浙江省高考数学理科21题解析几何镇海中学张义斌
通俗易懂 注重通法 优美结论——2010年浙江省数学高考理科试题第21题体验
通俗易懂注重通法优美结论——2010年浙江省数学高考理
科试题第21题体验
凌红
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2010(000)008
【摘要】笔者通过对2010年浙江省数学高考理科试题第21题的深刻体验，得出了如下启示．现整理出来，以供参考．
【总页数】2页(P28-29)
【作者】凌红
【作者单位】湖州中学,浙江湖州313000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.7
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浅谈2009年全国数学高考理科第21题4种解答过程的探索
浅谈2009年全国数学高考理科第21题4种解答过程的探索第lO期张东仓:浅谈20o9年全国数学高考理科第21题4种解答过程的探索?27?运用与理解,从教学要求上讲,要先画框图,再编制程序;从教学追求上讲,要注意有一种定位:这就是巩固,促进对框图的认识与理解,熟悉算法框图的画法,要知道,算法语句的教学过程,也是算法框图的运用过程.对算法案例,要使学生清楚:这是所有算法基础知识学习后的内容,没有新增要掌握的知识,方法,因此,这一节的教学可以由”教”变为”学”,通过解决问题的思维活动,给学生提供自主活动的空间,使案例学习成为能力培养的机会,成为算法思想应用的机会,成为应对高考算法创新试题的预演.算法教学文理科是没有区别的,理论上讲应该也必须统一要求,即采用统一的考题,这不仅是因为算法是必修内容,而且也由算法学习能培养学生逻辑思维能力的作用所决定的.当然,也要看到:在算法思想的运用中,理科学生能更多地联系其他数学知识;理科学生的总学习内容也高于文科学生,经历的计算,推理量必定大于文科学生,由这些导致高考文,理试题的不同也是正常的.因此,理科学生在选修内容学习中,需要更多地联系算法知识,运用算法思想.浅谈2009年全国数学高考理科第21题4种解答过程的探索●张东仓(陕西电子工业学校陕西宝鸡721001)2009年的高考刚刚降下帷幕,其试题会给考生和教师带来怎样的思考呢?带着这样的思考,笔者查阅了(2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)试卷》.对于该卷第2l题,笔者经过认真思考,终于寻找到一种快速的解法(即解法4).原题如下:题目如图1,已知抛物线:Y=与圆:(一4)+Y=/2(r>0)相交于A,,C,D这4个点.(1)求r的取值范围;(2)当四边形的面积最大时,求对角线AC,BD的交点P的坐标.…图1很显然,第(1)小题的解答很简单,抛物线E和圆要有4个交点,则联立两曲线的方程』,,2=;I(一4)+),2=r2,得关于的一元二次方程:一7x+16一/2=0应该有2个不同的解,从而A=49—4×(16一/2)=4r一15>0,解得r>竽或r<一竽.由于r>0,因此>(1)另一方面,由题意可知四边形ABCD的顶点A与,C与D关于轴对称,且顶点A,B,C,D的横坐标都应该大于0,即关于if,的一元二次方程:一7+l6—1.2=0的2个解大于0,即7±r2—151,2————一‟只要7—-O-15>o,(2)式(1)与式(2)联立,解得<r<4.丁<(斗到此为止,第(1)小题轻松解决.那么第(2)小题又如何作答呢?首先,对题意进行分析:要计算对角线AC,BD交点的坐标,由图1可知,只要知道对角线AC的方程即可,因此需要知道点A,C的坐标.由于圆的半径r具体数值不知,因此题中的“当四边形ABCD的面积最大时”成为求解的关键条件.具体该如何实施呢?第1次探索与分析若能利用”当四边形ABCD的面积最大时”一语确定出半径r,则if,m便可立即得出,从而点A,C的坐标以及对角线AC的方程都可顺利求解,于是第(2)小题即可顺利解决.看来,首先应该将四边形ABCD的面积S(设Sabre为四边形ABCD在第一象限的梯形的面积)表示出来.由图1,知S=2S梯形.解法1设A(x.,Y),D(2,Y:),由题意得28?中学教研(数学)2009生0<1<2,0<Y1<),2,贝0S=2S梯形=2?÷(1+),2).(2一1)=(),l+Y2)?(2一1).由于y21=l,Y;=2,且pY=,Y2=,因此S=(+:)?(:一).(3)又由.:,将其带入式(3)中,可得Is=(丽+?,据题意,四边形面积欲达到最大值,须满足.s=0.第2次探索与分析很显然,直接求解IS运算量相当大,能否利用重要不等式求解S最大时的r 取值呢?重要不等式求解最值须满足”和定积最大”以及”积定和最小”的条件,看来此处这一条件不成熟.为了降低运算量,该如何对Is进行处理呢? 由于S>0,因此当s取最大值时,5亦取得最大值.这样S=0的r取值与(.s)=0的r取值应该相等(参考答案如此).另一方面,考虑到表达式S中含有_==,能否令=百:t呢?作如下反思解法1的运算量较大,且书写复杂.由式(3)可以看出,四边形的面积Js是2个变量,:的函数,由于,.中都含有变量r,因此Js最终是r的函数.此解法的出发点也正是在此处.