《应用数理统计》吴翊李永乐第二章 参数估计课后习题参考答案汇编
应用数理统计作业题及参考答案(第二章)(2)
第二章 参数估计（续）P682.13 设总体X 服从几何分布：{}()11k P X k p p -==-，12k = ，，，01p <<，证明样本均值11ni i X X n==∑是()E X 的相合、无偏和有效估计量。
证明： 总体X 服从几何分布，∴()1=E Xp，()21-=p D X p.1 ()()1111111==⎛⎫⎛⎫===⋅⋅==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ nn i i i i E XE X E X n E X nn n p p .∴样本均值11ni i X X n==∑是()E X 的无偏估计量。
2 ()22221111111==--⎛⎫⎛⎫===⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑nn i i i i p p D XD X D X n nn np np . ()()()()1111ln ln 1ln 1ln 1-⎡⎤=-=+--⎣⎦；X fX p p p p X p .()111ln 111111fX p X X pppp p∂--=-=+∂--；.()()211222ln 111fX p X ppp ∂-=-+∂-；.()()()()211122222ln 111111f X p X X I p E E E p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂--=-=--+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ()()()()12222221111111111111⎛⎫-=+-=+⋅-=+⋅ ⎪---⎝⎭pE X ppp p p p p p ()()()()2221111111-+=+==---p ppp pp p pp .()()()2422111111⎡⎤'⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦===-⋅⋅⋅⋅-n p pe p D X n I p n nppp .∴样本均值11ni i X X n==∑是()E X 的有效估计量。
3证法一：()21lim lim0→∞→∞-== n n p D X np，01p <<.∴样本均值11ni i X X n==∑是()E X 的相合估计量。
数理统计教程第二章课后习题答案
数理统计第二章习题解答1.设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 2. 已知母体ξ均匀分布于()βα,之间,试求βα,的矩法估计量.解: 2βαξ+=E ，()122αβξ-=D 。
令()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+22122n S αβξβα得 n S 3ˆ-=ξα，.3ˆnS +=ξβ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量.解: ()322adx x a a x E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a 中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i ix∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα 令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα，得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。
由于 ()01ln 222<+-=∂∂ααnL 故∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα是α极大似然估计.(2) 由211+-=αξE 令ξα=+-211 得 .112ˆξξα--=5.用极大似然法估计几何分布 ()(),2,1,11=-==-k p p k P k ξ中的未知参数p .解:()()n x ni p p p L -∑-=1，令 ()01ln =---=∂∂∑pn x p n p p L i 得x p1ˆ=而01ln 2ˆ2<--=∂∂=x x n p Lpp ξ1ˆ=∴p是P 的极大似然估计. 6. 设随机变量ξ的密度函数为()0,,21>∞<<-∞=-σσσx e x f x，n ξξ,,1 是ξ的容量为n 的子样,试求σ的极大似然值. 解: ()()∑=--ix neL σσσ12，()01ln 2=+-=∂∂∑i x n L σσσσ。
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案
于是
P ( X k ) p (1 p ) k 1 ，
所以 X 的分布律为 P ( X k ) p (1 p ) k 1 ， k 1,2, ． (2) Y 的所有可能取值为 0，1，2，…， k ，…，于是
Y 的分布律为 P (Y k ) p (1 p ) k 1 ， k 0,1,2, ．
2
P ( X 0) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.36 ， X 的分布律为 X P
1000000 0.16
60000 0.24
40000 0.24
0 0.36
5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为 p ，直到射中为止，求： (1) 射击次数 X 的分布律；(2) 脱靶次数 Y 的分布律． 解：(1) 由题设， X 所有可能的取值为 1，2，…， k ，…， 设 Ak {射击时在第 k 次命中目标}，则
由题知， { X k} A B ， AB ，则
P ( A) p k 1 (1 p ) ， P ( B ) (1 p ) k 1 p ， P ( X k ) P ( A B ) P ( A) P ( B ) p k 1 (1 p ) (1 p ) k 1 p ，
x 0, 0, 2 2x x F ( x ) 2 ,0 x a , ． a a x a． 1, a a 1 1 (3) P ( X a ) F (a ) F ( ) 1 (1 ) ． 2 2 4 4
12．设随机变量 X 在 [2,6] 上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观察，试求至 少有两次观测值大于 3 的概率． 解：由题意知
