2012保险精算第四章
寿险精算数学2012秋
北京师范大学珠海分校应用数学学院寿险精算数学教案10数学精算方向2012年秋周伟2012/9/1寿险精算教案周伟2012年秋应用数学学院10级数学与应用数学专业精算方向周一 5，6节周三 3，4节单周五 3，4节丽泽楼B203课程相关：（1）要记忆公式多，在理解的基础上记忆重点公式，在练习的过程中加深理解和记忆（2）计算量大，准备计算器，推荐casio fx95，考试不能用手机代替计算器（3）教材：寿险精算中国精算是协会组编中国财政经济出版社（4）参考书：寿险精算数学王燕中国人民大学出版社（5）预习看教材，上课认真听讲，复习看笔记，认真完成练习（6）概率基础很重要，注意温习课程考核：（1）平时30分，期中考试30分，期末考试40分。
（2）平时30分中包含考勤，作业，网上练习，思考题（问题探究）时间星期一星期二星期三星期四星期五上午1，2微积分继教2-A2043，4建模 A10310数学建模 B20210信息寿险精算 B20310数学精算微积分继教（6-11）C305寿险单B203下午5，6寿险精算B203建模综合B106 单10数学双10信息微积分继教2-C4037，8高数综合B103高数单综合B103微积分继教（6-11）C301绪论保险精算学的产生与相关概念为了准确地评估和控制风险，精算学得以产生和发展。
人类面临许多严重的风险事故，可能会使全家突然陷入经济困境。
个人通常无法预测和避免风险事故的发生，但是可以通过风险转移的方式将风险事故可能造成的财务后果降到可以接受的程度。
例10000人为了转移1年内死亡后家庭陷入经济困境的风险，每人出资100元，共计筹款100万，假设一年内有一人死亡，获得100万解决家庭经济问题。
风险转移的实质是将具有相同风险的个人聚合成一个团体，团体成员的损失共同分担，这就实现了个人风险向团体的转移。
作用原理类似与物理学中的压力与压强的关系。
另一方面，将风险聚合起来有利于风险的预测和控制。
保险精算第四讲
2.2 定期年金
（2）Var (Y ) Var (
)
1
2
Var ( zt )
2.3 延期年金
3 离散生存年金
Var (aT )
1
2 2 [ A ( A ) ] 2 x:n x:n
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4.4（例4.3续）
1 生存年金简介 2 连续生存年金
2.1 终身年金
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
2.2 定期年金
2.3 延期年金
计算：30年定期生存年金精 算现值及方差
3 离散生存年金
a30:30
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4. 4答案
a30:30 1 e 0.05t 1 1 e 0.0530 40 at fT (t )dt a30 30 p30 dt 13.01 0.05 70 70 0 0
3 离散生存年金
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4.2答案
1 e （3）Pr(aT ax ) Pr( 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06
ln 0.4 0.06 0.06T
1 生存年金简介 2 连续生存年金
10)
2.1 终身年金
2.2 定期年金
lim
N j 0
xk
j N
v
1 N
k 1
k
t v dt x t
x ax 0
t v dt x t
ax v t t px dt
0
保险精算教学大纲和习题及答案
保险精算教学大纲本课程总课时：课程教学周，每周课时第一章：利息理论基础本章课时：一、学习的目的和要求1、要求了解利息的各种度量2、掌握常见利息问题的求解原理二、主要内容第一节：实际利率与实际贴现率一、利息的定义二、实际利率三、单利和复利四、实际贴现率第二节：名义利率和名义贴现率第三节：利息强度第二章年金本章课时：一、学习的目的和要求1、要求了解年金的定义、类别2、掌握年金问题求解的基本原理和常用技巧二、主要内容第一节：期末付年金第二节：期初付年金第三节：任意时刻的年金值一、在首期付款前某时刻的年金值二、在最后一期付款后某时刻的年金积累值三、付款期间某时刻的年金当前值第四节：永续年金第五节：连续年金第三章生命表基础本章课时：一、学习的目的与要求1、理解常用生命表函数的概率意义及彼此之间的函数关系2、了解生存函数与生命表的关系并掌握寿险生命表的特点与构造原理3、掌握各种分数年龄假定下，分数年龄的生命表函数的估计方法二、主要内容第一节生命函数一、分布函数二、生存函数三、剩余寿命四、取整余命五、死亡效力六、生存函数的解析表达式第二节生命表一、生命表的含义二、生命表的内容第四章人寿保险的精算现值本章课时：一、教学目的与要求1、掌握寿险趸缴纯保