河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学(理)试题
【校级联考】河北五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学(理)试题(解析版)
河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试理科数学第I 卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位，41i z i =- 则||z =( )A. 2B.C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z 的代数形式，然后再求出z ． 【详解】由题意得44(1)2(1)221(1)(1)i i i z i i i i i i +===+=-+--+，∴ ||z ==故选B ．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，解题的关键是正确进行复数的运算，属于简单题． 2.集合{|2lg 1}A x x =<，{}2|90B x x =-≤，则A B =I （ ）A. [3,3]-B.C. (0,3]D. [- 【答案】C【解析】【分析】通过解不等式分别得到集合,A B ，然后再求出A B ⋂即可．【详解】由题意得{}{1|2lg 1|lg |02A x x x x x x ⎧⎫=<=<=<<⎨⎬⎩⎭， {}{}2 |9|33B x x x x =≤=-≤≤，∴{}(]|030,3A B x x ⋂=<≤=．故选C ．【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集，需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制，这是容易出现错误的地方，属于基础题．3.已知向量2a =v ，1b =v ，()22a a b ⋅-=v v v ，则a v 与b v 的夹角为（ ） A. 30°B. 60︒C. 90︒D. 150︒【答案】B【解析】 【分析】 由题意先求出向量a v 与b v 的数量积，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，进而得到夹角的大小．【详解】∵()2·22?42?2a a b a a b a b -=-=-=v v v v v v v v ， ∴·1a b vv =．设a v 与b v 的夹角为θ，则·12||||a b cos a b θ==v v v v ， 又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a v与b v 的夹角为60︒．【点睛】向量的数量积为求解夹角问题、垂直问题及长度问题提供了工具，在求夹角时首先要求出两向量的数量积，进而得到夹角的余弦值，容易忽视的问题是忘记夹角的范围，属于基础题．4.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )323π-3423π-33π- D. 3223π- 【答案】D【解析】【分析】求出以A 为圆心，以边长为半径，圆心角为BAC ∠的扇形的面积，根据图形的性质，可知它的3倍减去2倍的等边三角形ABC 的面积就是莱洛三角形的面积，运用几何概型公式，求出概率.【详解】设等边三角形ABC 的边长为a ，设以A 为圆心，以边长为半径，圆心角为BAC ∠的扇形的面积为1S ，则22160=3606a a S ππ⋅=，0213=sin 6024ABC S a a a ∆⋅⋅=， 莱洛三角形面积为S ，则222213332=326422ABC a a S S S a a ππ∆=-⨯-⨯=-, 在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率为P , 2223343223ABCa S P S a a ππ∆===--,故本题选D. 【点睛】本题考查了几何概型.解决本题的关键是正确求出莱洛三角形的面积.考查了运算能力. 5.已知圆222 (0)x y r r +=>与抛物线22y x =交于,A B 两点，与抛物线的准线交于,C D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于 ( )A. 22B. 2C. 5D. 5【答案】C【解析】【分析】画出图形，由四边形ABCD 是矩形可得点,A D 的纵坐标相等．根据题意求出点,A D 的纵坐标后得到关于r 方程，解方程可得所求．【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为12x =-．画出图形如图所示．在222(0)x y r r +=>中，当12x =-时，则有2214y r =-．① 由22y x =得22y x =，代入222x y r +=消去x 整理得422440y y r +-=．② 结合题意可得点,A D 的纵坐标相等，故①②中的y 相等，。
2019届河北省五个一名校联盟高三下学期第一次诊断考试数学(文)试题含答案解析
2019届河北省五个一名校联盟高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，那么（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求出N中x的范围确定出N，找出与N的交集即可．【详解】由N中y，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴N＝{x|x≤1}，∵M＝{x|﹣2≤x≤2}，∴∴＝{x|x<-2}，故选：C．【点睛】本题考查交集及补集运算，是基础题．2．设（其中为虚数单位），则复数（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用复数的除法运算求解即可【详解】由题==故选：A.【点睛】本题考查复数的运算，是基础题.3．经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（）A．30 B．40 C．60 D．80【答案】B【解析】根据条件的比例关系求解出老年人和青年人的人数即可.【详解】由题设老年人和青年人人数分别为x,y,由分层抽样得x:12:y=1:3:6,解得x=4,y=24, 则n=4+12+24=40故选：B.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件比例关系求解出老年人和青年人的人数是解决本题的关键．4．“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解得方程表示焦点在轴上的双曲线的m的范围即可解答.【详解】表示焦点在轴上的双曲线⇔,解得1<m<5,故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，f(x)=，，则实数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由奇函数得，代入f(x)=【详解】函数f(x)是定义在R上的奇函数,,则【点睛】本题考查函数奇偶性，对数的运算，是基础题.6．已知等差数列中，，则数列的前2018项和为（）A．1008 B．1009 C．2017 D．2018【答案】D【解析】,得数列的前2018项和分组求和即可.【详解】由题,解得,设数列的前2018项和为=2=2018故选：D.【点睛】本题考查求等差数列通项公式，数列求和，关键是,推得7．已知点为圆上一点，,则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取AB中点D,，的最大值转化为圆心C到D的距离加半径再乘以2即可求解..【详解】取AB中点D(2,-3),,,d+r=的最大值为故选：C.本题考查点与圆的位置关系，圆上的点到圆外定点距离的最值，是中档题.8．已知函数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用三角恒等变换可得f（x）＝2sin（x），依题意知2sin（）•2sin（）＝﹣4，利用sin（）＝1，且sin（）＝﹣1或sin（）＝1且sin（）＝﹣1．，于是可求|+|的最小值．【详解】∵f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x），又f（）•f（）＝﹣4，即2sin（）•2sin（）＝﹣4，∴2sin（）•sin（）＝﹣2，∴sin（）•sin（）＝﹣1，∴sin（）＝1，且sin（）＝﹣1或sin（）＝1且sin（）＝﹣1．∴2kπ，2kπ，或2kπ，2kπ，k∈Z．∴+＝2kπ（k∈Z），显然，当k＝0时，|+|的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数性质的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．9．某几何体的三视图如图所示，若该几何体中最长的棱长为，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【详解】由题知三视图的直观图如图所示：由长方体截取三棱锥A-BCD所得，AB=AC=,BC==,∴ 几何体中最长的棱长为BC=∴该几何体的体积V==,故选：A.【点睛】本题考查三视图，三棱锥体积，是基础题.10．