最新中考专题复习-二次函数与方程(组)或不等式
2023年人教版九年级数学中考复习考点专练——二次函数与不等式(组)的综合应用(含答案)
2023人教版数学中考复习考点专练——二次函数与不等式（组）的综合应用一、单选题1．如图，一次函数y1=mx＋n（m≠0）与二次函数y2=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象相交于两点A（－1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围( )A．－1≤x≤9B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9D．x≤－1或x≥92．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（）A．x＜-1B．-1＜x＜3C．x＜-1或x＞3D．x＜-1或x＞43．一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为()A．-4<x<3B．x<-4C．3-<<x<-4D．x>3或x<-44．二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，对称轴为直线x ＝-2，图象经过（1，0），下列结论中，正确的一项（ ) A ．0c >B ．240ac b ->C ．93a c b+>D ．5a b >5．根据二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3的图像，判断下列说法中，错误的是（ ）A ．二次函数图象的对称轴是直线x ＝1B ．当x ＞0时，y ＜4C ．当x≤1时，函数值y 是随着x 的增大而增大D ．当y≥0时，x 的取值范围是－1≤x≤3时6．如图，已知抛物线 2y ax c =+ 与直线 y kx m =+ 交于 1(3)A y -， ， 2(1)B y ，两点，则关于 x 的不等式 2ax c kx m +≥-+ 的解集是（ ）A ．3x ≤- 或 1x ≥B ．1x ≤- 或 3x ≥C ．31x -≤≤D ．13x -≤≤7．若二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ＜﹣4或x ＞2 B ．﹣4≤x≤2 C ．x≤﹣4或x≥2D ．﹣4＜x ＜28．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴两交点的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＜0＜x 2，则当ax 2+bx+c≤0时，x 的取值范围是（ ）A ．x 1＜x ＜x 2B ．x 1≤x≤x 2C ．﹣x 1≤x≤x 2D ．x≤x 1或x≥x 29．小明从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤32a b =．你认为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如表.下列结论：①0ac <；②当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小③3是方程2(1)0ax b x c +-+=的一个根；④当13x -<<时，2(1)0ax b x c +-+>.其中正确的个数为（ ）二、填空题11．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴的两个交点分别是A （﹣1，0），B （2，0）．当y ＞0时，x 的取值范围是 ．12．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）.若二次函数y=x 2+（a ﹣3）x+3的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 .13．如图是二次函数 ()210y ax bx c a =++≠ 和一次函数 ()20y mx n m =+≠ 的图象，当 21y y > ， x 的取值范围是 .14．抛物线 ()26y a x k =-+ 经过点 ()0,2 ，当 9x = 时2.43y > ，当 18x =时 0y < ，则k 的取值范围是 .15．对任意实数 a ，若多项式 22253b ab a +﹣ 的值总大于 3﹣，则实数 b 的取值范围是 ．三、解答题16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y=-23x 2+bx+c 的图象经过B 、C 两点．（1）求b ，c 的值．（2）结合函数的图象探索：当y ＞0时x 的取值范围．17．我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y （件）是售价x （元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件． （1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价﹣成本）18．已知关于x 的一元二次方程ax 2－3x －1＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都在－1和0之间(不包含－1和0)，求a 的取值范围．19．已知二次函数y ＝x 2﹣2mx+1．记当x ＝c 时，函数值为y c ，那么，是否存在实数m ，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a ，b ，总有y a +y b ≥1．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2-2x （a≠0）与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）当a=-1时，求A ，B 两点的坐标；（2）过点P （3，0）作垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于点C ． ①当a=2时，求PB+PC 的值；②若点B 在直线l 左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】C11．【答案】x ＜﹣1或x ＞212．【答案】﹣1≤a ＜﹣ 12或a=3﹣2 13．【答案】-2＜x ＜1 14．【答案】83k >15．【答案】66b <<﹣16．【答案】（1）∵正方形OABC 的边长为2，∴B （2，2），C （0，2）， 把B （2，2），C （0，2）代入y=-x 2+bx+c 得，解得；（2）二次函数解析式为y=-x 2+x+2，当y=0时，-x 2+x+2=0，解得x 1=-1，x 2=3，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）， ∴当-1＜x ＜3时，y ＞0．17．【答案】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b （k≠0），把x=22，y=780，x=25，y=750代入y=kx+b 得2278025750k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得101000k b =-⎧⎨=⎩∴函数的关系式为y=﹣10x+1000； （2）设该工艺品每天获得的利润为w 元，则w=y （x ﹣20）=（﹣10x+1000）（x ﹣20）=﹣10（x ﹣60）2+16000； ∵﹣10＜0，∴当20＜x≤30时，w 随x 的增大而增大，所以当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大． 即w 最大=﹣10（30﹣60）2+16000=7000元；答：当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为7000元．18．【答案】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2－3x －1=0有两个不相等的实数根∴△= ()()234a 10--⨯⨯-> ，解得，a ＞ 94-令y=ax 2－3x －1，则该二次函数的图象与y 轴交于(0，－1)∵方程ax 2－3x －1=0的两个实数根都在－1和0之间∴二次函数y=ax 2－3x －1与x 轴两交点的横坐标都在－1和0之间 ∴a ＜0，其大致图象如图所示： 当x=－1时，y=ax 2－3x －1=a ＋2＜0 解得，a ＜－2 综上可得： 94-＜a ＜－2． 19．【答案】解：设y 在0≤x≤1的最小值为M ，原问题等价于2M≥1，M≥12， 二次函数y ＝x 2﹣2mx+1的图象是一条开口向上的抛的线， ①当对称轴x ＝m≤0时，由图象可知，x ＝0时，y 最小＝1，这时1≥12成立； ②当对称轴x ＝m ，0＜m ＜1时，由图象可知x ＝m 时，y 最小且y 最小＝1﹣m 2，有1﹣m 2≥12 ，m 2≤ 12 ，故有0＜m≤ 2； ③当对称轴x ＝m ，m≥1时，由图象可知，x ＝1时，y 最小且y 最小＝2﹣2m ，这时有2﹣2m≥12 ，m≤ 34与m≥1矛盾．综上可知，满足条件的m 存在，且m 的取值范围是m≤2． 20．【答案】（1）解：当a=-1时，有y=-x 2-2x ．令y=0，得：-x 2-2x=0． 解得x 1=0，x 2=-2． ∵点A 在点B 的左侧， ∴A （-2，0），B （0，0）（2）解：①当a=2时，有y=2x 2-2x ． 令y=0，得2x 2-2x=0． 解得x 1=0，x 2=1． ∵点A 在点B 的左侧， ∴A （0，0），B （1，0）． ∴PB=2．当x=3时，y C =2×9-2×3=12． ∴PC=12． ∴PB+PC=14．②点B 在直线l 左侧，如图所示：∵PB+PC≥14，∴3-x+ax2-2x≥14，可得：a≤- 59或a≥2.。
备考2021年中考数学复习专题：函数_二次函数_二次函数与不等式(组)的综合应用,综合题专训及答案
若
≤－2，比较 与 的大小；
（4） 当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围。
9、 (2017濉溪.中考模拟) 2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练 ．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米 ，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．
下面是他的探究过程，请将探究过程补充完整： 将不等式按条件进行转化：
当x=0时，原不等式不成立； 当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞ ； 当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜ ； （1） 构造函数，画出图象 设y3=x2+4x﹣1，y4= ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
备考2021年中考数学复习专题：函数_二次函数_二次函数与不等式（组）的综
合应用，综合题专训及答案
备 考 2021中 考 数 学 复 习 专 题 ： 函 数 _二 次 函 数 _二 次 函 数 与 不 等 式 （ 组 ） 的 综 合 应 用 ， 综 合 题 专 训
1、 (2018长春.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D 的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣ x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1 ， 函数y=﹣ x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2 ， 其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．
交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．
观察图象可知：