受到解法1的提示,能否通过别的途径直接将交点P的横坐标引入到面积.s的表达式中,将S转化成的函数,再结合题意面积.s达到最大,即可解出.为此,产生下面的解法:解法2由解法1中的式(3)和式(5)以及1+2=7,可得S=[(+)?(:一)]=(1+2+2)[(2+1)一4xl2],因此S=(7+2x)(49—4x).计算(5)并令(.s)0,可得24x+56x一98=0.解得古或=一寺(舍去),所以对角线AC,BD的交点P的坐标为(古,o)?点评解法2可认为是对解法1的一次改进,它的优点在于运算量的大幅度降低,思路比较直观,巧妙地将要求解的点P的横坐标嵌入到面积中,面积达到最大,即可直接确定此时P的横坐标.当然,没有解法1的磨炼,也不一定会有解法2.能否利用2条曲线的参数方程进行计算呢(以抛物线的参数方程为例)?解法3对于抛物线E:Y=,可设其参数方程为f=tz.由于其与圆M:(一4)z+),z:r2(r>tY￡0)~-4个交点,因此将』‟与(一4):+),:12tY联立,可得t一7t+l6一/.2:0.(6)据题意可知方程(6)关于t有2个解,于是第10期张东仓:浅谈2009年全国数学高考理科第21题4种解答过程的探索‟29?△:49—4(16一r2)>O,t2l,2:7—+——~/.4r2一-15,其中t,t为方程(6)的2个解,因此t1?t2=vq6一r2.(7)设四边形ABCD的面积为s,A(t,t),D(t;,t2),则S=(tl+t2)?(t一￡)=(t1+t2)?(t2一t1),由方程(6)可知t+￡;=7,t1?t2=~/16一r2,t1+t2=~/t+t22+2tl?t2=47+2416一r2,r————————————————一————————～t一t==~/7—2,所以S=(t1+t2)?(t2一t1)=(7+27).√7—2接下来,与解法1类似,可令2~/16一r2=u,则S=(7+)?,s=一Ⅱ+(7+)‟‟令S0,解得=÷=2～1/N一.(8)～一r?o由于点D与c关于轴对称,因此点C(t;,一f),故直线AC的方程为Y+t2一ttl+t2一t一2‟令Y=0,可得=t.?t,再由式(7)与式(8)可知712,所以对角线Ac,肋的交点P的坐标为(吾,0).点评解法3在计算S时运算量相对于解法1有明显减少,且在计算P的坐标时与解法2运算量相当.当然,亦可仿照此解法取圆:(一4)+y2=r(r>0)的参数方程:x=4+rc,o.应注意利用y2=,可设四边形的4个顶点为:A(r2sin,rsin02),D(r2”n01,rsin01),C(r2sin201,一rsin01),(rsin,一rsin02).关键是用其坐标表示四边形ABCD的面积.s时,需对两曲线方程联立后的方程实施韦达定理以及两根和与差的关系将Js转换成一元函数.总的来说,这3种方法中不论是运算量还是技巧方面,解法2相对占优势.另一方面,这3种方法都是站在线线联立求交点的角度确定四边形2个第一象限的顶点坐标的,并利用其表示四边形的面积,再结合题意面积最大,求出或不求出r或r2,从而确定对角线的交点坐标.能否从对角线的角度出发呢? 解法4设直线AC的斜率为k,与轴的交点为(.,0),a(x.,Y),O(x,Y2),四边形ABCD的面积为S,则直线AC的方程为y=k(一).由于其与抛物线Y=相交,因此k(一.)=,化简可得k2x一(2x0k+1)+k2x=0.由韦达定理可得2l2:0,又因为点A,D在抛物线E与圆上,所以有r(l一4)+1=r2;(9)I(2—4)+2=r2.(10)式(9)一式(10),可得即从而(1一2)?(1+2-7)=O,1+2=7,1=2(舍去),S=(,,1+,,2)?I2一1I=(√1+2)?l2一11.将1+2=7和12=代人Is中,得S=(7+2x0)?(49—4x),于是(s)=2?(49—4x)一8Xo?(7+2Xo).令(S)0,得24x+56xo一98=0,11解得=÷或=一寺(舍去),,1,因此对角线AC,BD的交点P的坐标为(古,o)?点评此解法充分利用了四边形顶点横坐标之积与对角线交点横坐标之间的关系,从而使运算量大大降低.但此法的思路根源来自解法2.试题剖析此题意在考查考生解析几何一章中线线交点以及函数最值求解等相关知识点与技巧.只要考生能够认真分析题意,抓住问题求解的关键环节,充分利用相关已知信息,熟悉相关题型求解中的处理技巧,尽管考场上时间紧迫,但完整求解也不是没有可能.如果此题第(2)小题只让计算四边形面积最大时的圆的半径,那么解题难度相对会降低一点.。
