高等代数消元法
高等代数第三章思维导图
用一非零的数乘某一个方程把一个方程的倍数加到另一个方程互换两个方程的位置用初等变换将线性方程组化成阶梯形方程组把最后的一些恒等式如果剩下的是一些在齐次线性方程组中，如果s<n，那么必有非零解所谓数域P上一个n维向量就是由数域P个数组成的有序数组（），称为向量（对应分量相等，则向量相等向量可相加减加法交换律，结合律k(a+b)=ka+kb(k+l)a=ka+lak(la1a=a向量a称为向量组的一个线性组合，如果有数域（维向量都是向量组的一个线性组合，因为，向量称为自反性对称性传递性如果向量组（称为线性相关任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的三个向量线性相关的几何意义就是他们共面向量组（s³1）称为线性相关，如果有数域使部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关两个成比例的向量是线性相关向量组n维单位向量组成的向量组是线性无关的向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解设与是两个向量组，推论：如果向量组可以经线可以经线性表出性表出，且向量组线性无关，那么必线性相关任意两个线性无关的等价的向量组，必含有相同的个数的向量A矩阵的初等列变换和初等行变换皆不改变该矩阵的秩，列秩和行秩矩阵设，则关的充分必要条件是|A|=0，线性无关的充分必要条件是线性方程组（件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩两个解的和还是方程组的解一个解的倍数还是方程组的解）奇次线性方程组的任一个解都能表成的线性组合）线性无关如果是线性方程组（以表成线解线解。
高等代数04线性方程组
最后一个矩阵所对应的线性方程组为 x1+ 7x3 = 1 , x26x3 = 1 . 它与原方程组同解，取 x3 = C, 得 x1 = 17C, x2 = 1+6C, x 1= 1 7C , 即原方程组解为 x2 = 1+ 6C, 其中 C 为任意实数. x3 = C , 将解写成向量形式 ( x1, x2, x3 )T = (17C , 1+6C, C )T.
定义1 定义1 由st个数cij 排成的一个 行t列的表 个数 排成的一个s行 列的表
c11 c12 L c21 c22 L L L cs1 cs 2 L c1t c2t L cst
叫作一个s行 列矩阵 c 列矩阵。 叫作一个 行t列矩阵。 ij 叫作这个矩阵的元素
注意： 注意：矩阵和行列式虽然形式上有些类似，但有完全不同的意义。 一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表。
例2
解
x1 – x2 + 5x3 – x4 = 0 , x + x2 – 2x3 + 3x4 = 0 , 求下列线性方程组的解： 1 3x1 – x2 + 8x3 + x4 = 0 , x1 + 3x2 – 9x3 + 7x4 = 0 .
1 1 1 1 1 5 0 2 7 4 3 → 0 → 0 0 2 7 4 1 7 0 4 14 8 0
并且用B表示 B 的前n列作成的矩阵。那么由定理4.2.1得： 秩A=秩B= r，秩A =秩B 现在设线性方程组（1）有解。那么或者r = m，或者r < m，而
dr+1 =L= dm = 0，这两种情形都有秩B=0，于是由（4）得，
B 反过来，设秩 A =秩B 。那么由（4）得， 的秩也是 r。由此得，或 者r = m，或者r < m 而 dr+1 =L= dm = 0 ，因而方程组（1）有解。
消元法的基本步骤-概述说明以及解释
消元法的基本步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述消元法是一种常用的数学求解方法，用于解决代数方程组或方程的问题。
通过使用代数运算，消元法能够将复杂的方程组转化为简单的形式，从而得到其解或者简化问题的求解过程。
消元法作为解决方程问题的经典方法，在数学和工程领域得到广泛应用。