中考数学压轴题---《方程(组)+不等式(组)二次函数模型》例题讲解
中考数学压轴题---《方程（组）+不等式（组）二次函数模型》例题讲解【典例3】（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，解得：x1＝2或x2＝18，∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，应舍去．∴T恤的销售单价应提高2元，答：T恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M元，由题意可得：M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），＝﹣10x2+200x+3000，＝﹣10（x﹣10）2+4000，∴当x＝10时，M最大值＝4000元，∴销售单价：40+10＝50（元），答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．【变式3-1】（2023•蜀山区校级一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？【解答】解：（1）设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到96600元，由题意得x[480﹣2（x﹣200）]＝96600，解得x2﹣440x+48300＝0，解得x＝230或x＝210，∴该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到96600元；（2）设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，由题意得W＝m[480﹣2（m﹣200）]＝﹣2m2+880m＝﹣2（m﹣220）2+96800，∵﹣2＜0，∴当m＝220时，W最大，最大为96800，∴大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是96800元．【变式3-2】某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，根据题意得：，解得，答：A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；（2）①根据题意，A款纪念册每本降价m元，可多售出2m本A款纪念册，∵两款纪念册每天销售总数不变，∴B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，根据表格可得：，解得，∴y＝﹣2x+124，当y＝80﹣2m时，x＝22+m，即B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，设该店每天所获利润是w元，由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴m＝6时，w取最大值，最大值为1264元，此时A款纪念册售价为32﹣m＝32﹣6＝26（元），答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．【变式3-3】（2022秋•中原区校级期中）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂购进A、B两款纪念“二十大”的钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）（1）网店第一次用8500元购进A、B两款钥匙扣共300件，求两款钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的两款钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共800件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于22000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）“二十大”临近结束时，B款钥匙扣还有大量剩余，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，根据题意得：，解得：．答：购进A款钥匙扣200件，B款钥匙扣100件．（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（800﹣m）件B款钥匙扣，根据题意得：30m+25（800﹣m）≤22000，解得：m≤400．设再次购进的A、B两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（800﹣m）＝3m+9600．∵3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝400时，w取得最大值，最大值＝3×400+9600＝10800，此时800﹣m＝800﹣400＝400．答：当购进400件A款钥匙扣，400件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是10800元．（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，根据题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，整理得：a2﹣64a+1020＝0，解得：a1＝30，a2＝34．又∵要尽快减少库存，∴a＝30．答：B款钥匙扣的售价应定为30元．【变式3-4】（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，，解得，，∴y＝﹣500x+12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，，解得，3≤x≤12，设利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，∵3≤x≤12，且x为正整数∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．又∵x为整数，∴对称轴在x＝14.5的右侧时，当x≤15（x为整数）时，w都随x的增大而增大，∴14.5＜13.5+0.5m，解得m＞2，∵1≤m≤6，∴2＜m≤6。
中考数学专题复习二次函数试题(无答案)
中考数学专题复习二次函数试题（无答案）二次函数专题考点一：二次函数的解析式及其求解一般的，形如),0(2是常数、、c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量，c b a 、、分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）一般式：c bx ax y ++=2。
已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2。
已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.（4）对称点式：已知图像上有两个关于y 轴对称的点()()k x k x ,,,21，那么函数的方程可以选用对称点式()()k x x x x a y +--=21，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。
例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。
（1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程（2）已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．（3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
（4）已知二次方程32=++c bx ax 的两个根是-1和2，而且函数c bx ax y ++=2过点（3,4），求函数c bx ax y ++=2的解析式。
（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.（6）已知二次函数当x ＝2时有最大值3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
变式1：（1）、已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4),且与y 轴交点为（0，7），则求函数的解析式（2）已知过点（2，0），（3，5）的抛物线c bx ax y ++=2与直线33+=x y 相交与x 轴上，求二次函数的解析式（3）已知二次函数c bx ax y ++=2，其顶点为（2,2)，图象在x 轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
专题16 二次函数与不等式(组)(基础)-冲刺2021年中考数学(解析版)
专题16 二次函数与不等式（组）（基础）1．如图，直线y ＝x +m 和抛物线y ＝x 2+bx +c 都经过点A （1，0），B ，且当x ＝4时，二次函数的值为6．（1）求m 的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x 2+bx +c ＞x +m 的解集．【分析】（1）直接把点A （1，0）代入直线y ＝x +m 即可得出m 的值；再把点A （1，0）与当x ＝4时，y ＝6代入抛物线y ＝x 2+bx +c 即可得出b 、c 的值，进而得出抛物线的解析式；（2）根据（1）中m 、b 、c 的值即可得出一次函数与二次函数的解析式，故可得出B 点坐标，根据函数的图象即可得出结论．【解答】解：（1）∵直线y ＝x +m 和经过点A （1，0），∴1+m ＝0，解得m ＝﹣1；∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （1，0），且当x ＝4时，二次函数的值为6，∴{1+b +c =016+4b +c =6，解得{b =−3c =2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣3x +2；（2）∵由（1）知m ＝﹣1，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣3x +2，∴直线的解析式为y ＝x ﹣1，∴{y =x −1y =x 2−3x +2，解得{x =3y =2或{x =1y =0， ∴B （3，2）．∵由函数图象可知，当x ＜1或x ＞3时，二次函数的值大于一次函数的值，∴不等式x 2+bx +c ＞x +m 的解集为x ＜1或x ＞3．【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．2．已知二次函数y 1＝x 2+mx +n 的图象经过点P （﹣3，1），对称轴是直线x ＝﹣1．（1）求m ，n 的值；（2）如图，一次函数y 2＝x +b 的图象经过点P ，与二次函数的图象相交于另一点B ，请求出点B 的坐标，并观察图象直接写出y 1≥y 2的x 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，从而得到m 、n 的值；（2）先把P 点坐标代入y ＝x +b 中求出b 得到一次函数解析式为y ＝x +4，再解方程组{y =x 2+2x −2y =x +4得B 点坐标，然后利用函数图象，写出抛物线不在一次函数图象下方所对应的自变量的范围．【解答】解：（1）根据题意得{9−3m +n =1−m 2=−1，解得{m =2n =−2， 抛物线解析式为y ＝x 2+2x ﹣2；（2）把P （﹣3，1）代入y ＝x +b 得﹣3+b ＝1，解得b ＝4，∴一次函数解析式为y ＝x +4，解方程组{y =x 2+2x −2y =x +4得{x =−3y =1或{x =2y =6， ∴B 点坐标为（2，6），当x ≤﹣3或x ≥2时，y 1≥y 2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）与不等式的关系，可利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过A （2，0），B （0，﹣1）和C （4，5）三点（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出不等式ax 2+bx +c ＜x +1的解集．