第四章 精算成本法
第四章年金精算现值
元。
nEx
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二、生存年金 （一次性生存给付例题分析）
【例4.5】计算25岁的男性购买40年定期 生存险的趸缴纯保费。已知
p 40 250.78765825
假定i＝6％ 假定i＝2.5％
(1)1040 E 020 5 100 0 1.004 60 00.787 6756 .785 825 (1)1040 E 020 5 100 0 1.002 4 0 050.787 6259.4 838 235
用总额法和现时支付法求该终身年金的精算现值。
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一、期初付年金及其精算现9 p 0 1 v 2 2 0 p 9 0 1 .5 0 1 7 5 0 1 2 . 1 0 2 0 1 3 0 5 0 9 6 .9 0 7
0 Y 5v
5v 10v2
k 0 k 1 k 2
EY5v1|q50(5v1v02)2|q50 5vp501v022p50
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种类
确定性年金：支付与否、支付的数额都是确定的 不确定性年金：未来相应的时间点上的支付是否
发生不确定，由其生命状态决定
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一、确定性年金（图示）
1 1 1 ---- 1 1 1---- 期末付永久年金
1 1 1 ---- 1 1 1---- 期初付永久年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0---
y x
y x
其中： v(1g)v 1 , j i g
1 j
1 g
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一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
例题分析
【例4.7】已知： i 0.05
精算定价常用的方法
精算定价常用的方法
精算定价是一个复杂的过程，需要运用多种方法和技术。
以下是常用的精算定价方法：
1. 等价全额保费法
等价全额保费法是最常用的精算定价方法之一。
该方法将预期的赔付和管理费用分配到每个保单中，以确定每个保单的全额保费。
这样就可以根据保单的特征（例如保险金额、保险期限、保险人的风险等级等）来确定每个保单的保费水平。
2. 社会折现法
社会折现法是用于确定长期负债的一种方法，它也可以用于精算定价。
该方法将长期成本折现到现在，以确定每个保单的保费。
这样可以考虑每个保单的未来风险，并确定每个保单需要支付的保费水平。
3. 桥梁法
桥梁法是将两个不同的数据源组合在一起进行精算定价的一种
方法。
例如，一个保险公司可能想要使用历史赔付数据来确定保费，但是这些数据可能不包含所有的变量，如新的客户风险等级。
在这种情况下，桥梁法可以将历史赔付数据与客户风险等级数据结合在一起，以确定每个保单的保费水平。
4. 区间估计法
区间估计法是一种用于确定保费的统计学方法。
该方法使用概率分布来估计赔付和保费的可能范围。
这样可以根据不同的风险水平确定每个保单的保费水平。
以上是精算定价常用的方法，不同的方法可能适用于不同的情况。
因此，在进行精算定价时，需要根据具体情况选择适合的方法。
保险精算 第4章1 人寿保险的精算现值
基本函数关系
vt v , t 0
t
bt 1 , t 0
Z bT vT vT t 0
zt bt vt v , t 0
t
A x 表示终身寿险的趸缴纯保费。 A x E(Z ) z f (t )dt
0 t T
v t px xt dt 0 e t t px xt dt
d 0.04 ( xt ) [e ] s( x t ) (1) fT (t ) dt 0.04 x s ( x) e
0.04e 0.04 ( xt ) e 0.04 x
0.04 e
0.04 t
例4答案
1 0|
Ax v fT (t )dt e t 0.04e0.04 t dt 10 10
120 60 2
例2答案
(3)满足P(Z 0.9 ) 0.9的0.9 .
解：
P( Z 0.9 ) P(vT 0.9 ) P(T ln v ln 0.9 ) ln 0.9 ln 0.9 P (T ) 令h ln v ln v 60 1 dt 即P(T h) h fT (t )dt h 60 1 (60 h) 0.9 h 6 60 6 6 有 ln 0.9 6 ln v 0.9 v e
(3)满足P(Z 0.9 ) 0.9的0.9 .