已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设椭圆的上顶点为A,问题转化为的面积大于【详解】由题知a=2,b=设椭圆的右顶点为A(,0),的面积为,∴的面积的最大值时为><3, ∴, ∴故选：A.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，离心率范围，明确P在短轴端点处的面积最大是关键.11．在平面四边形中，AB=BC=2,AC=AD=2，现沿对角线AC折起,使得平面DAC平面ABC，则此时得到的三棱锥D-ABC外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由平面DAC平面ABC，知【详解】由题知又平面DAC平面ABC，∴∴O为外接球的球心，由余弦定理得∴2R==,R=所以三棱锥D-ABC外接球的表面积为=故选：B.【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，是基础题，确定球心位置是关键.12．已知函数,若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出f(x)的图像，令t=f（x）,讨论关于t的二次方程的情况，利用二次函数根的分布列出m的不等式即可.【详解】画出f(x)的图像如图所示：令t=f（x）,则t的二次方程，设g(t)=当方程的根一个在（0，1），另一个在满足题意,解m∈当方程的根一个为t=1时，解得m=2 或-1，此时方程变为，或均不合题意舍去，综上m∈故选：D.【点睛】本题考查函数与方程的根，二次函数根的分布，综合性强，是难题，注意外层函数t的二次函数研究要细致.二、填空题13．已知向量，则向量在上的投影为_____.【答案】【解析】求出【详解】，则向量在上的投影为故答案为【点睛】本题考查向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键.14．在平面直角坐标系中，若满足约束条件，则的最大值为____.【答案】【解析】画出可行域，化x+,平移即可求其最大值.【详解】由题画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示：化为x+直线l:过A时，z取得最大值，联立方程组,解得A(2,1)，此时z=故答案为8.【点睛】本题考查线性规划问题，是基础题.15．若过定点的直线与曲线相交不同两点,则直线的斜率的取值范是____.【答案】【解析】设直线l:y=kx-1,求导求最值即可.【详解】设直线l:y=kx-1,则kx-1=,令g(x)=lnx+,(x)=x>2,(x)>0, g(x)单调递增；0<x<2,(x)<0, g(x)单调递减，∴g(x)的最小值为g(2)=又k>故答案为【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，是基础题.16．在如图所示的四边形区域中，，，,现园林绿化师计划在区域外以为边增加景观区域,当时，景观区域面积的最大值为____.【答案】【解析】连接AC,得AD=【详解】连接AC,知为等腰三角形，且,AC=ab,即absin故答案为【点睛】本题考查余弦定理，基本不等式求最值，是中档题.三、解答题17．已知正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【详解】（1）∵数列是公差为的等差数列，∴∴又是与的等比中项，，∴解得舍掉）故数列的通项公式为，【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数18．进入月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前名同学中，推荐人参加自主招生考试，若已知名同学中有名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率.【答案】(1) 平均值为 (2)【解析】（1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；（2）由列举法，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种，含有文科学生的有16种，求解即可.【详解】（1）依题意可知：，所以综合素质成绩的的平均值为.（2）设这名同学分别为其中设为文科生，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种，其中含有文科学生的有16种所以含文科生的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确.19．如图，在三棱锥中，面，∠BAC=，且=1，过点作平面，分别交于点.（1）若求证：为的中点；（2）在（1）的条件下，求点到平面的距离．【答案】(1)见证明(2)【解析】（1）取中点，连接,证明面，进而，；（2）利用等体积转化即可.【详解】（1）取中点，连接∵∴，∵面，∴，又为的中点，为的中点（2）设点到平面的距离为，∵为的中点，又，，∴，∵∴又，，AM=，可得边上的高为，∴由∴h=【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求是关键.20．已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且,都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为,求证为定值.【答案】(1) (2)见证明【解析】（1）设动圆圆心坐标为C(x,y)，由题意得，能求出曲线方程；（2）设代入【详解】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C(x,y)，根据题意得，化简得（Ⅱ）设，,由题意知的斜率一定存在设，则，得所以，，，又=【点睛】本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，面积公式及定值问题，是综合题，要注意21．已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.【答案】（1）见解析（2）7【解析】（1）（2）由成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.【详解】（1）此函数的定义域为，（1）当时，在上单调递增，（2）当时，单调递减，单调增综上所述：当时，在上单调递增当时，单调递减，单调递增.（2）由（Ⅰ）知恒成立，则只需恒成立，则，令则只需则单调递减，单调递增，即的最大整数为【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为是关键.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)写出直线L的参数方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，且弦的中点为求的值.【答案】(1) (2)2+2【解析】(1)利用直线参数方程公式，及极坐标与直角坐标互化即可求解；（2）将直线参数方程公式代入圆的普通方程，利用韦达定理及中点参数【详解】(1)直线的参数方程为：为参数），曲线的直角坐标方程为：（2）直线的参数方程代入得：【点睛】本题考查直线参数方程，极坐标与直角坐标互化，直线与圆的位置关系，是基础题，注意弦中点参数t=23．选修4-5：不等式选讲已知函数(1)解关于的不等式(2) 若, 的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：第一步根据解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找出不等式的解集，第二步写出关于的不等式，得到不等式等价于的解集非空，根据“极值原理”，只需大于的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到的取值范围.试题解析：（1）原不等式可化为：即：或由得或由得或综上原不等式的解为或（2）原不等式等价于的解集非空，令，即，由，所以，所以.【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式：，；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方法.。
(中学联盟)河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试(数学文)
A. 26 2 B. 26 4 C. 2 26 4 D. 2 26 2
8.已知函数 f ( x) sin x 3 cos x ，且 f (x1) f (x2 ) 4 ，则 x1 x2 的最小值为
A.
B.
3
2
2
C.
3
3
D.
4
9.
某几何体的三视图如右图所示，若该几何体中最长的
(a, c,1), (a, c, 2), (a, d ,1), (a, d , 2), (b, d ,1), (b, d , 2), (c, e, 2), (a, d ,1), (a, d , 2) 16 种
所以含文科生的概率为 16 4 .……………12 分 20 5
19. 解：（1）取 AB 中点 Q ，连接 MQ, NQ
ABC BCD 120 ,现园林绿化师计划在区域外以 AD 为边增加景观区域
ADM ,当 AMD 45 时，景观区域面积的最大值为
.
三、解答题(本大题共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
（一）必考题：共 60 分.