2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b r r 为平面向量，则（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+ 9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球 ()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=；（b ）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 ()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99Λ==i i a i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-=Λ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的 结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时， 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a n b n 221Λ. 若{}n a 为 等比数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c n n n 11。
2019年高考全国Ⅱ卷理科第21题的解法探究与推广
(Ⅱ) (i) 证 法 一 设 直 线 P Q 的 斜 率 为 k, 则 其 方 程 为
y = kx
2
y = kx(k > 0). 由
x2 y2 + =1
得x = ±√
,记
1 + 2k2
42
u = √ 2 , 则 P (u, uk), Q(−u, −uk), E(u, 0), 于是直线
1 + 2k2 QG 的斜率为 k , 方程为 y =
2019 年高考全国 II 卷理科第 21 题的解法探究与推广
广东省湛江一中培才学校 (524037) 魏 欣
摘要 本文以 2019 年高考全国 II 卷理科第 21 题为例,
评析 此题主要考查轨迹方程的求法, 直线和椭圆的位
进行多种解法解答与分析, 并进行探究, 挖掘高考题的功能, 置问题以及最值问题, 意在考查学生的逻辑推理能力、运算
二、解法探究
解析 (Ⅰ) 由题设得 y · y = − 1 (x ̸= ±2).
x+2 x−2
2
x2 y2 化简得 + = 1(x ̸= ±2). 所以曲线 C 是中心在坐标原
42
点, 焦点在 x 轴上的椭圆, 不含左右顶点.
一、试题展示与评析
题 目 (2019 年 高 考 全 国 卷 理 科 第 21 题) 已 知 点 A(−2, 0), B(2, 0), 动点 M (x, y) 满足直线 AM 与 BM 的
故
xG
=
2 + k2 , 由此得 yG = 2 + k2 , 从而直线 P G 的斜率为
( uk3
)
/(
u
(3k2
+
2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析【word版】
2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析【w o r d版】-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球 ()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 ()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的 结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________.13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时， 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 . 若{}na 为 等比数列，且.6,2231b ba +==（1）求n a 与n b ； （2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。
2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+ 9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球 ()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=；（b ）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 ()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i i a i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的 结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时， 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a n b n 221 . 若{}n a 为 等比数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c n n n 11。
对2022年新高考Ⅰ卷第21题解析几何题的分析
对2022年新高考Ⅰ卷第21题解析几何题的分析作者：钟明佛山市顺德区第一中学责编：常艳审核：王常斌作者简介钟明，中学数学高级教师，曾任顺德一中数学科长，名师工作室主持人，教学功底深厚，解题能力过硬，培养了一批批优秀的青年教师。