00907701《应用数理统计》教学大纲
《应用数理统计》教学大纲课程名称：应用数理统计英文名称：Application of Mathematical Statistics课程编号：00907701课程学时：32课程学分：2课程性质：学位课适用专业：全校各专业预修课程：高等数学，线性代数（大学工科）, 概率论与数理统计（大学工科）大纲执笔人：周大勇一、课程目的与要求本课程讨论基础数理统计的数学理论和方法，包括数理统计的基本概念，抽样分布，参数估计，假设检验，方差分析，回归分析，正交试验和质量控制初步，为众多学科专业需要较多统计工具的研究生，提供随机数学方面的训练，打下扎实的基础。
数理统计是关于数据资料的收集﹑整理﹑分析和推断的学科，通过对本课程的学习，使学生在本科工程数学的基础上，进一步较收入地掌握数理统计的基本理论和方法，培养运用数理统计的方法分析和解决有关实际问题的能力，并为今后学习后继课程打下必要的基础。
二、教学内容及学时安排第一章抽样和抽样分布 4 学时一、母体和子样二、一些常用的抽样分布第二章参数估计 8学时一、点估计和估计量的求法二、估计量的好坏标准三、区间估计第三章假设检验 8学时一、假设检验初述，二类错误二、检验母体平均数三、检验母体方差四、单侧假设检验五、分布假设检验第四章方差分析、正交试验设计 6学时一、一元方差分析二、二元方差分析三、正交试验设计第五章回归分析 6学时一、一元线性回归中的参数估计二、一元线性回归中的假设检验和预测三、可线性化的意愿非线性回归三、教材及主要参考书1、杨虎,刘琼荪,钟波《数理统计》高等教育出版社，20042、汪荣鑫《数理统计》西安交通大学出版社，19863、吴翊,李永乐,胡庆军《应用数理统计》国防科大出版社，19954、朱勇华,邰淑彩,孙韫玉《应用数理统计》武汉大学出版社，20005、茆诗松、王静龙《数理统计》华东师范大学出版社，1990。
数理统计第二章课后习题参考答案
第二章 参数估计2.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()1f x ββ=；，0x β<<的总体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β. 解： 1.30.6 1.7 2.20.3 1.1 1.26X μ+++++===.()()()()()()()22222222111 1.3 1.20.6 1.2 1.7 1.2 2.2 1.20.3 1.2 1.1 1.26ni i X X n σ=⎡⎤=-=-+-+-+-+-+-⎣⎦∑ ()222222210.10.60.510.90.10.4076σ=+++++==. ()()0112E X x f x dx xdx ββββ+∞-∞===⎰⎰；.令()E X X =，则12X β=，即2X β=.参数β的矩估计量为ˆ22 1.2 2.4X β==⨯=.2.6 设总体X 的密度函数为()f x θ；，1X ，2X ，…，n X 为其样本，求下列情况下θ的MLE.（iii ）()()100x x e x f x ααθθαα--⎧>⎪=⎨⎪⎩，；，其它α已知解：当0i X >()12i n = ，，，时，似然函数为： ()()()()111111ni i i n n n x n x i i i i i i L f x x e x eαααθθαθθθαθα=----===∑⎛⎫=== ⎪⎝⎭∏∏∏；.()()11ln ln ln 1ln n ni i i i L n n x x αθθααθ===++--∑∑.由()1ln 0ni i L nx αθθθ=∂=-=∂∑，得θ的MLEˆθ，即1ˆnii nxαθ==∑.2.7 设总体X 的密度函数为()()1f x x ββ=+，01x <<，1X ，2X ，…，n X 为其子样，求参数β的MLE 及矩法估计。
今得子样观察值为0.3，0.8，0.27，0.35，0.62及0.55，求参数β的估计值。
概率论与数理统计第二章课后习题答案
概率论与数理统计第二章课后习题答案概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x(3)3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x=≤≥??(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k a kλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ，k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故e a λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1)(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2)=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==?=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故所以4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C ,m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得24(1),9p -= 即1.3p =从而465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==?=得25e 2(5)0.00185!P X -=≈=13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++ 213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<+∞,<="" bdsfid="273" p="">求：（1）A 值；（2）P {0<="">()d 1f x x ∞-∞=?得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞---∞===??故12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-? (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==?