17．(本小题满分 12 分）已知正项数列 an 1 是公差为 2的等差数列，且 24 是 a2 与 a3 的等
（Ⅱ）设点 P 到平面 MNA 的距离为 h，
∵ M 为 PB 的中点， \
SD PAM =
1 2
SD
PAB
=
1, 4
又 NQ AB ， NQ PA ，∴ NQ 面 PA B ，
∵ ABC 30 ∴ NQ
3
……………………………7 分
6
又 MN
NQ2 MQ2
河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学(理)试题
河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试理科数学（满分：150分，测试时间：120分钟）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．是虚数单位，41iz i=- 则||z =2 C 4 2．集合{}|2lg 1A x x =<，{}2|90B x x =-≤，则AB =[3,3]- ( C (]0,3 ⎡-⎣ 3．已知向量2a =，1b =，(2)2a a b -=，则a 与b 的夹角为o 30 o 60 C o 90 o 1504．如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是C5．已知圆222 (0)x y r r +=>与抛物线22y x =交于,A B 两点，与抛物线的准线交于,C D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则等于2C 6．函数1ln(1)y x x =-+的图象大致为C7．若1p >，01m n <<<，则下列不等式正确的是1pm n ⎛⎫> ⎪⎝⎭p m m p n n -<- C p p m n --< log log m n p p >8．已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为233+C929．函数()f x 的定义域为，且()(3)f x f x =-，当20x -≤<时，2()(1)f x x =+；当01x ≤<时，()21f x x =-+，则(1)(2)(3)(2018)f f f f ++++=671 673 C 1343 134510．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为C311．函数()sin f x x x ωω=(0)ω>与函数()y g x =的图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()()3g x f x π=-，则的最小值等于1 2 C 3 412．已知函数()(1)x f x e x =-，若关于的方程|()||()1|1f x a f x a -+--=有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是 223[1,1)e e---- 223[,)e e -- C 2[1,]e -- 2[0,]e第II 卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学(文)试题(解析版)
河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试第I卷（选择题）一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确答案填涂在答题卡上.)1.已知集合，，那么（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出N中x的范围确定出N，找出与N的交集即可．【详解】由N中y，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴N＝{x|x≤1}，∵M＝{x|﹣2≤x≤2}，∴∴＝{x|x<-2}，故选：C．【点睛】本题考查交集及补集运算，是基础题．2.设（其中为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算求解即可【详解】由题==故选：A.【点睛】本题考查复数的运算，是基础题.3.经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（）A. 30B. 40C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】根据条件的比例关系求解出老年人和青年人的人数即可.【详解】由题设老年人和青年人人数分别为x,y,由分层抽样得x:12:y=1:3:6,解得x=4,y=24, 则n=4+12+24=40故选：B.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件比例关系求解出老年人和青年人的人数是解决本题的关键．4.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解得方程表示焦点在轴上的双曲线的m的范围即可解答.【详解】表示焦点在轴上的双曲线⇔,解得1<m<5,故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，f(x)=，，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇函数得，代入f(x)=即可求解m.【详解】函数f(x)是定义在R上的奇函数,,则故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性，对数的运算，是基础题.6.已知等差数列中，，则数列的前2018项和为（）A. 1008B. 1009C. 2017D. 2018【答案】D【解析】【分析】,得数列的前2018项和分组求和即可.【详解】由题,解得,设数列的前2018项和为=2=2018故选：D.【点睛】本题考查求等差数列通项公式，数列求和，关键是,推得每两项的和为2，分组求和.7.已知点为圆上一点，,则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取AB中点D,，的最大值转化为圆心C到D的距离加半径再乘以2即可求解.【详解】取AB中点D(2,-3),,,d+r=的最大值为故选：C.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆上的点到圆外定点距离的最值，是中档题.8.已知函数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换可得f（x）＝2sin（x），依题意知2sin（）•2sin（）＝﹣4，利用sin（）＝1，且sin（）＝﹣1或sin（）＝1且sin（）＝﹣1．，于是可求|+|的最小值．【详解】∵f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x），又f（）•f（）＝﹣4，即2sin（）•2sin（）＝﹣4，∴2sin（）•sin（）＝﹣2，∴sin（）•sin（）＝﹣1，∴sin（）＝1，且sin（）＝﹣1或sin（）＝1且sin（）＝﹣1．∴，，或，，k∈Z．∴+＝（k∈Z），显然，当＝0时，|+|的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数性质的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．9.某几何体的三视图如图所示，若该几何体中最长的棱长为，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由题知三视图的直观图如图所示：由长方体截取三棱锥A-BCD所得，AB=AC=,BC==,∴ 几何体中最长的棱长为BC=∴该几何体的体积V==,故选：A.【点睛】本题考查三视图，三棱锥体积，是基础题.10.已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设椭圆的上顶点为A,问题转化为的面积大于解不等式即可.【详解】由题知a=2,b=设椭圆的右顶点为A(,0),的面积为,∴的面积的最大值时为><3, ∴, ∴故选：A.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，离心率范围，明确P在短轴端点处的面积最大是关键.11.在平面四边形中，AB=BC=2,AC=AD=2，现沿对角线AC折起,使得平面DAC平面ABC，则此时得到的三棱锥D-ABC外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平面DAC平面ABC，知的外心即为球心，求的外接圆半径即可解答.【详解】由题知为等腰直角三角形，设边中点为的外心为，连接，所以，又平面DAC平面ABC，∴∴O为外接球的球心，由余弦定理得∴2R==,R=所以三棱锥D-ABC外接球的表面积为=故选：B.【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，是基础题，确定球心位置是关键.12.已知函数,若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出f(x)的图像，令t=f（x）,讨论关于t的二次方程的情况，利用二次函数根的分布列出m 的不等式即可.【详解】画出f(x)的图像如图所示：令t=f（x）,则t的二次方程，设g(t)=当方程的根一个在（0，1），另一个在满足题意,解m∈当方程的根一个为t=1时，解得m=2 或-1，此时方程变为，或均不合题意舍去，综上m∈故选：D.【点睛】本题考查函数与方程的根，二次函数根的分布，综合性强，是难题，注意外层函数t的二次函数研究要细致.第II卷（非选择题）二、填空题(把正确答案填在答题卡上)13.已知向量，则向量在上的投影为_____.【答案】【解析】【分析】求出利用投影公式计算即可.【详解】，则向量在上的投影为故答案为【点睛】本题考查向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键.14.