新编第二章 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)资料PPT课件
合集下载
保险精算学-趸缴纯保费(2)
i 0.1
计算
（1）A 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例4.3.4答案
由例3.1已知：
A1 0.092 30:10
Var(zt )1 0.055
(1)
1
A30:10
v10 10 p30
1.110 60 0.33 70
A 30:10
A1 30:10
1
A30:10
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
例4.3.2答案
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t
1
1 e60 dt
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。
zt btvt 0 , t m
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
计算
（1）A 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例4.3.4答案
由例3.1已知：
A1 0.092 30:10
Var(zt )1 0.055
(1)
1
A30:10
v10 10 p30
1.110 60 0.33 70
A 30:10
A1 30:10
1
A30:10
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
例4.3.2答案
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t
1
1 e60 dt
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。
zt btvt 0 , t m
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
社会保障精算--人寿与年金保险精算PPT课件
3 两全保险
精算现值
Ax:n
A1 x:n
A1 x:n
4 变额寿险 (IA)1x:n
投保时点
[t 1]vt
[t 1]
t
死亡
赔付时点
0
理论公式 实用公式
x
xt
n
时间
(IA)1x:n
n
[t
0
1]vt
t
px
xt dt
(
IA
)
1 x:n
i
(
IA)
1 x:n
习题： P.61 第1、2题。
人寿与年金保险精算（1）
§2.1 人寿保险 ： 终身寿险、定期寿险、两全寿险、 变 额寿险的精算现值的计算
§2.2 生存年金：生存年金的精算现值的计算 §2.3 保险费： 均衡保险费、总保费 §2.4 责任准备金：均衡净保费责任准备金、修正的责任准
备金
基本概念
2.1 人寿保险（Life Insurance）
广义
以人的死亡、伤残、疾病和年老 等为保险标的。
狭义 以人的死亡为保险标的。
终身寿险
定期寿险
两全寿险
终身寿险
保险期从投保到被保险人死亡。
被保险人死亡时，对指定受益人赔付保 险金。
定期寿险
保险期由契约规定。
被保险人如果在契约期内死亡，赔付保 险金。如果期满时没有死亡，不赔付。
两全寿险
保险期由契约规定。
v d xk 1 xk
Ax
k 0
vx lx
k0 vxlx
Ax
Mx Dx
2 定期寿险
A1x:n
投保时点
v k 1
1
k
死亡
赔付时点
第三章 寿险趸缴纯保费 PPT课件
0 t 60
解：
A 1）
x
e 60 t
0
fx(t)dt
60et
0
1 dt 60
1 e60
60
15
。
2）
2Ax＝06 0e2t
1d t 60
1
e120 120
Va(zr)2Ax(Ax)2
1
e120 120
1 e6 ( 60
0
)2
16
三、、延期寿险的趸缴纯保费
❖ 1、延期m年的终身寿险趸缴纯保费
❖。
1 e 10 2tdt
70 0
710 (21 )e2t
100.063803
0
Va (Z)r2A3 1:0 10(A3 1:0 10)20.055321
13
二、终身寿险趸缴纯保费
❖ 设： bt 1
❖ 保险金的精算现值：E(Z)0vt fx(t)dt
❖ 1、保费
A
x
E(Z)
vt
0
fx(t)dt
nvt
0
fx(t)dt
net 0
t
px
xtdt
10
3、Z的方差
❖ 。 V(a Z) rE (Z2)E (Z)2
2A1 (A1 )2
x:n
x:n
其中
：
2A1 x:n
E(Z2)
n 0
Z2
fx(t)dt
nv2t 0
t
pxxtdt ne2t 0
t
px
xtdt
11
例：已知
s(x)1 x 0x100i0.1
第三章
寿险趸缴纯保费
1
整体概况
概况一
社会保障精算--人寿与年金保险精算PPT课件
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
1、早期皮肌炎患者，还往往 伴有全身不适症状，如-全身肌肉 酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉 两腿费力；举手梳理头发时，举 高手臂很吃力；抬头转头缓慢而 费力。
2 定期寿险
实用公式
3 两全保险
A1 x:n
Mx
M xn Dx
两全保险 = n 年定期寿险 + n 年纯生存保险
纯生存保险： n年期满后，如果被保险人仍存活， 赔付保险金。赔付现值的随机变量 Z 为：
vn
(k n, n 1,, )
Z
0
(k 0,1,2,, n 1)
11
纯生存保险的精算现值为