当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+11e 2x -=-故1e ,02()11e 02xx x F x x -?-≥??16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=<≥.100,0,100,1002x x x求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）F （x ）. 【解】（1）1501001001(150)d .3P X x x ≤==?33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0 当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=100100()d ()d xf t t f t t -∞=+?2100100100d 1xt t x==-故1001,100()0,x F x xx ?-≥?=??17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a≤≤?=其他故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xxxx F x f t t f t t t a a-∞====?当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ?≤≤?=其他 5312(3)d 33P X x >==?故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -?>?=??≤?x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==?2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--??<=<==若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--??<=<== ++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--??<=<==若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--??<=<=-1(1.25)0.1056Φ=-=故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1）求P {2<="" 使p="" （2）确定c="" ＞3};="" ＞c="" ｜＞2}，p="">22X P X P ---??<≤=<≤11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ=--=-+ ? ?=-+=433103(410)222X P X P ----??-<≤=<≤770.999622ΦΦ=--= ? ?????(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----=>+< ? ?=--+-=+- ? ? ? ?????????=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ?-?->=>1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---??<≤=<≤404040210.8ΦΦΦσσσ-=-=-≥ ? ? ???????故4031.251.29σ≤=24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-?+≥>?（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-==??得11A B =??=-?（2）2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-?≥'==?25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=??<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F（x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时00()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+?20d 2xx t t ==? 当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=111122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-?当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==?故220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x26.设随机变量X 的密度函数为（1）f (x )=a e - |x |,λ>0;(2) f (x )=<≤<<.,0,21,1,10,2其他x xx bx试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=?知||21ed 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===故2=即密度函数为e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-?>??=? ≤??当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===?当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+?1e 2x λ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-?->??=??≤??(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+?得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<=≤当x ≤0时F （x ）=0 当0<1时00<="" bdsfid="607" p=""> ()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+?2d 2xx x x ==?