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）先解方程12x 2−12x ﹣1＝x +1得抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝x +1的交点的横坐标分别为﹣1，4；如图，然后写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）根据题意得{4a +2b +c =0c =−116a +4b +c =5，解得{ a =12b =−12c =−1， 所以抛物线解析式为y =12x 2−12x ﹣1；（2）解方程12x 2−12x ﹣1＝x +1得x 1＝﹣1，x 2＝4， 即抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝x +1的交点的横坐标分别为﹣1，4；如图，所以当﹣1＜x ＜4时，ax 2+bx +c ＜x +1，即不等式ax 2+bx +c ＜x +1的解集为﹣1＜x ＜4．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．4．如图，抛物线y 1＝﹣x 2+2x +3与直线y 2＝4x 交于A ，B 两点．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）当x 取何值时，y 1＞y 2？【分析】（1）联立两函数解析式求解即可；（2）根据函数图象写出抛物线直线上方部分的x 的取值范围即可．【解答】解：（1）由题意可得：{y 1=−x 2+2x +3y 2=4x， 解得：{x 1=1y 1=4，{x 2=−3y 2=−12， 所以A 点的坐标是（1，4），B 点的坐标是（﹣3，﹣12）；（2）由图可知，﹣3＜x ＜1时，y 1＞y 2．【点评】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了联立两函数解析式求交点坐标的方法，利用函数图象求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是更简便．5．如图，已知直线y 1=−12x +2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的抛物线y 2＝ax 2+bx +c 交x 轴于点C （﹣1，0）．（1）求A 、B 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）并指出当y 2＞y 1时，x 的取值范围．【分析】（1）利用一次函数的解析式确定A 、B 的坐标；（2）利用待定系数法求抛物线解析式；（3）写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围．【解答】解：（1）当x ＝0时，y =−12x +2＝2，则B （0，2）；当y ＝0时，−12x +2＝0，解得x ＝4，则A （4，0）；（2）设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4），把B （0，2）代入得a （0+1）（0﹣4）＝2，解得a =−12，所以抛物线解析式为y =−12（x +1）（x ﹣4），即y =−12x 2+32x +2；（3）当y 2＞y 1时，x 的取值范围为0＜x ＜4．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x 轴的交点问题和二次函数的性质．6．已知抛物线y 1＝x 2与直线y 2=−12x +3相交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）点O 为坐标原点，△AOB 的面积等于 214； （3）当y 1＜y 2时，x 的取值范围是 ﹣2＜x ＜32 ．【分析】（1）通过解方程组{y =x 2y =−12x +3得A 点和B 点坐标； （2）先求出直线y =−12x +3与y 轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）解方程组{y =x 2y =−12x +3得{x =−2y =4或{x =32y =94， 所以A 点坐标为（﹣2，4），B （32，94）； （2）当x ＝0时，y =−12x +3＝3，则直线y =−12x +3与y 轴的交点坐标为（0，3），所以，△AOB 的面积=12×3×（32+2）=214； （3）当﹣2＜x ＜32时，y 1＜y 2．故答案为214；﹣2＜x ＜32． 【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．7．如图，A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点在一次函数y 1＝﹣x +m 与二次函数y 2＝ax 2+bx ﹣3的图象上．（1）求m 的值和二次函数的解析式，（2）请直接写出使y 1≤y 2时自变量x 的取值范围．【分析】（1）因为点A （﹣1，0）、B （2，﹣3）都在一次函数和二次函数图象上，一次函数只有一个待定系数m ，所以将A （﹣1，0）、B （2，﹣3）中任意一点的坐标代入y 2＝﹣x +m 即可；二次函数y 1＝ax 2+bx ﹣3有两个待定系数a 、b ，所以需要A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点的坐标都代入y 1＝ax 2+bx ﹣3，用二元一次方程组解出a 、b 的值．（2）直接观察图象中同一个横坐标对应的y 1、y 2的值，直接得到答案．【解答】解：（1）把A （﹣1，0）代入y 2＝﹣x +m 得：0＝﹣（﹣1）+m ，∴m ＝﹣1．把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点代入y 1＝ax 2+bx ﹣3得：{a −b −3=04a +2b −3=−3， 解得：{a =1b =−2， ∴y 2＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∵y 1＝x 2﹣2x ﹣3＝（x +1）（x ﹣3），抛物线开口向上，∵A （﹣1，0），B （2，﹣3）∴当y 1≤y 2时，x ≤﹣1或x ≥2．【点评】此题考查了二次函数与不等式（组），熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法是解题的关键．8．如图，A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点在一次函数y 2＝﹣x +m 与二次函数y 1＝ax 2+bx ﹣3的图象上（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）请直接写出y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和抛物线解析式；（2）利用函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）把A （﹣1，0）代入y ＝﹣x +m 得1+m ＝0，解得m ＝﹣1，∴一次函数解析式为y ＝﹣x ﹣1；把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）代入y ＝ax 2+bx ﹣3得{a −b −3=04a +2b −3=−3，解得{a =1b =−2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当﹣1＜x＜2时，y2＞y1．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围或利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．9．已知二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）若抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2的图象如图所示，请直接写出不等式x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＜0的解集；（3）在（2）的条件下，若关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，求k的值．【分析】（1）计算判别式得到△＝（a﹣3）2，则根据非负数的性质可判断△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用对称轴方程得到a＝4，则抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，再解方程x2﹣3x+2＝0得抛物线与x 轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围得到不等式x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＜0的解集；（3）方程整理为x2﹣3x+2﹣k＝0，然后利用判别式的意义得到△＝32﹣4（2﹣k）＝0，然后解关于k 的方程即可．【解答】（1）证明：△＝（a﹣1）2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+1﹣4a+8＝（a﹣3）2，∵（a﹣3）2≥0，即△≥0，∴不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）解：∵x=−−(a−1)2=32，∴a＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，当y＝0时，x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），当1＜x＜2时，y＜0，即不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集为1＜x＜2；（3）解：x2﹣3x+2＝k，即x2﹣3x+2﹣k＝0，∵方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，∴△＝32﹣4（2﹣k）＝0，解得k=−1 4．【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了判别式的意义．10．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n交于A（0，1），B（3，0）．（1）当x＝0或3时，y1＝y2；（2）当0＜x＜3时，y1＞y2；（3）当x＜0或x＞3时，ax2+bx+c＜mx+n．【分析】（1）x取抛物线与直线的交点的横坐标即可；（2）利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可；（3）利用函数图象，写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）当x＝0或x＝3时，y1＝y2；（2）当0＜x＜3时，y1＞y2；（3）当x＜0或x＞3时，ax2+bx+c＜mx+n．故答案为0或3；0＜x＜3；x＜0或x＞3．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．11．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝mx+n的图象经过A，C两点．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．