含有绝对值的不等式·典型例题分析
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.设函数（1）解不等式；（2）求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解含绝对值的不等式，关键是去掉绝对值符号，其方法有三种：①定义法；②平方法；③分区间讨论法，这里用的是分区间讨论法，遇到多个绝对值时常用此方法；（2）求绝对值函数的值域，通常是通过分区间讨论，去掉绝对值符号，将绝对值函数改写成分段函数，然后就每段求的范围，最后再将每段求得的范围求并集，注意不是求交集，从而得到绝对值函数的值域.试题解析：（1）不等式等价于：①；②；③，综合①②③得不等式的解集为：（2）①当时，；②当时，③当时，综合①②③得函数的值域为，因此求函数的最小值为.【考点】1.含绝对值的不等式的解法；2.绝对值函数的值域的求法；3.分类讨论思想.2.已知定义在R上的函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】解题思路：（1）利用求得的最小值；（2）利用证明即可.规律总结：不等式选讲内容，一般难度不大，主要涉及绝对值不等式和不等式的证明，证明或求最值，要灵活选用有关定理或公式.试题解析：（1）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.（2）由（1）知,又因为是正数,所以,即.【考点】1.绝对值不等式；2.重要不等式.3.设函数(1)求不等式的解集；(2)若不等式（，，）恒成立，求实数的范围．【答案】（1）;(2).【解析】(1)欲解不等式，需去掉绝对值，考虑到含有两个绝对值，因此分三段去，然后解.（2）要使不等式恒成立，则,考虑到不等式性质,不等式右侧可化简.试题解析：去绝对值，函数可化为,分三段解不等式，可得解集为：.由, 可得, 由（1）可解得：【考点】（1）含绝对不等会的解法；（2）恒成立问题（一般采用分离常数）.4.已知函数（1）解关于的不等式；（2）若存在，使得的不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）【解析】（1）先去掉绝对值得到，然后遂个求解不等式最终可得解集；（2）利用含参不等式的求解方法先确定因为所以则．试题解析：（1）原不等式等价于①： 1分或②： 2分或③： 3分解不等式组①无解； 4分解不等式组②得： 5分解不等式组③得： 6分所以原不等式的解集为 7分；（2）依题意 9分因为，所以 11分所以， 12分所以实数的取值范围为 13分．【考点】1，分段函数2，含参函数不等式的求解．5.对于实数，若，则的最大值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】因为又因为，可得，故选B.【考点】绝对值不等式.6.不等式的解集为A．[-5.7]B．[-4,6]C．D．【答案】C【解析】本题利用绝对值的几何意义，结合数轴求解。
含有绝对值的不等式案例
含有绝对值的不等式案例一、主题与背景不等式是中职数学学习的重要内容之一。
本节课是中职数学基础模块（人教版）第二章不等式第四节的第一课时。
解含绝对值的不等式的基本思想是:去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式。
含有绝对值不等式的学习，是在初中一元一次不等式的基础上进行的，是集合知识的应用和巩固，对培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力、培育思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学生养成多角度认识事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。
本节体现了数形结合、等价转化、整体代换等重要的数学思想，对学生的数学核心素养的培养有重要作用。
二、情景再现（一）创设情景，引入新课，提出问题师：（拿出一包小吃，展示出来，观察它的质量）按商品质量规定，商店出售的标明50g这个袋装食品，其实际数与所标数相差不能超过5g，这包小吃的质量在哪个范围内呢？生：45--55g师：如何表达实际数与所标数的关系呢？实际数是多少我们不知道，所以可以设为x g,所标的数有50和5，怎样表示他们的关系呢？生：50-x≤5,生：x-50≤5；师：咦!怎么得出两种关系了呢？生：如果实际数比50大，则用x-50≤5,如果实际数比50小，就用50-x≤5师：很好！所以综合起来就是|x-50|≤5，像这种含有绝对值的不等式怎么解呢？这就是我们这节课要解决的问题。
（二）复习旧知，数形结合，分析问题师：我们先来看|x|=5？x=?生：5或-5师：绝对值的几何意义是什么？生：x的绝对值表示数x这个点到原点的距离。
师：|x|=5的几何意义是什么？并在数轴上表示出来。
生：x这个点到原点的距离是5个单位，表示在数轴上是5和-5。
师:很好！我们知道了|x|=5，那么如何解绝对值不等式|x|≤5呢？生：（思考）师：看我们画的数轴，根据绝对值的几何意义我们知道：到原点的距离为5的点是5和-5，那么到原点的距离比5小的是哪部分呢？到原点的距离比5大的又是哪部分呢？我叫一个同学在数轴上指出来。