当1≤x <2时01211()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x -∞-∞==++?312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤<27.求标准正态分布的上α分位点，（1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1）()0.01P X z α>=即1()0.01z αΦ-= 即()0.09z αΦ= 故2.33z α=（2）由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即()0.997z αΦ= 查表得2.75z α=由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即/2()0.9985z αΦ= 查表得/2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ?=?-?当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-= 2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1）求Y =e X 的概率密度；（2）求Y =2X 2+1的概率密度；（3）求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1）当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=?故2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ?-??=≤=≤≤ ? ???()d X f x x =故d ()()d Y Y X X f y F y f f y ?==+? ???(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=?故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/2,0y y -=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1）Y =e X的分布函数及密度函数；（2）Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1）(01)1P X <<=故(1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1ln 0d ln yx y ==?当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤??=<故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ?<=其他（2）由P （0(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z zP X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-?即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤?=?>?0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -?>?=??≤?032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ?<试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤< arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+?222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ?<其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
《应用数理统计》习题解答
2214243.(1)[||]0.140(2)[||]0.144(,4),(,),(0,)[||]20.1800255(3){||0.1}2(10.9521.9615372tnE a D nnE aN a N a t a NnnE t t dtnP t Pnξξξξξξπ-+∞-==≤⇒=-≤=-==≤==≤=≤=Φ-≥=⇒≥⎰《应用数理统计》参考答案习题一0.51.(,0.5)(,){||0.1}0.9972.97442N a N anP a Pnξξξξ⇒-<=<==⇒=2242.(,4)(,)100||(1)(||)()0.90,0.330.20.2(2):P(||)N a N aa UP a U P Uaξξξξσξεε⇒--<=<==-≥≤挈比学夫不等式(5)(5)125515(3){15}1{15}1{15,15,,15}1215121[{}]221[1(1.5)]0.292P P P P ξξξξξξ>=-≤=-≤≤≤--=->=--Φ=1121212111()(1){}{,,,}{1,1,,1}()()(1)(1)k n n nn m nm n m n m ni i P k pq P M m P m m m P m m m pqpq q q ξξξξξξξ----======≤≤≤-≤-≤-≤-=-=---∑∑4.5. 6. 13.0)25(1}8.012138.012{}13{)54,12(~)1()4,12(~=Φ-=->-=>ξξξξP P N N (1)(1)1255511515(2){10}1{10}1{10,10,,10}1[{10}]1[1{10}]1210121[1{}]221[11(1)]0.579P P P P P P ξξξξξξξξ<=-≥=->>>=->=--≤--=--≤=--+Φ=6(1)0.001567.2800~(0.0015)(1){800}[{800}][0.0015]x E P P e dx e ξξξ∞-->=>==⎰6(6)30000.00156 4.56(2){3000}[{3000}][0.0015](1)x P P e dx e ξξ--<=<==-⎰1212(2){}{,,,}{1,1,,1}n n nn P K k P k k k P k k k ξξξξξξ==≥≥≥-≥+≥+≥+7．