ 轴上的坐标。
说明：（1）对于 ，有且仅有一对实数 与之对应；
（2）相等的向量的坐标也_________；
课题
2.3.1平面向量基本定理
编号
6
学习目标
1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的
关系来用坐标表示；
3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。
教学重点、难点
1．平面向量的坐标运算；
2．对平面向量的坐标表示的理解。
4.实数与向量的积的坐标：
已知 和实数 ，求
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的
相应____________。
三．典例探究
例1如图，用基底 ， 分别表示向量
、 、 、 ，并求出它们的坐标。
例2已知 ， ，求 ， ， 的坐标．
例3.已知 ， ， ，且 ，求 ，
例4．（1）已知向量 与 相等，其中 ， ，则 ；
（3） ， ， ；（4）从原点引出的量 的坐标___________
6.2.3平面向量的坐标及其运算-人教B版高中数学必修第二册(2019版)教案
6.2.3平面向量的坐标及其运算-人教B版高中数学必修第二册（2019版）教案教学目标1.理解平面向量的概念，掌握向量坐标表示方法和向量的基本运算法则；2.理解向量的加、减、数乘和数量积的几何意义，并能熟练运用；3.能够解决平面向量的线性方程组问题；4.能够灵活运用平面向量的计算方法，解决与平面向量有关的几何问题。
教学重难点重点：向量坐标表示方法，向量的基本运算法则。
难点：向量的线性方程组问题。
教学过程1. 引入教学向学生展示两个不同的向量，向学生询问是否能知道这两个向量的大小和方向，引发学生对向量的疑惑和兴趣。
2. 向量的概念向学生讲解向量的概念，引导学生感受向量的大小、方向和作用，并向学生展示向量在几何图形中的应用。
3. 向量的表示方法引导学生进行向量的初、末点表示法，并着重讲解向量的坐标表示方法及坐标表示的唯一性。
4. 向量的基本运算法则教师示范简单的向量加、减、数乘和数量积的计算方法，引导学生进行独立练习，并针对学生经常出错的运算法则进行重点讲解。
5. 向量的线性方程组问题引导学生掌握向量的线性方程组的数学意义和解的方法，让学生通过实际问题进行解题实践，达到掌握的目的。
6. 平面向量的应用针对实际问题让学生进行平面向量的运用，并引导学生感受平面向量在几何问题中的应用。
教学方法采用讲述法、演示法、示范法、独立练习法、引导式教学法等多种教学方法，以培养学生的学习兴趣和独立思考能力。
教学评价通过课堂练习和教学评测，进行学生认识形式的反馈。
同时，教师也需要认真备课，制定细致的教学计划和教学目的，做到全方位培养学生对向量概念和运算方法的掌握。
教学反思本节课中，教师采用多种教学方法，可以让学生在学习中感受到探究的乐趣，并能够熟练掌握向量的坐标表示方法和运算法则。
本节课教学评价要求学生进行独立思考和探究，同时也要注意反馈学生的实际认知情况，做到因材施教。
高中数学教案《平面向量及其应用》
教学设计：《平面向量及其应用》一、教学目标1.知识与技能：使学生理解平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法（有向线段、坐标表示）、向量的模、方向角等；掌握向量的加法、减法、数乘及数量积的运算法则和几何意义；能运用向量知识解决简单的几何与物理问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；引导学生运用数形结合的思想，理解向量运算的几何背景，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；通过团队合作解决问题，增强学生的沟通能力和团队协作能力。
二、教学重点和难点●重点：平面向量的基本概念、向量的基本运算（加法、减法、数乘、数量积）及其几何意义。
●难点：理解向量数量积的概念、性质及其在解决实际问题中的应用；向量运算的坐标表示法及其应用。
三、教学过程1.导入新课o情境创设：通过展示风力发电机叶片的运动、航海中的航向与速度变化等实例，引出向量的概念，说明向量在现实生活中的应用价值。
o问题引入：提问学生如何描述这些运动中的方向和大小，引导学生思考向量的必要性。
o概念引入：正式给出平面向量的定义，强调其作为“有方向的量”的特性。
2.新知讲授o基本概念讲解：详细解释向量的表示方法（有向线段、坐标表示）、模长、方向角等概念，并通过图示加深理解。
o向量运算教学：●加法与减法：通过“平行四边形法则”和“三角形法则”演示向量的加法与减法，强调其几何意义。
●数乘：讲解数乘的定义，通过伸缩变换的直观演示，理解数乘对向量方向和大小的影响。
●数量积：引入数量积的概念，通过投影长度的计算，讲解其计算公式和性质，强调其在度量角度、判断方向等方面的应用。
3.例题解析o选取典型例题，覆盖向量运算的所有类型，逐步引导学生分析、解题，重点讲解解题思路和方法。
o强调解题过程中向量运算的几何背景，促进学生数形结合思维的发展。
4.学生活动o小组讨论：分组讨论向量在日常生活或专业领域的应用实例，每组选代表分享，增强课堂互动性。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学北师大版2019必修第二册教案平面向量及运算的坐标表示
平面向量的坐标及其运算【教学过程】一、基础铺垫1．平面向量的坐标平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝x e1＋y e2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两→对应的个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量OA→＝(x，y)；反之结论也成立．坐标也为(x，y)，即OA2．平面上向量的运算与坐标的关系设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．设u，v是两个实数，那么u a＋v b＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)，u a－v b＝(ux1－vx2，uy1－vy2)．如果向量a＝(x，y)，则|a|■名师点拨（1）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．（2）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．3．平面直角坐标系内两点之间的向量公式与中点坐标公式设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面直角坐标系中的两点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)； 设线段AB 中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 224．