七电磁场的动量能量守恒定律和动量守恒定律——物质运动形式转换

得
∂g f+ = −∇ • J ∂t
把此式对区域V积分得
∫
V
d fdV + ∫ gdV = − ∫ ∇ • JdV = − ∫ dS • J V S dt V
右边是对区域边界的面积分，左边是内电荷系 统和电磁场的总动量变化率，因此右边表示由 V外通过界面S流进V内的动量流。把张量J 称 为电磁场的动量流密度张量，或称为电磁场应 力张量。
1 Β = n×Ε c
（7.8）
其中n为传播方向单位矢量，代入得一定频 率的电磁波的平均动量密度
g=
ε0
2
Re(Ε × Β ) =
∗
ε0
2c
Ε n
2
因为对电磁波有S=cwn,w为能流密度，则
g=
ω
c
n
这个关系在量子化后的电磁场也是成立 的。量子化后的电磁场由光子组成，每个光 子的能量为hω/2π，h为普朗克常数,ω为角频 率。每个光子带有动量hωn/c= hk。 下面我们说明动量流密度张量J 的意 义。如图5-16，设ABC为一面元∆S，这面元 的三个分量分别等于OBC,OCA和OAB的面 积。OABC是一个体积元∆V 。
七、电磁场的动量 能量守恒定律和动量守恒定律 ——物质运动形式转换的两条基本的守恒定律
电磁场也和其他物体一样具有动量,辐射压力 是电磁场带有动量的实验证据。
电磁场和带电物质之间有相互作用。场对 带电粒子施以作用力，粒子受力后，它的动量发 生变化，同时电磁场本身的状态也发生相应的改 变。在这相互作用过程中，入射电磁场的动量转 移到物体上，同时电磁场的动量也发生相应的改 变。
通过界面OBC单位面积流入体内的动量 三个分量写为 T11
，T12 ，
T13
通过界面OCA单位面积流入体内的动量三个 分量写为 T21
，T22 ， T23
通过界面OAB单位面积流入体内的动量三个 分量写为 T31
， T32 ，T33
当体积∆V →0时，通过这 三个面流入体内的动量等 于从面元ABC流出的动 量。因此，通过ABC面流 出的动量各分量为
电荷受电磁场的作用力由洛伦兹力公式表示 以 f 表示作用力密度，由第一章（3 .11）式，
f = ρΕ + J × Β
电荷系统受力作用后，它的动量发生变化 。由 动量守恒定律，电磁场的动量也应该相应地改变。 上式左边等于电荷系统的动量密度变化率，因而右 边应该可以化为含有电磁场动量密度变化率和表示 场内动量转移的一些量 。
若区域V为全空间，则面积分趋于零，有
∫
d fdV + ∫ gdV = 0 dt
电磁场和电荷的总动量变化率等于 零，即动量守恒定律。
(7.6)式是动量守恒定律的微分形式。
电磁场的动量密度和能流密度S 之间有一般关系式
1 g = ε 0 Ε × Β = µ 0ε 0 Ε × Η = 2 S c
对于平面电磁波，有
用麦克斯韦方程组把作用力密度完全用场量表 出。由真空中的方程
ρ = ε 0∇ • Ε
∂Ε ∇ ×Β −ε0 J = µ0 ∂t 1
可以把作用力密度化为
∂Ε f = ε 0 (∇ • Ε)Ε + (∇ × Β ) × Β − ε 0 ×Β µ0 ∂t 1
利用另外两个麦氏方程
∇•Β = 0
∂Β ∇×Ε = − ∂t
把力密度进一步写成对E和B对称的形式
f = [ε 0 (∇ • Ε)Ε + 1 (∇ • Β)Β + 1 (∇ × Β) × Β
µ0
µ0
∂ + ε 0 (∇ × Ε) × Ε] − ε 0 (Ε × Β) ∂t
由于f等于电荷系统的动量密度改变率， 因此如果把上式解释为动量守恒定律，则右 边最后一项撤去负号应该代表电磁场的动量密 度改变率。则电磁场的动量密度改变率为
2
平面电磁波有ε0E2=B2/µ0，
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Ε •J = 0
同理可证
Β • J = 0, J •Ε = J •Β = 0
则J只有沿kk的分量。用k•E=k•B=0，可求得
1 1 2 2 k • J = J • k = k (ε 0 Ε + Β ) = ωk 2 µ0
则
J = ωek ek = cgek ek
其中L 是单位张量，对任一矢量υ都有
υ • L = L •υ = υ
同理
1 2 (∇ • Β)Β + (∇ × Β) × Β = ∇ • (ΒΒ − J Β ) 2
力密度公式方括号部分可以化为一个张量J 的 散度
1 2 1 2 J = −ε 0 ΕΕ − ΒΒ + L (ε 0 Ε + Β ) µ0 µ0 2 1
∫ dS • J
张量J 的分量Tij的意义是通过 垂直于i轴的单位面积流过的动 量j分量。
例１求平面电磁波的动量流密度张量。 解 平面电磁波E,B,K是三个互相正交 的矢量,我们用这三个方向来分解J 的各分 量。由(7.5)式和E•B=0，得
1 1 2 2 Ε • J = −ε 0Ε Ε + Ε(ε 0 Ε + Β ) 2 µ0
∆p1 = ∆S 1 Τ11 + ∆S 2 Τ21 + ∆S 3 Τ31
∆p 2 = ∆S1Τ12 + ∆S 2 Τ22 + ∆S 3 Τ32
∆p 3 = ∆S 1 Τ13 + ∆S 2 Τ23 + ∆S 3 Τ33
写成矢量形式为
∆p = ∆S • J
这就是通过面元∆s流出的动量。则通过 闭合曲面流出的总动量为
1. 电磁场的动量密度和动量流密度 考虑空间某一区域，其内有一定电荷分 布。区域内的场和电荷之间由于相互作用而发 生动量转移。另一方面，区域内的场和区域外 的场也通过界面发生动量转移。由于动量守 恒，单位时间从区域外通过界面 S传人区域V内 的动量应等于V内电荷的动量变化率加上V内电 磁场的动量变化率。由于麦克斯韦方程组是电 磁场的基本动力学方程，由麦克斯韦方程组和 洛伦兹力公式应该可以导出电磁场和电荷体系 的动量守恒定律。
g = ε 0Ε × Β
上式方括号部分应该表示电磁场内部的动量转 移。下面证明这一点。先把方括号部分变为一 个张量的散度。利用
1 2 (∇ × Ε ) × Ε = (Ε • ∇ )Ε − ∇Ε 2
可得
1 (∇ • Ε)Ε + (∇ × Ε) × Ε = (∇ • Ε)Ε + (Ε • ∇)Ε − ∇Ε 2 2 1 = ∇ • (ΕΕ) − ∇ • (L Ε 2 ) 2 1 = ∇ • (ΕΕ − L Ε 2 ) 2