8.均值的和（差）等于和的均值，方差的和差都等于方差的和9.由中心极限定理：10.11.22222(1)(1)(1)()222~()()()[()](,)it itit n e n n e n e it i t t tn it it n n nn p t e t t ee n e e e N n λξλλξξλλλλλξλϕϕϕλξλ---+--∴=∴======∴12121233~(20,3),~(20,),~(20,)10151~(0,)2{||0.3}1220.67N N N N P P ξξξξξξξξξ-∴->=->=-Φ=2(),(),E a D ξξσ==121(0,1)(0,1)~(,)n n i i i ni i na a n N N N a n nξξσξσξ==--∴∴=∑∑∑22222222,(),()()(),(),(),(,)k k k k k k k k k k k k k kk k E a E a D E E a a a a E A a D A n a a A N a nξξξξξ===-=--∴==-∴22121212222(),()(),()0,()()()2,()()()2,i i E E a D D E D D D E E D ξξξξσξξξξξξσξξξξξξσ====∴-=-=+=∴-=-+-=13.14.15.16.2212221221,(),(),()()0,()()()(1),11[()](1)1niii ii i iniiniiE a E a D DnE D D DnDn D nDES n Dn nE ES Dn n nσξξξσξξξξξξξσξξξξξξξ=======∴-=-=+--===--==--∑∑∑222222222424222(1),11()(1)()2(1)21 ()2(1)() nsnns nE n Es On nns nD n Ds On n n χσσσσσσσ--=-⇒==+-=-⇒==+112323''' '2(121)(1)()()()()5231()(121)23023021AD E E E EA E E A AVar Aξξξξξξηξηηηηηξξξξξ⎛⎫⎪-+=-==⎪⎪⎝⎭=--=--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11223''''110(2)(,)111()()()()5231()(121)23023021BE E E EB E E B BVar Bξηηηξξξηηηηξξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∑=--=--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11222211()2822121(2)||2241128116xx xxe dx dxπ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪∞∞⎝⎭⎝⎭-∞-∞-=∑-⎛⎫⎛⎫∑==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰17.18.21.22.()11223'122'111110(,),211151,1101221111111100130111100310110N A A AAA Aξηξηξηηθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪∑=-=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭‘＝，由引理1.2.3，则－的联合分布为－－11223''12111111~(,),1011111432111111121301111210.2N A A AA Aξηξξηξηθρρρρρρρρρηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∴∑⎛⎫⎛⎫+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪∑=-=⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴--=⇒=-＝=A，－－时与独立2''44''22'''''' 44224(0,)(,)()()2()()()()()cov(,)(,)()() ()()2()()()2()nN IE A B tr A tr B tr ABE A E B tr A tr BA B E A B E A E Btr A tr B tr AB tr A tr B tr AB ζσζζζζσσζζζζσσζζζζζζζζζζζζσσσσσ=+=∴=-=+-=()11112222121122,1,1,0822177,122477yay y Qyba babθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⇒===-=⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫∴=∑== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭23.24.又 则令 则与 独立，则 与独立，且26.则2212221~(,),~(0,),~(1),(0,1)/(1)n n N a N n n ns n N T t n σξξξσξξχσξξ++----=-'11111(,,),(,,)111(,,),()11n n n ij n n n n i i i ia a B D nn n ξξθξσσσσδσσ⨯======-∑∑'2,0,D D D BD ===221(,)(,)1()n ni i nnB N a N I ηξθσσ===∑,i i i aξγσ-=2'11,()()()ni i i a D n ηγζγγξθξθσ=-==-=--∑∑B nηξ=ξηζ)1(~2-n χζ11(,)22U ξθθ-+(1)()121111221111()2201()121()()[1()]1[]21()()[()][]2(,)(1)()()[()()](1)[]n x n n n n n n n x f x other F x dx x f x nf x F x n x f x nf x F x n x f x y n n f x f y F y F x n n y x ξξθξξθθθθθ-------⎧-<<+⎪=⎨⎪⎩==-+∴=-=⋅⋅-+==⋅+-=--=⋅-⋅-⎰27.33.2222122222212222(0,),1()||2 ()()()()22(1)iyniniiY a NE d Y dynaD dE d E d Ennn nσξσσξσσσπσσσππ-∞-∞===-==-=-=-=⋅-=-∑⎰∑2222122122210.3(0,0.3),(0,)1010()(9)0.310()100.18{}0.30.3{(2}0.01iniiniiniN NPPξξξξχξξξ===--⨯<=<=∑∑∑222(2)(0,1),(1)0.3(9){0.9}0.9932nsN ntP Psnξχσξξξ--<=<=12121222221221212(3)(0,0.18),(0,0.18)(0,1),(0,1)0.18(1),()(1)0.18{()40}0.9N NN NPξξξξχχξξξξ+-+-+<=-224132244(4)~(1),~(0,0.12),10.73 {10.73}{}0.95NP Pξχξξξξ-<=<=34.