一、题目呈现2022年高考数学全国I卷中倒数第二题与往年一样考察解析几何，通过这道题可以看到高考对学生学习解析几何的要求达到什么程度。
二、对于二级结论的掌握每年的解析几何题都涉及到二级结论，如果对一些基本的二级结论缺乏认识，所有的结论都要在考场上推，那时间就不够了。
从数学的核心素养中数学抽象的水平三的要求：“能够把握研究对象的数学特征，理解数学的抽象结构。
能够理解数学结论的一般性，能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系。
并用准确的数学语言子以表达；能够感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想。
”可以看到新课标对学生平时遇到的各类问题进行抽象概况，结论一般化。
从数学的核心素养中逻辑推理的水平三的要求：“对于较复杂的数学问题，能够通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题”二级结论就属于过渡性命题。
三、对于图形结构的观察与认识四、对运算求解的要求高考中解析几何一贯对计算的要求很高，在数学的核心素养中数学运算的水平三的要求：“能够把目标问题转化为运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向。
能够对运算问题，构造运算程序，解决问题。
”解析几何题的运算过程一般比较长，这就要求考生不能走一步看一步，一定要有全局观，运算之前要能看清所有的运算程序，预判运算的难度与时间，需从引入变量开始，确定运算程序，明确运算步骤，逐级运算，解决问题。
而对方程及方程的运算的深入理解是确定运算程序和预判运算难度的重要依据。
四、解题方法选择。
出于平凡 超乎自然——评2011年高考数学浙江卷(理)第21题
（ 江 省 镇 海 中学 ， 江 宁 波 浙 浙 ３５０ ） １２ ０
高 考 中解 析 几 何 的难 易 度 往 往 决 定 了 此 试 卷 的难 度 系数 ． 多人 应 该都 记得 ２０ 很 ０ ９年 、０ ０年 ２１ 高 考 数 学 刚 结 束 时 ， 学 生 对 解 析 几 何 大 题 的 评 价——难 、 ． 是过后仔细体会也不觉得 很难 ， 繁 但 充 其 量 也 就 是 计 算 有 点 繁 而 已 ． ０ １年 的 浙 江 省 高 ２１
率 （ 利 润 ／ 资产 ） １％ ， 企 业 的年 净 利 润 为 毛 总 为 ０ 则
Ａ． ９２万 元 ２． Ｃ． ９２万 元 ３． Ｂ４ ． ２万 元 Ｄ． ２万 元 ３
２ 某股票 的上市流通盘 为 ２０ ． ００万 股 。当预期
股息 为 ０ ． 时 ． 票 的市场 价格 为 ２ ４元 股 ０元 。 果 银 如 行 利 息 率 提 高 ２ ， 预 期 股 息 为 ０６ 时 ， 股 票 ％ 当 ．元 该 的 市 场 价 格 是 多少 ？
这一 Ｉ 司题 ， 直 都 是 圆 锥 曲 线 部 分 的 基 础 知 识 和 一
重 点 内容 ． 题 充 分 地 体 现 了 ２ １ 年 高 考 数 学 试 本 ０１ 题 突 出 主 干 知 识 ． 扣 考 试 说 明 的 特 点 ， 是 对 学 紧 但 生 灵 活 运 用 解 析 几 何 的 思 想 方 法 和 运 算 分 析 能 力 都 提 出 了较 高 的要 求 ． 答 如 下 ： 解 解 ： Ｉ）抛 物 线 的 准 线 方 程 为 ｙ －１ ， 以 点 （ ＝ 所 Ｍ（ ，） 抛 物 线 Ｃ 的 准 线 的距 离 为 Ｏ４到 ．
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，解得 t2 23 . 5
即点 P 的坐标为 ( 23 , 23) ，所以直线 l 的方程为 y 3 115 x 4 .
55
115
解题方法
用抛物线上的点坐标来表示 解法二：设 P (t,t 2 ) ，A (x1, x12 ) ，B (x2 , x22 ) ，由题意得直t线 方0,t程，1, x并1 寻x找2 ，到直线AB
解题方法
点斜式设出直线，难点在于
解法一：设 P (t,t 2 ) ，A (x1, x12 ) ，B (x2, x22 ) ，由题意得 t 0,t 1, x1 整 方x2理 程出，一然个后关寻于找点k的A一，元B的二坐次
设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y t2 k(x t) ，即 y kx kt t2 ，标与k的关系，然后进行有效 的表达和运算。
，解得 t2 23 . 5
即点 P 的坐标为 ( 23 , 23) ，所以直线 l 的方程为 y 3 115 x 4 .
55
115
解题方法
充分挖掘直线PM的几
何意义，从解方程角度 解法三：直线 PM 既是 APB 的平分线又满足与对边 AB出垂发直引，领所解以题A思B路P 为。等腰三 角形，即点 P 位于线段 AB 的中垂线上，进而将问题转化为“中点与垂直”问题。
x1
x2
6t t2 1
，
kCD
t2
t 4
建立方程
t2
t
4
t
6t 2
1
，解得
t
2
23 5
.