绝对值不等式的解法例题
绝对值不等式的解法例题
绝对值不等式的解法一般有两种，一种是利用数轴的方法，另一种是利用定义式进行分析。
下面我们来看一道绝对值不等式的解法例题。
例题：求解|2x-3|<5。
解法一：数轴法
首先我们可以画出数轴，然后在数轴上标出2x-3的位置。
接着我们需要找出满足绝对值小于5的所有x的可能位置。
由于绝对值的定义是非负数，所以|2x-3|<5等价于-5 < 2x-3 < 5，即-2 < x < 4。
最后我们将答案标在数轴上即可。
解法二：定义式法
我们可以将绝对值的定义式进行分析，即|a|<b等价于-b<a<b。
将该式代入原不等式中，得到-5<2x-3<5。
接着我们可以将不等式两边加上3，得到-2<2x<8，再将不等式两边除以2，得到-1<x<4。
最后我们得到了和解法一相同的答案。
综上所述，绝对值不等式的解法可以通过数轴法和定义式法两种方法进行。
对于不同的题目，我们可以根据实际情况选择适合的解法。
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(整理版)含绝对值的不等式的解法·例题
含绝对值的不等式的解法·例题例5-3-13解以下不等式：(1)|2-3x|-1＜2(2)|3x+5|+1＞6解(1)原不等式同解于(2)原不等式可化为|3x+5|＞5 3x+5＞5或3x+5＜-5注解含绝对值的不等式，关键在于正确地根据绝对值的定义去掉绝对值符号。
解5-3-14解不等式4＜|x2-5x|≤6。
解原不等式同解于不等式组不等式(i)同解于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(ii)同解于-6≤x2-5x≤6取不等式(i)，(ii)的解的交集，即得原不等式的解集其解集可用数轴标根法表示如下：注本例的难点是正确区别解集的交、并关系。
“数轴标根法〞是确定解集并防止出错的有效辅助方法。
例5-3-15解不等式|x+2|-|x-1|≥0。
解原不等式同解于|x+2|≥|x-1| (x+2)2≥(x-1)2注解形如|ax+b|-|cx+d|≥0的不等式，适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。
但对其他含多项绝对值的情形，采用此法一般较繁，不可取。
例5-3-16解以下不等式：解(1)原不等式同解于不等式组左边不等式同解于右边不等式同解于取(i)，(ii)的交集，得原不等式的解集为{x|1＜x＜2} (2)原不等式同解于取(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的并集，得原不等式的解集为例5-3-17解不等式||x+1|-|x-1||＜x+2。
分析要使不等式有解，必须x+2＞0即x＞-2。
又|x+1|，|x-1|的零点分别为-1，1，故可在区间(-2，-1)，[-1，1]，[1，+∞)内分别求解。
解原不等式同解于注解含多个绝对值项的不等式，常采用分段脱号法。
其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，确定所求解集。
例5-3-18 a＞0，b＞0，解不等式|ax-b|＜x。
解显然x＞0，故原不等式同解于注含绝对值的不等式中，假设含有参数，那么先去掉绝对值符号并化简，再根据具体情况对参数进行分类讨论。
高中数学典型例题--含绝对值的不等式解法
例1 不等式|8－3x|＞0的解集是[ ]A B R C {x|x } D {83}．．．≠．83分析∵－＞，∴－≠，即≠．|83x|083x 0x 83答选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是[] A ．3B ．2C ．－2D ．－5分析列出不等式．解根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5，答选D ．例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．分析利用所学知识对不等式实施同解变形．解原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析转化为解绝对值不等式．解∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x －6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件．例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么[] A ．|a －b|＜|a|＋|b|B ．|a ＋b|＞|a －b|C ．|a ＋b|＜|a －b|D ．|a －b|＜||a|＋|b||分析根据符号法则及绝对值的意义．解∵a 、b 异号，∴|a ＋b|＜|a －b|．答选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为[] A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析解不等式后比较区间的端点．解由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．