【分析】（1）根据二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），可以求得二次函数的解析式，再根据点C 与点B 关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数y ＝mx +n 的图象经过A ，C 两点，从而可以求得一次函数的解析式；（2）根据函数图象可以直接写出满足不等式x 2+bx +c ＞mx +n 的x 的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A （1，0），B （0，3），∴{1+b +c =0c =3，得{b =−4c =3， ∴y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，∴二次函数的对称轴为直线x ＝2，∵B （0，3），点C 与点B 关于该二次函数图象的对称轴对称，∴点C （4，3），设∵一次函数y ＝mx +n 的图象经过A ，C 两点，∴{m +n =04m +n =3，得{m =1n =−1， ∴一次函数y ＝x ﹣1，即二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +3，一次函数的解析式为y ＝x ﹣1；（2）由图象可知，不等式x 2+bx +c ＞mx +n 的x 的取值范围：x ＜1或x ＞4．【点评】本题考查二次函数与不等式组、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．12．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝x +3分别交于x 轴和y 轴的同一点A 和C ，且抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2．（1）求抛物线与x 轴的两个交点A 和B 的坐标；（2）试确定抛物线的解析式；（3）观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据已知得出点A 、C 的坐标，再利用点A 与点B 关于直线x ＝﹣2对称，即可求出B 点坐标；（2）利用待定系数法求二次函数解析式，即可得出答案；（3）由图象观察可知，二次函数值小于一次函数值时，得出x 的取值范围．【解答】解：（1）y ＝x +3中，当y ＝0时，x ＝﹣3，∴点A 的坐标为（﹣3，0），当x ＝0时，y ＝3，∴点C 坐标为（0，3），∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2，∴点A 与点B 关于直线x ＝﹣2对称，∴点B 的坐标是（﹣1，0）；（2）设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，∵二次函数的图象经过点C （0，3）和点A （﹣3，0），且对称轴是直线x ＝﹣2，∴可列得方程组：{c =39a −3b +c =0−b 2a =−2， 解得：{a =1b =4c =3，∴二次函数的解析式为y ＝x 2+4x +3；（3）由图象观察可知，当﹣3＜x ＜0时，二次函数值小于一次函数值．【点评】此题主要考查了一次函数与交点坐标求法以及待定系数法求二次函数解析式和结合图象比较函数大小关系等知识，利用函数图象比较函数的大小关系是难点，同学们应重点掌握．13．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣1的图象经过点D （﹣1，0）和点C （4，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）在同一坐标系中直接画出直线y ＝x +1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）直线y ＝x +1经过点D （﹣1，0）和点C （4，5），再根据图象直接得出答案．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx ﹣1的图象经过点D （﹣1，0）和点C （4，5）．∴{a −b −1=016a +4b −1=5，解得{a =12b =−12， ∴二次函数的解析式为y =12x 2−12x ﹣1；（2）∵直线y ＝x +1经过点点D （﹣1，0）和点C （4，5）．∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是﹣1＜x ＜4．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C（﹣1，0）和D两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）结合图象填空：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝0，x2＝2；②不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3．【分析】（1）由图象可知抛物线顶点为（1，4），故设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，．代入点（0，3）即可求得a的值；（2）根据抛物线的对称性求得点（0，3），（﹣1，0）的对称点，然后根据图象即可求得．【解答】解：（1）由图象可知抛物线顶点为（1，4），∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，∵抛物线与y轴交于点B（0，3），∴3＝a+4，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）①∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴（0，3）的对称点是（2，3），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝0，x2＝2；②∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴（﹣1，0）的对称点是（3，0），∴等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3，故答案为x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．15．如图，二次函数y1=−25x2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D ．（1）求二次函数的解析式y 1和一次函数的解析式y 2；（2）求点D 的坐标；（3）结合图象，请直接写出y 1≤y 2时，x 的取值范围： x ≤0或x ≥132 ．【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的解析式和一次函数的解析式；（2）解析式联立，解方程组即可求得交点D 的坐标，（3）根据交点坐标，结合图象即可求得．【解答】解：（1）将点A （﹣1，0）和点B （0，2）代入y 1=−25x 2+bx +c ，得：{c =2−25−b +c =0， 解得：{b =85c =2， ∴二次函数的解析式为y 1=−25x 2+85x +2．∵二次函数的对称轴为直线x =−852×(−25)=2，∴C （2，0），∵一次函数y 2＝mx +n 的图象经过点B 、C ，∴{n =22m +n =0，解得{m =−1n =2， ∴一次函数的解析式为y 2＝﹣x +2；（2）解{y =−25x 2+85x +2y =−x +2得{x =0y =2或{x =132y =−92， ∴点D 为（132，−92）； （3）由图象可知，当x ≤0或x ≥132时，有y 1≤y 2．故答案为x ≤0或x ≥132．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．16．如图，二次函数y ＝（x +2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且点B 与点C 关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过该二次函数图象上点A （﹣1，0）及点B ．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x+2）2+m的x的取值范围．【分析】（1）先利用待定系数法求出m，即可求得抛物线的解析式；（2）先求得C的坐标，然后根据对称性求出点B坐标，即可根据二次函数的图象在一次函数的图象下面即可写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴0＝1+m，∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1；（2）令x＝0，则y＝（x+2）2﹣1＝3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴为直线x＝﹣2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（﹣4，3），由图象可知，满足kx+b≥（x+2）2+m的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．【点评】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定二次函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．17．如图，抛物线y1＝﹣x2﹣x+c与直线y2=12x+b交于A，B（1，0）两点．（1）分别求c，b的值．（2）求y1﹣y2的最大值．（3）求点A的坐标，并根据图象判断，当x取何值时，y1＞y2？【分析】（1）根据抛物线y1＝﹣x2﹣x+c与直线y2=12x+b交于A，B（1，0）两点，可以求得b、c的值；（2）根据（1）中b、c的值，可以写出y1和y2的解析式，然后作差，根据二次函数的性质，即可得到y1﹣y2的最大值；（3）将y1和y2的解析式联立方程组，求出x、y的值，即可得到点A的坐标，然后根据图象，可以写出当x取何值时，y1＞y2．【解答】解：（1）∵抛物线y 1＝﹣x 2﹣x +c 与直线y 2=12x +b 交于A ，B （1，0）两点，∴0＝﹣1﹣1+c ，0=12×1+b ， 解得，b =−12，c ＝2；（2）∵b =−12，c ＝2，∴抛物线y 1＝﹣x 2﹣x +2，直线y 2=12x −12，∴y 1﹣y 2＝（﹣x 2﹣x +2）﹣（12x −12） ＝﹣x 2−32x +52＝﹣（x +34）2+4916，即当x =−34时，y 1﹣y 2取得最大值4916， 即y 1﹣y 2的最大值是4916；（3）{y =−x 2−x +2y =12x −12， 解得，{x =−52y =−74或{x =1y =0， ∴点A 的坐标为（−52，−74），由图象可得，当−52＜x ＜1时，y 1＞y 2．【点评】本题考查二次函数与不等式组、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图，二次函数y ＝（x ﹣2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．（1）求B 点坐标与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx +b ≥（x ﹣2）2+m 的x 的取值范围．（3）求线段AB 的长度．【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，即可求得抛物线解析式，进而求得C的坐标，根据对称性求出点B坐标．（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象下面即可写出自变量x的取值范围；（3）利用勾股定理即可求得．【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x﹣2）2+m经过点A（1，0），∴0＝1+m，∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴为直线x＝2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（4，3）；（2）由图象可知，满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围为1≤x≤4．（3）∵A（1，0），B（4，3），∴AB=√(4−1)2+(3−0)2=3√2．【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，数形结合是解题的关键．19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；（2）找出函数值小于0时x的取值范围即可；（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围．【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3；（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下，即当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，则k＜2．【点评】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝x+k（k≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c﹣x﹣k＜0的解集；（3）写出二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝m有两个不等的实数根，求m的取值范围；【分析】观察函数图象即可求解．【解答】解：（1）从图象看，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝﹣3或﹣1；（2）从图象看，﹣3＜x＜﹣0.5时，ax2+bx+c＜x+k，即ax2+bx+c﹣x﹣k＜0；（3）从图象看x＜﹣2时，y随x的增大而减小；（4）设y＝m，当m＞﹣2时，y＝m与y＝ax2+bx+c有两个交点，故m＞﹣2．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．。
