平面向量的应用(教学设计)
平面向量应用举例第一课时教学设计
4.4平面向量应用举例第一课时教学设计一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些平面几何问题、三角函数问题与解析几何问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、三角函数问题、解析几何问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、三角函数问题、解析几何问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何问题、三角函数问题等有一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些平面几何问题、三角函数问题，体会向量在几何、三角中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、三角函数问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、三角函数中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、电子白板、投影机.四.教学设计复习回顾1．向量在几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(b ≠0)．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)平面几何中夹角与线段长度计算；①cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22； ②|AB |＝|AB →|＝AB →2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.设计意图：因为后面的应用会涉及到向量的相关知识，所以有必要复习。
平面向量的应用教学案 (5)
平面向量的应用一、教学目标1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题．2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题 二、教学重点1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题．2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题 三、教学难点能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题 四、教学过程 知识提炼1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量mv 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积.思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F 1和F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( ) (2)若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (3)若向量AB →∥CD →，则AB ∥CD .( )解析：(1)正确．物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F 1，F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则求解．(2)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有可能是∠A 或∠C 为直角．(3)错误．向量AB →∥CD →时，直线AB ∥CD 或AB ，CD 重合．答案：(1)√ (2)× (3)×2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形解析：由题意可知，AB →∥CD →，|AB →|＝|CD →|，且AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 为菱形．答案：D3．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．形状无法确定 解析：因为(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，所以CA 2→－CB 2→＝0，CA 2→＝CB 2→，所以CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形． 4. 一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 3 N ，则两个力的合力的大小为________．解析：设合力为F ，则F 1⊥F 2，且F ＝F 1＋F 2，|F |＝（F 1＋F 2）2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝（53）2＋2×0＋（53）2＝5 6.答案：5 65．已知力F ＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则F 对物体所做的功为________焦耳．解析：由已知位移AB →＝(－4，3)，所以力F 做的功为W ＝F ·AB →＝2×(－4)＋3×3＝1.答案：1 类型1 平面几何中的垂直问题例1、如右图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上的一点，四边形PFCE 是矩形．试用向量证明： PA ⊥EF .证明：以点D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴建立如右图所示的坐标系，设正方形的边长为1，|DP →|＝λ(λ∈R)， 则A (0，1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0.于是PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－1，－22λ.PA →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ＝－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－1＋1－22λ＝0，所以PA →⊥EF →，即PA ⊥EF . 归纳对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.而对于这一条件的应用，可以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式． 变式训练 求证：菱形的两条对角线互相垂直．证明：如图所示，在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，所以AB 2→＝AD 2→.(OB →－OA →)2＝(OD →－OA →)2，化简得：OB 2＋OA 2－2OA →·OB →＝OD 2→＋OA 2→－2OA →·OD →，又OB →＝－OD →，上式可化为： OA →·OB →－OA →·OD →＝OA →·(OB →－OD →)＝OA →·DB →＝0.所以OA →⊥DB →.所以AC ⊥BD .所以菱形的对角线互相垂直．类型2 平面几何中的长度问题例2、 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F .求AF 的长度(用m ，n 表示)． (1)证明：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，m )，B (n ，0)，因为D 为AB 的中点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2，所以|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，所以|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)解：因为E 为CD 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m 4，设F (x ，0)，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m ， AF →＝(x ，－m )．因为A ，E ，F 三点共线，所以AF →＝λAE →.即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m .则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n 4λ，－m ＝－34m λ，故λ＝43，即x ＝n 3，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0.所以|AF →|＝13n 2＋9m 2，即AF 的长度为13n 2＋9m 2归纳用向量法求长度的方法1．利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a |2＝a 2求解． 2．建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.变式训练、 如图所示，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．解：设AB →＝a ，AD →＝b ，a 与b 的夹角为θ，则|a |＝3，|b |＝1，θ＝π3.