1232答选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R)分析分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212{x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x 分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1．分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2；由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3}．说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．分析可以根据对|x ＋2|＋|x －3|的意义的不同理解，获得多种方法．解法一当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5，∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5．综上所述：a ＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二|x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三利用|m|＋|n|＞|m ±n|得|x ＋2|＋|x －3|≥|(x ＋2)－(x －3)|＝5．所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．例11 解不等式|x ＋1|＞2－x ．分析一对2－x 的取值分类讨论解之．解法一原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2或②－＜∈2x 0x R由①得≤＞或＜－x 2x 1212即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之．解法二因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－原不等式等价于：①≥＞或②＜＞xx x x x x 10121012由①得≥＞即＞；x x 11212x 由②得＜－－＞即∈．x 112x 所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x 解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为x －5－(2x ＋3)＜1，解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略．例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，则更显得流畅，简捷．解原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9，即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标，则|2x －1|＞|2x －3|表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离，则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。
含绝对值不等式的解法文字版
由 A∪B=R， a 4 1 得 ， a 4 5
∴1<a<3 .
做这种题目时，除了注意数形结合外，还应当 注意“等号”取得到取不到.如果没把握，最好的办 法就是把由“等号”取得的 a 值代入到条件中看是 否符合题意.
例 3．解不等式 |x-2|<5.
分析与解答： 设 x-2 为一个整体，根据绝对值的几何意义，
x 2 5 可得-5<x-2<5，也可写成 ， x 2 5
∴ -3<x<7, ∴ 原不等式的解集为(-3, 7).
例 4．解关于 x 的不等式：|x-2m|>n(n>0).
分析与解答： x-2m>n 或 x-2m<-n, ∴ x>2m+n 或 x<2m-n. ∴ 原不等式的解集为{x|x>2m+n 或 x<2m-n}. 也可写成(-∞,2m-n)∪(2m+n,+∞). 解的时候仍应将 x-2m 看成一个整体， 并利用绝 对值的几何意义.
但∵a∈R，∴还应考虑 a=0 和 a<0. 当 a<0 时， 不等式 |x|<a 的解集应为. 我们只需从绝对值的定义考虑，不等式即可有 答案： 因为|x|是非负数，即|x|≥0， ∴|x|不可能小于负数，当然不等式|x|<a(a<0)解 集为. 当 a=0 时，同理可知|x|<a 的解集为.
和 -4（由 3-2x=0 和
，将(-∞,+∞)分成三段，然后分别在这 x+4=0 找到） 三段内对绝对值符号内的式子的正负进行讨论，从 而去掉绝对值符号，达到解出不等式的目的. 原不等式即|2x-3|<|x+4|+5 (1)当 x≤-4 时，原不等式化为 3-2x<-x-4+5,即 x>2. 此时不等式无解（或为）.