例2答案
解：
(1) Ax E(Z ) zt fT (t )dt 0 60 60 1 1 e t e dt , 0 0 60 60
(2)Var ( Z )
1 e 1 e , 0 120 60
变动成本和固定成本 ppt课件
入单价500元，现该厂车间有剩余生产能力，
经测算，自制每个零件单位成本如下
直接材料
180元
直接人工 变动制造费用 固定制造费用
120元 120元 130元
单位成本
550元
PPT课件
37
同时，自制还需增加专用机器一台固 定成本16000元，问 （1）若产量为100件，采用自制还是外 购？
解（ 1 ）自制成本=500×100=50000 外购成本=420×100+16000=58000
（3）如果B产品停产后，可以把部分管理人员和 工人调往他处，使固定成本下降3000元，设备 可以出租，租金收入5000元，问产品B是否停 产？
PPT课件
42
第四节 盈亏分界点分析法
一、盈亏分界点分析法 1 研究产量变化、成本变化和利润变化之间的 关系 2 确定盈亏分界点的产量 3 确定企业的安全边际 二、盈亏分界点分析法的具体方法
TC 2000K 8000L 可得：L Q2
16K TC 500Q2 2000K
K
PPT课件
26
（1）从短期看，K 10 STC 500Q2 200010 5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱQ2 20000 10 SAC STA / Q 50Q 2000 / Q SMS d (STC) 100Q dQ
TC C
TVC
MC
Q
C
AC
AVC
PPT课件
AFC
Q
15
4 若MC〈 AVC，AVC处于下降阶段； MC 〉AVC，AVC处于上升阶段。
若MC〈 AC，AC处于下降阶段； MC 〉AC，AC处于上升阶段。 5 成本函数与生产函数 具有反比关系。
社会保险精算
第一章精算：以概率论和数理统计为基础，与人口、经济、金融等学科相结合，对各种经济活动中未来的风险进行分析、评估和管理，是现代保险、金融、投资实现稳健经营的基础。
大数法则：又称“大数定律”或“平均法则”。
是指大量的、在一定条件下重复出现的随机事件将呈现出一定的规律性和稳定性。
收支平衡原则：保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。
具体有三种平衡等式，即期初的现值相等、期末的终值相等、期中的当前值相等。
第二章资金时间价值：又称货币时间价值，是指在排除通货膨胀和风险性因素之后，资金在周转使用过程中由于时间因素而形成的差额价值。
累积函数：期初投资额即本金为1单位，在纯利息的效应下在时刻t 时的累积额，用a(t) 表示，t≥0。
总额函数：期初投资额即本金为k单位，在纯利息的效应下在时刻t 时的累积额，用A(t) 表示，t≥0。
实际利率：（1）表示某一时期开始时投资1单位本金，在该时期末所获利息的数额。
（2）表示某时期内得到的利息金额与此时期开始时投资的本金金额之比。
实际贴现率：是在度量期内获得的利息与期末资金的比值，常用d表示。
年金：每隔相等的时间（月、季、年等）收付一次的系列款项。
年金的分类：按支付期限：定期年金、永续年金按支付开始时期：即期年金、延期年金按支付日期：期首付年金、期末付年金生命表：是反映在封闭人口条件下，一批人从出生后以怎样的死亡概率陆续死亡的全部过程的一种统计表，又称死亡表、寿命表。
多减因模型：是研究封闭人口条件下，同一批人受两个或两个以上减因影响陆续减少的数学模型，通常以多减因表的形式表示。
第三章生存年金：以被保险人生存为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型。
生存年金与确定性年金的关系：（1）相同点都是间隔相等时间收付一次（2）不同点确定性年金的支付次数确定生存年金的支付次数不确定（以被保险人生存为条件）生存年金的分类：按支付期限：定期生存年金、终身生存年金按支付开始时期：即期生存年金、延期生存年金按支付日期：期首付生存年金、期末付生存年金纯生存保险：以被保险人生存为给付条件的保险，即在约定的保险期满或达到某一年龄时，如果被保险人存活将得到一次性的保险金给付。
掌握精算的基本概念--精算
1、掌握精算的基本概念精算：社会保险稳定的财务基础。
精算是保险和社会保险事业建立和健康发展的数量基础，它以概率论和数理统计为基础，与人口，社会经济等有关科学相结合，对风险事件进行评估，对各种经济安全方案的未来财务收支和债务水平进行估计，使经济安全方案建立在稳定发展的财务基础上2、寿险精算寿险：是以人的的生存和死亡为保险事故的商业保险，即被保险人在保险期死亡，或生存到规定的年龄，保险人就按照保险合同规定给付保险金的一种保险（人寿保险按保险责任分为：定期寿险、终身寿险、两全保险、年金保险。