所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又因为AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，所以|AC →|＝ AC →2＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝13， |DB →|＝DB →2＝（a －b ）2＝a 2－2a·b ＋b 2＝7.所以AC 的长为13，DB 的长为7. 类型3 向量在物理中的应用例3、在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两则，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如右图所示)，求重物 平衡时，两根绳子拉力的大小．解：如右图所示，两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300(N)，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠OAC ＝90°，从而|OA →|＝|OC →|·cos 30°＝1503(N)，|AC →|＝|OC →|·sin 30°＝150(N)，|OB →|＝|AC →|＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 归纳利用向量处理物理问题的方法 1．利用向量处理力学问题的方法．解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象． 2．利用向量处理速度、位移问题的方法．解决此类问题的关键是利用平面向量的相关知识对速度、位移进行合成或分解． 变式训练、 用力F 推动一物体G ，使其沿水平方向运动s ，F 与G 的垂直方向的夹角为θ，则F 对物体G 所做的功为( )A ．F ·s cos θB ．F ·s sin θC ．|F ||s |cos θD ．|F ||s |sin θ解析：如下图所示，由做功公式可得：W ＝|F |·|s |sin θ. 答案：D五、课题练习：见变式训练 六、课题小结1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面(1)要证明两线段相等，如AB ＝CD ，则可转化为证明：AB →2＝CD →2.(2)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明：存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB ⊥CD ，则只要证明数量积AB →·CD →＝0. (4)要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →. (5)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可． 2．向量在物理中应用时要注意三个问题(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型． (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识．七、教学反思平面向量的应用一、学习目标1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题．2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题 二、学习过程 知识提炼1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量mv 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积.思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F 1和F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则． ( ) (2)若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →＝0. ( )(3)若向量AB →∥CD →，则AB ∥CD . ( ) 2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形 3．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．形状无法确定 4. 一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 3 N ，则两个力的合力的大小为________．5．已知力F ＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则F 对物体所做的功为________焦耳． 类型1 平面几何中的垂直问题例1、如右图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上的一点，四边形PFCE 是矩形．试用向量证明： PA ⊥EF . 归纳对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.而对于这一条件的应用，可以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式． 变式训练 求证：菱形的两条对角线互相垂直．类型2 平面几何中的长度问题例2、 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F .求AF 的长度(用m ，n 表示)． 归纳用向量法求长度的方法1．利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a |2＝a 2求解． 2．建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a ＝(x ，y )，则|a |＝ x 2＋y 2.变式训练、 如图所示，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．类型3 向量在物理中的应用例3、在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两则，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如右图所示)，求重物 平衡时，两根绳子拉力的大小． 归纳利用向量处理物理问题的方法1．利用向量处理力学问题的方法．解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象． 2．利用向量处理速度、位移问题的方法．解决此类问题的关键是利用平面向量的相关知识对速度、位移进行合成或分解．变式训练、 用力F 推动一物体G ，使其沿水平方向运动s ，F 与G 的垂直方向的夹角为θ，则F 对物体G 所做的功为( )A ．F ·s cos θB ．F ·s sin θC ．|F ||s |cos θD ．|F ||s |sin θ五、课题练习：见变式训练 六、课题小结1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面(1)要证明两线段相等，如AB ＝CD ，则可转化为证明：AB →2＝CD →2.(2)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明：存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB ⊥CD ，则只要证明数量积AB →·CD →＝0. (4)要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →. (5)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可． 2．向量在物理中应用时要注意三个问题(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型． (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识．七、教学反思。
平面向量应用教案
平面向量应用教案一、引言平面向量是数学中的重要概念之一，它在解决各种几何和物理问题中有着广泛的应用。
本教案将介绍平面向量在几何和物理中的具体应用，帮助学生更好地理解和掌握平面向量的使用方法。
二、平面向量的表示与性质1. 平面向量的表示方法平面上的向量可以使用有序数对或者坐标表示。
例如，向量AB可以表示为➡️ AB 或者 (x, y)。
其中，向量的起点为A，终点为B。
向量的模长可以通过勾股定理计算得到。
2. 平面向量的性质平面向量具有位移性、共线性和反箭头性质等基本性质。
在计算中，我们可以通过向量加法、数乘和平移等运算来处理各种向量问题。
三、平面向量的应用1. 几何应用1.1 平行四边形的性质平行四边形的两条对角线互相平分，即向量AC = -向量BD，向量AD = -向量BC。
这个性质在解决平行四边形相关问题时非常有用。
1.2 向量和三角形面积三角形ABC的面积可以通过向量积的大小来计算，即S△ABC =1/2 |AB × AC|。
这个公式对于求解三角形面积问题非常方便。
2. 物理应用2.1 力的合成与分解力的合成是指将多个力的作用效果等效为一个力的过程。
我们可以利用平面向量的加法来求解力的合成问题。
而力的分解是指将一个力拆解为多个分力的过程，这可以通过平面向量的减法来实现。
2.2 力的平衡与不平衡多个力在平面上的合力为零时，称为力的平衡。
我们可以使用平面向量的加法和减法来求解力的平衡问题。
相反，当多个力在平面上的合力不为零时，称为力的不平衡。
这种情况下，平面向量的合力将导致物体加速度的出现。
四、案例分析通过以下案例，我们来具体应用平面向量解决几何和物理问题。
案例1：求解平行四边形的对角线交点坐标。
