简谐近似和简正坐标
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固体物理 5_1简谐近似和简震坐标
Qi A sin(i t )
i 晶格振动频率
Q j A sin( j t )
mi Qj aij mi A sin( j t ) aij
只考察某一个简振坐标 Q j 的振动
代入 m i i
a Q
j 1 ij
3N
j
i
i 1,23N
所有原子共同参与的一个振动称一个振动模
3N
1 即晶格振动能量即3N个谐振子能量和 En (ns ) s 2 s 1
n 0,1,2
晶格振动能量以 s为单位变化.
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2Q 0, i 1, 2, 3,3N Qi i i
标准谐振动方程
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2Q 0, i 1, 2, 3, 3N Qi i i
结论:
标准谐振动方程
—— 3N个独立无关的方程
晶体内原子(绕平衡位置)振动可看成3N个独立谐振子的振动 方程解
假设存在线性变换 mi ui
a Q
j 1 ij
3N
1 3N 2 T Qi 2 i 1
j
1 3N 2 2 V i Qi 2 i 1
1 3N 2 1 3N 2 2 系统的哈密顿量H T V Qi i Qi 2 i 1 2 i 1
1 3N 2 1 3N 2 2 系统的拉格朗日函数 L T V Qi i Qi 2 i 1 2 i 1
对第n个原子 偏离平衡位置的位移矢量 u (t ) n
uni (i 1,2,3)
N个原子的位移矢量 ui (t )
4-3 简谐近似和
2）化简系统的动能和势能
动能
1 T m 2
n
2 n
1 1 m 2 Nm
1 2
n q
Q ( q )e inaq
q'
Q ( q ' )e inaq'
qq '
1 Q ( q ) Q ( q ' ) N
Department of Physics, Northwest University
Solid State Physics
由（5）式知，当只考察某一个 Qi 的振动时，（5）式可以化为
i
aij mi
A sin( it )
（12）
这表明，一般地说，一个简正振动并不是表示某一个原子的振动，而是表示 整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们的振动频率都相同。由简正坐标所代 表的，体系中所有原子一起参与的共同振动，常称为一个振动模或简正模 （normal mode）。 由量子力学我们知道,用(9)式可以直接写出哈密顿算符和薛定谔方程
1 2 2 2 [ i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
（14）
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Solid State Physics
谐振子方程的解为
i (ni )i
ni (Qi )
i 2l N
0
说明声子不是动量的携带者。
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1 e
Solid State Physics
4-3 简谐近似和
一、 简谐近似和非谐作用 （harmonic approximation and an-harmonic interaction） ）
晶格振动是一个小振动问题。对于此类问题常采用简谐近似。 晶格振动是一个小振动问题。对于此类问题常采用简谐近似。 假设晶体包含N个原子， 假设晶体包含 个原子，平衡位置为 个原子 偏离平衡位置的位移矢量为 µn (t )
i =1
3N
•
Qi
2
（6） ）
1 V= 2
∑
i =1
3N
ω i 2Qi 2
（7） ）
其中仅有简正坐标的平方项之和，而没有了坐标的交叉项。 其中仅有简正坐标的平方项之和，而没有了坐标的交叉项。
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∑
（3） ）
体系的势能函数只保留至µ 的二次方程，称为简谐近似 简谐近似（ 体系的势能函数只保留至 i的二次方程，称为简谐近似（harmonic approximation）。要考虑到高阶作用的则称为非谐作用（an-harmonic 非谐作用（ ） 要考虑到高阶作用的则称为非谐作用 interaction）。
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将N个原子体系的势能函数在平衡位置附近展开成泰勒级数 个原子体系的势能函数在平衡位置附近展开成泰勒级数
∂V 1 3 N ∂ 2V V = V0 + ( ) 0 µi + ( )0 µi µ＋高阶项 j ∂µi 2 i , j =1 ∂µi ∂µ j i =1
03_01简谐近似和简正坐标
1 En＝ n 2
n=0,1,2…… （3－57）
这表明谐振子处于不连续的能量状态。
1 ,称为零点能。 当n＝0时，它处于基态，E0＝ 2
相邻状态的能量差为,它是谐振子的能量量子， 称它为声子 ，正如人们把电磁辐射的能量量子称 为光子一样。 3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应，因此式 （3－57）也是一个频率为ω的格波的能量。频率 为ωi(q)的格波被激发的程度，用该格波所具有的 能量为ωi (q)的声子数n的多少来表征。