）寿险精算：包括人寿保险经营中涉及的保险费、责任准备金和保单现金价值的计算；寿险精算基础：利息理论；生命表理论寿险精算数理基础：大数法则3、非寿险精算非寿险是指除人寿保险以外的其他保险业务类型，主要包括财产保险、责任保险和健康保险。
非寿险精算：保险费和责任准备金的计算。
非寿险精算分类：财产保险精算意外伤害保险精算医疗保险精算4、寿险精算与非寿险精算的区别风险性和经营性稳定性不同；费率厘定方法不同；巨额损失可能性不同；保险期限和合同数量不同5、保险精算的基本原理收支相等原则：所谓收支相等原则就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。
由于寿险的长期性，在计算时要考虑利率因素，可分别采取三种不同的方式：①根据保险期间末期的保费收入的本利和（终值）及支付保险金的本利和（终值）保持平衡来计算；②根据保险合同成立时的保费收入的现值和支付保险金的现值相等来计算；③根据在其他某一时点的保费收入和支付保险金的“本利和”或“现值”相等来计算。
大数法则：大数法则是对于大量的随机现象（事件），由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。
6、社会保险精算的含义运用保险精算理论与方法，对劳动者面临的年老、失业、疾病、伤残、生育等使经济收入失去保障的风险进行评价，对社会保险基金的收支、财务平衡与变动作出估计和预警，以保障社会保险制度的财务稳定性7、社会保险精算的基本原理基本原理：收支平衡。
寿险精算实务
第一章人寿保险的主要类型1.1传统的人寿保险1.1.1 定期寿险定期寿险是指以死亡为给付保险金条件，且保险期限为固定年限的人寿保险。
1.1.2 终身寿险终身寿险是指以死亡为给付保险金条件，且保险期限为终身的人寿保险。
1.1.3 终身寿险两全保险是指在保险期限内以死亡或生存为支付保险金条件的人寿保险。
1.1.4 年金保险年金保险指以生存为支付保险金条件，按约定分期支付生存保险金，且分期支付生存保险金的间隔不超过一年(含一年)的人寿保险。
1.2 新型人寿保险1.2.1分红保险1.2.2投资连结保险第二章保单现金价值与红利2.1 保单现金价值2.1.1 保单现金价值的含义现金价值又称解约金、退保金、不丧失保单利益、不丧失价值或不丧失现金价值。
现金价值是指投保人或保险公司解除保险合同时，由保险公司向投保人退还的那部分金额。
现金价值往往特指以现金方式支付的不丧失保单利益。
一般情况下，现金价值不大于责任准备金，主要原因是费用在毛保费中重新调整造成的。
其他原因：①财务风险;②死亡率风险;③效益风险;④退保成本。
2.1.2 保单现金价值的计算⑴调整保费法根据NAIC1941年规则：;1980年规则：优点：是计算现金价值的主要方法，详细定义了费用的确定，得到的不丧失价值更为准确公平;缺点：计算相对复杂。
⑵准备金比例法优点：①简单，便于管理;②不受公司定价假设的影响;③准备金是保单责任的保守估计，对客户较为公平;④能够及时地反映定价时市场利率的变化。
缺点：的确定较为主观。
⑶均衡净保费法优点：①简单，便于管理;②不受公司定价假设的影响;③准备金是保单责任的保守估计，对客户较为公平;④能够及时地反映定价时市场利率的变化;⑤采用了更加保守的利率，更大程度上保护了保险公司。
缺点：的确定较为主观。
⑷修正净保费法优点：①在前面两种方法的基础上，允许一定额度的前期费用补贴，给公司提供了一定的保护，避免了前期退保对公司的过多损失;②是调整保费法的简化形式;缺点：⑸资产份额法，优点：①从现金价值的内含出发，确定现金价值比较科学合理;缺点：①计算非常复杂;②资产份额在保单初期可能为负数，而现金价值不可能为负;③完全从公司利润角度来考虑，不易确定计算基础，因而不能用于监管目的。
人力成本精算入门
系统可以管理招聘流程、员工绩效评估等模块， 实现人力资源管理的全面数字化。
06
案例分析与实践
某公司的人力成本精算实践
人力成本精算背景
随着市场竞争加剧，某公司需要更精确地控制人力成本，以保持 竞争优势。
人力成本精算方法
该公司在实践中采用了工时成本法、作业成本法等精算方法，对每 个岗位、项目进行成本核算。
培训和开发成本
总结词
培训和开发成本是为了提高员工的技能和能力而投入的资源，包括内部培训、外部培训、 进修课程等。
详细描述
培训和开发成本是为了支持员工的个人发展和职业成长而投入的。内部培训包括新员工培训、岗 位技能培训等；外部培训和进修课程可以提高员工的综合素质和专业能力。这些培训和开发活动
有助于提高员工的工作效率和绩效表现，同时也有助于增强员工的忠诚度和减少人才流失。
奖金和福利
总结词
奖金和福利是激励员工和提高员工满意度的重要手段，包括绩效奖金、年终奖、健康保险、退休金等 。
详细描述
