2017年武汉大学数学与统计学院考研初试真题分享
2017考研数学一真题及答案解析
2017考研数学一真题及答案解析2017年考研数学一真题及答案解析2017年考研数学一真题是考研数学一科目中的一道重要题目，对考生的数学能力和解题思路有一定的考察。
下面将对这道题目进行详细的解析。
题目内容如下：已知函数f(x)满足f(0)=-1，对任意的x>0，有f'(x)=e^(-x)·f(x)。
求f(x)的表达式。
解析：首先，根据已知条件可知f(x)是一个可导函数，并且f(0)=-1。
我们需要求解f(x)的表达式。
根据题目中给出的条件，我们可以得到f'(x)=e^(-x)·f(x)。
这是一个一阶线性常微分方程。
我们可以通过分离变量的方法来求解。
首先，将方程两边同时除以f(x)，得到f'(x)/f(x)=e^(-x)。
接下来，我们对方程两边同时进行积分，得到∫f'(x)/f(x) dx = ∫e^(-x) dx。
对左边的积分进行计算，得到ln|f(x)|= -e^(-x) + C1。
其中C1是积分常数。
接下来，我们对右边的积分进行计算，得到-e^(-x) + C2。
其中C2是积分常数。
综上，我们得到ln|f(x)|= -e^(-x) + C1，或者写成ln|f(x)|= e^(-x) + C2。
然后，我们可以对上式两边同时取指数，得到|f(x)|= e^(-e^(-x) + C1)，或者写成|f(x)|= e^(e^(-x) + C2)。
由于f(x)是一个函数，所以f(x)的取值可以是正数或者负数。
因此，我们可以将上式分为两种情况来讨论。
情况一：当f(x)>0时，|f(x)|= f(x)。
此时，我们可以得到f(x)= e^(e^(-x) + C2)。
情况二：当f(x)<0时，|f(x)|= -f(x)。
此时，我们可以得到-f(x)= e^(e^(-x) + C2)。
综上，我们可以得到f(x)的表达式为：f(x)= e^(e^(-x) + C2)，当f(x)>0时；f(x)= -e^(e^(-x) + C2)，当f(x)<0时。
武汉大学数学与统计学院2017-2018第二学期《线性代数B》
武汉大学数学与统计学院2017－2018第二学期《线性代数B》（A卷，工54）学院专业学号姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、（10分）计算下列行列式；1. ;2. 若都是四维列向量，且四阶行列式求四阶行列式.二、（10分）若有不全为零的数使成立，则线性相关，也线性相关.试讨论该结论是否正确？三、（12分）设3阶方阵，试求：1、的特征值和特征向量；2、（为正整数）及其特征值和特征向量。
四、（15分）当为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解？在有解时，求出方程组的解.五、（15分）设二次型其中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为1、的值；2、用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换与正交矩阵.六（18分）在四维实向量构成的线性空间中,已知：；。
1、求使为的基；2、求由基的过渡矩阵；3、设线性变换为：,求在基下的变换矩阵C.七（20分）1. 设阶方阵的伴随矩阵为证明：若则；2. 设为阶矩阵，且满足，，，证明：。
武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数B》（工54，A卷答案）一、1、从第2行开始，每一行乘以（-1）加到上一行，然后从第1列开始，每列加到后1列，得2、由行列式的性质，可得.二、由题设能断定向量组线性相关，但其部分向量组不一定别线性相关.例如取则当时，有从而线性相关，但其部分向量组却分别线性无关.三、1、，故的特征值为。
当时，解线性方程组，由，可得基础解系，故对应于的全部特征向量为（）；当时，解，可得基础解系，，故对应于的全部特征向量为(不全为零）；2、令，则有，即有，从而。
的特征值为。
且的特征值对应的特征向量与相应特征值对应的特征向量相同。
四、解: 对方程组的增广矩阵施以初等行变换：（1）当且时，从而方程组有惟一解.（2）当时，由于方程组无解.（3）当时，有可见故方程组有无穷多组解.又由此可得与原方程组同解的方程组为令得其特解与原方程组的导出组同解的方程组为：由此可得基础解系为于是，原方程组的全部解为其中是任意常数.五、1、次型的矩阵为设的特征值为由题设，有解得2、矩阵的特征多项式得的特征值对于解方程组得其基础解系对于解齐次线性方程组得基础解系由于已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将单位化，由此得令矩阵则为正交矩阵.在正交变换下，有且二次型的标准形为六、解：1、；2、设,, 则，。