2.声子是一种准粒子
声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用， 满足能量守恒。 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的
粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。
准动量。
3.准动量选择定则
准动量的确定只能准确到可以附加任何 一个倒格矢Gh
ω(q)= ω(q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1＋q2＝q3＋Gh q1＋q2＝q3＋Gh
系统的势能函数
系统的动能函数
系统的哈密顿量 H
1 1 V 2 i ( mi ) 0 i j 2 i 1 2 i , j 1 i j
3N 3N 2
—— 含有坐标的交叉项
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
引入简正坐标
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来 假设存在线性变换
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi ) iຫໍສະໝຸດ iexp(
2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
晶格振动与晶体的热学性质
n=0,1,2…… （3－57）
这表明谐振子处于不连续的能量状态。
1 ,称为零点能。 当n＝0时，它处于基态，E0＝ 2
相邻状态的能量差为,它是谐振子的能量量子， 称它为声子 ，正如人们把电磁辐射的能量量子称 为光子一样。 3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应，因此式 （3－57）也是一个频率为ω的格波的能量。频率 为ωi(q)的格波被激发的程度，用该格波所具有的 能量为ωi (q)的声子数n的多少来表征。
2.声子是一种准粒子
声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用， 满足能量守恒。 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的
粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。
准动量。
3.准动量选择定则
准动量的确定只能准确到可以附加任何 一个倒格矢Gh
ω(q)= ω(q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1＋q2＝q3＋Gh q1＋q2＝q3＋Gh
系统的势能函数
系统的动能函数
系统的哈密顿量 H
1 1 V 2 i ( mi ) 0 i j 2 i 1 2 i , j 1 i j
3N 3N 2
—— 含有坐标的交叉项
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
引入简正坐标
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来 假设存在线性变换
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi ) iຫໍສະໝຸດ iexp(
2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
晶格振动与晶体的热学性质
3.1 简谐近似和简正坐标、一维单原子链PPT参考课件
N 就是一维单原子链的自由度数, 这表明已经得到链的全部振动模
玻恩-卡曼的模型起着一个边界条件的作用, 用这个 模型并未改变运动方程的解, 而只是对解提出一定条 件 , 称它为玻恩－卡曼条件, 或称为周期性边界条件27
色散关系的两点讨论:
2
2 [1 cos aq]
m
4
m
sin
2
体系的势能函数展开至位移坐标的二次方项, 称为 简谐近似
简正坐标是通过正交变换引入的, 使内能函数和动 能函数同时化为平方项之和而无交叉项的坐标
由简正坐标所代表的, 体系中所有原子一起参与的 共同振动, 常常称为一个振动模（或简正模） 14
§3-2 一维单原子链
晶格具有周期性, 因而晶格的振动模具有波的形式, 称为
3
以后的研究确立了晶格振动采取 "格波" 的形式
这一章的介绍格波的概念, 并在晶格振动理 论的基础上扼要讲述晶体的宏观热学性质
晶格振动是研究固体宏观性质 和微观过程的重要基础
对晶体的电学性质、光学性质、超导电
性、磁性、结构相变… …等一系列物理
问题, 晶格振动都有着很重要的作用
4
§3-1 简谐近似和简正坐标
E
3N i 1
i
3N i 1
ni
1 2
hi
3N
(Q1，Q2，L ，Q3N ) ni (Qi ) i 1
可见只要能找到该体系的简正坐 标, 或者说振动模, 问题就解决了
下面将结合简单的例子, 把这里的一般性结论具体化13
§3-1 简谐近似和简正坐标 小结
每个原子的位移画在 垂直链的方向
玻恩-卡曼的模型起着一个边界条件的作用, 用这个 模型并未改变运动方程的解, 而只是对解提出一定条 件 , 称它为玻恩－卡曼条件, 或称为周期性边界条件27