向量平行的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 2y 1＝x 1y 2．■名师点拨两向量的对应坐标成比例，这种形式较易记忆，而且不易出现搭配错误．二、合作探究1．平面向量的坐标表示【例1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA→＝a ，AB →＝b ，四边形OABC 为平行四边形． （1）求向量a ，b 的坐标；（2）求向量BA→的坐标； （3）求点B 的坐标．【解】（1）作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22，AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22， 所以A (22，22)，故a ＝(22，22)．因为∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°，所以∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332， 所以AB →＝OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332， 即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.（2）BA →＝－AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332. （3）因为OB→＝OA →＋AB → ＝(22，22)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332 ＝⎝⎛⎭⎪⎫22－32，22＋332. 所以点B 的坐标为(22－32，22＋332)．【规律方法】平面内求点、向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．（2）求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点的坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．2．平面向量的坐标运算【例2】（1）已知a ＋b ＝(1，3)，a －b ＝(5，7)，则a ＝________，b ＝________．（2）已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM→＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 及MN →的坐标．【解】（1）由a ＋b ＝(1，3)，a －b ＝(5，7)，所以2a ＝(1，3)＋(5，7)＝(6，10)，所以a ＝(3，5)，2b ＝(1，3)－(5，7)＝(－4，－4)，所以b ＝(－2，－2)．（2）法一(待定系数法)：由A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，可得CA→＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)， 所以CM→＝3CA →＝3(1，8)＝(3，24)， CN→＝2CB →＝2(6，3)＝(12，6)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)，x 1＝0，y 1＝20；CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)，x 2＝9，y 2＝2，所以M (0，20)，N (9，2)，MN→＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． 法二(几何意义法)：设点O 为坐标原点，则由CM→＝3CA →，CN →＝2CB →， 可得OM→－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)， 从而OM→＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →， 所以OM→＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)， 即点M (0，20)，N (9，2)，故MN→＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． 【规律方法】平面向量坐标的线性运算的方法（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．3．判定直线平行、三点共线【例3】（1）已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5，2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为()A ．－13B ．9C ．－9D ．13（2）已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB→与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？【解】（1）选C ．设C (6，y )，因为AB→∥AC →， 又AB→＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)， 所以－8×(y ＋6)－3×8＝0，所以y ＝－9．（2）因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， CD→＝(2－1，7－5)＝(1，2)． 又2×2－4×1＝0，所以AB→∥CD →. 又AC→＝(2，6)，AB →＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0， 所以A ，B ，C 不共线，所以AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD ．【规律方法】向量共线的判定方法4．已知平面向量共线求参数【例4】已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？【解】法一(共线向量定理法)：k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. 