高一数学-含绝对值的不等式解法·例题剖析 精品
含绝对值的不等式解法·例题剖析【例1】解不等式1＜|x－2|≤3．分析(一)列式不等式a＜|f(x)|＜b的解法是把列式不等式化为不等系是“且”，因此要把得到的两个解集再求交集，而不是并集，这也是初学时最容易混淆的．由(1)得：x－2＞1或x－2＜－1即：x＜1或x＞3由(2)得：－3≤x－2≤3即－1≤x≤5，如图1．4－3所示∴原不等式解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}分析(二)此绝对值不等式也可用分类讨论的数学思想，把|x－2|用绝对值的意义分类讨论，将原不等式化为两个不等式组，特别注意此时两个不等式组得到的解集要求并集而不是交集，一般地，分类讨论得到的若干情况都要求并集而不是交集．解(二)由原不等式可得：(Ⅰ)的解集是{x|3＜x≤5}(Ⅱ)的解集是{x|－1≤x＜1}∴原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}，如图1．4－4所示．【例2】解不等式|x＋3|＞|x－5|分析(一)此题无法像例1一样直接脱去两个绝对值，而可用例1的解法(二)的技巧，按每个取绝对值的解析式的值的正、负(和零)分段求解，也就是解决绝对值问题的常用手段——零点分段法．解法(一)原不等式的解集可以化为下列四个不等式组的并集．可分别求出：(Ⅰ)的解集为{x|x≥5}(Ⅱ)的解集为{x|1＜x＜5}(Ⅲ)(Ⅳ)∴原不等式的解集为{x|x＞1}．分析(二)显然解法(一)的办法虽然通用但比较繁琐，而此类问题最好的解决办法是不等式两边平方，可将含绝对值的不等式一次化为不含绝对值的不等式．解法(二)∵不等式两边非负∴两边平方得x2＋6x＋9＞x2－10x＋25∴x＞1 ∴原不等式的解集为{x|x＞1}注意此方法要注意不等式两边平方的等价问题．分析(一)此不等式比起例1、例2又复杂了，但零点分段法仍然适用，而且也是解决这类题目普遍采用的方法．分析(二)此题的两个含绝对值的解析式是同一个“零点”为解法(二)由原不等式得：【例4】解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1．(m∈R)解析此题的难点在于不知道2m－1的符号是“＋”还是“－”，因此应分类讨论来求解．|2x－1|＜2m－1恒不成立，此时原不等式无解．∴1－m＜x＜m注意此题的分类讨论与例2中解法一的分类讨论不同，那是对x的讨论，因此最后的解集是各种情况的并集，而此题是解关于x的不等式，讨论的是参数m，因此最后的解集要按m的分类情况一一写出而不能把它们求并集．【例5】对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，则k的取值范围是[ ] A．k＜3B．k＜－3C．k≤3D．k≤－3分析(一)此题也可用分类讨论的思想零点分段去掉绝对值．解法(一)由1)得k＜－3 由2)得－1＜x＜2时k＜2x－1而2x－1∈(－3，3)由3)得k＜3依题意，要对任意x都使该不等式成立∴k＜－3时，1)2)3)都可以满足，故选B．分析(二)显然解法一通俗但繁琐，而此类题也可以根据绝对值的几何意义来求解，方法很巧妙也具有一般性，要注意|x－a|可以看作在数轴上点x到点a的距离．解法(二)根据绝对值的几何意义：|x＋1|可看作点x到点－1的距离，|x－2|可以看作点x到点2的距离，因此|x＋1|－|x－2|即为数轴上任一点x到点－1的距离与到点2的距离的差记作(*)，要使它大于k恒成立就要讨论点x在哪：1)当点x在点－1左侧时，如图中点R，则(*)恒为－3．2)当点x在点2右侧时，如图中点T，则(*)恒为3．3)当点－1≤x≤2时，如图中点S，则－3≤(*)≤3．由1)2)3)可知，无论x为任何实数，(*)的范围是－3≤(*)≤3．因此若使|x＋1|－|x－2|＞k，只需k＜－3．注当k=－3时，若|x＋1|－|x－2|=－3则无法取“＞”号．分析(三)此题也可用函数图像的方法来解，而这部分知识下一章就要介绍，这种方法也是今后学习函数后经常用到的．解法(三)令y=|x＋1|－|x－2|，在直角坐标系下作出其图像如图1．4－7所示：由图1．