色散关系的两点讨论:
2
2 [1 cos aq]
m
4
m
sin
2
体系的势能函数展开至位移坐标的二次方项, 称为 简谐近似
简正坐标是通过正交变换引入的, 使内能函数和动 能函数同时化为平方项之和而无交叉项的坐标
由简正坐标所代表的, 体系中所有原子一起参与的 共同振动, 常常称为一个振动模（或简正模） 14
§3-2 一维单原子链
晶格具有周期性, 因而晶格的振动模具有波的形式, 称为
3
以后的研究确立了晶格振动采取 "格波" 的形式
这一章的介绍格波的概念, 并在晶格振动理 论的基础上扼要讲述晶体的宏观热学性质
晶格振动是研究固体宏观性质 和微观过程的重要基础
对晶体的电学性质、光学性质、超导电
性、磁性、结构相变… …等一系列物理
问题, 晶格振动都有着很重要的作用
4
§3-1 简谐近似和简正坐标
E
3N i 1
i
3N i 1
ni
1 2
hi
3N
(Q1，Q2，L ，Q3N ) ni (Qi ) i 1
可见只要能找到该体系的简正坐 标, 或者说振动模, 问题就解决了
下面将结合简单的例子, 把这里的一般性结论具体化13
§3-1 简谐近似和简正坐标 小结
每个原子的位移画在 垂直链的方向
简谐震动简正坐标(0301)
声学
在声学领域，声音的传播和辐射都 可以看作是简谐震动的叠加，因此 简谐震动理论也是声学研究的重要 基础。
02
简正坐标的概念
什么是简正坐标
• 简正坐标是一种描述系统振动的坐标方式，它将复 杂的振动问题简化为简单的数学模型，以便于分析 和求解。在简正坐标下，系统的振动形式被分解为 一系列正弦和余弦函数，每个函数代表一种独立的 振动模式。
简谐震动
简谐震动是物理学中一个基本而重要的概念，它描述的是一个振动系统在平衡 位置附近做周期性的往复运动。简谐震动可以用数学公式表示，其运动规律具 有特定的周期性和振幅。
简正坐标
简正坐标是用来描述简谐震动的坐标系，它能够将复杂的振动问题简化，方便 分析和计算。简正坐标系的选择取决于系统的具体形式和物理特性。
实例二：单摆的简谐震动
总结词
单摆在摆角较小的情况下，做近似于简谐振动的往复运动。
详细描述
单摆由一根长度为摆长的细线悬挂着一个质量块组成，在重 力作用下产生往复运动。当摆角较小（小于5度）时，单摆的 运动可以近似看作是简谐振动。在简正坐标系下，单摆的振 动形式可以表示为正弦或余弦函数。
实例三：电磁振荡器的简谐震动
教育教学
在高等教育中，简谐震动和简正坐标是物理学、工程学等专业的重要教学内容。通过深入 学习和理解简谐震动和简正坐标的理论基础，可以培养学生的逻辑思维和分析能力，提高 他们的科学素养。
THANKS
感谢观看
简正坐标的应用
1. 振动分析
简正坐标广泛应用于振动分析 领域，用于研究系统的振动特
性和响应。
2. 结构优化
在结构优化设计中，简正坐标 可以帮助分析结构的振动模态 和频率，从而优化结构的设计 。
3. 声学研究
在声学领域，声音的传播和辐射都 可以看作是简谐震动的叠加，因此 简谐震动理论也是声学研究的重要 基础。
02
简正坐标的概念
什么是简正坐标
• 简正坐标是一种描述系统振动的坐标方式，它将复 杂的振动问题简化为简单的数学模型，以便于分析 和求解。在简正坐标下，系统的振动形式被分解为 一系列正弦和余弦函数，每个函数代表一种独立的 振动模式。
简谐震动
简谐震动是物理学中一个基本而重要的概念，它描述的是一个振动系统在平衡 位置附近做周期性的往复运动。简谐震动可以用数学公式表示，其运动规律具 有特定的周期性和振幅。
简正坐标
简正坐标是用来描述简谐震动的坐标系，它能够将复杂的振动问题简化，方便 分析和计算。简正坐标系的选择取决于系统的具体形式和物理特性。
实例二：单摆的简谐震动
总结词
单摆在摆角较小的情况下，做近似于简谐振动的往复运动。
详细描述
单摆由一根长度为摆长的细线悬挂着一个质量块组成，在重 力作用下产生往复运动。当摆角较小（小于5度）时，单摆的 运动可以近似看作是简谐振动。在简正坐标系下，单摆的振 动形式可以表示为正弦或余弦函数。
实例三：电磁振荡器的简谐震动
教育教学
在高等教育中，简谐震动和简正坐标是物理学、工程学等专业的重要教学内容。通过深入 学习和理解简谐震动和简正坐标的理论基础，可以培养学生的逻辑思维和分析能力，提高 他们的科学素养。
THANKS
感谢观看
简正坐标的应用
1. 振动分析
简正坐标广泛应用于振动分析 领域，用于研究系统的振动特
性和响应。
2. 结构优化
在结构优化设计中，简正坐标 可以帮助分析结构的振动模态 和频率，从而优化结构的设计 。
3. 声学研究
固体物理总复习
gap
2 )q 一维双原子链的长声学波 ( a mM B 长声学波中相邻原子的振动 ( A ) 1
光学波 长波极限
2
mM B m , ( ) － mM A M
§3.4
1. 三维复式格子
三维晶格的振动
l i [ t R l k q ] 格波的一般形式 A e k k
ab c
§5 晶体的宏观对称性
点对称操作 1. 绕轴旋转 2.旋转-反演(反演，镜面) 对称操作
1. 绕轴旋转
2.旋转-反演 3.空间平移
晶体的宏观对称性只有8种独立的对称操作： 1，2，3，4，6， 1 ( i ),
2 (m)
和
4
能证明为何晶体中没有5次对称性？
第二章
• 晶体结合的类型？ • 晶体结合的物理本质？ • 固体结合的类型与固体性质之间的联系？
T —— 电子对比热的贡献, 即电子热容