当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二(坐标法)：由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， 所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．【规律方法】已知平面向量共线求参数的思路（1）利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解．（2）利用向量平行的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．三、课堂练习1．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()A ．a ＝(0，0)，b ＝(2，3)B ．a ＝(1，－3)，b ＝(2，－6)C ．a ＝(4，6)，b ＝(6，9)D ．a ＝(2，3)，b ＝(－4，6)解析：选D ．只有D 选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选D ．3．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，则与AB→平行且方向相反的向量a 可以是() A ．(1，－2)B ．(9，3)C ．(－2，4)D ．(－4，－8)解析：选D ．由题意，得AB→＝(1，2)，所以a ＝λAB →＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D 项，故选D ．4．已知平行四边形OABC ，其中O 为坐标原点，若A (2，1)，B (1，3)，则点C 的坐标为________．解析：设C 的坐标为(x ，y )，则由已知得OC→＝AB →，所以(x ，y )＝(－1，2)． 答案：(－1，2)5．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为________． 解析：AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45。
教案平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示教学目标：1. 理解平面向量的概念。
2. 学习平面向量的坐标表示方法。
3. 掌握平面向量的线性运算与坐标表示。
教学重点：1. 平面向量的概念。
2. 坐标表示方法。
3. 线性运算与坐标表示。
教学难点：1. 理解平面向量的坐标表示方法。
2. 掌握平面向量的线性运算与坐标表示。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教学素材。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向量概念的复习。
2. 向量表示方法的学习。
二、平面向量的概念（10分钟）1. 引导学生了解平面向量的定义。
2. 通过实例让学生理解平面向量的概念。
三、坐标表示方法（15分钟）1. 讲解平面向量的坐标表示方法。
2. 让学生通过实例掌握坐标表示方法。
四、线性运算与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量的线性运算。
2. 让学生通过实例掌握线性运算与坐标表示。
五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成一些有关平面向量的练习题。
2. 引导学生运用所学的知识解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解平面向量的概念、坐标表示方法以及线性运算与坐标表示，让学生掌握平面向量的基本知识。
在教学过程中，要注意引导学生通过实例理解概念和方法，提高学生的实际操作能力。
要加强练习，使学生巩固所学知识。
六、平面向量的几何解释（15分钟）1. 向量起点与终点的表示。
2. 通过图形让学生理解向量的几何解释。
七、向量加法与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量的加法。
2. 让学生通过实例掌握向量加法与坐标表示。
八、向量减法与坐标表示（15分钟）1. 讲解平面向量的减法。
2. 让学生通过实例掌握向量减法与坐标表示。
九、数乘向量与坐标表示（15分钟）1. 讲解平面向量的数乘。
2. 让学生通过实例掌握数乘向量与坐标表示。
十、向量共线定理（20分钟）1. 讲解向量共线定理。
2. 让学生通过实例理解向量共线定理的应用。
十一、向量垂直与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量垂直的条件。
2. 让学生通过实例掌握向量垂直与坐标表示。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标1. 了解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。
2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和数量积。
3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。
二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。
2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示。
二维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2) \)三维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)3. 向量的加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)4. 向量的减法：\( \vec{a} \vec{b} = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) \)5. 向量的数乘：\( k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) \)6. 向量的数量积（点积）：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)三、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。
2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念和运算。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量运算的规律和应用。