4－7得到－3≤y=|x＋1|－|x－2|≤3以下同解法(二)．【例6】解不等式|2x＋1|＜－x分析(一)此题形式与例4相似，因此可对不等式右边的x进行分类讨论，注意它不是数字而是含未知数的代数式，因此不能像例1一样直接按绝对值的意义展开．②当x＜0时，－x＞0，原不等式转化为不等式组：x＜2x＋1＜－x分析(二)此不等式也可以先考虑利用绝对值的意义，对绝对值内部的2x＋1进行分类讨论，从而先去掉绝对值变为整式不等式，再求它的解集．解法(二)原不等式等价于：参见图1．4－8．分析(三)通过解这样的不等式，使我们联想推广到解不等式|f(x)|＜g(x)，其中f(x)、g(x)都是含x的代数式．1)当f(x)≥0时，0≤f(x)＜g(x)；2)当f(x)＜0时，－f(x)＜g(x)，即－g(x)＜f(x)＜0；∴－g(x)＜f(x)＜g(x)∴我们得到重要结论：从而解上述不等式|2x＋1|＜－x时我们可以不必担心分析(一)所述的“不等式右边是含未知数x 的代数式，而不能直接展开”，而可以“稀里糊涂”地解不等式：x＜2x＋1＜－x即可．解法(三)由原不等式得x＜2x＋1＜－x基础练习(一)选择题1．设集合A={x|－2＜x＜3}，集合B={x||x＋1|＞2，x∈R}，则A∪B=[ ] A．{x|1＜x＜3}B．{x|－3＜x＜3}C．{x|－2＜x＜1}D．{x|x＜－3，或x＞－2}2．不等式|x－2|＋1＜0的解集是[ ] A．{x|1＜x＜3}B．{x|x＜1，或x＞3}C．R3．集合{x∈N|0＜|x－1|＜3}的真子集个数为[ ] A．16个B．15个C．8个D．7个4．与不等式|1－3x|＜－2x解集相同的不等式是[ ] A．－2x＜1－3x＜2xB．2x ＜3x－1＜－2xC．－2x＜3x－1＜2xD．以上答案都不对5．已知关于x的不等式|x－a|＜b的解集为{x|－3＜x＜9}，则a，b的值分别为[ ] A．－3，9B．3，6C．3，9D．－3，6(二)填空题1．|x|＜a(a＞0)的解集是集合A={x|x＜a}与集合B={x|x＞－a}的________集；|x|＞a(a＞0)的解集是集合A={x|x＞a}与集合B={x|x＜－a}的________集．2．不等式|x|＞x的解集是________．4．不等式|x－1|＋|x＋2|＜5的解集是________．5．已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜k的解集是非空集合，则实数k的取值范围是________ 6．已知A={x||2－x＞3}，B={x||x＋3|＜5}，则A∩B=________．(三)解答题1．解关于x的不等式(2)|2x－1|＞|2x＋3|(3)|x－2|＋|x－3|＞2(4)|2x－1|＜2－3x(5)|ax＋2|＞1(a∈R)2．已知|x－2|＋|x－3|＞a的解集是R，求a的取值范围．3．已知方程|x＋b|=7的解是x=－10或x=4，求|x＋b|＜7的解集．*4．已知a＞b＞0，全集I=R，A={x||x－b|＜a＝，B={x||x－a|＞b}，求(CI A)∩(C I B)．参考答案(一)选择题∴A∪B={x＜－3或x＞－2})2．D(由|x－2|＋1＜0得|x－2|＜－1 又∵|x－2|≥0 ∴解故该集合子集为23=8个，真子集为7个)4．B(解此类不等式可以直接由绝对值的意义展开，见本节例六，因此排除(D)，另外要注意(A)中－2x不是负数，此时－2x＞0，又排除(A)(C)，而(B)选项似乎与直接展开的2x＜1－3x＜－2x不同，但实质是一样的，因为|1－3x|=|3x－1|．)5．B(由|x－a|＜b得－b＜x－a＜b ∴a－b＜x＜a＋b 与(二)填空题1．交；并3．{x|－7≤x≤7} (先求|x|的范围，3|x|－1≤2|x|＋6 ∴|x|≤7 ∴－7≤x≤7即{x|－7≤x ≤7})4．{x|－3＜x＜2}(解：点－3到点－2与到点1的距离的和等于点2到点－2与到点1的距离的和为5，因此当－3＜x＜2时，点x到点－2到点1的距离的和小于5，故满足|x－1|＋|x＋2|＜5的解集为{x|－3＜x＜2}．注：本题也可零点分段去讨论．)5．