2017年武大武汉大学考研真题、研究生招生简章、招生目录及考试大纲汇总
武汉大学考研真题、考研答案及考研资料，由布丁考研网去打在读学长收集整理，真题都是来自官方原版，权威可靠，内部资料都是我们当年考武大时用的，考上后针对新的大纲重新进行了整理，参考价值极高。
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2017年武大武汉大学研究生历年复试分数线汇总武汉大学2016年招收攻读硕士学位研究生简章江城多山，珞珈独秀；山上有黉，武汉大学。
武汉大学是教育部直属的重点综合性大学，是国家“985工程”和“211工程”重点建设高校，涵盖哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、工学、农学、医学、管理学、艺术学等12个学科门类。
学校现有43个一级学科具有博士学位授予权，235个二级学科专业具有博士学位授予权；58个一级学科具有硕士学位授予权，342个学科专业具有硕士学位授予权，博士后科研流动站42个，博士生导师1400余人，硕士生导师3100余人。
一、培养目标培养热爱祖国，拥护中国共产党的领导，拥护社会主义制度，遵纪守法，品德良好，具有服务国家、服务人民的社会责任感，掌握本学科坚实的基础理论和系统的专业知识，具有创新精神、创新能力和从事科学研究、教学、管理等工作能力的高层次学术型专门人才，以及具有较强解决实际问题的能力、能够承担专业技术或管理工作、具有良好职业素养的高层次应用型专门人才。
二、招生计划及考试方式2016年我校计划招收硕士研究生约5800 名（含拟接收推荐免试生2400名）。
其中：学术学位硕士研究生约3350 名，专业学位硕士研究生约2450 名，各培养单位招生人数将在录取时根据国家下达的正式招生计划和报名考试情况做适当调整。
另外，我校“国家少数民族高层次骨干人才培养计划”招收硕士研究生 70 名（限报专业学位专业），“高层次人才强军计划”招收硕士研究生60名(限报专业学位专业)、“退役大学生士兵专项硕士招生计划”招收硕士研究生40名（限报专业学位专业）。
2017年考研数学三真题及答案解析
2017全国研究生入学考试考研数学三试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若函数0,(),0,x f x b x >=⎪≤⎩在0x =，处连续，则（ ）（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =（2）二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0)（B ）(0,3)（C ）(3,0)（D ）(1,1)（3）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则（ ） （A ）(1)(1)f f >- （B ）(1)(1)f f <-（C ）(1)(1)f f >- （D ）(1)(1)f f <-（4）设级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2TE αα-不可逆（6）设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 （A ）A 与C 相似，B 与C 相似（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似 （C ）A 与C 不相似，B 与C 相似（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,,A B C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是（A ）A 与B 相互独立（B ）A 与B 互不相容（C ）AB 与C 相互独立（D ）AB 与C 互不相容（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是 （A ）21()nii Xμ=-∑服从2χ分布（B ）212()n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）3(sin x dx ππ-=⎰_______。
2017年考研数学一真题及答案全
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f xf z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n …为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx x x x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②， 令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=， 令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=. (2)构造()()'F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。