在平面直角坐标系中，若满足约束条件，则的最大值为____.【答案】【解析】【分析】画出可行域，化x+,平移即可求其最大值.【详解】由题画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示：化为x+直线l:过A时，z取得最大值，联立方程组,解得A(2,1)，此时z=故答案为8.【点睛】本题考查线性规划问题，是基础题.15.若过定点的直线与曲线相交不同两点,则直线的斜率的取值范是____.【答案】【解析】【分析】设直线l:y=kx-1,转化为有两个不同的根，分离，求导求最值即可.【详解】设直线l:y=kx-1,则kx-1=得令g(x)=lnx+,(x)=x>2,(x)>0, g(x)单调递增；0<x<2,(x)<0, g(x)单调递减，∴g(x)的最小值为g(2)=又k>故答案为【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，是基础题.16.在如图所示的四边形区域中，，，,现园林绿化师计划在区域外以为边增加景观区域,当时，景观区域面积的最大值为____.【答案】【解析】【分析】连接AC,得AD=在中，由余弦定理利用基本不等式，求得面积最大值即可.【详解】连接AC,知为等腰三角形，且,AC=在中，设，由余弦定理得，即，当且仅当取等，的最大值为absin.故答案为【点睛】本题考查余弦定理，基本不等式求最值，是中档题.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17.已知正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【详解】（1）∵数列是公差为的等差数列，∴∴又是与的等比中项，，∴解得舍掉）故数列的通项公式为，【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数，和裂项后剩余几项是易错点.18.进入月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前名同学中，推荐人参加自主招生考试，若已知名同学中有名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率.【答案】(1) 平均值为 (2)【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；（2）由列举法，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种，含有文科学生的有16种，求解即可.【详解】（1）依题意可知：，所以综合素质成绩的的平均值为.（2）设这名同学分别为其中设为文科生，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种，其中含有文科学生的有16种所以含文科生的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确.19.如图，在三棱锥中，面，∠BAC=，且=1，过点作平面，分别交于点.（1）若求证：为的中点；（2）在（1）的条件下，求点到平面的距离．【答案】(1)见证明(2)【解析】【分析】（1）取中点，连接,证明面，进而，；（2）利用等体积转化即可.【详解】（1）取中点，连接∵∴，∵面，∴，又为的中点，为的中点（2）设点到平面的距离为，∵为的中点，又，，∴，∵∴又，，AM=，可得边上的高为，∴由∴h=【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求是关键.20.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且,都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为,求证为定值.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）设动圆圆心坐标为C(x,y)，由题意得，能求出曲线方程；（2）设代入【详解】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C(x,y)，根据题意得，化简得（Ⅱ）设，,由题意知的斜率一定存在设，则，得所以，，，又=【点睛】本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，面积公式及定值问题，是综合题，要注意转化为以FQ为底比较简便.21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.【答案】（1）见解析（2）7【解析】【分析】（1）讨论和两种情况；（2）由成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.【详解】（1）此函数的定义域为，（1）当时，在上单调递增，（2）当时，单调递减，单调增综上所述：当时，在上单调递增当时，单调递减，单调递增.（2）由（Ⅰ）知恒成立，则只需恒成立，则，令则只需则单调递减，单调递增，即的最大整数为【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为是关键.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)写出直线L的参数方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，且弦的中点为求的值.【答案】(1) (2)2+2【解析】【分析】(1)利用直线参数方程公式，及极坐标与直角坐标互化即可求解；（2）将直线参数方程公式代入圆的普通方程，利用韦达定理及中点参数【详解】(1)直线的参数方程为：为参数），曲线的直角坐标方程为：（2）直线的参数方程代入得：【点睛】本题考查直线参数方程，极坐标与直角坐标互化，直线与圆的位置关系，是基础题，注意弦中点参数t=23.选修4-5：不等式选讲已知函数(1)解关于的不等式(2) 若, 的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：第一步根据解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找出不等式的解集，第二步写出关于的不等式，得到不等式等价于的解集非空，根据“极值原理”，只需大于的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到的取值范围.试题解析：（1）原不等式可化为：即：或由得或由得或综上原不等式的解为或（2）原不等式等价于的解集非空，令，即，由，所以，所以.【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式：，；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方法.。
2019年2月河北省五个一名校联盟高2019届高2016级高三下学期第一次诊断考试理科数学试题参考答案
P( X
1)
C31
2 5
3 5
2
54 125
P( X
2)
C32
2 2 5
3 5
36 125
P( X
3)
2 5
3
8 125
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
27
54
36
8
125 125 125 125
……………………………10 分
由 x2
9
y2 4
消去
1
y
得 (4 9k2)x2
18kx 27 0 ，
所以 x0
x1
x2 2
9k 4 9k 2
,
a3 22
+
an 2n1
2n1
3
a1
a2 2
a3 22
+
an1 2n2
2n
3
两式相减得
an 2n1
2n ，即 an
22n1 ………………………
4分
且上式对于 n 1 时也成立．所以数列 an 的通项公式 an 22n1 ．…… 6 分
(中学联盟)河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试(数学理)-精品
1 AB 1 ，且 EC 2 ， 2
2 n 1
．…… 6 分
2n 1 ，…………………………………………8 分 2
1 4 1 1 2( ) …………………10 分 bn bn 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1
所以 Tn
1 1 1 b1 b2 b2 b3 bn bn 1 1 1 1 1 1 2[(1 ) ( ) ( )] 3 3 5 2n 1 2n 1
河北省“五个一名校联盟”2019 届高三第一次诊断考试 数学（理科）试题
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1． i 是虚数单位， z 2019.2
（满分：150 分，测试时间：120 分钟）
4i 则 | z | 1 i B 2 2
5．已知圆 x 2 y 2 r 2 (r 0) 与抛物线 y 2 2 x 交于 A, B 两点，与抛物线的准线交于 C, D 两 点，若四边形 ABCD 是矩形，则 r 等于
A
2 2
B
2
C
5 2
D 5
6．函数 y
1 的图象大致为 x ln( x 1)
A
B
C
D
7．若 p 1 ， 0 m n 1 ，则下列不等式正确的是
21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x )=x 2 ax 2 ln x （ a 为常数） （Ⅰ）若 f ( x ) 是定义域上的单调函数，求 a 的取值范围； （Ⅱ）若 f ( x ) 存在两个极值点 x1 , x2 ，且 |x1 x2 |
河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学(文)试题(详细答案)
