高中数学第二章概率5第2课时离散型随机变量的方差学案北师大版选修
高中数学第二章概率253离散型随机变量的方差课件北师大版选修2
第20页
◎思考题 2 已知 X 是一个随机变量，随机变量 X＋5 的分
布列如下：
X＋5 －2 －1 0
1
2
P
0.2 0.1 0.1 0.4 0.2
第29页
n
【思路】 解答本题可先利用分布列的性质 p i＝1求出a的
i＝1
值，然后写出相应的分布列并计算出相应期望与方差，最后结 合甲、乙两人射中环数的期望与方差分析两人的射击技术的好 坏．
第30页
【解析】 (1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1 解得 a＝0.1.
∵乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2，
第17页
题型二 方差的性质 例2 已知随机变量ξ的分布列为
ξ1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 另一随机变量η＝2ξ－3，求E(η)，D(η)．
第18页
【解析】 E(η)＝2E(ξ)－3＝2×(1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋ 4×0.2＋5×0.1)－3＝2×3－3＝3，
n
偏离程度，而 D(X)＝ (xi－E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平
i＝1
均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度．我们称 D(X)为随机变量 X 的方差，其算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差．
第5页
3．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离 于均值的平均程度，方差(或标准差)越小，则随机变量偏离于均 值的平均程度越小．
样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度， 用它可以刻画样本数据的稳定性．
高中数学 第二章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差学案 北师大版选修23
§5 离散型随机变量的均值与方差1．离散型随机变量的均值(数学期望)设随机变量X 的可能取值为a 1，a 2，…，a r ，取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…，r )，即X 的分布列为P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…，r )．X 的均值为：a 1P (X ＝a 1)＋a 2P (X ＝a 2)＋…＋a r P (X ＝a r )＝a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r ，即随机变量X 的取值a i 乘上取值为a i 的概率P (X ＝a i )再求和．X 的均值也称作X 的数学期望(简称期望)，它是一个数，记为EX ，即EX ＝a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r .均值EX 刻画的是X 取值的“中心位置”．两点分布的均值为p ，二项分布的均值为p (1－p )． 预习交流1离散型随机变量的均值一定是在试验中出现概率最大的值吗？ 提示：不一定，如，EX ＝0.5 2．离散型随机变量的方差一般地，设X 是一个离散型随机变量，我们用E (X －EX )2来衡量X与EX的平均偏离程度，E (X －EX )2是(X －EX )2的期望，并称之为随机变量X 的方差，记为DX .方差越小，则随机变量的取值就越集中在均值周围，反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散，两点分布的方差为p (1－p )，二项分布的方差为npq .预习交流2随机变量的方差与样本方差有何联系和区别？提示：随机变量的方差是常数，样本方差是随机变量，对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越接近于总体方差．一、离散型随机变量的均值(数学期望)某运动员投篮命中率为0.6.(1)求一次投篮时命中次数X 的期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的期望．思路分析：(1)X 只能取0,1这两个值，列出分布列再求期望；(2)Y ～B (5,0.6)利用公式进行求解．解：(1)投篮一次，命中次数，则EX ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)，则EY ＝np ＝5×0.6＝3.在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的配方方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．(1)写出X的分布列；(2)求X的数学期望EX.(2)由EX的定义得：EX＝(1＋2＋8＋9)×15＋(3＋4＋6＋7)×15＋5×5＝5.求离散型随机变量的均值(数学期望)一般分为两个步骤：(1)列出离散型随机变量的分布列；(2)利用公式求出均值(数学期望)．二、离散型随机变量的方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下：思路分析：对这两名工人的技术水平进行比较：一是比较两名工人在加工零件数相等的条件下生产出次品数的平均值，即期望；二是看次品数的波动情况，即方差的大小．解：工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：EX＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，DX＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81；工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：EY＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，DY＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.易得，EX＝EY，所以两人生产出次品数的均值相同，技术水平相当，但DX＞DY，可见乙的技术比较稳定．已知X(1)求DX；(2)设Y ＝2X －EX ，求DY .解：(1)∵EX ＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴DX ＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.