已知平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-2, 1)，B(1, 3)，C(4, 1)和D(1, -1)，求对角线AC和BD的交点坐标。
解析：向量AC = (4, 1) - (-2, 1) = (6, 0)向量BD = (1, -1) - (1, 3) = (0, -4)由于对角线互相平分，所以交点坐标为平行四边形对角线的中点。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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平面向量应用教案
平面向量应用教案教案标题：平面向量应用教案教案目标：1. 理解平面向量的概念及其基本性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则；3. 能够应用平面向量解决实际问题；4. 培养学生的分析和解决问题的能力。
教案步骤：I. 导入（5分钟）A. 激发学生对平面向量的兴趣，引入平面向量的概念和应用；B. 提出一个简单的问题，例如：给出两个平面向量A和B，求它们的和向量与差向量。
II. 知识讲授（15分钟）A. 讲解平面向量的定义和表示方法，包括向量的模、方向、标志等；B. 阐述平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则；C. 介绍平面向量的基本性质，例如交换律、结合律等。
III. 基本应用（20分钟）A. 通过实例演示平面向量的加法和减法运算；B. 引导学生进行基本练习，巩固加法和减法的应用能力；C. 通过解决实际问题，如平面位移、速度和力的合成等，让学生体会平面向量在物理问题中的应用。
IV. 深化应用（25分钟）A. 设计更复杂的问题，引导学生思考如何利用平面向量解决；B. 分组合作，让学生使用平面向量解决具体问题，如推导三角形中的角平分线等；C. 学生展示解题过程并互相评价，加强对平面向量应用的理解和掌握。
V. 总结与拓展（10分钟）A. 总结平面向量的基本概念和运算法则；B. 给学生提供一些拓展性问题，鼓励他们独立思考和探索更多的平面向量应用。
VI. 作业布置（5分钟）A. 布置一些练习题，巩固平面向量的应用能力；B. 鼓励学生在日常生活中寻找更多与平面向量相关的实际问题，并尝试解决。
教学辅助工具：- 平面向量的定义和示意图；- 教学课件，包括运算规则和实际问题的解决过程；- 学生练习册和教辅材料。
教学评估：1. 在知识讲授环节，观察学生对平面向量的基本概念和运算规则的理解程度，及时纠正和解答疑惑；2. 在基本应用和深化应用环节中，观察学生解决问题的思路和方法，以及解答问题的准确性和完整性；3. 综合考察学生在作业布置中的应用能力和创新思维。
平面向量应用教案设计
平面向量应用教案设计。
一、教案设计背景在进行平面向量的教学过程中，应该给学生提供一些实际的、具有应用意义的例子，让学生真正了解向量的物理意义和几何意义。
因此，在设计教案时，要注重培养学生的实际应用能力，帮助学生将理论与实践相结合。
同时，还要根据学生的实际情况，合理设置教学目标和教学内容，有针对性地进行教学。
二、教案设计目标1、了解平面向量的定义、性质及运算法则；2、了解平面向量的几何和物理意义；3、掌握平面向量的加、减、数乘等基本运算；4、理解平面向量在物理学中的应用；5、能运用平面向量解决相关问题。
三、教学内容设计1、平面向量的定义及其基本性质；2、平面向量的加、减、数乘及其性质；3、平面向量在平面直角坐标系中的坐标表示；4、平面向量的应用：（1）向量叉积的物理意义及其应用；（2）向量叉积的计算方法；（3）摩擦力的向量分解；（4）向量投影的应用。
四、教学方法设计1、讲授法在平面向量教学中，讲授法是最基础的教学方法，通过以物理意义为主线的学习方法，结合具体的例子来进行讲解，可以让学生快速掌握向量的相关知识。
2、归纳法平面向量的定义、性质及运算法则较多，采用归纳法可以让学生快速记忆和理解，增加教学效果，提高教学质量。
3、实践法在教学中，可以通过让学生参与实际操作来达到教学效果的提高。
举个例子，通过让学生进行向量相加、相减、数乘等操作，能够有效增强学生的理解和记忆能力。
4、启发式教学法在解决向量应用问题时，可以采用启发式教学法，结合学生的实际情况，帮助学生提高解题的思维能力和应用能力。
五、教学资源准备1、教学材料：课件、示意图、多媒体资料等；2、教学实例：让学生自主选择实际应用实例，进行讨论和分析；3、计算机程序：使用计算机程序来帮助学生更快速、准确地进行计算，增强学生的实际操作能力和计算能力。
六、教学反思与评估在教学过程中，教师应时刻反思自己的教学方法是否合理、有效，及时进行调整和完善。
同时，要通过测试、问答、小组讨论等方式对学生进行评估，了解学生的掌握程度和反馈意见，为下一步的教学改进提供参考。
《平面向量的应用》教学设计
《平面向量的应用》单元教学设计一、单元教学内容及内容解析1．内容平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例、余弦定理和正弦定理及其应用举例．建议用2课时．第一课时：平面几何中的向量方法；第二课时：向量在物理中的应用举例．2．内容解析本单元是在学生已经学习了平面向量的概念和运算的基础上，应用平面向量解决问题．本单元是为了体现向量的工具性，即运用向量方法解决平面几何、物理中的问题．通过本部分内容的学习，可以促使学生认识到向量与实际生活紧密相连，有极其丰富的实际背景，有着广泛的实际应用，有助于激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，使他们真正认识到数学的应用价值，从而提高学生应用数学的意识．因此本单元具有很高的教育教学价值，它对更新和完善知识结构具有重要的意义．本单元强调了向量的工具特性，能用向量语言和方法表述、解决平面几何和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．其中，特别强调了用向量解决几何问题的基本思想——“三步曲”，从而较好地体现了数形结合思想．基于以上分析，可以确定本单元的教学重点是：掌握平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例．二、单元教学目标及目标解析1．目标（1）掌握向量在平面几何中的初步运用，会用向量知识解决平面几何问题；（2）运用向量的方法分析和解决物理中的相关问题；2．目标解析达成目标（1）的标志是，学生能用向量方法解决简单的平面几何问题，能掌握向量法解决几何问题的“三步曲”；深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性．达成目标（2）的标志是，学生能用向量方法解决物理中的问题，体会向量是一种处理物理问题的工具，能体会向量在解决物理当问题中的工具性特点．三、单元教学问题诊断分析本单元要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，从而引导学生认识到向量是描述现实问题或数学问题的一种数学模型．同时还要通过解决一些实际问题或几何问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法．这一要求会让一些生活经验匮乏或物理学科知识不足的学生感到困难．向量运算有两个方面：代数表示与几何意义．由于在新知识的学习过程中，它们相对孤立，学生对他们的认识也就不容易形成体系，所以在前面新授课时应有意识地做一些渗透和铺垫，在本单元应强调它们的区别与联系，以便学生更加全面、深刻地认识向量．向量显著的优势表现在：利用向量知识解决几何问题，可以避开繁琐复杂的定性分析，把抽象的理论证明转化为向量代数运算，实现从“定性”到“定量”的转化．学生逻辑推理能力的不足可能造成把几何问题转化为向量问题的困难．基于上述分析，本单元的教学难点：（1）如何将平面几何问题转化为向量问题；（2）将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题，并用向量方法解决．教学中，应揭示知识背景，强化学生的参与意识，借助多媒体手段（几何画板、Geogebra等作图工具），加强学生对向量工具性的理解．这些是突破向量应用难点的支撑条件．四、教学过程设计平面向量应用的教学，按“创设情境——引出问题——应用向量解决问题——归纳”的过程展开．第一课时（一）课时教学内容利用向量方法解决平面几何中的相关问题．（二）课时教学目标1．利用向量的方法解决平面几何中的相关问题，掌握向量法解决几何问题的“三步曲”；2．深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性．（三）教学重点与难点重点：利用向量的方法解决平面几何中的相关问题，掌握向量法解决几何问题的“三步曲”．难点：将平面几何问题转化为向量问题的化归思想，深切体会向量的工具性这一特点．（四）教学过程设计1．复习引入问题1由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，你能将以下平面几何元素及其表示转化为向量及其运算吗？师生活动：师生共同回忆完成．设计意图：为向量在平面几何中的应用提供理论依据．2．探究新知问题2如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：师生活动：引导学生回忆初中的证明方法．设计意图：三角形中位线定理是平面几何中的重要定理之一，在平面几何的学习中，学生曾经用不同的方法进行过证明，但常常因为需要添加辅助线而使得证明显得较为困难．这里用向量方法证明该定理，可以和初中时的几何证法做一个对比，体现向量在解决几何问题中的优越性．追问如何利用向量推导三角形内线段长度关系？师生活动：引导学生思考．（1）平面几何中求线段的长度问题在向量中就是求向量的模的问题．（2）解题的关键是选择基底．（3）可以取基底（4）师生共同完成证明．设计意图：要求用向量方法证明这一定理，旨在体现向量在平面几何问题证明中的应用，排除因添加辅助线而带来的困难，凸显向量方法在证明某些几何问题中的优越性．掌握证明几何问题的向量方法，体会向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．