A 1 x:n
k0 v xlx
Ax
Mx Dx
8
2 定期寿险
A1x:n
投保时点
v k 1
1
k
死亡
赔付时点
0
x
x k x k 1 xn
时间
理论公式
n1
A1 x:n
E(Z )
v k 1 k| q x
k 0
vK1 (k 0,1,2,, n 1)
Z 0
(k n, n 1,, )
9
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
理论公式
Ax E(Z )
v t
0
t
px
xt dt
15
对于1单位元的终身寿险，赔付现值随机变量为
Z vT (t 0)
实用公式
Ax
i
Ax
i ln(1
i)
Ax
其中， 称为利息力，是衡量确切时点上年利率水平的指标。
1、早期皮肌炎患者，还往往 伴有全身不适症状，如-全身肌肉 酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉 两腿费力；举手梳理头发时，举 高手臂很吃力；抬头转头缓慢而 费力。
2 定期寿险
实用公式
3 两全保险
A1 x:n
Mx
M xn Dx
两全保险 = n 年定期寿险 + n 年纯生存保险
纯生存保险： n年期满后，如果被保险人仍存活， 赔付保险金。赔付现值的随机变量 Z 为：
vn
(k n, n 1,, )
Z
0
(k 0,1,2,, n 1)
11
纯生存保险的精算现值为
A 1 x:n
k0 v xlx
Ax
Mx Dx
8
2 定期寿险
A1x:n
投保时点
v k 1
1
k
死亡
赔付时点
0
x
x k x k 1 xn
时间
理论公式
n1
A1 x:n
E(Z )
v k 1 k| q x
k 0
vK1 (k 0,1,2,, n 1)
Z 0
(k n, n 1,, )
9
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
理论公式
Ax E(Z )
v t
0
t
px
xt dt
15
对于1单位元的终身寿险，赔付现值随机变量为
Z vT (t 0)
实用公式
Ax
i
Ax
i ln(1
i)
Ax
其中， 称为利息力，是衡量确切时点上年利率水平的指标。
保险精算学趸缴纯保费
一年递增m次
将每一个保单年度分为均等的m个时间段， 如被保险人在第一保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1/m元， 如被保险人在第一保单年度的第二个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金2/m元， 。。。。。 如被保险人在第二保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1+1/m元， 如被保险人在第二保单年度的第二个1/m年内死
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:1n
趸缴纯保费厘定
1
Ax:n
E(zt ) vn n px
e n n px
现值随机变量的方差：
Var(zt ) v2n n px (vn n px )2
21
Ax:n
1
( Ax:n
)2
5、n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死 亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期 满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生 存保险加上n年定期寿险的组合。
m
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价于
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
例4.3.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险， 保额1元。
保险金在死亡即刻赔付。 已知
0.06，S (x) e0.04x , x 0
求：
(1) 10 Ax (2)Var(zt )
例4.3.3答案
(1)
保险利益： 如被保险人在第一保单年度内死亡，
则在死亡时立即给付保险金1元， 如被保险人在第二保单年度内死亡，
则在死亡时立即给付保险金2元， 。。。。。
(人寿保险的精算现值)
1 n Ex
1 vn n px
(1 i)n
lx lxn
年龄
x
nE x
现时值
1
tE x
x+t
E n t x t
1
x+n 1 S
第二十九页，编辑于星期四：十六点 十七分。
4、n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人 即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末 支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
趸缴纯保费厘定
A x :1 n E (z T ) v n n p x e n n p x
现值随机变量的方差：
Var(zT)v2nnpx(vnnpx)2
21
Ax:n
(Ax:1n)2
第二十八页，编辑于星期四：十六点 十七分。
相关公式及意义
(1) lx n Ex (1 i)n lxn
(2)
S
(3) Pr(zT 0.9) Pr(vT 0.9)
= Pr(T
ln v
ln 0.9 )
P(T
ln0.9
ln v
)
60 ln0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