专题08二次函数的图象与性质(讲)-2019年中考数学二轮复习
备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题08 二次函数的图象与性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）二次函数的定义形如2y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. （二）二次函数的性质(1)a 决定抛物线的开口方向①0a >⇔开口向上；②0a <⇔开口向下． (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置①0c >⇔图象与y 轴交点在x 轴上方；②0c =⇔图象过原点；③0c <⇔图象与y 轴交点在x 轴下方． (3)a b 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴：2bx a=-) ①a b 、同号⇔对称轴在y 轴左侧；②0b =⇔对称轴是y 轴；③a b 、异号⇔对称轴在y 轴右侧，简记为：左同右异中为0．(4)顶点坐标24()24b ac b a a --，．(5)24b ac ∆=-决定抛物线与x 轴的交点情况． ①△>0⇔抛物线与x 轴有两个不同交点； ②△=0⇔抛物线与x 轴有唯一的公共点(相切)； ③△<0⇔抛物线与x 轴无公共点．(6)二次函数是否具有最大、最小值由a 判断．①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值． （7）242a b a b c a b c ±±+±+、、 的符号的判定：x yO-112a-b 2a+b①若对称轴在直线x=1的左侧，则2a b +与a 同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则2a b +与a 异号，若对称轴为直线x=1，则2a b +=0，简记为：1的两侧判2a b +，左同右异中为0；②若对称轴在直线1x =-的左侧，则2a b -与a 异号，若对称轴在直线1x =-的右侧，则2a b -与a 同号，若对称轴为直线1x =-，则2a b -=0，简记为：－1的两侧判2a b -，左异右同中为0； ③当1x =时，y a b c =++，所以a b c ++的符号由1x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当1x =-时，y a b c =-+，所以a b c -+的符号由1x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =时，42y a b c =++，所以42a b c ++的符号由2x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =-时，42y a b c =-+，所以42a b c -+的符号由2x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 简记为：表达式，请代值，对应y 值定正负； 对称轴，用处多，三种式子a 相约；y 轴两侧判a b 、，左同右异中为0；1的两侧判2a b +，左同右异中为0； 1两侧判2a b -，左异右同中为0. （三）二次函数的解析式①一般式：2y ax bx c =++()0≠a ，用于已知三点，求抛物线的解析式.②顶点式：2()y a x h k =-+，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.③交点式：()()21x x x x a y --=，其中1x 、2x 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x 轴上的截距，也可用此式. （四）二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少.（五）二次函数图象的平移 方法一：顶点法二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。
【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 二次函数
二次函数一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1, 2）B．（1, 2）C．（2, ﹣1）D．（2, 1）2．下列抛物线中, 在开口向下的抛物线中开口最大的是（）A．y＝x2B．C．D．y＝﹣3x23．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：对称轴为（）x﹣10123y51﹣1﹣11 A．y轴B．直线x＝C．直线x＝D．直线x＝24．抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点, 那么a的值等于（）A．0B．1C．﹣1D．35．抛物线y＝﹣2（x+3）2+4的顶点坐标是（）A．（﹣3, 4）B．（3, 4）C．（﹣3, ﹣4）D．（3, ﹣4）6．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位, 再向下平移3个单位, 得到的函数图象的表达式是（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3 7．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1可由抛物线y＝﹣2x2平移得到, 则平移的方式是（）A．向右平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度C．向右平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度8．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度, 再向左平移2个单位长度后, 得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2+2B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x﹣3）2+1 9．若函数是二次函数, 则m的值是（）A．2B．﹣1或3C．﹣1D．310．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（, y1）、B（, y2）两个点, 则（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．无法确定二．填空题（共5小题）11．某商场要经营一种新上市的文具, 进价为20元, 试营销阶段发现：当销售单价是25元时, 每天的销售量为250件, 销售单价每上涨1元, 每天的销售量就减少10件, 当销售单价为元时, 该文具每天的销售利润最大．12．已知关于x的二次函数y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1的图象经过原点, 则m的值为．13．将抛物线y＝x2+1向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为．14．抛物线y＝x2+mx+4的图象与y轴的交点坐标是．15．某二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y2＝kx+m（k≠0）相交于点M、N, 则当y1＞y2时, 自变量x的取值范围是．三．解答题（共6小题）16．如图, 用一段长为28m的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长为18m．设矩形的一边长为xm, 面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）写出此二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；（3）写出二次函数图象的对称轴．17．在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0, 1）, B（3, 4）．求此二次函数的解析式及函数图象的对称轴．18．学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套, 经调查发现, 该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+40（10＜x＜20）, 设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？19．已知二次函数顶点是（2, 3）且经过（0, 1）, 求此二次函数的解析式．20．为了改善小区环境, 某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD, 绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的AB边长为xm, 绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式, 并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时, 满足条件的绿化带的面积最大？21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3, 0）, 与x轴的另一个交点为C．与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．（1）求抛物线的解析式及点B, C的坐标；（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线有一点D, 且S△ABD＝S△ABC, 求点D的坐标．2023年中考数学专题复习--二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1, 2）B．（1, 2）C．（2, ﹣1）D．（2, 1）【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2,∴其顶点坐标为（1, 2）．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的性质, 熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．2．