河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试第I卷（选择题）一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确答案填涂在答题卡上.)1.已知集合，，那么（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出N中x的范围确定出N，找出与N的交集即可．【详解】由N中y，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴N＝{x|x≤1}，∵M＝{x|﹣2≤x≤2}，∴∴＝{x|x<-2}，故选：C．【点睛】本题考查交集及补集运算，是基础题．2.设（其中为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算求解即可【详解】由题==故选：A.【点睛】本题考查复数的运算，是基础题.3.经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（）A. 30B. 40C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】根据条件的比例关系求解出老年人和青年人的人数即可.【详解】由题设老年人和青年人人数分别为x,y,由分层抽样得x:12:y=1:3:6,解得x=4,y=24, 则n=4+12+24=40故选：B.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件比例关系求解出老年人和青年人的人数是解决本题的关键．4.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解得方程表示焦点在轴上的双曲线的m的范围即可解答.【详解】表示焦点在轴上的双曲线⇔,解得1<m<5,故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，f(x)=，，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇函数得，代入f(x)=即可求解m.【详解】函数f(x)是定义在R上的奇函数,,则故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性，对数的运算，是基础题.6.已知等差数列中，，则数列的前2018项和为（）A. 1008B. 1009C. 2017D. 2018【答案】D【解析】【分析】,得数列的前2018项和分组求和即可.【详解】由题,解得,设数列的前2018项和为=2=2018故选：D.【点睛】本题考查求等差数列通项公式，数列求和，关键是,推得每两项的和为2，分组求和.7.已知点为圆上一点，,则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取AB中点D,，的最大值转化为圆心C到D的距离加半径再乘以2即可求解. 【详解】取AB中点D(2,-3),,,d+r=的最大值为故选：C.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆上的点到圆外定点距离的最值，是中档题.8.已知函数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换可得f（x）＝2sin（x），依题意知2sin（）•2sin（）＝﹣4，利用sin（）＝1，且sin（）＝﹣1或sin（）＝1且sin（）＝﹣1．，于是可求|+|的最小值．【详解】∵f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x），又f（）•f（）＝﹣4，即2sin（）•2sin（）＝﹣4，∴2sin（）•sin（）＝﹣2，∴sin（）•sin（）＝﹣1，∴sin（）＝1，且sin（）＝﹣1或sin（）＝1且sin（）＝﹣1．∴，，或，，k∈Z．∴+＝（k∈Z），显然，当＝0时，|+|的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数性质的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．9.某几何体的三视图如图所示，若该几何体中最长的棱长为，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由题知三视图的直观图如图所示：由长方体截取三棱锥A-BCD所得，AB=AC=,BC==,∴ 几何体中最长的棱长为BC=∴该几何体的体积V==,故选：A.【点睛】本题考查三视图，三棱锥体积，是基础题.10.已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设椭圆的上顶点为A,问题转化为的面积大于解不等式即可.【详解】由题知a=2,b=设椭圆的右顶点为A(,0),的面积为,∴的面积的最大值时为><3, ∴, ∴故选：A.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，离心率范围，明确P在短轴端点处的面积最大是关键.11.在平面四边形中，AB=BC=2,AC=AD=2，现沿对角线AC折起,使得平面DAC平面ABC，则此时得到的三棱锥D-ABC外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平面DAC平面ABC，知的外心即为球心，求的外接圆半径即可解答.【详解】由题知为等腰直角三角形，设边中点为的外心为，连接，所以，又平面DAC平面ABC，∴∴O为外接球的球心，由余弦定理得∴2R==,R=所以三棱锥D-ABC外接球的表面积为=故选：B.【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，是基础题，确定球心位置是关键.12.已知函数,若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出f(x)的图像，令t=f（x）,讨论关于t的二次方程的情况，利用二次函数根的分布列出m的不等式即可.【详解】画出f(x)的图像如图所示：令t=f（x）,则t的二次方程，设g(t)=当方程的根一个在（0，1），另一个在满足题意,解m∈当方程的根一个为t=1时，解得m=2 或-1，此时方程变为，或均不合题意舍去，综上m∈故选：D.【点睛】本题考查函数与方程的根，二次函数根的分布，综合性强，是难题，注意外层函数t的二次函数研究要细致.第II卷（非选择题）二、填空题(把正确答案填在答题卡上)13.已知向量，则向量在上的投影为_____.【答案】【解析】【分析】求出利用投影公式计算即可.【详解】，则向量在上的投影为故答案为【点睛】本题考查向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键.14.在平面直角坐标系中，若满足约束条件，则的最大值为____.【答案】【解析】【分析】画出可行域，化x+,平移即可求其最大值.【详解】由题画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示：化为x+直线l:过A时，z取得最大值，联立方程组,解得A(2,1)，此时z=故答案为8.【点睛】本题考查线性规划问题，是基础题.15.若过定点的直线与曲线相交不同两点,则直线的斜率的取值范是____.【答案】【解析】【分析】设直线l:y=kx-1,转化为有两个不同的根，分离，求导求最值即可.【详解】设直线l:y=kx-1,则kx-1=得令g(x)=lnx+,(x)=x>2,(x)>0, g(x)单调递增；0<x<2,(x)<0, g(x)单调递减，∴g(x)的最小值为g(2)=又k>故答案为【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，是基础题.16.在如图所示的四边形区域中，，，,现园林绿化师计划在区域外以为边增加景观区域,当时，景观区域面积的最大值为____.【答案】【解析】【分析】连接AC,得AD=在中，由余弦定理利用基本不等式，求得面积最大值即可.【详解】连接AC,知为等腰三角形，且,AC=在中，设，由余弦定理得，即，当且仅当取等，的最大值为absin.故答案为【点睛】本题考查余弦定理，基本不等式求最值，是中档题.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17.已知正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【详解】（1）∵数列是公差为的等差数列，∴∴又是与的等比中项，，∴解得舍掉）故数列的通项公式为，【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数，和裂项后剩余几项是易错点.18.进入月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前名同学中，推荐人参加自主招生考试，若已知名同学中有名理科生，2名文科生，试求这3人中含文科生的概率.【答案】(1) 平均值为 (2)【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；（2）由列举法，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种，含有文科学生的有16种，求解即可.【详解】（1）依题意可知：，所以综合素质成绩的的平均值为.（2）设这名同学分别为其中设为文科生，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种，其中含有文科学生的有16种所以含文科生的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确.19.如图，在三棱锥中，面，∠BAC=，且=1，过点作平面，分别交于点.（1）若求证：为的中点；（2）在（1）的条件下，求点到平面的距离．【答案】(1)见证明(2)【解析】【分析】（1）取中点，连接,证明面，进而，；（2）利用等体积转化即可.【详解】（1）取中点，连接∵∴，∵面，∴，又为的中点，为的中点（2）设点到平面的距离为，∵为的中点，又，，∴，∵∴又，，AM=，可得边上的高为，∴由∴h=【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求是关键. 20.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且,都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为,求证为定值.