3．理解新知问题3通过问题2的解决，请大家总结用向量法解决平面几何问题的“三步曲”．师生活动：归纳小结向量方法解决几何的步骤：设计意图：经历例1的证明，学生归纳总结，由此体会向量解决几何问题可以按一定的运算程序进行操作，进而使学生明确用向量方法解决几何问题的“三步曲”，使学生对所学知识系统化、条理化．4．运用新知问题4已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？师生活动：（1）引导学生猜想：矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？（2）把这个结论：从矩形推广到平行四边形，这个结论还成立吗？设计意图：通过引导学生从特殊图形出发，得出结论，再过渡到平行四边形，降低例2的思维难度，体验特殊到一般的数学思想．（3）引导学生用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”解决问题：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：（4）思考：你能用文字语言叙述这个关系式的意义吗？平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．设计意图：通过用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系，掌握用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积，进一步体会向量方法解决几何问题的“三步曲”解决问题．追问1 还可以选择其他基底吗？师生活动：引导学生也可以取为基底．追问2问题4还可以用什么方法证明？师生活动：引导学生建立直角坐标系，设计意图：让学生体会用向量方法研究几何问题还可以建立平面直角坐标系．5．反思总结问题5通过以上问题的解决，我们总结一下运用坐标解决平面几何问题可以分哪几个步骤？师生活动：共同简述：形到向量（转化）向量的运算（运算）向量和数到形（翻译）．（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系．设计意图：学生通过归纳发现，由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度．6．课堂练习教科书第39页的练习．设计意图：通过练习及时巩固、反馈．7．作业习题6.4的第1，2，3题．（五）目标检测设计1．如图，已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角．求证：∠ABC=90°．设计意图：考查学生对向量方法证明几何问题的掌握情况．2．如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求的余弦值．设计意图：考查学生对向量方法证明几何问题的掌握情况．第二课时（一）课时教学内容1．通过向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用以及向量在速度的分解与合成中的应用，用向量的方法解决物理中的关于力学、运动学等的相关问题；2．在实际问题中，运用向量的方法分析和解决物理中的相关问题．（二）课时教学目标1．经历用向量的方法解决物理当中的关于力学、运动学等的相关问题；2．体会向量在解决物理当中相关问题的工具性特点．（三）教学重点与难点重点：运用向量的有关知识解决物理中的相关问题．[来源:Zxxk．Com]难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．（四）教学过程设计1．创设情境，体验物理现象问题1如何运用向量工具解决物理中有关力的问题？在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？师生活动：先自主完成，然后小组探讨结论．设计意图：从学生身边的熟悉的例子切入主题，学生更有切身体会，有利于激发学生的学习兴趣．2．合作探究，解释物理现象师生活动：教师引导学生进行受力分析（注意分析对象），并把]上面的问题抽象为如右图所示的数学模型．由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形，只要分析清楚F，G，三者之间的关系（其中F为的合力），就得到了问题的数学解释．设计意图：利用向量知识解决简单的物理问题．3．整理小结，归纳一般步骤问题2 你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?师生活动：学生先自主完成，然后师生一起归纳．用向量解决物理问题的一般步骤是：（1）问题的转化：把物理问题转化为数学问题；（2）模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；（3）参数的获得：求出数学模型的有关解；（4）问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象．设计意图：让学生总结解题方法和过程，提升学生对问题的归纳和总结能力，有效地建立知识框架．4．深入探索，拓展应用问题3运用向量工具解决物理中有关运动的问题如图，一条河两岸平行，河的宽度d=500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1 min）？师生活动：（1）教师启发学生思考：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶．由于水的流动，船被冲向下游，因而水速的方向是怎样呢？（因此要使船垂直到达对岸，就要使与的合速度的方向正好垂直于河岸方向）（2）教师再启发学生思考：此问题要求船实际的行进方向是垂直指向对岸的，这是合速度V的方向还是的方向？为什么？（3）教师启发学生画出和V的方向，让学生思考向量V-的方向如何确定．（4）教师启发学生利用三角形法则作出V-（即），再把的起点平移到A，也可直接用平行四边形法则作出．答：行驶航程最短时，所用时间是3. 1 min设计意图：体会向量在解决物理问题中的工具性特点，用向量方法解决物理中运动学有关“速度的合成与分解”等问题，加强数学的应用意识和逻辑推理及数学运算等核心素养．问题4一条河两岸平行，河的宽度d=500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度||=10 km/h，水流速度||=2 km/h，那么当用时最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1 min）？师生活动：组织学生讨论，共同得出答案．设计意图：作为问题3的变式，将“航程最短”的要求改为“用时最短”，培养和考查学生关于知识迁移的意识和能力．5．反思总结师生共同归纳：用向量知识解决物理问题的一般思路是：设计意图：归纳向量在解决物理问题中的一般思路，提升学生对问题的归纳和总结能力，有效地建立知识框架．6．课堂练习教科书第41页的练习．设计意图：通过练习及时巩固、反馈．7．作业习题6.4的第4，5题．（五）目标检测设计1．用两条成120°的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N．设计意图：考查学生利用向量方法解决物理问题（力学问题）的能力和掌握情况．2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝______ J．设计意图：考查学生利用向量方法解决物理问题（有关做功问题）的能力和掌握情况．3．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．设计意图：考查学生用向量方法解决物理问题（有关运动学问题）的能力和掌握情况．单元教学设计：余弦定理、正弦定理及其应用举例一、内容和内容解析1．内容余弦定理、正弦定理、运用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．建议用3课时：第一课时：余弦定理；第二课时：正弦定理；第三课时：正弦定理解决简单的实际问题．2．内容解析三角形的边角关系是三角形中最重要的关系之一，而余弦定理和正弦定理是刻画三角形边角关系最为重要的两个定理，它们为解三角形提供了基本而重要的工具．为了更好地体现向量的价值，教科书把余弦定理和正弦定理放在本节中，用向量方法推导了余弦定理和正弦定理．解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性，体现数学建模、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．基于以上分析，确定本节课的教学重点：掌握余弦定理、正弦定理；能用向量方法证明余弦定理、正弦定理，会用余弦定理、正弦定理解三角形；运用余弦定理、正弦定理解决一些与测量有关的简单实际问题．二、目标和目标解析1．目标（1）用向量方法证明余弦定理、正弦定理．（2）用余弦定理、正弦定理解三角形．（3）余弦定理和正弦定理的应用．2．目标解析达成目标的标志是：（1）学生能用向量等知识证明余弦、正弦定理，能掌握余弦、正弦定理；（2）能初步运用余弦、正弦定理及其推论解斜三角形，能解决斜三角形的计算问题；（3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索．三、教学问题诊断分析一般地，当人们明确了学习某一知识的目的性和必要性以后，学习这一知识的热情必将得到极大的提高．然而，为什么要探究一般三角形中边角关系？如何探究一般三角形中边角关系？学生大多还缺乏明确的思想认识和有效的思维方法．余弦定理、正弦定理是三角形中的边、角定量关系．在初中，学生学过勾股定理、锐角三角函数（直角三角形中的边、角定量关系），并会用这些定量关系解直角三角形，用解直角三角形可以解决简单的实际问题．对于一般三角形，学生定性地研究过三角形中的边、角定量关系，知道边、角满足一定条件的两个三角形全等．在高中，学生进一步学习了任意角的三角函数与三角恒等变换，获得了用向量解决几何问题的方法，但是还缺乏由定性分析到定量研究的能力，生活实践经验较匮乏，将实际问题转化为数学问题的建模能力有待提高．