类比探究(人教版)

人教版八年级下册期中备考提升训练类比探究问题➢知识点睛1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2.类比探究的处理思路：（1）类比是解决类比探究的第一原则，即类比上一问思路，迁移解决下一问；（2）对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．①若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决；②若不属于常见结构，依据不变特征大胆猜测、尝试、验证、构造．3.类比探究常见结构举例（1）中点结构直角+中点平行夹中点见中点，要倍长斜边中线延长证全等倍长之后证全等多个中点，考虑中位线（2）旋转结构常见模型11如图，△ABC，△ADE 均为等边三角形，则出现了AB=AC，AD=AE 等线段共端点的结构，所以连接BD，CE，可以证明△ABD≌△ACE，即把△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE．常见模型2如图，正方形ABCD 中，点E，F 分别在边BC，CD 上，且∠EAF=45°，则EF=BE+DF．思路提示：正方形四条边都相等，提供了等线段共端点，所以考虑构造旋转解决问题，即找到等线段AD=AB，把线段AD 绕点A 顺时针旋转90°，与线段AB 重合，则AD 所在△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°得到△ABG．（3）直角结构直角结构——斜直角放正➢精讲精练【中点结构】1.已知P 是Rt△ABC 的斜边AB 上一动点（不与点A，B 重合），分别过点A，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为点E，F，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE 与B F 的位置关系是，QE 与Q F 的数量关系是．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA（或AB）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．2.如图，四边形ABCD 和四边形CGEF 均为正方形，M 是线段AE 的中点．（1）如图1所示，点B，C，G 在同一条直线上，DM 的延长线交E F 于点N，位置关系为连接F M，则D M 与F M 的数量关系为，（直接写出答案，无需写证明过程）．（2）如图2，当点B，C，F 在同一条直线上，DM 的延长线交EG 于点N，其余条件不变，试探究线段DM 与FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，当点E，B，C 在同一条直线上，DM 的延长线交CE 的延长线于点N，若此时点A 恰好为CG 的中点，AB=1，其余条件不变，请直接写出FM 的长度．43.已知等腰三角形ABC 中，∠ACB=90°，点E在AC 的延长线上，且∠DEC=45°，M，N 分别是DE，AE 的中点，连接MN，交直线BE 于点F．当点D 在CB的延长线上时，如图 1 所示，易证MF +FN =1BE ．2（1）如图2，当点D 在CB 边上时，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 的延长线上时，如图3 所示，请直接写出线段MF，FN，BE 之间的数量关系（不需要证明）．4.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到点E，使得AE=OA，以OB，OC 为邻边作□OBFC，连接OF，与BC 交于点H，连接EF．（1）问题发现如图1，若△ABC 为等边三角形，线段E F 与B C 的位置关系是，数量关系为．（2）拓展探究如图2，若△ABC 为等腰直角三角形（BC 为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明．（3）解决问题如图3，若△ABC 是等腰三角形，AB=AC=2，BC=3，请你直接写出线段EF 的长．5.操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角形的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD 上，连接AF，取AF 中点M，EF 的中点N，连接MD，MN．（1）连接AE，求证：△AEF 是等腰三角形．猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD，MN 的数量关系和位置关系．（不需要证明）结论1：MD，MN 的数量关系是；结论2：MD，MN 的位置关系是．拓展与探究：（3）如图2，将图1 中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【旋转结构】6.以四边形ABCD 的边AB，AD 为边分别向外侧作等边△ABF 和等边△ADE，连接EB，FD，交点为G．（1）问题发现：当四边形A BCD 为正方形时（如图1），EB 和F D 的数量关系是．（2）拓展探究：当四边形ABCD 为矩形时（如图2），EB 和FD 具有怎样的数量关系？请加以证明．（3）问题解决：四边形ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD 是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3 中求出∠EGD 的度数．7. 已知四边形 ABCD 是菱形，AB =4，∠ABC =60°，∠EAF 的两边分别与射线 CB ，DC 相交于点 E ，F ，且∠EAF =60°．（1） 如图 1，当点 E 是线段 C B 的中点．线段 AE ，EF ，AF 之间的数量关系； （2） 如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B ，C 重合），求证：BE =CF ；（3） 如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且∠EAB =15°时，求点 F 到 BC 的距离．108.如图1，在正方形ABCD 中，点E，F 分别为DC，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．小明是这样解决的：延长CB 到点G，使BG=DE，连接AG，再证明△GAF≌△EAF，可证得结论．感悟小明的解题方法，运用你所积累的经验和知识，完成下题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E 是CD 上一点，且∠BAE=45°，DE=4，求BE 的长．（2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF，AG 与边BC 的交点分别为D，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），在旋转过程中，等式BD2+CE2=DE2 始终成立，请说明理由．9.问题背景如图1，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，EF 分别是BC，CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．（2）探索延伸如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F 分别是BC，CD 上的点，且∠EAF= 1 ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．2（3）结论应用如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 海里/小时的速度前进，1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离.【直角结构】10.情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE= ．问题探究：如图2，△ABC 中，AH⊥BC 于点H，以A 为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACF，过点E，F 作射线HA 的垂线，垂足分别为M，N，试探究线段EM 和FN 之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：如图，△ABC 中，AH⊥BC 于点H，以A 为直角顶点，分别以AB，AC 为一边，向△ABC 外作正方形ABME 和正方形ACNF，连接EF 交射线HA 于点G，试探究线段EG 和FG 之间的数量关系，并说明理由．11.（1）观察猜想如图1，点B，A，C 在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC 且∠DAE=90°，AD=AE，则B C，BD，CE 之间的数量关系为；（2）问题解决如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC 为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD 的长；图1图2（3）拓展延伸如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接写出BD 的长．12.问题原型：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．过点D 作△BCD 的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD 的面积为1a2 ．2初步探究：如图2，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a 的代数式表示△BCD 的面积，并说明理由．简单应用：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB=AC，BC=a．将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．直接写出△BCD 的面积．（用含a 的代数式表示）213.已知边长为的正方形A BCD 中，P 是对角线A C 上的一个动点（与点A，C 不重合），过点P 作PE⊥PB，PE 交射线DC 于点E，过点E 作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB=PE．（2）在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．（3）在点P 的运动过程中，△PEC 能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP 的长；如果不能，试说明理由．【其他类型】14.如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且P A=PE，PE 交CD 于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．15.如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN 交射线AB 于点E，过点C 作CF∥AB，交直线DN 于点F．（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图 1 ，求证：CF+BE=CD．（提示：过点F 作FM∥BC，交射线AB 于点M）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3．请分别写出线段CF，BE，CD 之间的数量关系，不需要证明．（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC4 CD= ．，则B E= ，318。