费的厘定原理2、理解寿险精算现值的意义，掌握寿险精算现值的表达方式及计算技巧3、认识常见的寿险产品并掌握各种产品趸缴纯保费的厘定及寿险精算现值方差的计算4、理解趸缴纯保费的现实意义二、主要内容第一节死亡即付的人寿保险一、精算现值的概念二、n年定期保险的精算现值（趸缴纯保费）三、终身寿险的趸缴纯保费四、延期寿险的趸缴纯保费五、生存保险与两全保险的趸缴纯保费第二节死亡年末给付的人寿保险一、定期寿险的趸缴纯保费二、终身寿险的趸缴纯保费三、两全保险的趸缴纯保费四、延期寿险的趸缴纯保费第三节死亡即刻赔付保险与死亡年末赔付保险的精算现值的关系第四节递增型人寿保险与递减型人寿保险一、递增型寿险二、递减型寿险三、两类精算现值的换算第五章年金的精算现值本章课时：一、学习目的与要求1、理解生存年金的概念2、掌握各种场合计算生存年金现时值的原理和技巧。
保监发201219-保险公司非寿险业务准备金基础数据、评估与核算内部控制规范
关于印发《保险公司非寿险业务准备金基础数据、评估与核算内部控制规范》的通知保监发[2012]19号各保监局，各财产保险公司、再保险公司：为规范保险公司对非寿险业务准备金的管理，督促公司加强准备金评估的内部控制，提高准备金计提的充足性、合理性与科学性，促进公司审慎经营、防范风险，我会制定了《保险公司非寿险业务准备金基础数据、评估与核算内部控制规范》。
现予印发，请遵照执行。
中国保险监督管理委员会二○一二年三月一日保险公司非寿险业务准备金基础数据、评估与核算内部控制规范第一章总则第一条为规范保险公司非寿险业务准备金管理，加强准备金评估的内部控制，提高准备金计提的充足性、合理性与科学性，促进保险公司审慎经营、防范风险，根据《企业内部控制基本规范》（财会[2008]7号）、《保险公司非寿险业务准备金管理办法（试行）》（保监会令[2004]13号）与《保险公司内部控制基本准则》（保监发[2010]69号）制定本规范。
第二条本规范所指非寿险业务准备金包括偿付能力报告中的准备金与财务报告中的准备金。
非寿险业务准备金包含未到期责任准备金与未决赔款准备金，其中未决赔款准备金包含已发生已报案未决赔款准备金、已发生未报案未决赔款准备金及理赔费用准备金。
保险公司非寿险业务准备金内部控制包括准备金基础数据的内部控制、准备金精算评估的内部控制以及准备金核算的内部控制三个部分。
第三条非寿险业务准备金基础数据、评估与核算管理工作由保险公司董事会或同等权力机构承担最终责任。
保险公司法定代表人对准备金会计信息的真实性负责。
准备金基础数据真实性以及对准备金评估与核算内部控制制度的设计、实施、维护与监控由保险公司总经理负责。
第四条为确保准备金充足、合理、科学的计提及相关信息准确的披露，保险公司应建立准备金基础数据、评估与核算内部控制流程，加强管理。
保险公司管理层、精算及其他相关职能部门在准备金管理过程中应分级授权，权责分明，分工合作，相互制约：（一）保险公司负责精算工作的部门应作为准备金评估的职能部门，应负责牵头研究确定年度准备金评估的假设、方法、模型，选取恰当的发展因子与边际水平，提出准备金评估结果初步意见，并作为发起部门将准备金评估相关事项会签相关部门。
保险精算
1− v
t
ax =∫ v t px dt = ∫ e
t 0 0
∞
∞
−0.06t −0.04t
e
dt = ∫ e
0
∞
−0.1t
dt = 10
例4.2答案 答案
（2）Ax = ∫ e − 0.06 t 0.04e − 0.04 t = 0.4
0 2 ∞
Ax = ∫ e − 0.12 t 0.04e − 0.04 t = 0.25
ax = ∫ t Exdt = ∫ v ⋅ t pxdt
t 0 0
∞
∞
例4.2
在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06 ，利息力为常数 在死亡力为常数 的假定下， 的假定下，求
（1） ax （2） 的标准差 a
T
a （3） T 超过
ax 的概率。
例4.2答案 答案
综合支付技巧
0.04 ∞ −0.06t −0.04t ax =∫ t px µx+t dt = ∫0 (1− e )e dt = 10 0 0.06 δ 当期支付技巧
70 70
Var(Z ) = 2A30 − ( A30 )2 = 0.1427269 0.2772 = 0.066 − 1− Z Var(Z ) 0.066 = = 26.4 Var(Y ) = Var = 2 2 δ 0.05 δ
定期连续生存年金精算现值估计
综合支付技巧
aT Y = an
例4.6答案 答案
5 72 10 39 && a90 = 5vp90 +10v 2 p90 = + = 6.97 2 1.05 100 1.05 100
2
保险精算 第4章 年金精算现值
1 Z
Ax 1 ax
Ax:n 1 ax:n
24
现值与纯保费之间的关系
未来保险金给付在签单时的现值随机变量：均值
1 Ax 1 Ax:n Ax:n Ax