lnv 0.9 60
ln0.9 6ln v 0.9 v6 e6
第二十六页，编辑于星期四：十六点 十七分。
3、n 年定期生存保险
假定： 岁的人，保额1元，n年定期两全保险
基本函(数x )关系
vt vvtn
, ,
tn tn
bt 1, t0
zTbTvT vvnT,,T Tnn
第三十页，编辑于星期四：十六点 十七分。
寿险精算 第三讲 人寿保险趸缴纯保费78页文档
寿险精算 第三讲 人。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
第二章趸缴纯保费3
Ax:n
Dx + n Dx
M x − M x + n + Dx + n = Dx
2－19
例 2.13
现年36岁的人，购买了一张终身寿险保单。该保单 规定，被保险人在10年内死亡，则给付数额为 15000元；10年后死亡，则给付数额为20000元， 设死亡给付发生在保单年度末。试求趸缴纯保费。
2－20
k =0
∞
Rx = M x + M x +1 + M x + 2 + " + M ω
Rx = ∑ (k + 1)C x + k
k =0
2－15
∞
可以证明
Ax = ∑ v k +1 ⋅k p x q x + k = ∑ v k +1 ⋅k | q x
k =0
∞
∞
∞
= ∑v
k =0
∞
k +1
d x+k ⋅ = lx
( DA)
1 x:n
－ nM x + ( Rx +1 − Rx + n +1 ) = Dx
2－22
答案
（1） 1000 ( D A )
1 30 :10
i = 1000 ( DA )1 30 :10 ln( 1 + i ) 0 . 06 10 M 30 − R 31 + R 41 = 1000 D 30 ln 1 . 06 = 41 . 61
M x − M x+n = Dx Rx − Rx + n − nM x + n = Dx
2－21
( IA)
1 x:n
Dx + n Dx
M x − M x + n + Dx + n = Dx
2－19
例 2.13
现年36岁的人，购买了一张终身寿险保单。该保单 规定，被保险人在10年内死亡，则给付数额为 15000元；10年后死亡，则给付数额为20000元， 设死亡给付发生在保单年度末。试求趸缴纯保费。
2－20
k =0
∞
Rx = M x + M x +1 + M x + 2 + " + M ω
Rx = ∑ (k + 1)C x + k
k =0
2－15
∞
可以证明
Ax = ∑ v k +1 ⋅k p x q x + k = ∑ v k +1 ⋅k | q x
k =0
∞
∞
∞
= ∑v
k =0
∞
k +1
d x+k ⋅ = lx
( DA)
1 x:n
－ nM x + ( Rx +1 − Rx + n +1 ) = Dx
2－22
答案
（1） 1000 ( D A )
1 30 :10
i = 1000 ( DA )1 30 :10 ln( 1 + i ) 0 . 06 10 M 30 − R 31 + R 41 = 1000 D 30 ln 1 . 06 = 41 . 61
M x − M x+n = Dx Rx − Rx + n − nM x + n = Dx
2－21
( IA)
1 x:n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5、精算现值（Actuarial Present Value）的定义
？ 将保险人未来随机给付“现值”的数学期望，称为精算现值。依据收支相等
（或等价交换）的原则，又将精算现值称为趸缴纯保费。 （指签单时刻）
6、涉及的变量及生命函数：
X ：新生儿寿命， T (x) ： (x) 的余命， K (x) ： (x) 的取整余命，
x
s(x) Pr(X x) ， s(x) e0 sds ，
t px 1 t qx ， fT (t) t pxxt ，
t qx P rT[ x( )t ，]
x
s( x) s(x)
第一节 离散型人寿保险模型
*** 讨论保额固定的离散型人寿保险 ***
考虑一个保险计划：被保险人在 x 岁投保，在T (x) 年后 死亡， K(x) [T (x)] ，在死亡的保单年度末给付bK 1 ，则给 付的现值随机变量为： Z K 1bK 1 （离散型随机变量）。 （以下讨论中总假设 bK 1 1，利率不变：1 i e ）
对等
2、从保险人角度看
纯保费（购买） 保险利益（保险金）
收入
- - -毛- 保费
附加保费
费用附加 利润附加 安全附加
支-出- - -
3、从保险人角度看,收入与支出的不确定性
收入的不确定 ---- 缴费年限、是否退保、缴费总额等均不确定。
支出的不确定 ---- 保险金是否给付、给付时间、费用支出等均不确定。
n
t
0
fT
(t)dt
n 0
e t
t
pxxt dt
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2
en 2 t
0
fT
(t)dt
(
A1 x:n
)2
2 A1 x:n
( A1 )2 x:n
2、终身寿险
Z=TbT T , T 0
Ax E(Z)
t
0
fT
(t)dt
x 0
e t
t
px xt dt
考虑一个保险计划：被保险人在 x 岁投保，在T (x) 年后死亡，
死亡后立即给付 bT ，则给付的现值随机变量为：Z T bT（连
续型随机变量）。
（以下讨论中总假设 bT 1，利率不变：1 i e ）
1、 n 年定期死亡保险
Z= T bT
T
0
, T n , T n
A1 x:n
E(Z)
4、随机给付模型的主要变量
寿命随机变量 利率随机变量
---- 给付发生与寿命有关， ---- 货币的时间价值因素。
?