(2)∵Y ＝2X －EX∴EY ＝－16×13＋4×5＋24×15＋84×15＋104×15＝16，∴DY ＝(－16－16)2×13＋(4－16)2×25＋(24－16)2×115＋(84－16)2×215＋(104－16)2×115＝1 536.已知分布列求离散型随机变量的方差时，首先计算数学期望，然后代入方差公式DX ＝E (X －EX )2求方差，在实际问题中方差反映了数据的稳定与波动情况，在均值相等或相差不大的情况下，方差越小，说明数据越稳定，波动情况越小．1．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝14(k ＝1,2,3,4)，则EX ＝( )．A ．52B ．3.5C ．0.25D ．2 答案：A解析：EX ＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52.2．一批产品中次品率为13，现在连续抽查4次，用X 表示次品数，则DX ＝( )．A ．43B ．83C ．89D ．19 答案：C解析：∵X ～B (4，13)，∴DX ＝np (1－p )＝4×13×23＝89.3．设随机变量X ～B (n ，p )，且EX ＝1.6，DX ＝1.28，则( )．A ．n ＝4，p ＝0.4B ．n ＝8，p ＝0.2C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45 答案：B解析：∵X ～B (n ，p )，∴EX ＝np ，DX ＝np (1－p )．∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝1.6，np (1－p )＝1.28，解得n ＝8，p ＝0.2.4．若随机变量X若EX ＝1.1，则DX ＝答案：0.49解析：由15＋p ＋310＝1，得p ＝12.∴EX ＝0×15＋1×12＋x ×310＝1.1，解得x ＝2.∴DX ＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.5．海关大楼顶端镶有A ，B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1，X 2(单位：s)，其分布列为：解：∵EX 1＝0，EX 2＝0，∴EX 1＝EX 2.又∵DX 1＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋02×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，DX 2＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋02×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，∴DX 1＜DX 2.∴大钟A 的质量较好．。
高中数学第二章概率5离散型随机变量的均值与方差2教案北师大版选修2
5 离散型随机变量的均值与方差一、教学目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )= a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题三、教学方法：讨论交流，探析归纳四、内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差五、教学过程：（一）、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5. 分布列:6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．08.几何分布： g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE+11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(；13.若ξB （n,p ），则E ξ=np （二）、探析新课：2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛（三）、例题探析：例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=; 2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=≈.例2、有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1= 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 ) 2×0.l= 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．（四）、课堂练习：1、设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p2、已知随机变量ξ服从二项分布即ξ~B(6、31)求b (2；6，31) 3、已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和 η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况。
高中数学第二章概率25离散型随机变量的均值与方差课件北师大版选修23
[解] (1)ξ 的可能取值为 0,5,10,15,20,25,30. P(ξ＝0)＝P(X＝0)＝C06(12)0(12)6－0＝614， P(ξ＝5)＝P(X＝1)＝C16(12)6＝332， P(ξ＝10)＝P(X＝2)＝C26(12)6＝1654， P(ξ＝15)＝P(X＝3)＝C36(12)6＝156， P(ξ＝20)＝P(X＝4)＝C46(12)6＝1654， P(ξ＝25)＝P(X＝5)＝C56(12)6＝332，
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A， B，C，则 P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3，
所以 P(ξ＝0)＝(1－0.3)3＝0.343， P(ξ＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441， P(ξ＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189， P(ξ＝3)＝0.33＝0.027. 于是，Eξ＝1×0.441＋2×0.189＋3×0.027＝0.9.
2．均值与方差的性质 (1)E(C)＝C(C 为常数)． (2)E(aX＋b)＝aEX＋b. (3)D(C)＝0(C 为常数)． (4)D(aX＋b)＝a2DX.