（3）函数22),,(z y x z y x f +=在点)0,2,1(处沿向量}2,2,1{=的方向导数为（ ）)(A 12。
)(B 6。
)(C 4。
)(D 2。
【答案】)(D【解】xy x f 2=∂∂，2x y f=∂∂，z zf 2=∂∂， 4|)0,2,1(=∂∂x f ，1|)0,2,1(=∂∂y f，0|)0,2,1(=∂∂zf ， 32cos ,32cos ,31cos ===γβα，所求的方向导数为2321314|)0,2,1(=⨯+⨯=∂n，应选)(D 。
（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线)(1t v v =（单位：s m /），虚线表示乙的速度曲线)(2t v v=，三块阴影部分面积的数值依次为3,20,10，计时开始后乙追甲的时刻为0t （单位：s ），则（ ）)(A 100=t 。
2017年考研数学三真题与解析
考研数学真题及解析= = - ∂z n =2 2017 年考研数学三真题一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．⎧1- co 1. 若函数 f (x ) = ⎪, x > 0在 x = 0 处连续，则 ⎨ ax ⎩⎪ b , x ≤ 0 （A ） ab = 1 （B ） ab = - 1（C ） ab = 0 （D ） ab = 2【详解】 lim 2 f (x ) = lim2 1 x = lim 2 =1 ， limf (x ) = b = f (0) ，要使函数在 x = 0 处连续， x →0+x →0+ ax x →0+ ax 2a x →0-1必须满足 2a = b ⇒ ab = 1 ．所以应该选（A ） 22. 二元函数 z = xy (3 - x - y ) 的极值点是（）（A ） (0, 0)（B ） (0, 3)（C ） (3, 0)（D ） (1,1)【详解】∂z= y (3 - x - y ) - xy = 3y - 2xy - y 2 ， ∂z= 3x - x 2 - 2xy ，∂2z = - ∂x 2∂x 2 y , ∂2 z∂y 2 = -2x ,∂2 z ∂x ∂y∂y ∂2 z ∂y ∂x 3 2x⎧∂z= 3y - 2xy - y 2 = 0 ⎪∂x 解方程组 ⎨⎪ = 3x - x 2 - 2xy = 0⎪⎩∂y，得四个驻点．对每个驻点验证 AC - B 2，发现只有在点(1,1) 处满足AC - B 2 = 3 > 0 ，且 A = C = -2 < 0 ，所以(1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D ）3. 设函数 f (x ) 是可导函数，且满足 f (x ) f '(x ) > 0 ，则（A ） f (1) > f (-1)（B ） f (1) < f (-1) （C ） f (1) > f (-1)（D ） f (1) < f (-1)【详解】设 g (x ) = ( f (x ))2 ，则 g '(x ) = 2 f (x ) f '(x ) > 0 ，也就是 ( f (x ))2是单调增加函数．也就得到( f (1))2> ( f (-1))2⇒ f (1) > f (-1) ，所以应该选（C ）∞⎡ 1 1 ⎤ 4.若级数∑ ⎢⎣sin n - k ln(1- n )⎥⎦ 收敛，则k = （ ）（A ）1（B ） 2（C ） -1（D ） -2s x 1- cos x⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎪ ⎝ ⎭1 1 1 ⎛ 1 1 ⎛ 1 ⎫2⎫ ⎛ 1 ⎫ 1 k 1 ⎛ 1 ⎫【详解】iv n → ∞ 时sin n - k ln(1- n ) = n - k - - ⎪ ⎪ + o n 2 ⎪ = (1+ k ) + 2 o n 2 ⎪ ⎝n 2 ⎝ n ⎭ ⎭ ⎝ ⎭ 1n 2 n ⎝ ⎭ 显然当且仅当(1+ k ) = 0 ，也就是 k = -1 时，级数的一般项是关于 n（C ）．5. 