n
ax ax ax:n
m
ax:n ax:mn ax:m
Ax:m Ax:mn
Actuarial Science
第 4 章 年金精算现值
生存年金的概念和种类 连续给付型年金 离散型年金 每年给付数次的年金 利用换算函数计算年金精算现值
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
保险精算
1
Actuarial Science
4.1 生存年金的概念和种类
4.1.1 生存年金的概念 4.1.2 生存年金的种类 4.1.3 生存年金精算现值的概念
l xn sx:n (1 i)n lx ax:n
29
Actuarial Science
3.3 离散型年金
3.3.1 期初付年金及其精算现值 3.3.2 期初付年金的精算现值 与寿险趸缴纯保费之间的关系 3.3.3 期末付年金的精算现值 3.3.4 年金的精算累积值
保险精算
30
Actuarial Science
25
应用实例
例 年龄为35岁的人，购买按连续方式给付年金 额2000元的生存年金，利率 i 6%，试利用生命表求 在UDD假设下的下列生存年金的精算现值。1）终身 生存年金；2）20年定期生存年金；3）延期10年的终 身生存年金；4）延期10年的20年定期生存年金。
解
2000a35 2000 1）
保险精算第四章08统计
2 m
Ax − ( m Ax )
2
延期m年的n年定期寿险
符号：A x:n m 厘定：
m
Ax:n = E ( Z ) = ∫ =∫
m+n 0
m+n
m
zt fT (t )dt
m 0
zt fT (t )dt − ∫ zt fT (t )dt
1 x:m
= Ax:m + n − A
例2.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险，保 额1元。 保险金在死亡即刻赔付。 已知
基本符号
(x) —— 投保年龄 x 的人。
ω bt
vt
时值
zt
——人的极限年龄 ——保险金给付函数。 ——贴现函数。 ——保险给付金在保单生效时的现
zt = bt ⋅ vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现 时值
趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
)
2
例2.1
设
x S ( x) = 1 − 100 i = 0.1 , 0 ≤ x ≤ 100
计算
（）A30:10 1
1
(2)Var ( Z )
例2.1答案
S ′( x + t ) 1 (1) fT ( t ) = − = S( x) 100 − x
1 A30:10 =
∫
10
0
v t f 30 ( t )dt =
fT (t )dt − ( EZ )
−2δ t t
2
记
2
Ax = ∫ e
0
ω
−2δ t
fT (t )dt = ∫ e
寿险精算学4
所谓生存年金（life annuity）是以被保险人存活为条件， 间隔相等的时期（年、半年、季或月）支付一次保险 金的保险类型。
生存年金通常出现在生存保险场合
比如乙向保险公司购买10万元养老保险，要求保险公 司在其60~70岁这10年内每月支付生存给付金。这时保 险公司的付款以被保险人的存活为给付条件。如果乙 在这10年内一直生存，那么保险公司将支付120次生存 给付，如果乙只获得了10次给付就死亡了，那么剩下 的110次给付保险公司也不再支付了。这时保险公司的 系列付款就构成了生存年金。
2
方法二：
Ax 1 a x 1 v 2 ax E 2 V a r aT
2T
1 E v 2
2
2T
1
2
Ax
2
2
2
Ax 1 2 a x
2 2
2
Ax ( Ax )
2
(1 2 a x ) (1 a x )
步骤 1 a
T
1 v
T
步骤 2
a x E (a )
T
步骤 3
a
0
T
fT (t ) d t
以生存给付 事件发生为 考虑线索
计算当期生存 给付的现值
考虑该次生存赔 付发生的概率， 计算该年金现值 的期望值
a x E (v )
T
a x E (a )
T
v
a
T
T
0
fT (t ) d t
2T
2 (a x )
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趸缴纯保费的厘定
• 假定条件:
– 假定一：同性别、同年龄、同时参保的 被保险人的剩余寿命是独立同分布的。 – 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以 用经验生命表进行拟合。 – 假定三：保险公司可以预测将来的投资 受益（即预定利率）。
纯保费厘定原理
• 原则
– 保费净均衡原则
• 解释