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）设动圆圆心坐标为C(x,y)，由题意得，能求出曲线方程；（2）设代入【详解】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C(x,y)，根据题意得，化简得（Ⅱ）设，,由题意知的斜率一定存在设，则，得所以，，，又=【点睛】本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，面积公式及定值问题，是综合题，要注意转化为以FQ为底比较简便.21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.【答案】（1）见解析（2）7【解析】【分析】（1）讨论和两种情况；（2）由成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.【详解】（1）此函数的定义域为，（1）当时，在上单调递增，（2）当时，单调递减，单调增综上所述：当时，在上单调递增当时，单调递减，单调递增.（2）由（Ⅰ）知恒成立，则只需恒成立，则，令则只需则单调递减，单调递增，即的最大整数为【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为是关键.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)写出直线L的参数方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，且弦的中点为求的值.【答案】(1) (2)2+2【解析】【分析】(1)利用直线参数方程公式，及极坐标与直角坐标互化即可求解；（2）将直线参数方程公式代入圆的普通方程，利用韦达定理及中点参数【详解】(1)直线的参数方程为：为参数），曲线的直角坐标方程为：（2）直线的参数方程代入得：【点睛】本题考查直线参数方程，极坐标与直角坐标互化，直线与圆的位置关系，是基础题，注意弦中点参数t=23.选修4-5：不等式选讲已知函数(1)解关于的不等式(2) 若, 的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：第一步根据解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找出不等式的解集，第二步写出关于的不等式，得到不等式等价于的解集非空，根据“极值原理”，只需大于的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到的取值范围. 试题解析：（1）原不等式可化为：即：或由得或由得或综上原不等式的解为或（2）原不等式等价于的解集非空，令，即，由，所以，所以.【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式：，；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方法.。
河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学(文)试题(含精品解析)
河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试第I卷（选择题）一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确答案填涂在答题卡上.)1.已知集合，，那么（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出N中x的范围确定出N，找出与N的交集即可．【详解】由N中y，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴N＝{x|x≤1}，∵M＝{x|﹣2≤x≤2}，∴∴＝{x|x<-2}，故选：C．【点睛】本题考查交集及补集运算，是基础题．2.设（其中为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算求解即可【详解】由题==故选：A.【点睛】本题考查复数的运算，是基础题.3.经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（）A. 30B. 40C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】根据条件的比例关系求解出老年人和青年人的人数即可.【详解】由题设老年人和青年人人数分别为x,y,由分层抽样得x:12:y=1:3:6,解得x=4,y=24, 则n=4+12+24=40故选：B.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件比例关系求解出老年人和青年人的人数是解决本题的关键．4.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解得方程表示焦点在轴上的双曲线的m的范围即可解答.【详解】表示焦点在轴上的双曲线⇔,解得1<m<5,故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，f(x)=，，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇函数得，代入f(x)=【详解】函数f(x)是定义在R上的奇函数,,则故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性，对数的运算，是基础题.6.已知等差数列中，，则数列的前2018项和为（）A. 1008B. 1009C. 2017D. 2018【答案】D【解析】【分析】,得数列的前2018项和分组求和即可.【详解】由题,解得,设数列的前2018项和为=2=2018故选：D.【点睛】本题考查求等差数列通项公式，数列求和，关键是,推得7.已知点为圆上一点，,则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取AB中点D,，的最大值转化为圆心C到D的距离加半径再乘以2即可求解..【详解】取AB中点D(2,-3),,,d+r=的最大值为故选：C.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆上的点到圆外定点距离的最值，是中档题.8.已知函数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换可得f（x）＝2sin（x），依题意知2sin（）•2sin（）＝﹣4，利用sin（）＝1，且sin（）＝﹣1或sin（）＝1且sin（）＝﹣1．，于是可求|+|的最小值．【详解】∵f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x），又f（）•f（）＝﹣4，即2sin（）•2sin（）＝﹣4，∴2sin（）•sin（）＝﹣2，∴sin（）•sin（）＝﹣1，∴sin（）＝1，且sin（）＝﹣1或sin（）＝1且sin（）＝﹣1．∴2kπ，2kπ，或2kπ，2kπ，k∈Z．∴+＝2kπ（k∈Z），显然，当k＝0时，|+|的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数性质的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．9.某几何体的三视图如图所示，若该几何体中最长的棱长为，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由题知三视图的直观图如图所示：由长方体截取三棱锥A-BCD所得，AB=AC=,BC==,∴ 几何体中最长的棱长为BC=∴该几何体的体积V==,故选：A.【点睛】本题考查三视图，三棱锥体积，是基础题.10.已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设椭圆的上顶点为A,问题转化为的面积大于【详解】由题知a=2,b=设椭圆的右顶点为A(,0),的面积为,∴的面积的最大值时为><3, ∴, ∴故选：A.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，离心率范围，明确P在短轴端点处的面积最大是关键.11.在平面四边形中，AB=BC=2,AC=AD=2，现沿对角线AC折起,使得平面DAC平面ABC，则此时得到的三棱锥D-ABC外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平面DAC平面ABC，知【详解】由题知又平面DAC平面ABC，∴∴O为外接球的球心，由余弦定理得∴2R==,R=所以三棱锥D-ABC外接球的表面积为=故选：B.【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，是基础题，确定球心位置是关键.12.已知函数,若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出f(x)的图像，令t=f（x）,讨论关于t的二次方程的情况，利用二次函数根的分布列出m 的不等式即可.【详解】画出f(x)的图像如图所示：令t=f（x）,则t的二次方程，设g(t)=当方程的根一个在（0，1），另一个在满足题意,解m∈当方程的根一个为t=1时，解得m=2 或-1，此时方程变为，或均不合题意舍去，综上m∈故选：D.【点睛】本题考查函数与方程的根，二次函数根的分布，综合性强，是难题，注意外层函数t的二次函数研究要细致.第II卷（非选择题）二、填空题(把正确答案填在答题卡上)13.已知向量，则向量在上的投影为_____.【答案】【解析】【分析】求出【详解】，则向量在上的投影为故答案为【点睛】本题考查向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键.14.在平面直角坐标系中，若满足约束条件，则的最大值为____.【答案】【解析】【分析】画出可行域，化x+,平移即可求其最大值.