第4章寿险精算现值
(荐)保险事务专业保险精算习题及答案(财经类)保险事务)
2014年保险事务专业保险精算习题及答案第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
6．设m ＞1，按从大到小的次序排列 ()222x x v b q e p +与δ。
7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6t tδ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。
11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。
A. 7.19B. 4.04C. 3.31D. 5.2112.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
寿险精算现值离散年末趸交
张宁
microsoftibm@ nzhang@
6*Present and future value of streams : Random
2
1：*在Lebesgue-Stieltjes下，表达了离散和连续 的情况。 2：一般情况下APV实际上是一个双重积分 3：如果两个现金流相等是指他们的APV相等，即叫 做current balance 现金流平衡 4：在v(t)我们已) 5：如果现金流只发生一次的话，其实考虑的是x(t) ，它一般是随机的，这里的t也可能是随机的。 6: 其他的注释我们会在涉及时候继续深入挖掘
10
其趸缴纯保费：
11
5 死亡年末给付 的r 延期n定期人寿保险
对于ｘ岁的人签发的，保险金额为１元的延 期ｒ年的ｎ年定期寿险，其给付函数可以表 示为：
12
签单时保险金给付现值随机变量为：
13
14
6 死亡年末支付，r延期，n期两全保 险(挑错再回答问题)
又印 错了 这俩一样 吗？
r|
Ax:n Ax:r Ax r:n
1 1 x:r
15
Ax:r n A
文字游戏:
30岁时候的终身寿险和50岁时候的终身寿 险有啥关系? 30岁时候的10年定期和35岁时候的5年定 期有啥关系 50岁时候的延期10年的10年两全险和60岁 时候的10年两全险有啥关系 50岁时候的延期10年的10年两全险和50岁 时候的20年两全险有啥关系
16
谢谢各位的耐心！
17
对于ｘ岁的人签发的，保险金额为１元，保 险金在死亡年末给付的ｎ期两全保险，其给 付函数可以表示为：
人寿保险的精算现值
k 1 v qx k | k 0
n 1
A1 x:1 自然保费，是根据每一保险年度，每一被保险人当年 年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡保险费。
A
1 x:1
cx vqx
18
• 例:55岁的男性投保5年期定期寿险,保险 金于死亡年末给付, 按中国保险业经验 生命表CL1（2000-2003）和利率6%, 计 算： • (1)保险金额为1000元的趸缴纯保费。 • (2)趸缴纯保费为1000元的保险金额。
பைடு நூலகம்
（2）给付现值函数Z
Z= 1* 0
V k 1 ,k=0,1,2,…n-1
,其他
16
(3)K、Z的分布律
K Z P(K=k)
0 v qx
1 v2 1|qx
2 ... n-1 v3 ... vn 2|qx … n-1|qx
17
2 n A1 EZ v * q v * q ... v *n1 | qx x 1 | x x:n
人寿保险趸缴纯保费
人寿保险精算现值
1
中英文单词对照
• 趸缴纯保费 • 精算现时值 • 死亡即刻赔付保险 • Net single premium • Actuarial present value • Insurance payable at the moment of death • Insurance payable at the end of the year of death
19
终身寿险的趸缴纯保费
• Ax 表示（x）投保保险金额为1元，保险 期限为终身，死亡年末给付的寿险的趸 缴纯保费。 Ax EZ
v
k 0
k 1 k |
第4章 寿险精算现值 2.ppt
A
1 x:20
和 A
1 x:20
◆关于
A
(m) x
的计算
把死亡发生年划分成m个相等的部分，死亡 给付在死亡发生的那部分期末进行。这时1单位元 的终身寿险现值以
A
(m) x
表示。
当m趋于无穷大时，有
Ax lim A
m
( m) x
A
( m) x
E (v
E (v i i
(m)
K S( m)
0, K 0,1, 2,, m 1 Z K 1 v , K m, mx 表示，有
x 1
k m
A E ( Z ) x m
显然有
v
k 1
M xm k qx Dx
Ax A
1 x:m
m Ax
5.延期m年的n年定期寿险
例：计算保险金额为10000元的下列保单，在 30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生 在保单年度末，利率为6%。 （1）终身寿险
（2）30年定期寿险
（3）30年两全保险。
作业：1、对于两年定期寿险，死亡年末给付保险金， 若在第一年内死亡，给付保险金5000元，第二年内死 亡给付保险金10000元，并给出如下生命表
例: 设（35）投保5年两全保险，保险金额为1 万元， 预定利率为6%，保险金死亡年末给付， 按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。
A35 : 5 A
4
1 35 : 5
A
k
1 35 : 5 5 5
v
k 0
k 1
q35 v
p35
1 4 k 1 5 ( v d35 k v l40 ) l35 k 0
●
寿险精算现值
主要内容：
寿险精算现值
生存年金精算现值
净保费
寿险精算现值
终身寿险 定期寿险 两全寿险 精算现值是保险赔付在投保时的期望现值。
死亡年年末赔付的寿险
1、终身寿险
用Ax表示终身寿险的精算现值.