– 所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时 值正好等于将来的保险赔付金的期望现时 值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。 是在大数场合下，收费期望现时值等于支 出期望现时值 。
t 0 0
n
n
t t
px xt dt
• 方差公式 Var( zt ) E( z ) E( zt ) e2t fT (t )dt E( zt )2
2 t 2 0
n
• 记
2
A e
1 x:n 0
n
2t
fT (t )dt
1 x:n
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
• 所以方差等价为
Var ( zt ) A
2
(A )
1 x:n
2
例题
• 设
x S ( x) 1 , 0 x 100 100 i 0.1
保险金额为1元
• 计算
（） 1 A
1 30:10
(2)Var ( zt )
解答：
S ( x t ) 1 (1) fT (t ) S ( x) 100 x
( x )岁的人，保额1元，n年定期生存 • 假定： 保险 • 基本函数关系
v n , t n 1 , t n zt bt vt bt 0 , t n 0 , t n vt v n , t 0
• 符号： A • 趸缴纯保费厘定
1 x:n
A
1 x:n
由例3.1已知：
1 A30:10 0.092
Var ( zt )1 0.055
10
(1) A
1 30:10
60 v 10 p30 1.1 0.33 70
10 1 30:10
A30:10 A
A
1 30:10
0.422
1 2 30:10
(2) Var ( zt )2 v 10 p30 A
vt vt , t 0 1 bt 0
v t , t n , t n zt bt vt 0 , t n , tn
趸缴纯保费的厘定
• 符号： • 厘定：
A
1 x:n
A
1 x:n
E ( zt ) zt fT (t )dt
0
n
v t px xt dt e
20
0.0185
1 30:10
Var ( zt )3 Var ( zt )1 Var ( zt ) 2 A
A
1 30:10
0.0431
第三节
死亡年末赔付趸缴纯保费的厘定
主要险种的趸缴纯保费的厘定
• • • • • • n年定期寿险 终身寿险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险
1、n年定期寿险
• 定义 – 保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的 保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又 称为n年死亡保险。 ( x ) 岁的人，保额1元n年定期寿险 • 假定： • 基本函数关系
基本符号
• ( x ) —— 投保年龄 的人。 • ——人的极限年龄 • bt ——保险金给付函数。 • v t ——贴现函数。 • z t ——保险给付金在保单生效时的现 时值
x
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
• 趸缴纯保费的定义
– 在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的 期望现时值
fT (t )dt E ( zt )
2
• 记
2 m
Ax e2 t fT (t )dt
m
• 所以方差等价于
Var ( zt ) A ( m Ax )
2 m x
2
例题：
• 假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1 元。 • 保险金在死亡即刻赔付。 • 已知 0.04 x
0.06，S ( x) e
• 终身寿险
• 终身寿险为被保险人提供从投保开始到终身的死亡 保险，保险金额通常为恒定的金额。
• 两全保险
• 两全保险是定期寿险和纯生存保险的合险。在规定 的保险期内，如果被保险人死亡，保险人给付死亡 保险金；如果被保险人在保险期满存活，保险人给 付生存保险金。
人寿保险的性质
• 保障的长期性 – 这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成 为不容忽视的因素。 • 保险赔付金额和赔付时间的不确定性 – 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人 的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变 量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机 变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。 • 被保障人群的大数性 – 这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理 计算出平均赔付并可预测将来的风险。