本文将介绍消元法的基本步骤，包括定义、具体操作步骤以及应用领域。
通过了解消元法的原理和应用，读者可以更好地理解和运用这一方法来解决各类数学问题。
在接下来的章节中，我们将详细介绍消元法的定义和基本步骤。
首先，我们将通过对消元法的概述，了解其基本原理和工作方式。
接着，我们将介绍本文的结构和组织方式，以便读者能够更好地理解和阅读后续内容。
本文的目的是为读者提供一个清晰的消元法概述，并将其应用于实际问题中。
通过掌握消元法的基本步骤，读者将能够更加灵活地运用这一方法解决各种数学问题，并深入了解其在实际领域中的应用价值。
在下一章中，我们将详细介绍消元法的定义，包括其基本原理和使用方法。
请继续阅读下一章节，以了解更多有关消元法的知识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：1. 文章框架概述：在本节中，将对整篇文章的结构进行概括性的介绍，包括引言、正文和结论三个主要部分的内容以及各自的目的。
2. 引言部分：本部分主要用于引入文章的主题，并对消元法的基本概念进行简要阐述。
同时，说明为何对消元法进行研究和探讨的必要性。
3. 正文部分：本部分是文章的核心，详细讲解了消元法的基本步骤及其应用领域。
在对消元法的基本步骤进行阐述时，可以按照具体的操作流程进行分步骤的描述，并且可以配以图表进行说明，以便读者更好地理解和掌握。
在讲解消元法的应用领域时，可以列举一些常见或重要的实际案例并进行具体分析，说明消元法在不同领域的重要性和实用性。
4. 结论部分：本部分用于对全文进行总结和归纳。
首先，对消元法的重要性进行总结，强调其在实际问题求解中的作用和意义。
高教社2024高等数学第五版教学课件-10.1 消元法
1 3
−1
8
−7
+
2
14
−13
2
0
0
0
1
2 2
4
−1
1
1 −1
2
1
4
7
−2 −7 −13
0 9 27 54 0
0 −1 −3 −6 0
1 −2 −7 −13 0
0
0
92
+
1 −22
1 ↔3
+
1 0
0 1
0 0
3
0
0
1
−1
3
0
0
0
0
−1 −3 −6
0 −1 −1
0
0
0
−2
0
0
）的一般步骤为：
首先写出增广矩阵 | （或系数矩阵），并用初
等行变换将其化成阶梯形矩阵，然后判断方程组是否有
解．若方程组有解，则继续用初等行变换将阶梯形矩阵
化成行简化阶梯形矩阵，写求出方程组的一般解．
或简称Gauss消元法．下面举例说明用消元法求一般线性方
程组解的方法与步骤．
例1 解线性方程组
1 + 32 + 3 = 5
ቐ1 + 2 + 53 = −7
21 + 32 − 33 = 14
解 下面我们用定理10.1的方法来求解本题：
1 3
= 1 1
2 3
1
− 2
2
1 3
0 1
则方程组 = 与 = 是同解方程组．
由定理10.1可知，求线性方程组(1)的解，可以利用初等
行变换将其增广矩阵 | 化简成行阶梯形矩阵，再写出该
高等代数--第二章 线性方程组
• 用初等变换化方程组为阶梯形方程组就 相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯 形矩阵. 所以，解方程组一般用增广矩阵 化简.
x1 2 x2 x3 2 x4 1 • 例 2 2 x1 4 x2 x3 x4 5 x 2 x 2 x x 4 2 3 4 1
答案：当 1 时，方程组无解 当 1 时，方程组有解
§2 n维向量空间 R
n
消元法是解方程组的一个行之有效的算 法。但有时需要直接从原方程来判是否 有解？并且，消元法化为阶梯形方程组 的过程中，最后剩下来的方程个数是否 是唯一的？这些问题都需要用向量的知 识来解决。
n维向量及其线性运算
2 x1 x2 3 x3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
方程组的解为（9，-1，-6）。
其中用到
1、互换两个方程的位置(位置变换)； 2、用一个非零数乘某一个方程(倍法变换)； 3、把一个方程的倍数加到另一个方程上 (消法变换). 定义1 变换1、2、3称为线性方程组的 初等变换.