奖金是为了激励员工提高绩效而设定的，通常与员工的绩效表现挂钩，如绩效奖金、年终奖等。福利 是为了提高员工的工作满意度和归属感而提供的，如健康保险、退休金、带薪休假、节日福利等。合 理的奖金和福利制度有助于提高员工的积极性和忠诚度。
考核与激励
将人力成本预算执行情况纳入部门绩效考核， 激励各部门合理控制人力成本。
04
人力成本优化策略
提高员工效率
制定合理的工时制度
01
通过合理安排工作时间和工作量，提高员工的工作效率。
优化工作流程
02
通过改进工作流程，减少无效劳动和重复性工作，提高工作效
率。
提供必要的培训和支持
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如果每给予计划参与者 1 单位元的退休待遇，则应在当前年龄分摊上述相对应的成本额，
这就是单位信用成本法的基本原则。因此，当前年龄赋予的退休给付 bx 所要求的正常成本
分摊为：
( NC ) x
=
bx ar v r − x
r−x
p(T ) x
=
bxar
休待遇产生的未来给付精算现值，而后再把未来给付精算现值再进入年龄 e 和退休年龄 r 之 间分摊产生正常成本。未来给付精算现值的分配有两种方法，一是把它平均分配与进入年龄 到退休年龄的每一年，这种方法类似于寿险精算中的均衡保费，一般称之为水平法(Level Dollar)；另一种方法是分配的正常成本规划为当年工资的一定比例，称之为比例法(Level Percent)。
×
D(T ) 62
D(T ) 45
= 139610.7 1285893.07 301155.53 × 755.88 3877543.65 25070.49 8786.72
= 47843.28
第二节 进入年龄法
进入年龄法(Entry Age Normal)是一种成本分配精算成本法。在单一信用成本法中，对退 休待遇进行规划，分配每年的养老金权益而后产生正常成本，而在进入年龄法中，先考虑退
( NC )28
=
b28a62v34
34
p(T ) 28
=
b28
N 62 D62
×
D(T ) 62
D(T ) 28
分别查阅生命表转换函数和多减因表的转换函数计算：
( NC )28
=
2981.01×
301155.53 25070.49
×
755.88 112400.03
=
240.81美元
28 岁时累积的养老金权益 B28 = 3 ×1.5% ×198734.15 = 8943.04美元
×
D(T 62
)
D(T ) 33
= 139610.7 53188.4 301155.53 × 755.88 3877543.65 25070.49 44266.49
= 392.81
( AL)33
=
B62
S33 S62
N62 D62
×
D(T ) 62
D(T ) 33
= 139610.7 396956.32 301155.53 × 755.88 3877543.65 25070.49 44266.49
""" (4.1)
当前年龄累计给付
Bx
=
(x − r−
y) y
Br
，以此计算当前年龄精算债务：
( AL)x
=
x− r−
y y
Br arvr−x
r−x
p(T ) x
=
x r
− −
y y
(PVFB)x """(4.2)
例 4．2：依据传统单一信用成本法计算例题 4.1。 解：
预计退休给付为
B62 = (1.5% × 5 +1.75% × 5 + 2% × 27) × sav3 = 139610.70 =
= 2931.64
( NC )45
=
B62
s45 S62
N62 D62
×
D(T ) 62
D(T ) 45
= 139610.7 95518.72 301155.53 × 755.88 3877543.65 25070.49 8786.72
= 3553.90
( NC )45
=
B62
S45 S62
N62 D62
例 4.4：养老金计划 1990 年建立，计划规定职工 25 岁以后进入养老金系统，以最后三年 平均工资为基数，每工作一年按照基数的 2%累计退休待遇，正常退休年龄为 65 岁。查尔 斯 1988（18 岁）年进入公司工作，年工资为 28000 美元。计算查尔斯 35 岁的正常成本和精 算债务。精算假设利率为 6%，工资增长率 5%，退休前只考虑死亡减因。
( AL)28
=
B28a62v34 34
p(T ) 28
=
722.43美元
33 岁当年赋予的养老金权益按照基数的 1.75%计算，因此 b33 = 3477.85美元 。
( NC )33
=
3477.85 ×
301155.53 25070.49
×
755.88 44266.49
=
713.37美元
33 岁累积的养老金权益 B33 = (5 ×1.5% + 3 ×1.75%) ×198734.15 = 25338.60美元
=
6191.74
( NC )45
= b45