基于上述分析，本单元的教学难点：用向量方法推导余弦定理和正弦定理，应用两个定理解决实际问题．四、教学支持条件在从特殊到一般地推导正弦定理时，可适当辅助几何画板，通过数学实验，得到正弦定理．五、教学过程设计第一课时（一）课时教学内容1．证明余弦定理的向量方法及余弦定理的两种表示形式；2．运用余弦定理解决“边角边”及“边边边”问题．（二）课时教学目标1．余弦定理的发现和证明过程；2．余弦定理的应用．（三）教学重点与难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其应用，体会向量方法推导余弦定理的思想．难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法，及余弦定理在求解三角形时的思路．（四）教学过程设计引言：对于三角形中的边角关系，尽管在初中已经有过诸如对“勾股定理”“锐角三角函数”这样的刻画一个直角三角形中，边与边之间或边与角之间的关系的定量研究，并且利用它们解决了直角三角形中边长和角度的求解问题．但是，在社会生产实践中，我们遇到的三角形更多的是一般三角形．因此，探究一般三角形中边角之间的定量关系，显得十分必要．对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法．这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的．那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？本节课我们就来探究这个问题．1．余弦定理的探究问题1我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示．那么，表示的公式是什么？例如，（1）在中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和c表示？（2）你认为可以用什么方法探究这个问题？师生活动：教师首先让学生明确上述数学问题．在中，已知BC=a，AC=b，BC和AC的夹角是C，如何用已知的边a，b和它们的夹角C表示第三边c？围绕问题（2），学生自行思考或相互商量探究问题（1）的方法，如坐标法、向量法、几何法都可以用于探究问题（1）．教师综合学生的意见，与学生协商并确定选用向量方法探索余弦定理．这里，教师重在引发学生的思考．考虑到教科书中采用向量法的意义和作用，因此教师可以作两手准备：若学生中有提出用向量法探究的，则协商并确定选用向量方法探究余弦定理是十分自然的．若学生中没有提出用向量法探究的，则教师可以启发学生思考：是否可以利用向量法探究．在此基础上，最终和学生共同确定用向量方法探索余弦定理，其他方法则可以酌情选用．具体地，用向量方法探索余弦定理可按如下步骤进行：①把几何元素用向量表示：③向量式化成几何式：设计意图：从“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”出发，进而阐明“给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的”事实，由此自然引出上述探究问题，即怎样根据三角形已知的两边及其夹角来确定第三边．三角形全等的判定只是定性地说明“给定两边及其夹角的三角形具有唯一确定性”的事实，而“用三角形已知的两边及其夹角表示第三边”反映的是三角形中边和角之间的量化关系．如此连贯地提出问题，旨在沟通新旧知识的相互联系，引导学生体会量化的思想和观点．探究问题（1）的方法不是唯一的．课堂上引发学生自行思考探究的不同方法，旨在尊重学生的主体地位．同时期望学生从不同角度，提出探究余弦定理的不同思路和方法，以此培养学生的发散思维．问题2 上面第②步中怎么想到选用数量积运算的？三个步骤遵循的是什么规则？师生活动：教师引导学生关注教科书的“我们的研究目标是用|a|，|b|和C 表示|c|，联想到数量积的性质，可以考虑用向量c（即a-b）与其自身作数量积运算”，思考教科书中这一段话的意义．教师可以如下总结：事实上，既然我们已经确定选用向量方法来探究，而在向量运算中，涉及向量的模及其两个向量夹角的运算只有数量积，因此我们考虑向量c（即a-b）与其自身作数量积运算．此外，上述①②③三个步骤，遵循的是利用向量方法处理平面几何问题的“三步曲”．这是因为，三角形是典型的平面几何图形之一，因而三角形中的边、角关系自然也是几何元素之间的一种关系．设计意图：这是推证过程中的难点．设计这个问题，旨在引导学生不仅知道“是什么”，而且更应当知道“为什么”．问题3：如何用已知的边b，c和它们的夹角A表示第三边a？如何用已知的边c，a和它们的夹角B表示第三边b？师生活动：学生自主猜想结论，并交流证明的思路．最后教师给出余弦定理．设计意图：得出余弦定理完整的形式．2．余弦定理与勾股定理的关系问题4勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？师生活动：教师引导学生分析，勾股定理指出了直角三角形中两条直角边及其所夹的直角与斜边之间的关系，而余弦定理揭示了一般三角形中任意两边及其夹角与第三边之间的关系，其根本的差异在于夹角．因此两个定理之间的关系应通过夹角的差异来分析．学生在教师的启发下自主分析，并总结出两个定理之间的关系．由此得出：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．设计意图：通过余弦定理与勾股定理关系的分析，引发学生提炼蕴含在问题中的“特殊与一般”的数学思想，帮助学生树立辩证观点．3．余弦定理的推论问题5利用余弦定理可以解决“已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边”的问题．然而，有时我们需要根据三角形的边长求角．请思考：能否将余弦定理适当变形，用三条边表示角？师生活动：学生在教师的引导下，根据余弦定理，自行得出定理的推论．在学生得出余弦定理的推论后，教师应进一步作如下阐述：余弦定理的每一个等式中都含有四个不同的量，它们分别是三角形的三条边和一个角．不难看出，已知其中的任意三个量，就可以求出第四个量．余弦定理的推论是用三角形的三条边表示角的余弦，进而可以求出角．设计意图：在解三角形的问题中，除了求未知的边以外，还会遇到求未知角的问题．提出问题5，旨在启发学生把“角的余弦”这个整体当成未知量，利用方程思想，探求关于“角的余弦”的表达式，为解决其他类型的三角形问题提供有力的工具．4．余弦定理及其推论的应用问题6利用余弦定理及其推论，可以解决哪几类解三角形的问题？。
平面向量的应用(教案)(教师版)
平面向量的应用(教案)【第一课时】教学重难点教学目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、 垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用 会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ 2．如何用向量方法解决物理问题？ 二、新知探究 探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题例1：如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ． 证明：法一：设AD →＝a ，AB →＝b ， 则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋12b ，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋12a ，所以AF →·DE →＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0． 故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE ．法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF →＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF →·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE ．角度二：平面几何中的平行（或共线）问题：如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12．求证：点E ，O ，F在同一直线上．证明：设AB →＝m ，AD →＝n ， 由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，所以FO →＝F A →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ． 所以FO →＝OE →．又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上． 角度三：平面几何中的长度问题：如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长． 解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝6．用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用：（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度． 因为AB →＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC →|＝|AB →|＝12．5．|AD →|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°． （2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ． 因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）．