Ax
vk 1d xk
或者
n
Ax
Ax
A1 x:n
证明：n Ax vn n px Axn
给出实际意义的解释。
5、延期m年的n年定期寿险
延期m年的定期n年寿险：用m n Ax表示，某人x岁开始投保， 延期m年后n年内死亡年末给付1单位元的延期寿险的现值。 现值随机变量为：
0 Z vK 1
K 0,1,..., m 1 K m, m 1,..., m n 1
bk
1v
k
1 k
qx
.
k 0
本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。
（1）递增型人寿保险的趸缴净保费
（2）递减型人寿保险的趸缴净保费
（1）标准递增终身寿险
某x岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单
位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元
用 IA 表示这种保险的现值，则 x
x岁的lx人共趸缴净保费为A1x:n lx，由平衡原理，有：
A1 x:n
lx
vd x
v2dx1
vnd xn1
所以：
A1 vdx v2dx1
x:n
lx
vndxn1
v 0 qx v2 1 qx vn q n1 x
第4章 人寿保险的精算现值
第4章 人寿保险的精算现值人寿保险的精算现值也称为趸交纯保费。
4.2 死亡年末给付的人寿保险死亡年末给付的人寿保险是指保险金的支付是在死亡发生的（保险期）年末进行的人寿保险。
4.2.1 定期寿险的趸交纯保费设)(x 投保n 年期定期寿险，保险金额为1元，保险金在死亡年度末给付。
设K = ][T ,即取整余命随机变量，给付函数用b K 1+表示，则有 b K 1+ = 1，当K = 0，1，2，…，n-10, 其它相应的贴现因子用v K 1+表示，保险金给付额折换成购买保险合同签单时的现值用随机变量Z 表示。
Z 的可能取值为z K 1+（K = 0，1，2，…，n-1）z K 1+ = v b K K 11++⋅ = vK 1+定期寿险的趸交纯保费用统一的精算符号1x n A 表示，那么1x nA= )(Z E =∑-=++⋅⋅11n k kx xk qp vk)(Z Var = )]([22)(ZE Z E -=2211()x nx nAA-其中 21x nA= )(2Z E = ∑-=++⋅⋅1)1(2n k kx xk qp vk4.2.2 生存保险n 年期生存保险是当被保险人生存至n 年期满时，保险人在第n 年年末支付保险金的保险。
设)(x 投保n 年期生存寿险，保险金额为1元，保险金在第n 年年末给付。
精算中用1x nA表示该生存保险的趸交纯保费。
可以推出1x nA=pvnxn⋅相应的方差为)(Z Var = )]([22)(Z E Z E - = 2112()x nx n A A-= q pvn nxxn⋅⋅24.2.3 终身寿险的趸交纯保费Ax=1lim x nn A→∞=∑∞=++⋅⋅1k kx xk qp vk相应的方差为)(Z Var = )]([22)(ZE Z E -= )(22A Ax x-4.2.4 两全保险的趸交纯保费设)(x 投保n 年期两全保险，保险金额为1元，若)(x 在n 年内死亡，则在死亡年末给付保险金，若)(x 生存满n 年，则在第n 年年末支付满期保险金。
第四章 人寿保险的精算现值(.3.27)共91页文档
E(Zt)E(bK1vK1)＝ Zt.kqx E(Zt)E(bTvT) Zt.fT(t)dt
寿险精算
8
这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费 也就是精算现值，即
精算现值＝ E ( Z t )
净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴 纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给 付金额。它的实质是把相同风险的人视作 一个总体，这个总体在统计意义上的收支 平衡
寿险精算
9
§4.1 死亡即付的人寿保险
• 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。它是在实际应用场合，保险公司通 常采用的理赔方式。
• 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的 任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个 连续随机变量，它距保单生效日的时期长 度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