下列抛物线中, 在开口向下的抛物线中开口最大的是（）A．y＝x2B．C．D．y＝﹣3x2【分析】根据二次函数的性质, 开口向下, 二次项系数小于0, 二次项系数的绝对值越小, 开口越大解答．【解答】解：∵抛物线开口向下,∴二次项系数小于0,∵|﹣|＜|﹣3|,∴y＝﹣x2的开口更大．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质, 熟记二次项系数与二次函数的开口方向和开口大小的关系是解题的关键．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：对称轴为（）x﹣10123y51﹣1﹣11 A．y轴B．直线x＝C．直线x＝D．直线x＝2【分析】由于x＝1和2时的函数值相等, 然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．【解答】解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣1,∴对称轴为直线x＝＝．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质, 主要利用了对称性, 掌握对称轴的求解方法是解题的关键．4．抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点, 那么a的值等于（）A．0B．1C．﹣1D．3【分析】根据抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点, 可以得到0＝﹣a﹣1, 然后求出a的值即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点,∴0＝﹣a﹣1,解得a＝﹣1,故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征, 解答本题的关键是明确题意, 利用二次函数的性质解答．5．抛物线y＝﹣2（x+3）2+4的顶点坐标是（）A．（﹣3, 4）B．（3, 4）C．（﹣3, ﹣4）D．（3, ﹣4）【分析】根据二次函数的顶点式, 可以直接写出顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+3）2+4,∴该函数的顶点坐标为（﹣3, 4）,故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质, 解答本题的关键是明确题意, 由顶点式可以写出顶点坐标．6．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位, 再向下平移3个单位, 得到的函数图象的表达式是（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减, 左加右减”的原则进行解答．【解答】解：二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位, 再向下平移3个单位, 得到的函数图象的表达式是：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．7．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1可由抛物线y＝﹣2x2平移得到, 则平移的方式是（）A．向右平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度C．向右平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度【分析】原抛物线顶点坐标为（0, 0）, 平移后抛物线顶点坐标为（1, ﹣1）, 由此确定平移的步骤．【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2﹣1,∴该抛物线的顶点坐标是（1, ﹣1）,∵抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0, 0）,∴平移的方法可以是：将抛物线y＝2x2向右平移1个单位, 再向下平移1个单位．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移, 寻找平移方法．8．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度, 再向左平移2个单位长度后, 得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2+2B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x﹣3）2+1【分析】直接根据“上加下减, 左加右减”的原则进行解答．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度, 再向左平移2个单位长度后, 得到的抛物线表达式是y＝（x﹣1+2）2+2﹣1, 即y＝（x+1）2+1．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．9．若函数是二次函数, 则m的值是（）A．2B．﹣1或3C．﹣1D．3【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2, 且m2+m≠0,解得：m＝3．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的定义, 正确把握定义是解题关键．10．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（, y1）、B（, y2）两个点, 则（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．无法确定【分析】A、B的坐标两个点的横坐标离对称轴的距离, 二次函数图象上点的横坐标离对称轴越近, 对应的纵坐标越小；判断出y1、y2的大小关系．【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）∴抛物线开口向上, 对称轴为x＝1, 开口向上．∵点A横坐标到对称轴的距离是|﹣1|＝,点B到横坐标对称轴的距离是|1|,∴y1＞y2．故选：B．【点评】本题考查判断函数值大小, 正确掌握二次函数图象的性质是解题关键．二．填空题（共5小题）11．某商场要经营一种新上市的文具, 进价为20元, 试营销阶段发现：当销售单价是25元时, 每天的销售量为250件, 销售单价每上涨1元, 每天的销售量就减少10件, 当销售单价为35元时, 该文具每天的销售利润最大．【分析】设该文具定价为x元, 每天的利润为y元, 根据每天利润＝单件利润×销售量列出函数解析式, 用函数的性质求最值．【解答】解：设该文具定价为x元, 每天的利润为y元,根据题意得：y＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250,∵﹣10＜0,∴当x＝35时, y最大, 最大值为2250,故答案为：35．【点评】本题考查二次函数的实际应用, 关键是找到等量关系列出函数解析式．12．已知关于x的二次函数y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1的图象经过原点, 则m的值为1．【分析】将原点坐标代入解析式求出m的值, 再由m+1≠0求解．【解答】解：将（0, 0）代入y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1得0＝m2﹣1,解得m＝1或m＝﹣1,∵m+1≠0,∴m≠﹣1, m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质, 解题关键是掌握二次函数与方程的关系．13．将抛物线y＝x2+1向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2+1．【分析】根据“左加右减”的法则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2+1向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为y ＝（x﹣2）2+1,故答案为：y＝（x﹣2）2+1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．14．抛物线y＝x2+mx+4的图象与y轴的交点坐标是（0, 4）．【分析】根据题意得出x＝0, 然后求出y的值, 即可以得到与y轴的交点坐标．【解答】解：令x＝0, 得y＝4,故与y轴的交点坐标是：（0, 4）．故答案为：（0, 4）．【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识, 正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键, 此题难度不大．15．某二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y2＝kx+m（k≠0）相交于点M、N, 则当y1＞y2时, 自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．【分析】根据抛物线与直线交点坐标, 结合图象求解．【解答】解：∵抛物线与直线交点坐标为M（﹣1, 4）, N（2, 1）,∴x＜﹣1或x＞2时, 抛物线在直线上方,∴当y1＞y2时, 自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．故答案为：x＜﹣1或x＞2．【点评】本题考查二次函数与不等式的关系, 解题关键是结合图象求解．三．解答题（共6小题）16．如图, 用一段长为28m的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长为18m．设矩形的一边长为xm, 面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）写出此二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；（3）写出二次函数图象的对称轴．【分析】（1）根据矩形的面积公式列出函数解析式即可；（2）由函数解析式可得结论；（3）由函数解析式可得结论．【解答】解：（1）依题意得, 矩形的另一边长为m,则y＝x×＝﹣x2+14x,自变量x的取值范围是0＜x≤18,∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+14x（0＜x≤18）；（2）由（1）中解析式知, 二次项系数为, 一次项系数为14, 常数项为0；（3）对称轴为直线x＝﹣＝14．【点评】本题考查二次函数的应用, 关键是列出函数解析式．17．在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0, 1）, B（3, 4）．求此二次函数的解析式及函数图象的对称轴．【分析】把A、B的坐标代入y＝x2+mx+n, 根据待定系数法即可求得一般式, 化成顶点式即可求得顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0, 1）, B（3, 4）；∴,解得：,∴y＝x2﹣2x+1,∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2,∴函数图象的对称轴为直线x＝1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式, 二次函数图象上点的坐标特征, 熟知待定系数法是解题的关键．18．学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套, 经调查发现, 该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+40（10＜x＜20）, 设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；（2）由（1）得到的是一个二次函数, 利用二次函数的性质, 可以求出最大利润以及销售单价．【解答】解：（1）y＝w（x﹣10）＝（﹣2x+40）（x﹣10）＝﹣2x2+60x﹣400；（2）y＝﹣2（x﹣15）2+50,∵10＜x＜20, a＝﹣2＜0,∴当x＝15时, y最大值＝50．