4. 利用例题，讲解向量运算在实际问题中的应用。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾初中阶段学习的向量知识，引出高中阶段向量学习的内容。
2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量的本质。
3. 介绍向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示。
4. 讲解向量的加法、减法、数乘和数量积运算，让学生熟练掌握运算方法。
5. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量的运算。
五、课后作业1. 填空题：向量\( \vec{a} = (2, 3) \) 的长度是_______。
向量\( \vec{a} = (1, 2) \) 与向量\( \vec{b} = (-1, 2) \) 垂直。
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坐标法在平面向量运算中的应用（专题复习）
一、教学目标
1．知识与技能：
运用坐标法解决平面向量的数量积、夹角、模、参数等有关的值、范围、最值等高考热点问题。
2．过程与方法：
通过实例讲解，让学生在用坐标法、基向量法及其它方法解决向量问题过程中，体会坐标法的优越性，并掌握用坐标法解决平面向量有关问题。
3．情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生体验坐标法在平面向量运算中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点
重点：运用坐标法解决平面向量有关问题。
难点：恰当建立直角坐标系，将平面向量有关的问题用坐标法解决。
三、教学过程
（一）回归教材
1.向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底. 对于平面内的一个向量a ，由平面基本定理，有且只有一对实数x 、y ，使得x y =+a i j 这样，平面内的任一向量a 都可以由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的 坐标，记作(,)x y =a .显然，i =（1,0），j =（0,1），0 = （0,0）
2.平面向量的坐标运算
(1) 若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则1212(,)x x y y ±=±±a b ， a
(2) 若11(,)A x y ,22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--.
(3) 若向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212x x y a y b +=
(4) 向量的夹角公式：21cos a b a b x θ=
=+ (5)向量的模：221a a a a x ==⋅=+(6)平面向量的平行与垂直问题：若11(,)a x y =，22(,)b x y =
//a b ，则12210x y x y -= a b ⊥，则121200x x y a b y ==+⇒
λ）（21,x x λλ=
3.平面几何问题的向量坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能将向量有关的几何问题转化为相应的代数运算，从而使问题得到解决。
（二）课前小试
1.若a 与b 的夹角为θ，且a =(3,3)，)3,1(2-=-a b ，则 θ = ____________ .
2.若）（1,x a =，）（y b ,1=，）
（4,2-=c ，且c a ⊥，c b ∥，则=+b a _________ 3.正方形OABC 边长为1，点D 、E 分别为AB 、BC 的中点，则cos ∠DOE = _________．
4.已知ABC ∆中，3=AC ，4=BC ，5=AB ，P 为AB 边上任意一点，则CA CP ⋅ 的最大值为 ____________.
5.在矩形ABCD 中，2=AB ，2=BC ，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若 2=⋅AF AB ，则BF AE ⋅的值是 ________________.
（三）例题讲解
例1.（2012•北京）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB
→ 的值为________；DE →·DC
→的最大值为________．
例2.(2013•重庆) 在平面上，已知
⊥，||=||=1，=+， 若||＜，则||的取值范围是 （ ）
A.]250(，
B.)2725(，
C.]2,25(
D.]227(，
思考探究：
如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →
与OC →
的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ，μ∈R)， 则λ＋μ的值为________．
（四）课后巩固，走进高考
1.（2013•北京）向量→a ，→b ，→c 在正方形网格中的位置如图所示，若→→→+=b a c μλ ),(R ∈μλ，则
=μ
λ _____________. 2.(2009•湖南文) 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB
→＋yAC →， 则x ＝____，y ＝_______.
3.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上
的动点，则|PA
→＋3PB →|的最小值为________． a
b c
4.（2013•湖南 文）若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为（ ）
A ．2－2
B ．—1
C ．1— 2
D ．—2
5.（2011•辽宁）若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0， 则|a ＋b －c |的最大值为( )
A ．2－1
B ．1
C ． 2
D ．2
6.（2013.厦门月考）给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3
.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，
求x ＋y 的最大值．
（五）思考与小结
思考1.哪些向量有关问题比较适合用坐标法解决？
小结
思考2.坐标法与基向量法在解题过程中各有什么优劣？解题时如何选取？ 小结。