N62 D62
×
D(T 62
)
D(T ) 45
= 3773.26 301155.53 × 755.88 25070.49 8786.72
= 3899.16
( AL)45
=
B45
N62 D62
×
D(T 62
)
D(T ) 45
= 20× 3773.26 301155.53 × 755.88 25070.49 8786.72
= 121.21
( AL)28
=
B62
S28 S62
N62 D62
×
D(T ) 62
D(T ) 28
= 139610.7 155164.5 301155.53 × 755.88 3877543.65 25070.49 112400
= 451.30
( NC )33
= B62
s33 S62
N62 D62
水平分配之后每年的给付为：
bx
=
B62 62 − 25
=
139610.7 37
=
3773.26
B28 = 3× 3773.26 = 11319.79
B33 = 8× 3773.26 = 11319.79 = 30186.11
B45 = 20× 3773.26 = 75465.27
( NC )28
= b28
N62 D62
×
D(T ) 62
D(T ) 28
= 3773.26 301155.53 × 755.88 25070.49 112400
= 304.81
( AL)28
=
B28
N62 D62
×
D(T ) 62
D(T ) 28
= 3× 3773.26 301155.53 × 755.88 25070.49 112400
当前年龄累计给付 Bx
=
Sx Sr
Br ，以此计算当前年龄精算债务：
( AL)x
=
Sx Sr
Br arvr−x
r−x
p(T ) x
=
Sx Sr
(PVFB)x """(4.2)
例 4．3：依据规划单一信用成本法计算例题 4.1。 解： 为了计算当年分配给付，先计算出生涯工资总额和相应的当前年龄累积工资：
( AL)33
=
B33a62v 29
29
p(T ) 33
=
5197.41美元
45 岁当年赋予权益按照基数的 2%计算， b45 = 3974.68美元 。
( NC )45
=
3974.68 ×
301155.53 25070.49
×
755.88 8786.72
=
4107.30美元
B45 = (5 ×1.5% + 5 ×1.75% + 10 × 2%) ×198734.15 = 72041.13美元
D(T ) r
D(T ) x
""" (4.1)
当前年龄下的精算债务，体现为养老金计划在当前年龄累积的退休给付 Bx 而承诺的债务。
( AL)x
=
Bx ar v r − x
r−x
p(T ) x
=
Bxar
D(T ) r
D(T ) x
""" (4.2)
因此，在单位信用成本法中，如何规划每年赋予的退休待遇 bx ，不同的规划方法将产生
s61 = 36000 × (1 = 5%)36 = 208505.38元
s60 = 198576.55元
s59 = 189120.53元
最后三年平均工资为： sav3 = 198734.15元
再工作头 5 年，每服务一年按照基数的 1.5%累积退休待遇，因此 28 岁当年赋予的权益为：
b28 = 198734.15 ×1.5% = 2981.01元
第四章 精算成本法 第一节 单一信用成本法 单一信用成本法，英文文献的一般称法是 Unit Credit Method，又称作基辅分配精算成本
法，它通过分配给付确定当年正常成本。我们考察总的退休给付 Br ，它并不是在某一时刻
赋予的，而是通过计划参与者的服务每年累计一定的信用额，假设当前年龄 x 岁赋予 1 单位 元的退休给付，则养老金计划给予计划参与者 1 单位的退休待遇所引发的成本的现值是：
不同的正常成本。目前主要有三种规划年计付待遇的方法：自然累积法(Accrued Benefit Method)、传统的单位信用成本(Traditional Unit Credit Method)和规划单一信用成本法 (Projected United Credit Method)。
1、自然累积法 自然累积法(Accrued Benefit Method)遵循养老金计划对退休待遇的累积规则，以服务当 年所获得的权益为计算正常成本的依据，例如每服务一年按照退休前三年平均工资为基数累 积 2%，假设退休前三年平均工资为 3600 元，那么当年权益都是 72 元。 例 4.1：约翰自 25 岁开始在联邦政府部门工作，假设开始工作的工资为年薪 36000 美元， 试根据美国国内公职人员退休体系(CSRS)计算 28 岁、33 岁和 45 岁时的正常成本和精算债 务，假设利率为 6%，平均工资增长率为 5%，正常退休年龄为 62 岁。 解：依据平均工资增长率假设计算出退休前三年工资为：