《应用数理统计》参考答案2211222212222211(1)(0,),(0,)(1),()(1)11,()()(2)nn miii i n nniii nn mi i i i n N n N m n m m a b n m a b n m ξσξσξξχχσσσξξχ+==+=+==+--==++-∑∑∑∑∑∑222211112(2)(),(0,)(0,1),/(),n mni ii n i nniii i i m N n N t m c m n ξχξσσξξσσ+=+===∴=∑∑∑∑∑2222221121221(3)(),()()/(1,1),/nn mi i i i n ni i n mi i n n m n mF n m d nm ξξχχσσξσξσ+==+=+=+--∴=∑∑∑∑1. 由矩估计法2. (1) 由矩估计法(2)(3)(4)(5)818226212266174.00281610(74.002)88610 6.85710181ii i i a X x S x n S S n σ=-=--⎧===⎪⎪⎨⎪==⨯=-⎪⎩∴==⨯⨯=⨯--∑∑11'1202()33A x EX x dx θαξθθαξθθξ==-====∴=⎰111'101(1)2211A EX x x dx θαξθαθξθξθξ==+==+==+-∴=-⎰1211211122222221212222222121112()2x x n i i e xdx e x dx A X n A S S S θθθθθθαθθξθαθθξθξθξθθξθξθ--+∞--+∞==⋅=+==⋅===+∴=+==-+⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩⎰∑⎰111(1)122Ni N NA x N NN ξξ=+===⋅⇒=∑11102()1A dx ξξθξ===⇒=-⎰2∞3.4.2()2{0},(){0}{}()0.7,110.7,0.525x aA X AP A P dxa aP a pp aξξξ--=<=<=--=<=Φ-=≈∴≈=-⎰设表示出现的次数，(1)11111(1)()ln()[ln ln(1)ln]ln()1[ln ln]ln ln0 ln lnniiniin ni ii iniiL c xL c xLc x n c xnnx n cθθθθθθθθθθθθθ-+=======+-+∂=+-=+-=∂=-∏∑∑∑∑1111221(2)()ln()[ln1)ln]ln()]0(ln)niniiniiniiLL xLxnxθθθθθ======+∂=+=∂=∑∑∑11()()()()11(3)()ln()lnln()11,,,,()0,0,11,()()nnin nn nnn nnnLL nL nLother otherL Lθθθθθθθθξξθξθθθθθξθξθξ====-∂=-=∂⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤=∏11()()()()11(3)()ln()lnln()11,,,,()0,0,11,()()nnin nn nnn nnnLL nL nLother otherL Lθθθθθθθθξξθξθθθθθξθξθξ====-∂=-=∂⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤=∏5.221()212212241(5)()()ln()[ln]22()2()ln()[022in xiniini iiLxLx xLθθθθθθθθθθθθθξθ--====-=-----∂==∂=∑∑(1)11(1)11(1)(1)(6)()ln()[ln ln(1)ln]ln()(),,,()()nc ciiniinc ci niL c xL c c c xL ncL c xL Lθθθθθθθθθθθξξθξθξ-+==-+===--+∂=-=∂=≤≤⇒=∏∑∏不能解出，所以由22111(7)()1)(1)ln()[2ln(2)ln(1)ln(1)]2ln()22]01inxiini iiniiL xL x xx nL nθθθθθθθθθθθξ-====--=+--+--∂=-=⇒=∂-∏∑∑（~(,0)11nUξθ∏6.7.所以不唯一。
概率论与数理统计金治明李永乐版课后答案
1. 第二章2. 设随机变量X 的分布律为：2(), 1,2,33xP X x c x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭求c 的值。
解：由分布律的性质：31()1x P X x ===∑，得312381327xx c c =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑ 所以有 2738c =3. 一口袋中装有m 个白球，n − m 个黑球，连续无放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，此时取出了X 个白球，求X 的分布律。
解：由题设知，随机变量X 的可能取值为：0,1,2,,m ，且事件()(0,1,2,,)X k k m ==表示一共取了k +1次球，前k 次取到的都是白球，第k +1次取到的是黑球。
所以有11(), 0,1,2,,.k m n mk nC C P X k k m C -+===4. 设一个试验只有两个结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为 (01)p p <<，现进行重复试验，求下列X 的分布律。