设α 为n 单位列向量， E 为n 阶单位矩阵，则的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（A ） E - αα T不可逆（B ） E + αα T不可逆（C ） E + 2αα T不可逆（D ） E - 2αα T不可逆【详解】矩阵αα T的特征值为1和 n -1个 0 ，从而 E - αα T, E + αα T, E - 2αα T, E + 2αα T的特征值分别为0,1,1, 1； 2,1,1, ,1 ； -1,1,1, ,1； 3,1,1, ,1 ．显然只有 E - αα T存在零特征值，所以不可逆， 应该选（A ）．6.已知矩阵 A = ⎪ 0 0 1 ⎪ ⎪ 0 0 1 ⎪，则 0 0 2 ⎪（A ） A , C 相似， B , C 相似（B ） A , C 相似， B , C 不相似（C ） A , C 不相似， B , C 相似（D ） A , C 不相似， B , C 不相似【详解】矩阵 A , B 的特征值都是λ1 = λ2 = 2, λ3 = 1．是否可对解化，只需要关心λ = 2 的情况．⎛ 0 0 0 ⎫ 对于矩阵 A ， 2E - A =0 0 -1⎪ ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值λ = 2 存在两个线性无关的⎪ 0 0 1 ⎪ 特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．⎛ 0 -1 0 ⎫对于矩阵 B ， 2E - B = 0 0 0 ⎪ ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值λ = 2 只有一个线性无关的0 0 1 ⎪ 特征向量，也就是不可以对角化，当然 B , C 不相似故选择（B ）．7. 设 A , B ， C 是三个随机事件，且 A , C 相互独立， B , C 相互独立，则 A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ） A , B 相互独立（B ） A , B 互不相容（C ） AB , C 相互独立 （D ） AB , C 互不相容【详解】⎛ 2 0 0 ⎫ ⎛ 2 1 0 ⎫ ⎛ 1 0 0 ⎫0 2 1 ⎪ ， B = 0 2 0 ⎪ ， C =0 2 0 ⎪ ⎪≥ μ = n ∑ n 1 π ππt +1 t t +1 t 3π nP (( A B )C ) = P ( AC + AB ) = P ( AC ) + P (BC ) - P ( ABC ) = P ( A )P (C ) + P (B )P (C ) - P ( ABC )P ( A B )P (C ) = (P ( A ) + P (B ) - P ( AB ))P (C ) = P ( A )P (C ) + P (B )P (C ) - P ( AB )P (C )显然， A B 与C 相互独立的充分必要条件是 P ( ABC ) = P ( AB )P (C ) ，所以选择（C ）．1 n8.设 X 1, X 2 , , X n (n 2) 为来自正态总体 N ( ,1) 的简单随机样本，若 X X i ，则下列结论中不i =1正确的是（）（A ） ∑( X i - μ) i =1服从χ 2 分布 （B ） 2 ( X - X )2服从χ 2 分布n（C ） ∑( X i i =1- X )2服从χ 2分布 （D ） n ( X - μ)2服从 χ 2分布解：（1）显然 ( X i - μ) ~ N (0,1) ⇒ ( X i - μ)2~ χ 2(1), i = 1, 2, n 且相互独立，所以∑( X i =1- μ)2服从χ 2 (n ) 分布，也就是（A ）结论是正确的；n22(n -1)S 22（2） ∑( X i - X ) i =1= (n -1)S =σ 2~ χ (n -1) ，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意 X ~ N (μ, 1) ⇒ nn ( X - μ) ~ N (0,1) ⇒ n ( X - μ)2 ~ χ 2 (1) ，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）： ( X - X ) ~ N (0, 2) ⇒X n - X 1 ~ N (0,1) ⇒ 1( X - X )2 ~ χ 2 (1) ，所以（B ）结n1论是错误的，应该选择（B ）2 n 1二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9．⎰-π(sin 3 x + π 2 - x 2 )dx = ．解：由对称性知⎰-π(sin x +)dx = 2⎰03 dx = ．210.差分方程 y - 2 y = 2t的通解为．【详解】齐次差分方程 y - 2 y = 0 的通解为y = C 2x；设 y t +1 - 2 y t = 2t的特解为 y = at 2t，代入方程，得a = 1 ； 2所以差分方程 y t +1 - 2 y t= 2t 的通解为 y = C 2t + 1 t 2t . 