3．几种特殊类型的随机变量的均值与方差 (1)超几何分布：设 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布， 即 P(X＝k)＝CkMCCnNNn－－kM(k＝0,1,2，…，l，l＝min{M，n})，则 EX ＝nNM，DX＝nMNN－2NM－1N－n(此公式只需了解，不要求记忆)． (2)二项分布：设 X～B(n，p)，即 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， 则 EX＝np，DX＝np(1－p)．
提示：不一定，如
，EX＝0.5，在试验中不
能出现，均值刻画的是 X 取值的“中心位置”．
知识点二 离散型随机变量的方差
高中数学第二章概率5离散型随机变量的均值与方差导学案北师大版选修2_3113035
§ 离散型随机变量的均值与方差自主整理.设随机变量的可能取值为,…,取的概率为(,…),即的分布为()(,…).则定义的均值为，即随机变量的取值乘上取值的概率（）再求和.的均值也称作的数学期望(简称期望),它是一个数,记为,即.均值刻画的是取值的“”，均值能够反映随机变量取值的“”，这是随机变量的一个重要特征..一般地,设是一个离散型随机变量,我们用来衡量与的平均偏离程度()是的期望,并称之为随机变量的方差,记为.方差越小,则随机变量的取值就越在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越.高手笔记.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.是一个实数,由的分布列唯一确定.即作为随机变量是可变的,可取不同值,而是不变的,它描述取值的平均状态.…直接给出了的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后再相加..∵(),∴随机变量的线性函数的期望等于随机变量的期望的线性函数.此式可有如下几种特殊形式:当时()，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积. 当时(),此式表明随机变量与常量和的期望,等于随机变量的期望与这个常量的和.当时(),此式表明常量的期望等于这个常量.表示随机变量对的平均偏离程度越大表明平均偏离程度越大,说明的取值越分散;反之越小的取值越集中在附近.统计中常用来描述的分散程度(称为标准差).与一样也是一个实数,由的分布列唯一确定..要注意()，而易错记为();().名师解惑.期望和方差有哪些性质?剖析：()期望的性质:()(为常数),().()方差的性质:()(为常数),().()期望与方差的联系:()..几个常用离散型随机变量的期望与方差的求解公式是什么？剖析：（）两点分布：设服从两点分布则.（）超几何分布：设服从参数为，的超几何分布，即()(,…｛｝).则（此公式只作为了解，不要求记忆）.（）二项分布：设服从二项分布（）,即()(, …),则，.讲练互动【例】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:甲保护区:乙保护区:试评价这两个保护区的管理水平.分析：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小,但有时仅知道均值大小还是不够的,比如:两个随机变量的均值相等了(即数学期望值相等),这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化,即计算其方差(或是标准差).方差大说明随机变量取值分散性大;方差小说明取值分散性小,或者说取值比较集中、稳定.一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件次数的均值,即数学期望;二是要看发生违规事件的波动情况,即方差值的大小(当然,亦可计算其标准差,同样说明道理). 解：甲保护区的违规次数的数学期望和方差为:××××;()×()×()×()×.乙保护区的违规次数的数学期望和方差为：×××;()×()×()×.因为，＞,所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的,但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定,而甲保护区的违规事件次数相对分散,波动性较大.绿色通道:期望决定了随机变量的取值的平均水平、集中位置，而方差求的是随机变量的稳定与波动情况.要防止只由期望来评价两者稳定性,而应该进一步考查其方差.变式训练.有张卡片,其中张标有数字,两张标有数字,从中随机地抽取张卡片,设张卡片数字和为,求和.解：这张卡片上的数字之和这一随机变量的可能取值为.表示取出的张卡片上标有,则().。
教育最新K122017_2018版高中数学第二章概率5第2课时离散型随机变量的方差学案北师大版选修2_3
第2课时离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．知识点离散型随机变量的方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为思考1 试求EX，EY.思考2 能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理(1)离散型随机变量的方差的含义设X是一个离散型随机变量，用E(X－EX)2来衡量X与EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为________．(2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系方差越____，随机变量的取值越分散；方差越____，随机变量的取值就越集中在其均值周围．(3)参数为n，p的二项分布的方差当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np(1－p)．类型一求离散型随机变量的方差命题角度1 已知分布列求方差例1 已知X的分布列如下：(1)求X2(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX.跟踪训练1 已知η的分布列为(1)求方差；(2)设Y＝2η－Eη，求DY.命题角度2 未知分布列求方差例2 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分为n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差．反思与感悟(1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤①理解X的意义，写出X可能取的全部值．②求X取每个值的概率．③写X的分布列．④求EX，DX.(2)若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．跟踪训练2 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．类型二 方差的实际应用例3 某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为79和29.项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．反思与感悟 均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能做出更准确的判断． 跟踪训练3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a ，b 的值；(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况．1．已知随机变量X 的分布列为则下列式子：①EX ＝－13；②DX ＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13(k ＝1,2,3)，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．43．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝________，b ＝________.4.