（1） 将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数（几何分布）（2） 将试验进行到出现k 次成功为止，以X 表示获得k 次成功时的试验次数（巴斯卡分布） 解：（1）由题设知，随机变量X 的可能取值为：1,2,，且事件()(1,2,)X n n ==表示一共进行了n 次试验，且前n − 1次均是失败，而第n 次成功。
所以有1()(1), 1,2,.n P X n p p n -==-=（2） 由题设知，随机变量X 的可能取值为：,1,2,k k k ++，且事件()(,1,2,)X n n k k k ==++表示一共进行了n 次试验，且前n − 1次中成功了k − 1次，而第n 次也成功。
所以有11()(1), ,1,2,.k n kk n P X n C p p n k k k ---==-=++5. 求k 使得二项分布(;,)b k n p 达到最大值。
解：假设有0()max ()l nP X k P X l ≤≤===则有：()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩ 11(1)11(1)(1)(1)(1)(1)k k n k k k n k n n k kn k k k n k n n C p p C p p C p p C p p ------++-+⎧-≥-⇒⎨-≥-⎩ (1)(1)(1)(1)()n k p k p k p n k p-+≥-⎧⇒⎨+-≥-⎩ (1)(1)1k n pk n p ≤+⎧⇒⎨≥+-⎩ 所以当(1)n p +为整数时，(1)1k n p =+-或(1)k n p =+时，()P X k =的值最大； 当(1)n p +不是整数时，[(1)]k n p =+（[]x 表示不超过x 的最大整数）时，()P X k =的值最大。
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第二章 参数估计课后习题参考答案2.1 设总体X 服从二项分布()n X X X p p N B ,,,,11,,21 <<为其子样，求N 及p 的矩法估计。
解：()()()p Np X D Np X E -==1,令()⎪⎩⎪⎨⎧-==p Np S Np X 12解上述关于N 、p 的方程得：2.2 对容量为n 的子样，对密度函数22(),0(;)0,0x x f x x x ααααα⎧-⎪=⎨⎪≤≥⎩其中参数α的矩法估计。
解：122()()a E x xx dx ααα==-⎰22022()x x dx ααα=-⎰2321221333ααααααα=-=-= 所以 133a x α∧== 其中121,21(),,,n n x x x x x x x n=+++为n 个样本的观察值。
2.3 使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果为(单位：mm) 232.50，232.48，232.15，232.52，232.53，232.30 232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30 试用矩法估计测量的真值和方差(设仪器无系统差)。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==X S p S X X p X N 2221ˆˆˆ解：()()()∑∑====-====ni i ni i S X X n X D X X n X E 12210255.014025.23212.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()10,1,<<=βββx f 的总体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β。
解：()()()()4.22ˆ2,1,407.012.1101221========-===⎰⎰∑∑==X Xdx xdx x xf X E x f XX n S X n X ni i ni i ββββββββ参数：总体方差：总体均值：2.5 设n X X X ,,,21 为()1N ，μ的一个字样，求参数μ的MLE ；又若总体为()21N σ，的MLE 。
解：(1)()()()()()()()()()()X x n x x L x n x L ex L x f ex f ni i n i i i n i i i x nini ix i ni i i =∑=∑=-=∂∂∑---=∑======--=--=∏111222121ˆ0,ln 212ln 2,ln 21,,21,122μμμμμπμπμμπμμμ(2)()()()()()()()()()()()212124222122221221221211ˆ01212,ln 121ln 2ln 2,ln 21,,21,21222∑-=∑=-+-=∂∂∑----=∑======--=--=∏n i i n i i i n i i i x nn ini ix i x n x n x L x n n x L ex L x f e x f ni i i σσσσσσσπσσπσσσπσσσ2.6 设总体X 的密度函数为12(;),,,,n f x X X X θ为其样本，求下列情况下θ∧的MLE 。
（i ） ,0,1,2,(;)!0,x e x f x x θθθ-⎧=⎪=⎨⎪⎩其它0θ≥(ii) 1,01(;)0,x x f x αθθ-⎧=⎨⎩其它θ(iii) 1(),0(;)0,x x e xf x ααθθαθ--⎧⎪=⎨⎪⎩其它α已知（iv ） 1()/(),0(;)0,r x x e r x f x θθθθ--⎧Γ>=⎨⎩其它r 已知（v ） 1,0(;)0,xe xf x θθθ-⎧≥⎪=⎨⎪⎩其它 0θ解：（i ） 112()!!!nii X n n e L x x x θθθ=-∑=121ln ()ln ln(!!!)nin i L Xn x x x θθθ==--∑11ln ()101ni i ni i d L X n d X x n θθθθ===-===∑∑(ii) 1111()nnnii i i L xx θθθθθ--====∏∏1ln ()ln (1)ln nii L n x θθθ==+-∑11111ln ()ln 01(ln )(ln )ni i nn i i i i d L n x d n x x n θθθθ=∧--===+==-=-∑∑∑（iii ） 111()()ni i nx ni i L x eαθαθθα=--=∑=∏11ln ()ln()(1)ln nniii i L n x x αθθααθ===+--∑∑1111ln 01()nn i i i i ni i d L n n x x d x n ααααθθαθθ==∧-==-=-==∑∑∑(iv) 111()()/(())nii n x nr n i i L x er θθθθ=--=∑=Γ∏11ln ()ln (1)ln ()nnnri i i i L r x x n r θθθ===+---Γ∑∑111ln ()01,ni i nin i ii d L nrx d nrr x X n xx θθθθ=∧===-====∑∑∑ (v) 111()nii xnL eθθθ=-∑=11ln ()ln()ni i L n x θθθ==--∑211ln ()11,nii ni i d L n Xd x x X n θθθθθ=∧==-+===∑∑2.7 设总体X 的密度函数为()()10,1<<+=x x x f ββ，n X X X ,,,21 为其子样，求参数β的MLE 及矩法估计。