连续型寿险
寿险精算
10
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算
11
一、n年定期保险的精算现值
1.定义——什么是定期保险
2.基础模型假定条件
寿险精算
5
• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给 出了以下三条假设：
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命独立同分布 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合 假定三：保险人可以预测将来的投资收益
这三条假定将单个被保险人的风险事故转 化为一个同质总体的风险事故
保险精算1-5章答案(第二版)李秀芳
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
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Ax E ( Z )
k 0 k 1
t
0
v t px x t dt
t
k
v t p x x t dt px x s k ds
1 s 1 s
v
k 0 0
1
sk sk
v
k 0
k 1 k
px v
单位元赔付现值随机变量为
v , k 0,1, 2,, n 1 Z n v , k n, n 1,
k 1
(x) 的1单位元n年两全保险的精算现值为
Ax : n v
k 0 1
n 1
k 1
k qx v n px
n 1
Ax : n Ax : n
Z2 的方差为
Var ( Z 2 ) E ( Z 2 ) [ E ( Z 2 )]
2 2n n
2
v n p x [v n p x ] v n px n qx
2n
2
例3: 设（35）投保5年两全保险，保险
金额为1万元， 保险金死亡年末给付， 按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。
Ax (1 i)
单利计息时
1/ 2
Ax
Ax (1 i / 2) Ax
Z的方差为
Var ( Z ) E ( Z ) [ E ( Z )] Ax ( Ax )
2 2 2 2
其中
2
Ax E ( Z ) e
2 0
2 t
t px x t dt
例：设(x)投保终身寿险，保险金额为1元， 保险金在死亡即刻赔付，利息力为 0.03 ， 签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
延期m年的n 年期两全保险
m
Ax :n
m
Ax :n
1
m
Ax :n Ax :m Ax m :n
1 1
1
递增终身寿险 ( IA) x kv k 1 px qx k j Ax : j
k 1 k 1 j 0
递减n年 定期寿险
( DA) x:n (n k 1)v k 1 px qx k Ax :n j
0
px k x k s ds
①在死亡均匀分布假设下，有
s
px k x k s qx k , 0 s 1
k 1 k
Ax v
k 0
px qx k v
0
1
s 1
ds Ax v
0
1
s 1
ds
i
Ax
②假设死亡集中发生在每个年龄的中间，这时 死亡时赔付平均来说比死亡年末赔付早半年。 复利计息时
2 1 1 2
其中
2 1 2
Ax : n E ( Z ) v
k 0
n 1
2( k 1)
k qx
v
k 0
n 1
2 ( k 1)
k qx
例1: 某40岁的人投保了5年10000元定期寿险， 保险金在死亡年末给付，根据中国人寿保险 业经验生命表（2000-2003）（男性表）计 算趸缴纯保费（利率5%）。
Z v ,
T
T 0
T的概率密度为 t p x x t ，其精算现值 Ax 为
Ax E ( Z ) v fT (t )dt v t px x t d t
t t 0 0
注: 被保险人存活函数给出时该精算现值才能
直接被估计出来。但实际中，通常只有生命表 提供的整数年龄上的死亡概率，因此需要对上 面的积分进行变换。
本节考虑如下险种的精算现值：
●
●
●
● ● ●
终身寿险 定期寿险 生存保险 两全保险 延期保险 变额保险
Whole life insurance Term life insurance Pure endowment insurance Endowment insurance Deferred insurance Varying insurance
A40 : 3 5% v
1 k 0
4
k 1 k
q40
k 0
4
1 1.05
k 1
d 40 k l40