所以W 1＝F 1·AB →＝（3，4）·（－13，－15） ＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦）， W 2＝F 2·AB →＝（6，－5）·（－13，－15） ＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．用向量方法解决物理问题的“三步曲”三、课堂总结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ（θ为F 与s 的夹角）． 四、课堂检测1．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ） A ．10 m/s B ．226 m/s C ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B ．由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝226（m/s ）．2．已知三个力f 1＝（－2，－1），f 2＝（－3，2），f 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝（ ） A ．（－1，－2） B ．（1，－2） C ．（－1，2）D ．（1，2）解析：选D ．由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－（f 1＋f 2＋f 3）＝（1，2）．3．设P ，Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，AB ∥DC ，试用向量证明：PQ ∥AB ． 证明：设DC →＝λAB →（λ＞0且λ≠1），因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP →＝AB →＋12（BD →－AC →）＝AB →＋12[（AD →－AB →）－（AD →＋DC →）]＝AB →＋12（CD →－AB →）＝12（CD →＋AB →）＝12（－λ＋1）AB →， 所以PQ →∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【第二课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？ 二、新知探究已知两边及一角解三角形：（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（ ）A ．42B ．30C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ． （2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去．故选D ． 答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋（23）2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4． 规律方法：解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． （2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 探究点2：已知三边（三边关系）解三角形：（1）在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为（ ） A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°（2）在△ABC 中，若（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），则A 等于（ ） A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：（1）在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19， 所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°．故选B ．（2）因为（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈（0°，180°），所以A ＝60°． 答案：（1）B （2）B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解． 探究点3： 判断三角形的形状：在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状． 解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ． 由余弦定理并整理，得 b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形． 规律方法：（1）利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． （2）判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2． ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2． ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2． ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2．三、课堂总结 1．余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ．3．三角形的元素与解三角形 （1）三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． （2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 四、课堂检测1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝（ ） A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B ．cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12．所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°．2．在△ABC 中，已知（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝3bc ，则角A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B ．因为（b ＋c ）2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°．3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足（a ＋b ）2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________． 解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°， 即c 2＝a 2＋b 2－ab ．① 又因为（a ＋b ）2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43．答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0， 展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2．根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【第三课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？ 二、新知探究已知两角及一边解三角形：在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 【解】因为A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－（A ＋C ）＝105°． 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝102． 因为sin 75°＝sin （30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b ＝c sin B sin C ＝10×sin （A ＋C ）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．已知三角形的两角和任一边解三角形的思路（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角． （2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC 中的下列条件，解三角形： （1）a ＝10，b ＝20，A ＝60°； （2）a ＝2，c＝6，C ＝π3．解：（1）因为b sin B ＝asin A，所以sin B ＝b sin A a ＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a sin C c ＝22．因为c ＞a ，所以C ＞A ．所以A ＝π4．所以B ＝5π12，b ＝ c sin Bsin C ＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C ＝π3改为A ＝π4，其他条件不变，求C ，B, b ．