211.设生产某产品的平均成本C (Q ) = 1+ e-Q，其中产量为Q ，则边际成本为.n2π 2 - x 2π 2 - x 2t2i⎝ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭lim = 0⎰ 【详解】答案为1+ (1- Q )e -Q ．平均成本C (Q ) = 1+ e-Q，则总成本为C (Q ) = QC (Q ) = Q + Qe-Q，从而边际成本为C '(Q ) = 1+ (1- Q )e -Q .12.设函数 f (x , y ) 具有一阶连续的偏导数，且已知 df (x , y ) = ye y dx + x (1+ y )e y dy ， f (0, 0) = 0 ，则f (x , y ) =【详解】df (x , y ) = ye ydx + x (1+ y )e ydy = d (xye y) ，所以 f (x , y ) = xye y+ C ，由 f (0, 0) = 0 ，得C = 0 ，所以 f (x , y ) = xye y ．⎛ 1 0 1 ⎫ 13 ． 设矩阵 A = 1 1 2 ⎪ ， α ,α ,α 为线性无关的三维列向量， 则向量组 A α , A α, A α 的秩⎪ 0 1 1 ⎪为．1 2 3⎛ 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 0 1⎫ ⎛ 1 0 1 ⎫123【详解】对矩阵进行初等变换 A = 1 1 2 ⎪ → 0 1 1⎪ → 0 1 1 ⎪ ，知矩阵 A 的秩为 2，由于0 1 1 ⎪ 0 1 1⎪ 0 0 0 ⎪ α1,α2 ,α3 为线性无关，所以向量组 A α1, A α2 , A α3 的秩为 2．14．设随机变量 X 的概率分布为 P {X = -2} = 1， P {X = 1} = a ， P {X = 3} = b ，若 EX = 0 ，则2DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知a + b + 1= 12EX = -2 ⨯ 1 +1⨯ a + 3⨯ b = a + 3b -1 = 0 ，解得a = 1 , b = 12 4 4EX 2 = 2 + a + 9b = 9 ， DX = EX 2 - E 2 ( X ) = 9．2 2三、解答题15．（本题满分 10 分）求极限 lim⎰0x →0+x - te t dt x 3【详解】令 x - t = u ，则t = x - u , dt = -du ，⎰x - te t dt = ⎰ xue x -u du lim⎰0x - t e t dt e x = limue -u du = lim ⎰0 ue -udu = xe - x 2 x →0+x →0+x →0+x →0+3 x 32x 3x 3x 3x xx x xx ⎰⎰D∑ n 1 1 1y 3计算积分24 2dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 y 与 x 轴为边界的无界区域．D【详解】y 3+∞xy 3⎰⎰ (1+ x2+ y 4 )2dxdy = ⎰dx ⎰0(1+ x 2+ y 4 )2dy1 +∞x d (1+ x 2 + y 4)4 ⎰0dx ⎰0(1+ x 2+ y 4 )2 = 1 +∞ ⎛ 1 -1 ⎫dx = π ⎛1- 2 ⎫ 4 ⎰0 1+ x 2 1+ 2x 2 ⎪8 2 ⎪17．（本题满分 10 分）⎝ ⎭ ⎝ ⎭nk⎛ k ⎫求 lim n →∞ k =1 n 2 ln 1+ ⎪ ⎝ ⎭【详解】由定积分的定义lim ∑k ln ⎛1+ k ⎫ = lim 1 ∑nk ln ⎛1+ k ⎫ =x ln(1+ x )dxn →∞n2n⎪ n →∞n nn ⎪⎰k =1⎝⎭k =1⎝⎭ = 1 ⎰1 ln(1+ x )dx 2 = 118．（本题满分 10 分）112 0 4已知方程ln(1+ x ) - = k 在区间(0,1) 内有实根，确定常数k 的取值范围． x【详解】设 f (x ) =- , x ∈(0,1) ，则 ln(1+ x ) x' 1 1(1+ x ) ln 2 (1+ x ) - x 2f (x ) = - + (1+ x ) l n 2(1+ x ) x 2x 2(1+ x ) ln 2 (1+ x )令 g (x ) = (1+ x ) ln 2(1+ x ) - x 2，则 g (0) = 0, g (1) = 2 ln 22 -1g '(x ) = ln 2 (1+ x ) - 2 ln(1+ x ) - 2x , g '(0) = 0 g '(x ) =2(ln(1+ x ) - x )< 0, x ∈(0,1) ，所以 g '(x ) 在(0,1) 上单调减少，1+ x由于 g '(0) = 0 ，所以当 x ∈(0,1) 时，g '(x ) < g '0) = 0 ，也就是 g (x ) g '(x ) 在(0,1) 上单调减少，当 x ∈(0,1)时， g (x ) < g (0) = 0 ，进一步得到当 x ∈(0,1) 时， f '(x ) < 0 ，也就是 f (x ) 在(0,1) 上单调减少．