例2: 某人在50岁时购买了保险金额为10万元 的终身寿险，假设生存函数为
s ( x) 1 x 105 ,
保险金在死亡年末给付，i=10%，求这一保 单的精算现值。
第4章 寿险精算现值
精算现值（Actuarial present value） 是保险赔付在投保时的期望现值，也就是趸缴
纯保费（Net single premium） 。
保险费又称为总保费或毛保费，可以分为 净保费（纯保费）和附加保费。 净保费是补偿 保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分， 附加保费是补偿保险公司因出售和管理保单发 生的费用需要的缴费部分。
v
k 0
k 1 k
qx
1 x 1 lx
k 0
d
xk
v
k 1
●
赔付现值随机变量的方差：
2 2
Var ( Z ) E ( Z ) [ E ( Z )]
E (Z ) v
2 k 0
2
2( k 1) k
qx e
k 0
2 ( k 1) k
qx
其精算现值以
Ax 或 mn
m
Ax :n 表示，有
k 1
1
m n 1 mn
Ax E ( Z )
1
k m
1
v
k qx
Ax : m n Ax : m
6.标准变额寿险
如果保险契约规定的赔付数额随着死亡时 间的变动而不同，这样的寿险称为变额寿险。 如果赔付额 bK 1 K 1，K是从投保开始到 死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为 标准递增的变额寿险。
终身寿险
Ax
k 0
v
k 1 k
x 1
qx
1
k 0
v
k 1 k
px qx k
1
延期m年的n 年定期寿险
延期m年的 终身寿险 n年期两全 保险
m
Ax:n Ax:m n Ax:m
1
m
Ax Ax Ax:m
1
1 1
Ax:n Ax:n Ax:n
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
1
其中 Ax : n 表示1单位元给付纯生存险的 精算现值。
☆两全保险现值随机变量的方差
设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年 定期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值 随机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有
Var ( Z ) Var ( Z1 Z 2 ) Var ( Z1 ) Var ( Z 2 ) 2 E ( Z1 ) E ( Z 2 )
A35 : 5 A35 : 5 A35 : 5
1
1
v
k 0
4
k 1 k 4
q35 v
k 1
5 5
p35
5
1 l35
( v
k 0
d 35 k v l40 )
4.延期m年终身寿险
对(x) 的1单位元死亡年末赔付 m年延期
终身寿险，现值随机变量为
0, K 0,1, 2, , m 1 Z K 1 v , K m, m 1,
E ( Z ) 相当于以计算趸缴净保费利息力
的两倍计算的趸缴净保费。
记 有
2
Ax E ( Z )
2
2 2
Var ( Z ) Ax ( Ax )
赔付现值随机变量的方差反映赔付现值 随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承 担的赔付风险程度。
2.定期寿险
对(x) 的1单位元死亡年末赔付n年定期寿险， 其现值随机变量为
试求（1）其精算现值 10 Ax ; （2） Var ( Z ) ； （3）中位数 0.5 .
解：已知 0.06
d fT (t ) s( x t ) s ( x)
s ( x) e
[e e
0.04 x
,x0
0.04( x t )
] 0.04e
0.04 t
险，其精算现值以 Ax 表示。 记 K ( x) k 为 x 岁投保人的整值剩余寿命， 下面计算 Ax
死亡年末1单位元赔付在投保时的现值随 机变量为 Z v K 1 ，它的期望就是其精算现值. 因为
P( K k ) k px qx k k qx
x 1
所以
Ax E ( Z )
标准递增的终身寿险
Z ( K 1)v
K 1
,
1
1 1
…
…
K 0,1, 2,
1 1 1 … … …
1 1
1 1
…
… …
x
x+1 x+2
x+n-1 x+n
其精算现值以 ( IA) x 表示，有
( IA) x E ( Z ) (k 1)v
k 0 k 1
k q x
精算现值，有
( DA) x:n (n k ) v
1 k 0 n 1 k 1 k
qx Ax:n k
1 k 0
n 1
例：设 lx 100 x, 0 x 100, i 0.05, 计算 ( IA)40 。