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X ，Y ，已知EX ＝EY ，DX >DY ，则自动包装机________的质量较好．(填“甲”或“乙”)5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E ξ和D ξ.1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．答案精析问题导学思考1 EX ＝0×610＋1×110＋2×310＝710，EY ＝0×510＋1×310＋2×210＝710.思考2 不能，因为EX ＝EY . 思考3 方差．梳理(1)平均偏离程度 均值 DX (2)大 小 题型探究例1 解 (1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为(2)方法一 由(1)知a ＝14，所以X 的均值EX ＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差DX ＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116.方法二 由(1)知a ＝14，所以X 的均值EX ＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X 2的均值EX 2＝0×14＋1×34＝34，所以X 的方差DX ＝EX 2－(EX )2＝1116.(3)因为Y ＝4X ＋3，所以EY ＝4EX ＋3＝2，DY ＝42DX ＝11.跟踪训练1 解 (1)∵E η＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D η＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，(2)∵Y ＝2η－E η，∴DY ＝D (2η－E η)＝22D η＝4×384＝1 536. 例2 解 X 可能的取值为0,1,2,3,4， 且P (X ＝0)＝1C 48＝170，P (X ＝1)＝C 14C 34C 48＝835，P (X ＝2)＝C 24C 24C 48＝1835，P (X ＝3)＝C 34C 14C 48＝835，P (X ＝4)＝1C 48＝170.即X 的分布列为∴EX ＝0×170＋1×835＋2×1835＋3×835＋4×170＝2，DX ＝(0－2)2×170＋(1－2)2×835＋(2－2)2×1835＋(3－2)2×835＋(4－2)2×170＝47.跟踪训练2 解 X 的可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的分布列为由定义知，EX ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX ＝0.2×(4＋1＋0＋1＋4)＝2.例3 解 若按项目一投资，设获利X 1万元， 则X 1的分布列为∴EX 1＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．DX 1＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，若按项目二投资，设获利X 2万元， 则X 2的分布列为∴EX 2＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．DX 2＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000，∴EX 1＝EX 2，DX 1＜DX 2，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．跟踪训练3 解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质，可知a ＋0.1＋0.6＝1，所以a ＝0.3.同理，0.3＋b ＋0.3＝1，所以b ＝0.4. (2)E ξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E η＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.D ξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D η＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E ξ>E η，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D ξ>D η，说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势． 当堂训练1．C 2.A 3.512 144.乙5．解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的分布列为E ξ＝0×13＋1×12＋3×16＝1.D ξ＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.。
高中数学 第2章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差 第2课时 离散型随机变量的方差课后演练提升
2课时离散型随机变量的方差课后演练提升北师大版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章概率5 离散型随机变量的均值与方差第2课时离散型随机变量的方差课后演练提升北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第2章概率5 离散型随机变量的均值与方差第2课时离散型随机变量的方差课后演练提升北师大版选修2-3的全部内容。
第2课时离散型随机变量的方差课后演练提升北师大版选修2-3 一、选择题1．设投掷一个骰子的点数为随机变量ξ，则Dξ为( )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：ξ的分布列为∴Eξ＝1×错误!＋2×错误!错误!错误!错误!错误!＝7 2Dξ＝错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＝错误!×错误!＝错误!.答案:C2．已知ξ的分布列如下表．则在下列式子中：①Eξ＝－错误!;②Dξ＝错误!;③P（ξ＝0）＝13.正确的有( )A．0个C．2个D．3个解析：易求得Dξ＝错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＝错误!，故只有①③正确,故选C．答案：C3．若X的分布列如下表所示且EX＝1。
1，则（）A．DX＝2C．DX＝0。
5 D．DX＝0.49解析:0。
2＋p＋0.3＝1,∴p＝0.5.又EX＝0×0.2＋1×0.5＋0。
高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第2课时离散型随机变量的方差课件北师大版选修2_3
2．二项分布：若 X～B(n，p)，则 DX＝np(1－p)． 上述结论证明如下： ∵X～B(n，p)，令 q＝1－p，则 P(X＝i)＝Cinpiqn－i，
n
n
n
∴EX2＝ i2Cinpiqn－i＝i(i－1)Cinpiqn－i＋iCinpiqn－i
i＝0
i＝2
i＝0
n
＝ i(i－1)Cinpiqn－i＋EX
X1 2 34567
P
1 7
11 1 1 1 1 77 7 7 7 7
离散型随机变量 Y 的概率分布列为
Y 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3
P
1 7
11 1 1 77 7 7
1 7
1 7
求这两个随机变量的均值、方差．
求解．
[边听边记] EX＝1× 17＋2× 17＋…＋7× 17＝4；
方差的实际应用
甲、乙两种水稻在相同条件下各种植100亩，收 获的情况如下：
甲：
乙：
试评价哪种水稻的质量较好．
[思路导引] 解答本题应先列出甲、乙两种水稻的概率分 布，再求期望与方差．
解析： 设甲、乙两种水稻的亩产量分别为 X 和 Y. 则 P(X＝300)＝ 12000＝ 15， P(X＝320)＝ 12050＝ 14， P(X＝330)＝ 14000＝ 25， P(X＝340)＝ 11050＝ 230.