解：因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32．所以C ＝π3或2π3．当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A ＝3＋1．当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A＝3－1．（1）已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 ①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．（2）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：判断三角形的形状：已知在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别是a 和b ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 一定是（ ）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A互动探究：变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的两种途径注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．三、课堂总结1．正弦定理对正弦定理的理解（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．（3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、课堂检测1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B ＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【第四课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、新知探究测量距离问题：海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，∠C ＝180°－（∠B ＋∠A ）＝45°， 由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56（海里）． 答案：56海里变条件：在本例中，若“从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角”改为“A ，C 两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B 岛与C 岛间的距离呢？解：由已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝20，∠BAC ＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可． BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC ＝103．即B ，C 间的距离为103海里．测量距离问题的解题思路求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．测量高度问题：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m ． 解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°． 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006（m ）． 答案：1006 互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB 方向行驶的过程中，若测得观察山顶D 点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C ，作CE ⊥AB ，垂足为E ，则∠DEC ＝α，由例题可知， ∠CBE ＝75°，BC ＝3002， 所以CE ＝BC ·sin ∠CBE＝3002sin 75° ＝3002×2＋64＝150＋1503．所以tan α＝DC CE ＝1006150＋1503＝32－63．测量高度问题的解题思路高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．测量角度问题：岛A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A 正南方向B 处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C 处，随即以每小时103海里的速度前往拦截． （1）问：海监船接到通知时，在距离岛A 多少海里处？（2）假设海监船在D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间． 解：（1）根据题意得∠BAC ＝45°，∠ABC ＝75°，BC ＝10， 所以∠ACB ＝180°－75°－45°＝60°， 在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，得AB ＝BC sin ∠ACB sin ∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56． 所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t 小时，则BD ＝103t ，CD ＝10t ， 又因为∠BCD ＝180°－∠ACB ＝180°－60°＝120°， 所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos 120°， 所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·⎝⎛⎭⎫－12， 所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）．所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°，所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时． （或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时）测量角度问题的基本思路（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离． （2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解． 三、课堂总结 1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线 实际测量中的有关名称、术语南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的（ ） A ．东偏北45°10′方向上 B ．东偏北45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上 D ．西偏南45°50′方向上解析：选C ．如图所示．2．如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝200米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于（ ）A ．1002米B ．50（3＋1）米C ．100（3＋1）米D ．200米解析：选C ．设AB ＝x 米，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝45°， 所以BC ＝AB ＝x ．在Rt △ABD 中，∠D ＝30°，则BD ＝3AB ＝3x ． 因为BD －BC ＝CD ，所以3x －x ＝200， 解得x ＝100（3＋1）．故选C ．3．已知台风中心位于城市A 东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A 西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v ＝（ ）A ．60B ．80C ．100D ．125解析：选C ．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v ）2＝2002＋1502＋2×200×150cos （α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34 cos β，sin 2 α＋cos 2 α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos （α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v ＝100．4．某巡逻艇在A 处发现在北偏东45°距A 处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°， 在△ABC 中，由正弦定理得123t sin 120°＝12tsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
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平面向量的应用
一、江苏省高考说明对平面向量的要求 平面向量的概念，平面向量的加法、减法及数乘运算，平面向量的坐标表示，平面向量的平行与垂直这几个方面都是B 级要求，平面向量的应用是A 级要求，仅平面向量的数量积是C 级要求.