bT
0
(x)
T (x)
保险实务中，寿命分布由生命表给出，预定利率由投资收 益率、精算标准确定。
本书只讨论半随机模型，即假定被保险人的寿命是随机 的，预定利率是固定不变的。
目前，随机利率下的寿险定价研究比较时髦和实用。
第二章：人寿保险的精算现值（趸缴纯保费）
教学要求：
★ 掌握各类寿险的保险金给付模型的建立方法。 ★ 掌握寿险的精算现值（趸缴纯保费）的定义。 ★ 掌握各类寿险的趸缴纯保费的计算。
*** 寿险定价的基础 ***
1、寿险合同约定
投保人的义务 保险人的义务
-------
缴纳保费 发生保险事故时给付受益人保险金
n1
0
n
3、终身寿险
Z= K 1bK 1 K 1 , K 0 ,1 , 2
x1
Ax E(Z )
k 1 k
qx
k 1 k qx
k 0
k 0
Var(Z ) 2 Ax ( Ax )2
4、 n 年期两全保险
Z=
b K 1 K 1
K 1
n
, ,
K 0 ,1, 2 T n
n 1,
K 1
?
0
(x)
1
T (x)
K
K 1
n 1、 年定期死亡保险的精算现值 A1 ：即保险价格（纯保费) x:n
Z= K 1bK 1
K 1
0
, ,
K 0 ,1, 2 T n
n 1（, 包含K T n情况）
n1
n1
A1 E(Z ) x:n
k 1 k
qx
e (k 1) k px qxk
Var(Z ) 2Ax (Ax )2
3、延期 m 年的 n 年定期死亡保险
Z=T bT
0
T
, ,
T m , T mn mT mn
A1
m x:n
E(Z)
mn t
m
fT (t)dt
A1 x:mn
A1 x:m
4、延期 m 年的终身寿险
Z=T bT
0
T
, ,
T m T m
m Ax E(Z )
k 0
k 0
n1n1Βιβλιοθήκη 2 A1 E(Z 2 ) x:n
q 2(k 1) kx
e2 (k 1) k px qxk
k=0
k=0
Var(Z) E(Z 2) [E(Z)]2 2A1 (A1 )2
x:n
x:n
2. n 年期生存保险
0 , T n ,
Z n , T n
A1 x:n
E(Z) n n px
n1
A E(Z ) x:n
k 1 k
qx
n n
px
A1 x:n
A1 x:n
k=0
5、延期m 年的n 年定期死亡保险
Z= K 1bK 1
K 1
0
, ,
K m ,m 1 , 其它
m, n
1
m n 1
A1
m x:n
E(Z)
q k 1 kx
A1 x:mn
A1 x:m
k m
n
0
A x:n
E(Z)
nt
0
fT (t)dt n n px
A1 x:n
m
m+n
易证：
A1
m x:n
A1 x:m
A1 xm:n
A1 x:mn
A1 x:m
A m x:n
A1 x:m
A xm:n
m
A1 x:n
m
A1 x:n
A x:mn
A1 x:m
(x)
(xm) n
0
m
m+n
例 1.
证明：
m
A x:n
A1 x:m
A xm:n
事实上：
m n 1
A m x:n
k 1 k qx mn mn px
x t
m
fT
(t)dt
Ax
A1 x:m
5、 n 年定期生存保险
Z=T bT
0
n
, ,
T n T n
A1 x:n
E(Z) n n px
Var(Z) 2n n px
(n n px )2
2n n px n qx
A 2 1 x:n
(
A1 x:n
)2
6、 n 年定期两全保险
Z=T bT
T n
, T n , T n
k=m
n1
mk 1 mk qx m m px n n pxm k=0
n1
m m px k1 k qxm m m px n n pxm k=0
n1
m m px (
k 1 k
qxm
n
n
pxm )
A1 x:m
A xm:n
k=0
第二节 连续型人寿保险模型
*** 讨论保额固定的连续型人寿保险 ***