则EX＝0×0.4＋1×0.6＝0.6， DX＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24. (2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布， 即Y～B(5,0.6)， 所以EY＝5×0.6＝3，DY＝5×0.6×0.4＝1.2.
课堂互动讲义
求离散型随机变量的方差
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2离散型随机变量的方差学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．知识点离散型随机变量的方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为X 01 2P610110310Y 01 2P510310210思考1试求EX，EY.思考2能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理(1)离散型随机变量的方差的含义设X是一个离散型随机变量，用E(X－EX)2来衡量X与EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为________．(2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系方差越____，随机变量的取值越分散；方差越____，随机变量的取值就越集中在其均值周围．(3)参数为n，p的二项分布的方差当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np(1－p)．类型一求离散型随机变量的方差命题角度1已知分布列求方差例1已知X的分布列如下：X －10 1P 1214a(1)求X2(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX.跟踪训练1已知η的分布列为η010205060P 1325115215115(1)求方差；(2)设Y＝2η－Eη，求DY.命题角度2未知分布列求方差例2某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分为n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差．反思与感悟(1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤①理解X的意义，写出X可能取的全部值．②求X取每个值的概率．③写X的分布列．④求EX，DX.(2)若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．跟踪训练2在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．类型二方差的实际应用例3某投资在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为79和29.项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资选择一个合理的项目，并说明理由．反思与感悟均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能做出更准确的判断．跟踪训练3甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a ，b 的值；(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况．1．已知随机变量X 的分布列为X －1 0 1 P121316则下列式子：①EX ＝－13；②DX ＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．32．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13(k ＝1,2,3)，则D (3X ＋5)等于()A ．6B ．9C ．3D ．43．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝________，b ＝________.X －1 0 1 2 Pa b c1124.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X ，Y ，已知EX ＝EY ，DX >DY ，则自动包装机________的质量较好．(填“甲”或“乙”)5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求Eξ和Dξ.1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．答案精析问题导学思考1EX ＝0×610＋1×110＋2×310＝710，EY ＝0×510＋1×310＋2×210＝710.思考2不能，因为EX ＝EY . 思考3方差．梳理(1)平均偏离程度均值DX (2)大小 题型探究例1解(1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为(2)方法一由(1)知a ＝14，所以X 的均值EX ＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差DX ＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116.方法二由(1)知a ＝14，所以X 的均值EX ＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X 2的均值EX 2＝0×14＋1×34＝34，所以X 的方差DX ＝EX 2－(EX )2＝1116.(3)因为Y ＝4X ＋3，所以EY ＝4EX ＋3＝2，DY ＝42DX ＝11.跟踪训练1解(1)∵Eη＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴Dη＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，(2)∵Y ＝2η－Eη，∴DY ＝D (2η－Eη)＝Dη＝4×384＝1 536. 例2解X 可能的取值为0,1,2,3,4， 且P (X ＝0)＝1C 48＝170，P (X ＝1)＝C 14C 34C 48＝835，P (X ＝2)＝C 24C 24C 48＝1835，P (X ＝3)＝C 34C 14C 48＝835，P (X ＝4)＝1C 48＝170.即X 的分布列为∴EX ＝0×170＋1×835＋2×1835＋3×835＋4×170＝2，DX ＝(0－2)2×170＋(1－2)2×835＋(2－2)2×1835＋(3－2)2×835＋(4－2)2×170＝47.跟踪训练2解X 的可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的分布列为由定义知，EX ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX ＝0.2×(4＋1＋0＋1＋4)＝2.例3解若按项目一投资，设获利X 1万元， 则X 1的分布列为∴EX 1＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．DX 1＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，若按项目二投资，设获利X 2万元， 则X 2的分布列为∴EX 2＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．DX 2＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000，∴EX 1＝EX 2，DX 1＜DX 2，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资选择项目一投资．跟踪训练3解(1)由离散型随机变量的分布列的性质，可知a ＋0.1＋0.6＝1，所以a ＝0.3. 同理，0.3＋b ＋0.3＝1，所以b ＝0.4. (2)Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，Eη＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.Dξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， Dη＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于Eξ>Eη，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但Dξ>Dη，说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势． 当堂训练 1．C2.A3.512144.乙5．解ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生， 则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的分布列为Eξ＝0×13＋1×12＋3×16＝1.Dξ＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.。