即点 P 的坐标为 ( 23 , 23) ，所以直线 l 的方程为 y 3 115 x 4 。
55
115
引申试题
引申 1：已知 C1 : x2
2 py
，C2
:
x2 a2
y2 b2
1 ，过位于 C1 上的一点 P（P
设
P (t,t 2 ) ，A (x1, x12 ) ，B (x2 , x22 ) ，则 AB 中垂线的方程为
y
x12
x22 2
1 x1 x2
(x
x1
x2 ) ， 2
从而 y 1 x x12 x22 1 也即是 MP 的方程。
x1 x2
2
因为
M（0,4，P
(t,t
2
)
，所以
MP
的方程还可写成
kt 4 t2
则
1 ，即 (t2 1)k 2 2t(4 t2 )k (t2 4)2 1 0 。
1 k2
设 PA，PB 的斜率为 k1, k2 (k1 k2 ) ，则 k1, k2 是上述方程的两根。所以
2t(t2 4)
(t2 4)2 1
k1 k2 t 2 1 , k1k2 t 2 1
浙江省2011年高考数学理科解析几何
镇海中学 张义斌
原题 呈现
题目 背景
说题
解题 方法
教学 启示
题后 反思 引申 试题
原题呈现
(2011 年浙江理 21)已知抛物线 C1 : x2 ＝ y ,圆 C2 : x2 ( y 4)2 1 的圆心为点 M.
（Ⅰ）求点 M 到抛物线C1 的准线的距离； （Ⅱ）已知点 P 是抛物线C1 上一点（异于原点），过点 P 作圆 C2 的两条切线，交抛物线C1 于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线l 垂直于 AB，求直线l 的方程.
斜率与P点坐标的联系从而 由点差法可得 kAB x1 x2 , kAP t x1, kBP t x2 ，建立t的方程。
所以直线 AP 的方程为 y t2 (t x1)(x1 t) 化简得 y (t x1)x tx1 .
因为 AP 与圆相切，所以 d
tx1 4 1 (t x1)2
y
t2
t
4
x
4
，所以
x12 x2 t2 4
2
t
7 x1
1
x2
.
从解方程的角度出发，还需寻找一个等量关系，需从直线与圆相切这个条件入手，
就是解法二中得到的
x1
x2
6t ，建立方程 t2 1
t2
t
4
t 2 1 ，解得 t 2 6t
23 5
.
即点 P 的坐标为 ( 23 , 23) ，所以直线 l 的方程为 y 3 115 x 4 。
55
115
解题方法
解法四：不妨设 P (t,t 2 ) ，A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ) ，AP,BP 与圆 C2 的切点分别为 C (x3, y3 ) ，D (x4 , y4 ) ，
所以切线 PC,PD 分别为 x3x ( y3 4)( y 4) 1， x4x ( y4 4)( y 4) 1.
题目背景
• 解析几何是高考重点题型之一，在浙江省高考 卷中所占比例一直相当稳定.
• 给出的两个条件圆的切线和垂直都是解析几何 中的常见条件.主要考查直线与抛物线、直线 与圆的位置关系问题.
• 解析几何的核心是用代数的方法研究平面几何 问题，体现了数形结合的数学思想．
• 解析几何问题旨在考查解析几何的基本思想方 法、运算求解能力和推理思维能力，在以“能 力立意”为主要命题思想的新课程高考中占有 重要的地位.
在椭圆外）
作 C2 的两条切线 PA,PB，分别设直线 AB 与 PO 的斜率为 k1, k2 ，求证 k1k2 为定值。
引申试题
引申
2：已知椭圆 C1 方程为
1，化简得 (t2 1)x12 6tx1 15 0
由对称性可得 (t2 1)x22 6tx2 15 0 .所以 x1, x2 是方程 (t2 1)x2 6tx 15 0 的两根.
所以
x1
x2
6t t2 1,
x1x2
15 t2 1
.
kMP
t2
4 t
，由 MP AB ， kAB.kMP 1
.
联立直线 y kx kt t2 与 y x2 得 x2 kx kt t2 0 ，由于 x t 是该方程的一根，
所以 x1
k1
t, x2
k2
t
.因此 kAB
x12 x1
x22 x2
x1
x2
k1 k2
2t
2t(t2 4) t2 1
2t ，
而 kMPຫໍສະໝຸດ t24 t，由 MP AB ， kAB.kMP 1
因为
P
为它们的公共点,所以
tx3 tx4
(t (t
2 2
4)( 4)(
y3 y4
4) 4)
1 1
，
由两点确定一条直线，得切点弦 CD 的方程为 tx (t2 4)( y 4) 1
因为 MP CD, MP AB ,所以 AB / / CD ,由此可得 kAB kCD .
由解法二得 kAB