【详解】由题画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示：化为x+直线l:过A时，z取得最大值，联立方程组,解得A(2,1)，此时z=故答案为8.【点睛】本题考查线性规划问题，是基础题.15.若过定点的直线与曲线相交不同两点,则直线的斜率的取值范是____.【答案】【解析】【分析】设直线l:y=kx-1,求导求最值即可.【详解】设直线l:y=kx-1,则kx-1=,令g(x)=lnx+,(x)=x>2,(x)>0, g(x)单调递增；0<x<2,(x)<0, g(x)单调递减，∴g(x)的最小值为g(2)=又k>故答案为【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，是基础题.16.在如图所示的四边形区域中，，，,现园林绿化师计划在区域外以为边增加景观区域,当时，景观区域面积的最大值为____.【答案】【解析】【分析】连接AC,得AD=【详解】连接AC,知为等腰三角形，且,AC=ab,即absin故答案为【点睛】本题考查余弦定理，基本不等式求最值，是中档题.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17.已知正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【详解】（1）∵数列是公差为的等差数列，∴∴又是与的等比中项，，∴解得舍掉）故数列的通项公式为，【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数18.进入月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前名同学中，推荐人参加自主招生考试，若已知名同学中有名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率.【答案】(1) 平均值为 (2)【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；（2）由列举法，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种，含有文科学生的有16种，求解即可.【详解】（1）依题意可知：，所以综合素质成绩的的平均值为.（2）设这名同学分别为其中设为文科生，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种，其中含有文科学生的有16种所以含文科生的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确.19.如图，在三棱锥中，面，∠BAC=，且=1，过点作平面，分别交于点.（1）若求证：为的中点；（2）在（1）的条件下，求点到平面的距离．【答案】(1)见证明(2)【解析】【分析】（1）取中点，连接,证明面，进而，；（2）利用等体积转化即可.【详解】（1）取中点，连接∵∴，∵面，∴，又为的中点，为的中点（2）设点到平面的距离为，∵为的中点，又，，∴，∵∴又，，AM=，可得边上的高为，∴由∴h=【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求是关键.20.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且,都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为,求证为定值.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）设动圆圆心坐标为C(x,y)，由题意得，能求出曲线方程；（2）设代入【详解】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C(x,y)，根据题意得，化简得（Ⅱ）设，,由题意知的斜率一定存在设，则，得所以，，，又=【点睛】本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，面积公式及定值问题，是综合题，要注意21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.【答案】（1）见解析（2）7【解析】【分析】（1）（2）由成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.【详解】（1）此函数的定义域为，（1）当时，在上单调递增，（2）当时，单调递减，单调增综上所述：当时，在上单调递增当时，单调递减，单调递增.（2）由（Ⅰ）知恒成立，则只需恒成立，则，令则只需则单调递减，单调递增，即的最大整数为【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为是关键.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)写出直线L的参数方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，且弦的中点为求的值.【答案】(1) (2)2+2【解析】【分析】(1)利用直线参数方程公式，及极坐标与直角坐标互化即可求解；（2）将直线参数方程公式代入圆的普通方程，利用韦达定理及中点参数【详解】(1)直线的参数方程为：为参数），曲线的直角坐标方程为：（2）直线的参数方程代入得：【点睛】本题考查直线参数方程，极坐标与直角坐标互化，直线与圆的位置关系，是基础题，注意弦中点参数t=23.选修4-5：不等式选讲已知函数(1)解关于的不等式(2) 若, 的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：第一步根据解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找出不等式的解集，第二步写出关于的不等式，得到不等式等价于的解集非空，根据“极值原理”，只需大于的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到的取值范围.试题解析：（1）原不等式可化为：即：或由得或由得或综上原不等式的解为或（2）原不等式等价于的解集非空，令，即，由，所以，所以.【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式：，；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方法.。
河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试理科综合试题 含答案
（2）控制果蝇眼色（红眼对白眼为显性）的基因（A/a）位于X染色体上。现有各种性状的雌雄果蝇若干只，请设计实验探究该缺刻翅红眼雌果蝇（不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ白眼基因）的缺失片段中有无控制眼色的基因。
实验思路：
将这只缺刻翅红眼雌果蝇与_____翅____眼雄果蝇进行杂交，统计后代雌果蝇的眼色。
预测结果及结论：
①如果后代雌果蝇________________________，则缺失片段中没有控制眼色的基因。
A． “低温诱导植物染色体数目的变化”和“检测生物组织中脂肪”实验中都用酒精来清洗染色剂
B． “观察根尖分生组织细胞的有丝分裂”和“观察DNA、RNA在细胞中的分布”实验中盐酸的作用相同
C．“观察根尖分生组织细胞的有丝分裂”和“观察洋葱鳞片叶外表皮细胞质壁分离及复原”实验都要用高倍显微镜观察
D．斐林试剂和吡罗红甲基绿染色剂都需要现配现用
（3）已知其中一种植物叶肉细胞中有“CO2泵”，使其能在较低的CO2浓度下进行光合作用，则该植物最可能是植物（填“A”或“B”）
（4）若图中Q点时植物A和植物B向外界释放O2的速率不同，说明。
30、（9分）现代医学研究发现，健康人体内5-羟色胺在大脑皮层神经突触中的含量比较高，缺乏该物质会使人情绪低落、紧张易怒，而易患抑郁症。请回答下列问题：
B．种内斗争导致0～10 h酵母细胞数量增长缓慢
C．调查酵母细胞种群密度时，应用抽样检测法
D.70 h后，该体系中酵母细胞活菌数将一直维持稳定
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河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试理科数学第I卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，则( )A. 2B.C. 4D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求出的代数形式，然后再求出．【详解】由题意得，∴．故选B．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，解题的关键是正确进行复数的运算，属于简单题．2.集合，，则 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过解不等式分别得到集合，然后再求出即可．【详解】由题意得，，∴．故选C．【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集，需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制，这是容易出现错误的地方，属于基础题．3.已知向量，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意先求出向量与的数量积，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，进而得到夹角的大小．【详解】∵，∴．设与的夹角为θ，则，又，∴，即与的夹角为．【点睛】向量的数量积为求解夹角问题、垂直问题及长度问题提供了工具，在求夹角时首先要求出两向量的数量积，进而得到夹角的余弦值，容易忽视的问题是忘记夹角的范围，属于基础题．4.