k＞5(如图可知当x＜－2时或当x＞3时，点x到－2与3的距离之和大于5，当－2≤x≤3时，点x到－2与到3的距离之和等于5，所以|x＋2|＋|x－3|≥5，要使|x＋2|＋|x－3|＜k的解集非空则k＞5．)6．{x|－8＜x＜－1｝(解：A={x|x－2＜－3，或x－2＞3}={x|x＞5，或x＜－1} B={x|－8＜x＜2}∴A∩B={x|－8＜x＜－1}．(三)解答题(解：由原不等式得(解：不等式两边平方得4x2－4x＋1＞4x2＋12x＋9 即16x2．a＜1(由绝对值的几何意义知|x－2|＋|x－3|≥3－2＝1∴a＜13．{x|－10＜x＜4}(解：由已知点－10与点4到点－b的距离相等为7，所以－b=－3 ∴b=3 ∴|x＋b|＜7的解集为{x|－10＜x＜4}4．{a＋b}(解：A={x|b－a＜x＜a＋b} B={x|x＜a－b，或x＜a＋b} ∵全集I＝R ∴C I A={x|x ≤b－a，或x≥a＋b} C I B＝{x|a－b≤x≤a＋b} ∵a＞b＞0 ∴b－a＜a－b＜a＋b ∴(C I A)∩(C I B)={a＋b}。
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含有绝对值的不等式·典型例题分析
例1 求下列函数的定义域和值域：
分析利用绝对值的基本概念．
解 (1)x+|x|≠0，即|x|≠-x．∴x＞0．
∴定义域为(0，+∞)，值域为(0，+∞)．
(2)|x|≥x，x∈R．|x|-x≥0，∴y∈[0，+∞)．
(3)x+|x|＞0，x∈R+．y∈R．
画出函数图象如图5-17所示．不难看出，x∈R，y∈[-1，1]．
说明本例中前三个易错，第四个要分析写出函数表达式，并画出函数图象，此法在求值域时常用．
例2 解不等式|x+1|＞|2x-3|-2．
将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．
(1)当x≤-1时原不等式化为-(x+1)＞-(2x-3)-2．
∴x＞2与条件矛盾，无解．
综上，原不等式的解为{x|0＜x＜6}．
注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．
例3 解不等式|x2-4|＜x+2．
分析解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：
二是根据绝对值的性质：|x|＜a⇔-a＜x＜a，|x|＞a⇔x＞a或x＜-a，因此本题有如下两种解法．
∴2≤x＜3或1＜x＜2
故原不等式的解集为{x|1＜x＜3}．
解法二原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2
例4 求使不等式|x-4|+|x-3|＜a有解的a的取值范围．
分析此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．
解法一将数轴分为(-∞，3]，[3，4]，(4，+∞)三个区间
当3≤x≤4 时，得(4-x)+(x-3)＜a，即a＞1；
∴a＞1．
以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a＞1．
解法二设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式|PA|+|PB|＜a的意义是P到A、B的距离之和小于a．
因为|AB|=1，故数轴上任一点到 A、B距离之和大于(等于)1，即
|x-4|+|x-3|≥1，故当a＞1时，|x-4|+|x-3|＜a有解．
ε．
分析根据条件凑x-a，y-b．
证明 |xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|
说明这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．
分析使用分析法．
证明∵|a|＞0，∴只需证明|a2-b2|≥|a|2-|a||b|，两边同除|b|2，即只需证明
说明有关绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用
定理2：
|a|-|b|，∴原不等式也成立．。