答：当销售单价定为每双15元时, 每天的利润最大, 最大利润为50元．【点评】本题考查的是二次函数的应用, 解题的关键是（1）根据题意得到二次函数；（2）利用二次函数的性质求出最大值．19．已知二次函数顶点是（2, 3）且经过（0, 1）, 求此二次函数的解析式．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标, 则可设顶点式y＝a（x﹣2）2+3, 然后把（0, 1）代入求出a的值即可．【解答】解：设二次函数的解析式是y＝a（x﹣2）2+3,把（0, 1）代入, 得4a+3＝1, 即a＝﹣,∴该二次函数的解析式是y＝﹣（x﹣2）2+3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地, 当已知抛物线上三点时, 常选择一般式, 用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时, 常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时, 可选择设其解析式为交点式来求解．20．为了改善小区环境, 某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD, 绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的AB边长为xm, 绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式, 并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时, 满足条件的绿化带的面积最大？【分析】（1）依题意易求得y与x的函数关系式以及x的取值范围．（2）根据函数的性质以及x的取值范围求最大值．【解答】解：（1）由题意得：x2+20x,自变量x的取值范围是0＜x≤18；∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣x2+20x（0＜x≤18）；（2）y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200,∵﹣＜0, 0＜x≤18,∴当x＝18时, y有最大值, 最大值为192,即当x＝18时, 满足条件的绿化带面积最大．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法, 第一种可由图象直接得出, 第二种是配方法, 第三种是公式法, 常用的是后两种方法．21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3, 0）, 与x轴的另一个交点为C．与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．（1）求抛物线的解析式及点B, C的坐标；（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线有一点D, 且S△ABD＝S△ABC, 求点D的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式, 令x＝0, 求得y的值, 即可求得B的坐标, 求得对称轴, 根据抛物线的对称性即可求得C的坐标；（2）根据待定系数法即可求得直线AB的解析式, 把x＝1代入求得的直线解析式即可求得P的坐标；（3）过D点作DE⊥x轴, 交直线AB与E, 表示出DE, 然后根据三角形面积公式得到关于x的方程, 解方程求得x的值, 进而求得D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3, 0）,∴﹣9+6+m＝0, 解得m＝3,∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3,令x＝0, 则y＝3,∴B（0, 3）,∵对称轴为直线x＝﹣＝1,∴点A（3, 0）关于对称轴的对称点为（﹣1, 0）, ∴C（﹣1, 0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b,把A（3, 0）, B（0, 3）代入得,解得,∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3,把x＝1代入y＝﹣x+3得, y＝2,∴P的坐标为（1, 2）；（3）∵抛物线有一点D（x．y）,∴D（x, ﹣x2+2x+3）,过D点作DE⊥x轴, 交直线AB与E,∴E（x, ﹣x+3）,∵A（3, 0）, B（0, 3）, C（﹣1, 0）,∴S△ABC＝×（3+1）×3＝6,∴S△ABD＝S△ABC＝3,∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE,∴（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝3,解得x1＝1, x2＝2,∴D（1, 4）或（2, 3）．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式, 函数图象上点的坐标特征, 二次函数的性质, 三角形的面积, 表示交点的坐标是解题的关键．。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中考专题复习 二次函数与方程（组）或不等式◆知识讲解（1）最大值或最小值的求法第一步确定a 的符号：a>0有最小值，a<0有最大值；第二步求顶点，•顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．（2）y 轴与抛物线y=ax 2+bx+c 的交点为（0，c ）．（3）与y 轴平行的直线x=h 与抛物线y=ax 2+bx+c 有且只有一个交点（h ，ah 2+bh+c ）．（4）抛物线与x 轴的交点．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2是对应的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根．抛物线与x •轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔△>0⇔抛物线与x 轴相交．②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔△=0⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔△<0⇔抛物线与x 轴相离．（5）平行于x 轴的直线与抛物线的交点．同（4）一样可能有0个交点，1个交点，2个交点．当有2个交点时，•两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2+bx+c=k 的两个实数根．（6）一次函数y=kx+n （k≠0）的图像L 与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目确定：①当方程组有两组不同的解时⇔L与G 有两个交点；②方程组只有一组解时⇔L 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔L 与G 没有交点．（7）利用函数图像求不等式的解集，先观察图像，找出抛物线与x 轴的交点，•再根据交点坐标写出不等式的解集．注意：观察图像时不要看漏了其中的部分．◆例题解析例1 如图所示，已知抛物线y=－12x 2+（5）x+m －3与x 轴有两个交点A ，B ，点A •在x 轴的正半轴上，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ．（1）求m 的值；（2）求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴和顶点C 的坐标；（3）问在抛物线上是否存在一点M ，△MAC ≌△OAC ，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】抛物线与x 轴交于A ，B 两点，OA=OB ，故A ，B 两点关于y 轴对称，就可求得m 的值，由抛物线交y 轴的正半轴，得m 的确定值．【解答】（1）∵抛物线与y 轴交于正半轴，且OA=OB ．∴3050m a ->⎧⎪⎨=⎪⎩ 由②得m=±5，由①m>3，故m=－5应舍去．∴m=5．（2）抛物线的解析式为y=－12x 2+2，对称轴是y 轴，顶点C 的坐标为C （0，2）． （3）令y=0得 －12x 2+2=0，∴x=±2． ∴A （2，0），B （－2，0），C （0，2），△OAC 是等腰直角三角形．若存在一点M ，使△MAC ≌△OAC ，∵AC 为公共边，OA=OC ，∴点M 与O 关于直线AC 对称，∴M 点的坐标为（2，2）．当x=2时，－12x 2+2=0≠2． ∴M （2，2）不在抛物线上，即不存在一点M ，使△MAC ≌△OAC ．【点评】存在性问题，通常是先假定存在，若能找出具备某种条件或性质的对象，就说明存在，其叙述过程就是理由；若不存在，就需要进一步说明理由．例2 已知二次函数y=x 2－（2m+4）x+m 2－4（x 为自变量）的图像与y 轴的交点在原点下方，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左边，且A ，B 两点到原点的距离AO ，OB •满足3（•OB －AO ）=2AO·OB ，直线y=kx+k 与这个二次函数图像的一个交点为P ，且锐角∠POB •的正切值4．（1）求m 的取值范围；（2）求这个二次函数的解析式；（3）确定直线y=kx+k的解析式．【分析】利用抛物线与x轴的交点A，B的位置及与y轴交点的位置和A，B两点到原点的距离可以求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系可以求解．【解答】（1）设点A，B的坐标分别为A（x1，0），B（x2，0）（x1<x2），依题意，方程x2－（2m+4）x+m2－4=0有两个不相等的实数根．∴△=[－（2m+4）] 2－4（m2－4）>0．解得m>－2．①又∵函数的图像与y轴的交点在原点下方，∴m2－4<0，∴－2<m<2．②（2）∵图像交y轴于负半轴，与x轴交于A，B两点，且x1<x2，∴x1<0，x2>0．由3（OB－AO）=2AO·OB可得3[x2－（－x1）]=2（－x1）·x2即3（x1+x2）=－2x1x2由于x1，x2是方程x2－（2m+4）x+m2－4=0的两个根，所以x1+x2=2m+4，x1·x2=m2－4．∴3（2m+4）=－2（m2－4）整理，得m2+3m+2=0．∴m=－1或m=－2（舍去）．∴二次函数的解析式为y=x2－2x－3．（3）由y=x2－2x－3，得A（－1，0），B（3，0）．∵直线y=kx+k与抛物线相交，∴由223,,y x xy kx k⎧=-+⎨=+⎩解得121,0.x y =-⎧⎨=⎩ 或2223,4.x k y k k =+⎧⎨=+⎩ ∵∠POB 为锐角．∴点P 在y 轴右侧，∴点P 坐标为（k+3，k 2+4k ），且k+3>0．∵tan ∠POB=4，∴2|4|3k k k ++=4． 如图所示，当点P 在x 轴上方时．243k k k ++=4．解得k 1k 2=－经检验，k 1，k 2=－k 2+3<0．∴k 2=－∴直线的解析式为当点P 在x 轴下方时，243k k k ++=－4， 解得k 3=－2，k 4=－6．经检验，k 3=－2，k 4=－6是方程的解，但k 4+3<0．∴k 4=－6舍去．∴y=－2x －2．∴所求直线的解析式为，或y=－2x －2．【点评】本题以求解析式为目标，综合了函数，一元二次方程根与系数的关系，三角函数等知识，综合性强，灵活性大，解题关键是认真审题，认真分析纷繁复杂的条件，从中找到解题的突破口，易错点是在第（3）小题中忽视分类讨论而失解．◆强化训练一、填空题1．与抛物线y=2x 2－2x －4关于x 轴对称的图像表示的函数关系式是_______．2．已知二次函数y=（a －1）x 2+2ax+3a －2的图像最低点在x 轴上，那么a=______，此时函数的解析式为_______．3．某涵洞的截面是抛物线型，如图1所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=－14x 2，当涵洞水面宽AB 为12m 时，水面到桥拱顶点O •的距离为_______m ．