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出封闭图形和等边三角形的面积，然后根据几何概型求解即可得到结果．【详解】设等边三角形的边长为，则每个扇形的面积为，，所以封闭图形的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为．故选C．【点睛】本题考查面积型的几何概型的求法，解题的关键是得到封闭图形的面积和三角形的面积，求解时注意转化思想方法的运用，考查理解、转化和计算能力，属于基础题．5.已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图形，由四边形是矩形可得点的纵坐标相等．根据题意求出点的纵坐标后得到关于方程，解方程可得所求．【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为．画出图形如图所示．在中，当时，则有．①由得，代入消去整理得．②结合题意可得点的纵坐标相等，故①②中的相等，由①②两式消去得，整理得，解得或（舍去），∴．故选C．【点睛】解答本题的关键是画出图形并根据图形得到与x轴平行，进而得到两点的纵坐标相等．另外，将几何问题转化代数问题求解也是解答本题的另一个关键．考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题的能力，属于中档题．6.函数的图象大致为 ( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】函数的定义域为，令，通过对函数的单调性的讨论，可得函数的单调性及函数值的符号，进而得到图象的大致形状．【详解】由且，可得或，∴函数的定义域为．令，则．①当时，单调递减，∴，∴单调递增，且．②当时，单调递增，∴，∴单调递减，且．综上可得选项A中的图象符合题意．故选A．【点睛】根据函数的解析式判断函数图象的大体形状时，一般先求出函数的定义域，然后再根据函数的单调性、奇偶性（对称性）、周期性、最值或函数值的变化趋势进行分析、排除，有时还需要通过特殊值进行判断排除，此类问题考查识图能力和分析判断能力．7.若，，则下列不等式正确的是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意对给出的每个选项分别进行分析判断后可得正确的结论．【详解】对于选项A，由可得，又，所以，故A不正确；对于选项B，由于，所以等价于，可得，不合题意，故B不正确；对于选项C，由于函数在上为减函数，且，所以，故C不正确；对于选项D，结合对数函数的图象可得当，时，，故D正确．故选D．【点睛】根据条件判断不等式是否成立时，常用的方法有两种：一是根据不等式的性质直接进行判断；二是通过构造适合题意的函数，利用函数的单调性、图象进行分析判断，解题的关键是根据题意选择适当的方法进行求解，考查运用知识解决问题的能力和分析判断能力，属于中档题．8.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到几何体的直观图，然后再根据题中的数据求出几何体的表面积即可．【详解】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体截去三棱锥和三棱锥后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形，所以其表面积为．故选B．【点睛】在由三视图还原空间几何体时，一般以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．求解几何体的表面积或体积时要结合题中的数据及几何体的形状进行求解，解题时注意分割等方法的运用，转化为规则的几何体的表面积或体积求解．9.函数的定义域为，且，当时，；当时，，则( )A. 671B. 673C. 1343D. 1345【答案】D【解析】【分析】由可得函数是周期为3的周期函数，然后再根据周期性求出函数值即可．【详解】∵，∴，∴函数是周期为3的周期函数．又当时，；当时，，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查函数值的求法，解题的关键是根据题意得到函数的周期性，然后将问题转化为求给定区间上的函数值的问题求解，考查分析判断和计算能力，属于基础题．10.如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．【详解】如图，设三棱柱为，且，高．所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，则圆的半径为．设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，所以，即球的半径为，所以球的体积为．故选A．【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．（2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率．11.函数与函数的图像关于点对称，且，则的最小值等于 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意得，由函数的图象与函数的图象关于点对称得，又，则得到，然后根据诱导公式并化简得到，进而可得所求的最小值．【详解】由题意得，∵函数的图象与函数的图象关于点对称，∴，又，∴，即，∴，结合与的特征可得，∴．又，∴当时，取得最小值4．故选D．【点睛】本题考查三角函数图象的对称性和三角变换的应用，解题时根据三角函数值相等得到角间的关系，并进而得到间的关系是关键，考查变换能力和应用知识解决问题的能力，属于中档题．12.已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】考虑与和的关系，去掉绝对值号后可得，然后再通过导数研究函数的图象，结合图象可得所求结果．【详解】方程等价于或或，即或或，所以．∵，∴，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴当时，取得最小值，且．画出函数的图象，如下图所示．于是可得，当时，恒成立．由图象可得，要使方程有且仅有两个不同的整数解，只需，即，解得，∴实数的取值范围是．故选A．【点睛】本题难度较大，综合考查导数的应用及绝对值的问题，解题的关键是将绝对值符号去掉，将方程转化为函数的问题，然后再结合函数的图象求解，解题时注意数形结合思想方法的灵活运用．第II卷二、填空题。
13.若x，y满足，则的最小值为____【答案】2【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，将变形为，移动直线并结合图形得到最优解，进而得到所求的最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由可得．平移直线，由图形得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．由解得，所以点A的坐标为．所以．故答案为2．【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．14.在的展开式中常数项等于___【答案】9【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项．【详解】二项式的展开式的通项为，∴中的常数项为．故答案为9．【点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况．15.已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且到直线，的距离相等，则 ___【答案】4【解析】【分析】画出图形，根据到直线，的距离相等得到为的平分线，然后根据角平分线的性质得到，再根据双曲线的定义可求得．【详解】由题意得，点A在双曲线的右支上，又点的坐标为，∴．画出图形如图所示，，垂足分别为，由题意得，∴为的平分线，∴，即．又，∴．故答案为4．【点睛】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．16.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且，则面积的最大值是___【答案】【解析】【分析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．【详解】如图，设，则,在和中，分别由余弦定理可得，两式相加，整理得，∴．①由及正弦定理得，整理得，②由余弦定理的推论可得，所以．把①代入②整理得，又，当且仅当时等号成立，所以，故得．所以．即面积的最大值是．故答案为．【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知数列满足，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
【解析】【分析】（Ⅰ）由可得，两式相减得到，最后验证满足上式，进而得到通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，于是，故利用裂项相消法可求出．【详解】（Ⅰ）∵∴，两式相减得，∴．又当时，满足上式，∴．∴数列的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴∴．【点睛】（1）求数列的通项公式时要根据条件选择合适的方法，如本题属于已知数列的和求通项的问题，故在求解时利用仿写、作差的方法求解，容易忽视的地方是忘记对时的情况的验证．（2）裂项相消法求和适用于数列的通项公式为分式形式的数列，裂项相消后得到的结果具有对称性，即相消后前面剩几项，后面就剩几项；前面剩第几项，后面就剩第几项．18.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N（60,169）．（Ⅰ）求物理原始成绩在区间（47,86）的人数；（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望.（附：若随机变量，则，，）【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析。