今得子样观察值为0.3，0.8，0.27，0.35，0.62，0.55，求参数β的估计值。
解：极大似然估计：()()()()()()234.0ln 11ˆ0ln 1,ln ln 1ln ,ln 1,,48.011111111=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑--==∑++=∂∂∑++=+===∑=-======∏∏ni in i i i ni ii ni ini ni i ni i x n x nx L x n x L x x L x f x n X βββββββββββ矩法估计:()()()07.0211ˆ211110-=--==++=+==⎰⎰XX dx x x dx x xf x E βββββ2.8 在处理快艇的6次实验数据中，得到下列的最大速度值(单位：m/s)27 ,38 ,30 ,37 ,35 .31,求最大艇速的数学期望与方差的无偏估计。
解：X 是总体期望()μ=X E 的无偏估计()s m X n X E ni i /3311===∴∑=μ2*S 是总体方差()2σ=X D 的无偏估计()221228/8.1811s m X X n S ni i =--=∑=2.9 设总体()2,~σμN X ，n X XX ,,,21为其子样。
(1)求k ，使()211121ˆ∑-=+-=n i i i X X k σ为2σ的无偏估计； (2)求k ，使∑=-=ni i X X k 11ˆσ为σ的无偏估计。
解：(1) ()()()()221121112111121111σμμk n X X E n k n X X k E n i i n i i n i i i -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑-=-=+-=+ 即k=2(n-1) (2)∑≠--=-ij j i i X n X n n X X 11 ()()01111111=---=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑≠≠μμn n n n EX n EX n n X n E X n n E X X E i j j i i j j i i ()()()()()2222222221111111σσσn n n n n n X D n X D n n X n D X n n D X X D ij ii i j j i i -=-+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑≠≠所以⎪⎭⎫⎝⎛--21,0~σn n N X X i σπnn X X E i 12-=-∴ ()σπσπσ1211211-=-=-=∴∑=n n k n n k n X X E k E n i i()π12-=∴n n k2.10 设总体123(,1),,,XN X X X μ为一样本，试证明下述三个估计变量11232123312313151021153412111362X X X X X X X X X μμμ=++=++=++都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差，问哪一个最小？ 证：1123131()()()()5102E E X E X E X μ=++ 131()5102μμ=++= 同理：2123115()()()()3412E E X E X E X μ=++115()3412μμ=++= 3123111()()()()362E E X E X E X μ=++111()362μμ=++= ∴123,,μμμ是μ的无偏估计量。
由于22212222222313119()()()()51025011525()()()()3412771117()()()()36218D D D μμμ=++==++==++=2()D μ∴最小。
2.11 设θˆ是参数θ的无偏估计，且有()0ˆ>θD ，试证2ˆθ不是2θ的无偏估计。
解：θˆ是参数θ的无偏估计，即()θθ=ˆE又因为()()()[]()0ˆ,ˆˆˆ22>-=θθθθD E E D所以()()()[]()2222ˆˆˆˆθθθθθθ>+=+=D E D E综上所述：2ˆθ不是2θ的无偏估计2.12设总体21(,),,,n XN X X μσμ已知，为一样本，1ni X μ=-为σ的无偏估计，且效率为12π-。
证明：设i i y x μ=- 则2(0,)i y N σ()2()i i i i E y y f y dy +∞=⎰22202i y ii y dy σ-+∞=⎰=1)()n ii E X y μ=-= 22n σσπ== 1ni X μ=-为σ的无偏估计2111)2n niii D X D Xn πμμ==-=-∑{}222122212()222(2)2n i i i ni E X E X n n nπμμπσσππσ===--⎡-⎤⎣⎦⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭-=∑∑由于2(,)XN μσ则，22()222(,,)11()(ln 2ln )ln (,,)222x f x x f x μσμσμπσμσσσσ--=-∂---∂=∂∂231()x μσσ-=-+22224222242ln (,,)13()ln (,,)132()()()f x x f x I E E x μσμσσσμσσμσσσσ∂-=-∂∂=-=-+-=∂ 22111()(2)22()()2n e D nI n n σππσσσσ∧∧===-- 2.13设总体X 服从几何分布： 1()(1),1,2,,01k P x k p p k p -==-=证明样本均值11ni i X X n ==∑是()E X 的相合，无偏和有效估计量。