图1 图2 4．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （m ）与其距地面高度h （m ）之间的关系式为h=－112s 2+23s+32．如图2，已知球网AB 距原点5m ，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94m ，•设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是_______．5．若抛物线y=12x 2与直线y=x+m 只有一个公共点，则m 的值为_____． 6．设抛物线y=x 2+（2a+1）x+2a+54的图像与x •轴只有一个交点，•则a 18+•323a －6•的值为_______．7．已知直线y=－2x+3与抛物线y=x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB •的面积等于______．8．图3为二次函数y=ax 2+bx+c 的图像，在下列说法中：①ab<0；②方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=－1，x 2=3；③a+b+c>0；④当x>1时，y 随着x •的增大而增大．正确的说法有_______．（请写出所有正确说法的序号）图3 图4 图5二、选择题9．小敏在某次投篮球中，球的运动路线是抛物线y=－15x 2+3.5的一部分（图4），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是（ ）A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m10．当m ）A ．0B ．5C ．D ．911．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图5所示，则下列结论：①a>0，②c>0， ③b 2－4ac>0，其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12．抛物线y=x 2+（2m －1）x+m 2与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．m>14 B ．m>－14 C ．m<14 D ．m<－1413．根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，•判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．6<x<6.17 B．6.17<x<6.18 C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.20 14．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的顶点在第一象限且经过点（0，1）和（•－1，0），则S=a+b+c的值的变化范围是（）A．0<S<2 B．0<S<1 C．1<S<2 D．－1<S<115．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值是零，那么代数式│a│+244ac ba的化简结果是（）A．a B．－a C．D．016．已知y=2x2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴，y•轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．y=2（x－2）2+2 B．y=2（x+2）2－2C．y=2（x－2）2－2 D．y=2（x+2）2+2三、解答题17．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，•两小孔形状，大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），•小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5m）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．18．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=－35x2+3x+1的一部分，如图所示．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，问这次表演是否成功？请说明理由．19．某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）•之间存在正比例函数关系：y A=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）•之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，•可获得3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元．•请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．20．如图所示，抛物线L1：y=－x2－2x+3交x轴于A，B两点，交y•轴于M点．抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C，D两点．（1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴下方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N•为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A，B重合），那么点P•关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由．21．已知：二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，4），顶点在x轴上，•且对称轴在y 轴的右侧．设直线y=x与二次函数图像自左向右分别交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，•且OP：PQ=1：3．（1）求二次函数的解析式；（2）求△PAQ的面积；（3）在线段PQ上是否存在一点D，使△APD≌△QPA，若存在，求出点D坐标，•若不存在，说明理由．22．已知二次函数y=ax2－ax+m的图像交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1<x2，交y轴的负半轴于C点，且AB=3，tan∠BAC－tan∠ABC=1．（1）求此二次函数的解析式；（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P，使S△PAC=6？若存在，请你求出点P的坐标；•若不存在，请你说明理由．答案:1．y=－2x2+2x+4 2．2；y=x2+4x+4 3．9 4．5．－126．5796 7．6 8．①②④9．B 10．B 11．C12．C 13．C 14．A 15．B 16．B 17．设抛物线解析式为y=ax2+6，依题意得，B（10，0）．∴a×102+6=0，解得a=－0.06．即y=－0.06x2+6，当y=4.5时，－0.06x2+6=4.5，解得x=±5，∴DF=5，EF=10，即水面宽度为10m．18．（1）y=－35x2+3x+1=－35（x－52）2+194．∵－35<0，∴函数的最大值是194．答：演员弹跳离地面的最大高度是194m．（2）当x=4时，y=－35×42+3×4+1=3.4=BC，所以这次表演成功．19．（1）当x=5时，y A=2，2=5k，k=0.4．∴y A=0.4x，当x=2时，y B=2.4；当x=4时，y B=3.2．∴2.442,3.2164.a ba b=+⎧⎨=+⎩解得0.2,1.6.ab=-⎧⎨=⎩∴y B=－0.2x2+1.6x．（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品（10－x）万元，获得利润W万元，根据题意可得W=－0.2x2+1.6x+0.4（10－x）=－0.2x2+1.2x+4．∴W=－0.2（x－3）2+5.8．当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元．所以投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5．8万元．20．（1）令y=0时，得－x2－2x+3=0，∴x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），B（1，0）．∵抛物线L1向右平移2个单位长度得抛物线L2，∴C（－1，0），D（3，0）．∴抛物线L2为y=－（x+1）（x－3）．即y=－x2+2x+3．（2）存在．如图所示．令x=0，得y=3，∴M（0，3）．∵抛物线L2是L1向右平移2个单位长度得到的，∴点N（2，3）在L2上，且MN=2，MN∥AC．又∵AC=2，∴MN=AC．∴四边形ACNM为平行四边形．同理，L1上的点N′（－2，3）满足N′M∥AC，N′M=AC，∴四边形ACMN′是平行四边形．∴N（2，3），N′（－2，3）即为所求．（3）设P（x1，y1）是L1上任意一点（y1≠0），则点P关于原点的对称点Q（－x1，－y1），且y1=－x12－2x1+3，将点Q 的横坐标代入L 2，得y Q =－x 12－2x 1+3=y 1≠－y 1．∴点Q 不在抛物线L 2上．21．（1）抛物线过（0，4）点．∴c=4，∴y=ax 2+bx+4又OP ：PQ=1：3，∴x 1：x 2=1：4由24y x y ax bx =⎧⎨=++⎩得ax 2+（b －1）x+4=0， ∵x 1，x 2是该方程的两个根，∴x 1+x 2=－1b a -，x 1·x 2=4a． 消去x 1得25a=（b －1）2．∵抛物线的对称轴在y 轴右侧∴－2b a >0， ∴b a<0，又抛物线的顶点在x 轴上， ∴b 2=16a 得a=1，b=－4（b=49舍去）． ∴y=x 2－4x+4．（2）如图所示，S △PAQ =S △AQO －S △APO=12×4×x 2－12×4×x 1=2（x 2－x 1）． （3）存在点D ，设D （m ，n ）易得P （1，1），Q （4，4），由△APD ∽△QPA 得PA 2=PQ·PD ，运用勾股定理得│m －1│=53，得m=83或23． ∵1<m<4，∴D（83，83）．22．（1）∵AB=3，x1<x2，∵x2－x1=3．由根与系数的关系有x1+x2=1，∴x1=－1，x2=2．∴OA=1，OB=2，x1·x2=ma=－2．∵tan∠BAC－tan∠ABC=1，∴=1，∴OC=2∴m=－2，a=1．∴此二次函数的解析式为y=x2－x－2．（2）在第一象限，抛物线上存在一点P使S△APC=6．解法一：过点P作直线MN∥AC交x轴于点M，交y轴于点N，连接PA，PC，MC，NA，如图所示．∵MN∥AC，∴S△MAC =S△NAC =S△PAC =6．由（1）有OA=1，OC=2∴12×AM×2=12×CN×1=6，∴AM=6，CN=12．∴M （5，0），N （0，10）．∴直线MN 的解析式为y=－2x+10． 由2210,2.y x y x x =-+⎧⎨=--⎩ 得12123,4,4.18.x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍去）． ∴在第一象限，抛物线上存在点P （3，4），使S △PAC =6． 解法二：设AP 与y （0，n ）（n>0）．∴直线AP 的解析式为y=nx+n ．22,.y x x y nx n ⎧=--⎨=+⎩ ∴x 2－（n+1）x －n －2=0，∴x A +x P =n+1，∴x P =n+2．又S △PAC =S △ADC +S △PDC =12CD·AO+12CD·x p =12CD （AO+x p ）． ∴12（n+2）（1+n+2）=6，n 2+5n －6=0． ∴n=－6（舍去）或n=1．∴在第一象限，抛物线上存在点P （3，4），使S △PAC =6．。