答案
例5
x1 2 x2 x3 x4 x5 1 2 x x 3x 2 x x 0 1 2 3 4 5 x1 3x2 2 x3 2 x4 3x5 2 3x1 11x2 2 x3 2 x4 x5 2
（7）
这时，有无穷多组解。由（7）式，我们可以把
x1, x2 ,, xr 通过 xr 1,, xn 表示出来，这样一
组表达式称为方程组（1）的一般解， 而
xr 1,, xn 称为一组自由未知量。
• r>n，是不可能的 • 总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组， 若
高等代数第3章线性方程组
3.1 消元法
线性方程组
3.1.1 高斯消元法及矩阵表示 3.1.2 矩阵表示 3.1.3 一般情形
3.1.1 高斯消元法
分析：用消元法解下列方程组的过程． 分析：用消元法解下列方程组的过程． 引例 求解线性方程组
2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2 x + x = 4, 1 2 3 4 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9,
1 2
3
4 1 2
3
3
4
↔4 −23
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
x1 = x3 + 4 x2 = x3 + 3 其中 为任意取值 . 其中x3 于是解得 x = −3 4
或令x3 = c , 方程组的解可记作
x1 = c + 4 x = c + 3 2 x3 = c x 4 = −3
阶 矩 : 行 梯 阵
（1）元素全为0的行全在下方； 元素全为0的行全在下方； 行的第一个非0元素的 （2）对于非零行，第i+1行的第一个非 元素的 对于非零行， 行的第一个非 列标大于第i行的第一个非 行的第一个非0元素的列标 列标大于第 行的第一个非 元素的列标
1 0 0 0 1 −2 1 4 1 −1 1 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0
3.1.3 一般情形
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 LLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
消元法求解技巧
消元法求解技巧消元法是一种数学问题求解的重要技巧，主要运用于代数方程或代数式的求解过程中。
它通过对方程或式子进行变换、简化，去除难以处理的项，最终将问题转化为更加简单和易于求解的形式。
下面将介绍一些常用的消元法求解技巧，帮助你更好地理解和应用消元法。
1. 代入消元法：代入消元法是一种常见的消元法求解技巧。
它的基本思想是将一个变量表示为另一个变量的函数，然后将其代入方程中，从而消去该变量。
例如，对于方程组：```2x + 3y = 103x - 2y = 4```可以通过将第一个方程中的 x 表示为 y 的函数，如 x = (10 - 3y) / 2，然后将其代入第二个方程中，消去 x。
这样就可以得到一个只含有y 的方程，进而求解出y 的值，再代入第一个方程求解 x 的值。
2. 相减消元法：相减消元法是一种利用两个方程相减来消除某个变量的消元法求解技巧。
它适用于方程组中两个方程的系数具有相反数的情况。
例如，对于方程组：2x + 3y = 104x + 6y = 20```可以通过将第一个方程乘以2，然后与第二个方程相减，消去 x，从而得到一个只含有 y 的方程，进而求解出 y 的值，再代入方程求解 x 的值。
3. 等式转化消元法：等式转化消元法是一种通过等式的变化来进行消元的求解技巧。
它利用等式的性质和运算规则，将方程组中的某个变量或式子进行转化，使得消元更加方便。
例如，对于方程组：```x + 2y + 3z = 102x + 3y + z = 83x + y + 2z = 13```可以通过将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，第三个方程乘以 1，然后将它们相加，消去 y 和 z，从而得到一个只含有x 的方程，进而求解出x 的值，再代入方程求解 y 和 z 的值。
4. 因式分解消元法：因式分解消元法是一种通过因式分解来实现消元的求解技巧。
它利用因式分解的性质和公式，将方程或式子进行因式分解，从而得到一个更简单的形式。
数学消元法
数学消元法
数学消元法，也叫做高斯消元法，是一种求解线性方程组的有效方法。
线性方程组是一组由线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知量都是线性的，形如：a1x1 + a2x2 + … + anxn = b。
这种方程组在实际应用中非常常见，如经济学、物理学和工程学等领域。
消元法的基本思路是将方程组中的未知量逐一消去，从而达到求解的目的。
方法是通过“初等变换”来使方程组变换成一种容易求解的形式。
初等变换包括以下三种操作：
1. 交换任意两行或任意两列；
2. 用一个非零常数乘任意一行或任意一列；
3. 用一个非零数乘任意一行或一列，加到另外一行或一列上。
经过这些初等变换，原方程组将变换成形如三角形的方程组，易于求解。
这个过程被称为高斯消元法。
高斯消元法不仅可以用于解决线性方程组的问题，还可以用于求矩阵的逆、求解线性方程组的解空间等。
同时，消元法还具有一定的数值稳定性和误差小的特点，也是数值线性代数中的重要内容。
总之，消元法是解决线性方程组和相关问题的一种基本方法，它在实际应用中有着广泛的应用。