二、高考命题规律
1、高考对向量的考查主要是向量的概念及其运算（坐标运算、几何运算），平面向量的加、减法的几何意义，数量积及运算律，两个非零向量平行及垂直的充要条件；
2、常在大题中兼顾对向量的考查，主要涉及向量在三角函数、解析几何、函数及数列中的应用；
3、题目大都是容易题和中等题，题型多为一道填空题或一道大题. 三、复习目标
1、通过本节课的复习，进一步掌握向量数量积的几何运算法则和坐标运算法则；
2、使学生正确掌握向量的具体应用，并能通过解题体验平面向量应用问题的常规解法.
四、复习重点
1、平面向量的概念、加减法、数量积的灵活应用；
2、平面向量的具体应用. 五、复习过程 （一）小题训练 1、（高考题改编）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平 面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 . 28y x =-
2、若向量a
，b
满足2=a
，1=b
，()1=+⋅b a a
，则向量a
，b
的夹角的大小为 .
34
π
3、已知向量
2
(,1)a x x =+，(1,)b x t =-，若函数()f x a b =在区间（-1，1）上是增函数，则t 的取值范围是 .
4、在△ABC 中，π
6
A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与
B 、
C 不重合），且
22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ．
512
π
（二）典型例题
例1：已知向量(cos ,sin )a αα=， (2sin ,cos )b αα=-，(,)22
ππ
α∈-
.
（1）若||31a b +=+，求α的值；
（2）若向量(2,sin )c α=，求()a c b -的最大值． 解：（1）
222||
(2cos sin )(sin cos )a b αααα+=+-+
+4-4sin()44
π
α=-=+sin()-42πα∴-=，3(,),(,),22444
πππππ
αα∈-∴-∈-
2--,4343π
πππαα∴-
=-=或5.1212
ππα∴=-或-
（2）(cos 2,0)a c α-=-，
()(cos 2)(2sin )a c b αα∴-=--cos )sin cos 2αααα=+--
21sin cos sin cos ,
2
t t αααα-+==设，则3(,),(
,),22
4
44
πππππαα∈-∴+∈-
sin()((42
t πα∴+∈-∴∈-
21()222t a c b t -∴-=-
-211(22
t =--，
().t a c b -1
所以当取得最大值为－2
举一反三
2(4,0),(0,4),(3cos ,3sin ).0|||2sin sin 201tan A B C AC BC AC BC αααπαααα
∈-=+=+已知(1)若（，），且|，求；(2)若，求的值.
,3,44,ABC BC k AC AB k Z ABC ∆==≤∈∆例2：已知中，向量（2-）,（2）,且， 求为直角三角形的概率.
举一反三
,3,44ABC BC k AC AB k Z ABC ∆==≤∈∆已知中，向量（2-）,（2）,且，，
求为锐角三角形的概率.
310102,
O E F A P Q AE EF -=例：已知为坐标原点，点（，），（，），动点、、满足
,0,//AQ QF PQ AF AP EP ==
1P C （）求动点的轨迹的方程；
2,M N C OM ON OE MN （）、是轨迹上两点，且+2=3求直线的方程.
,0,AQ QF Q AF PQ AF PQ AF =∴=∴⊥解：(1)为的中点，
.//,PQ AF PA PF AP EP A E P ∴∴=∴为线段的垂直平分线，、、三点
P AF AE PE PF PE PA ∴∴+=
+共线,为线段的垂直平分线与的交点，
222 4.2, 1.43
x y EF P a b P =∴==∴+=动点的轨迹为椭圆，得的轨迹方程为：
2222
112211222412412M x y N x y x y x y +=+=（）设（,）、（,）,则3①，3②
12122320OM ON OE x x y
y +=-+=又由+2
=3，得③,④联立①②③④, 2122221237,48332
MN y y y x y k MN x x x -
=-=±===±∴-+直线的方程为：
(1).2
y x =±
+
（三）巩固练习
1、设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA F A •＝－4，则点A 的坐标是 . (1，±2)
2、设点D 、P 为△ABC 内的两点，且满足)(4
1
AC AB AD +=，BC AD AP 5
1+=，则
=∆∆ABC APD
S S
. 110
3、(山东高考) 已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量
(31)(cos sin )A A =-=，，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B
，的大小分别为 .
ππ
36
， 4、已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π
2． （Ⅰ）若a ⊥b ，求θ； （Ⅱ）求｜a +b ｜的最大值．
六、小结
平面向量的应用，主要是通过向量的具体知识的运用，将问题化归为相关问题（如三角函数、解析几何、数列等），而后再具体解决问题.
七、作业 .。