E ( zt ) v n p x e
n
n
n px
• 现值随机变量的方差：
Var ( zt ) v n px (v n px )
2n n
2
A
2
1 x:n
(A )
1 2 x:n
5、n年定期两全保险
• 定义 – 被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范 围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险 金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿 险的组合。 • 假定：( x ) 岁的人，保额1元，n年定期两全保险 • 基本函数关系
因为
z1 z2 0
1 x:n 1 x:n
所以 Var ( z ) Var ( z ) Var ( z ) A A 3 1 2
例题
• 设
x S ( x) 1 100 i 0.1 , 0 x 100
• 计算
（） 1 A30:10
(2)Var ( zt )
解答
2 m 10
0.12 t
0.16 Var ( zt ) m2 Ax ( m Ax )2 0.0288
0.04e
0.04 t
dt
0.04e0.16t
10
0.05047
4、n年定期生存保险
• 定义
– 被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在 第n年末支付保险金的保险。
2、终身寿险
• 定义 – 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险 ( x) 责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 ( x) 岁的人，保额1元终身寿险 • 假定： • 基本函数关系
vt v , t 0
t
bt 1 , t 0
zt bt vt v , t 0
t
趸缴纯保费的厘定
• 符号：
• 厘定：
m
Ax
Ax E ( zt ) zt fT (t )dt
m
m
zt fT (t )dt zt fT (t )dt
0 0
m
Ax A
1 x:m
• 方差公式：
Var ( zt ) E( z ) E( zt ) e
2 t 2 m
2 t
t 0 1 . 1 1 10 1 t t 1 A30:10 v f 30 (t )dt 1.1 dt 0.092 0 0 70 70 ln 1.1 10 2 1 1 2 2t 1 （2）Var ( zt ) A30:10 ( A30:10 ) 1.1 dt 0.0922 0 70 t 0 1 . 21 1 10 0.0922 0.055 70 ln 1.21 10 10
• 符号： • 厘定：
Ax
Ax E ( zt ) zt fT (t )dt
0
v t px x t dt e
t 0 0
t t
px x t dt
现值随机变量的方差
• 方差公式
Var ( zt ) E ( z ) E ( zt ) e2 t fT (t )dt E ( zt )2
第四章
人寿保险的精算现值
王慧
本章结构
• 人寿保险趸缴纯保费厘定原理 • 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定 • 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定
第一节
人寿保险趸缴纯保费厘定的原理
人寿保险简介
• 什么是人寿保险
– 狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是 否死亡作为保险标的的一种保险。 – 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作 为保险标的的一种保险。它包括以保障期 内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包 括以保障期内被保险人生存为标的的生存 保险和两全保险。
t v , tn t vt n v , tn v , t n zt bt vt n v , t n bt 1 , t 0
趸缴纯保费的厘定
• 符号： A x:n • 厘定 z 1 记：n年定期寿险现值随机变量为 z2 n年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为 已知 3
1 2 dt ( Ax ) 60 1 e60 2 ( ) 60
3、延期终身寿险
• 定义
– 保险人对被保险人在投保m年后发生的保险 责任范围内的死亡均给付保险金的险种。
( x ) 岁的人，保额1元，延期m年的 • 假定： 终身寿险 • 基本函数关系