高中数学-2.5《平面向量应用举例》教学设计

2.5《平面向量应用举例》教学设计

【教学目标】 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题；

2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神.

【导入新课】

回顾提问：

（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0. （2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12

AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?

(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？

教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来.

新授课阶段

探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．

教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及

数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行

ABCD 中，设AB ＝a ,AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平移）

，DB AB AD a b =-=-，2

22||AD b AD ==（长度）．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果 “翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用

例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

已知：平行四边形ABCD ．

求证：222222

AC BD AB BC CD DA +=+++．

分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意

到AC AB AD =+， DB AB AD =-，我们计算2||AC 和2||BD ． 证明：不妨设AB =a ，AD =b ，则

AC =a +b ，DB =a -b ，2||AB =|a |2，2||AD =|b |2．

得2||AC AC AC =⋅=( a +b )·( a +b )

= a ·a+ a ·b +b ·a+b ·b = |a |2+2a ·b +|b |2

． ①

同理,2||DB =|a |2-2a ·b +|b |2． ② ①+②得 2||AC +2||DB =2(|a |2+|b |2

)=2(2||AB +2||AD )． 所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

师：你能用几何方法解决这个问题吗？

让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况.

师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，

他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.

用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤：

⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

⑶把运算结果“翻译”成几何关系．

变式训练：ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b ==（1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,a b 表示向量AO .

例2 如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中

点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关

系吗？

分析：由于R 、T 是对角线AC 上两点，所以要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需要分别判断AR 、RT 、TC 与AC 之间的关系即可．

解：设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ．

因为AR 与AC 共线，因此，存在实数m ，使得AR =m (a +b )．

又因为BR 与BE 共线，因此存在实数n ，使得BR =n BE = n (

12b - a )． 由AR AB BR =+=AB + n BE ，得m (a +b )= a + n (

12b - a )． 整理得(1)m n +-a ＋1()2

m n -b ＝0． 由于向量a 、b 不共线，所以有 10,10,2m n m n +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1,32.3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

所以13

AR AC =

． 同理 13

TC AC =． 于是 13RT AC =． 所以 AR ＝RT ＝TC ．

说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法

使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．

探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？

（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么？

师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然

后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．

例3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹

角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从

数学的角度解释这种现象吗？

分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系（其中F 为F 1、F 2的合力）,就得到了问题的数学解释．

解：不妨设|F 1|=|F 2|， 由向量加法的平行四边形法则，物理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到