《应用数理统计》吴翊李永乐第二章 参数估计课后习题参考答案汇编

第二章 参数估计

课后习题参考答案

2.1 设总体X 服从二项分布()n X X X p p N B ,,,,11,,21 <<为其子样，求N 及p 的矩法估计。 解：

()()()p Np X D Np X E -==1,

令()

⎪⎩⎪⎨⎧-==p Np S Np X 12

解上述关于N 、p 的方程得：

2.2 对容量为n 的子样，对密度函数22

(),0(;)0,0x x f x x x ααααα

⎧-⎪=⎨⎪≤≥⎩

其中参数α的矩法估计。 解：12

2

()()a E x x

x dx α

αα==

-⎰

22

02

2

()x x dx α

α

α=-

⎰

232

1

22

133

3

αααααα

α

=

-

=-= 所以 133a x α∧

== 其中121,21

(),,

,n n x x x x x x x n

=

+++为n 个样本的观察值。

2.3 使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果为(单位：mm) 232.50，232.48，232.15，232.52，232.53，232.30 232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30 试用矩法估计测量的真值和方差(设仪器无系统差)。

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

-=-==X S p S X X p X N 2221ˆˆˆ

解：

()

()

()

∑∑====-=

===n

i i n

i i S X X n X D X X n X E 1

22

1

0255

.01

4025

.2321

2.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()10,1

,<<=ββ

βx f 的总

体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β。 解：

()

()()()4.22ˆ2

,1

,407

.012

.110

1

2

2

1====

===

=-===⎰

⎰∑∑==X X

dx x

dx x xf X E x f X

X n S X n X n

i i n

i i β

β

β

ββ

ββ

β参数：总体方差：总体均值：

2.5 设n X X X ,,,21 为()1N ，

μ的一个字样，求参数μ的MLE ；又若总体为(

)2

1N σ，的

MLE 。 解：(1)

()()()()()

()()()

()

()X x n x x L x n x L e

x L x f e

x f n

i i n i i i n i i i x n

i

n

i i

x i n

i i i =∑=∑=-=∂∂∑---=∑=

==

===--=--

=∏1

112

2

2

1

2

1ˆ0,ln 212ln 2,ln 21

,,21,1

2

2

μ

μμ

μμπμπμμπ

μμμ

(2)

()

()()()()

()(

)

()()

()()2

1

2

1

2

4

222

1

2

22

212

2

1

2

21211ˆ01212,ln 121ln 2ln 2,ln 21

,,21

,2

1

2

2

2∑-=∑=-+-=∂∂∑----=∑=

==

===--=--

=∏n i i n i i i n i i i x n

n i

n

i i

x i x n x n x L x n n x L e

x L x f e x f n

i i i σ

σσσσσσπσσπσσσ

πσσσ

2.6 设总体X 的密度函数为12(;),,,,n f x X X X θ为其样本，求下列情况下θ∧

的MLE 。

（i ） ,0,1,2,

(;)!

0,x e x f x x θ

θθ-⎧=⎪=⎨⎪⎩

其它

0θ≥

(ii) 1,0

1

(;)0,x x f x αθθ-⎧=⎨

⎩其它

θ

(iii) 1(),0

(;)0,x x e x

f x α

αθθαθ--⎧⎪=⎨

⎪⎩其它

α已知

（iv ） 1()/(),0

(;)0,r x x e r x f x θθθθ--⎧Γ>=⎨⎩其它

r 已知

（v ） 1,0

(;)0,x

e x

f x θ

θθ-⎧≥⎪=⎨⎪⎩

其它 0

θ

解：（i ） 1

12()!!!

n

i

i X n n e L x x x θ

θ

θ=-∑=

121

ln ()ln ln(!!!)n

i

n i L X

n x x x θθθ==

--∑