AT 3—— 晶格振动对比热的贡献, 即晶格热容
温度不太低时，可以忽略电子的贡献 爱因斯坦模型与德拜模型 爱因斯坦温度和德拜温度
§3.9 晶格振动模式密度
晶格振动模式密度 —— 单位频率间隔的振动模式数目
n g ( ) lim 0
在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度
本课程的主要内容
晶格动力学
原子核的运动规律 核外电子的运动规律
固体物理
固体电子论
晶格动力学
1. 晶体结构 2. 固体的结合 3. 晶格振动和热学性质
固体电子论
4. 能带理论 5. 外场中电子的运动 6. 金属电子论
第一章 摘
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 §1-7 §1-8 §1-9
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
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N个原子的位移矢量 N个原子体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
取
平衡位置
—— 不计高阶项
系统的势能函数
V
1 2
i
3N , j1
(
2V
i
j
)0
i
j
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
系统的势能函数
系统的动能函数
系统的哈密顿量
H
1 2
3N i1
mi i 2
1 3N 2V (
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1, Q3N )
i1
E (Q1,
Q3N )
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
任意一个简正坐标
(
)
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数
声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子
一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为
当这种振动模处于
时，说明有 个声子
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动 —— 声子体系 —— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用 —— 声子具有能量_动量，看作是准粒子 —— 晶格振动的问题 声子系统问题的研究 —— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的 —— 声子系宗是无相互作用的声子气组成的系统
2 i, j1 i j
)0 i j
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
引入简正坐标 —— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来 假设存在线性变换
系统的哈密顿量
拉格朗日函数 正则动量
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
系统的哈密顿量
正则方程
pi
§3.3 简谐近似和简正坐标 简谐近似 —— 只考虑最近邻原子之间的相互作用 研究对象 —— 由N个质量为m的原子组成的晶体
第n个原子的平衡位置 偏离平衡位置的位移矢量
原子的位置 Rn ' Rn n (t) 原子位移宗量
3个方向上的分量
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
1 [2 2
2 Qi2
Q 2 2
ii
]
(Qi
)
i (Qi )
—— 谐振子方程
能量本征值
i
(ni
1 2
)
i
本征态函数
ni (Qi )
i
exp(
2
2
)
H
ni
(
)
— 厄密多项式
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
N个原子组成的晶体 系统薛定谔方程
系统能量本征值
E
3N
i
i 1
3N
(ni
i 1
1 2
)
i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3N
系统本征态函数 (Q1, Q2, Q3,Q3N ) ni (Qi )
i 1
ni (Qi )
i
exp(
2
2
)
H
ni
(
)
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
能量本征值
nq
(nq
1 2
)q
本征态函数
nq (Qq )
q
exp(
2
2
)
H
nq
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
H Qi
正则动量
pi
L Q i
Qi
Qi i2Qi 0, i 1, 2, 3, 3N
—— 3N个独立无关的方程
简正坐标方程解 Qi Asin(it )
简正振动 —— 晶体中所有原子参与振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质