lim f (x ) = lim ⎛1- 1 ⎫ = lim x - ln(1+ x ) = 1 ， f (1) =1 -1 ，也就是得到 1 -1 < k < 1 ．++ ⎪ +x →0x →0 ⎝ ln(1+ x ) x ⎭ x →0 x ln(1+ x ) 2ln 2 ln 2 2 = n=∞ （1）证明∑ a x 的收敛半径不小于1．nnnn ∞∞∞a = 1, a = 0, a= 1 (na + a )(n = 1, 2, 3 ), S (x ) ∑ a x n设 01n +1 n +1n n -1 ， 为幂级数n n =0的和函数∞n n n =0（2）证明(1- x )S '(x ) - xS (x ) = 0(x ∈(-1,1)) ，并求出和函数的表达式．【详解】（1）由条件a n +1 =1(na n +1n + a n -1 ) ⇒ (n +1)a n +1 = na n + a n -1 也就得到(n +1)(a - a ) = -(a - a ) ，也就得到a n +1 - a n = - 1, n = 1, 2, n +1 n n n -1 a - a n +1a n +1 - a n = a n +1 - a n ⨯a n - a n -1 n n -1⨯ ⨯ a 2 - a 1 = (-1)n 1a 1 - a 0 a n - a n -1 a n -1 - a n -2 a 1 - a 0(n +1)!也就得到a n +1 - a n = (-1)n +11 (n +1)!, n = 1, 2,nk +11a n +1 = (a n +1 - a n ) + (a n - a n -1 ) + + (a 2 - a 1 ) + a 1 = ∑(-1)k =2ρ = lim n →∞ ≤ lim n →∞ ≤ lim n →∞= 1 ，所以收敛半径 R ≥ 1∞∞（2）所以对于幂级数∑ a xn， 由和函数的性质，可得 S '(x ) =∑ n a xn -1，所以n n =0nn =1(1- x )S '(x ) = (1- x )∑ n a xn -1 = ∑ n a xn -1 - ∑ n a x nn =1n =1 ∞∞n =1= ∑(n +1)a + x n - ∑ n a x nn =0∞n 1nn =1= a 1 + ∑((n +1)a n +1 n =1- na )x n= ∑ a x n = ∑ a x n +1 = x ∑ a x n = xS (x )n =1n -1n =0nnn =0也就是有(1- x )S '(x ) - xS (x ) = 0(x ∈(-1,1)) ．'Ce- x 解微分方程(1- x )S (x ) - xS (x ) = 0 ，得 S (x ) = 1- x，由于 S (0) = a 0 = 1 ，得C = 1e - x 所以 S (x ) =．1- x∞∞∞ na n n1 + 1 + 2! 3! + 1 n ! n e k !⎪ -1 1 -1 1 ⎪ ⎪ 设三阶矩阵 A = (α1,α2 ,α3 ) 有三个不同的特征值，且α3 = α1 + 2α2 . （1）证明： r ( A ) = 2 ；（2）若 β = α1 + α2 ,α3 ，求方程组 Ax = β 的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是r ( A ) ≥ 1．假若 r ( A ) = 1 时， 则 r = 0 是矩阵的二重特征值， 与条件不符合， 所以有 r ( A ) ≥ 2 ， 又因为α3 - α1 + 2α2 = 0 ，也就是α1 ,α2 ,α3 线性相关， r ( A ) < 3 ，也就只有 r ( A ) = 2 ．（2）因为r ( A ) = 2 ，所以 Ax = 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于α3 - α1 + 2α2 = 0 ，所⎛ 1 ⎫以基础解系为 x = 2 ⎪；⎪ ⎝ ⎭又由 β = α + α ,α ⎛1⎫ ，得非齐次方程组 Ax = β 的特解可取为 1⎪ ；123⎪ ⎪ ⎝ ⎭⎛ 1 ⎫ ⎛1⎫方程组 Ax = β 的通解为 x = k 2 ⎪ + 1⎪，其中k 为任意常数．⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭21．（本题满分 11 分）设 二 次 型 f (x , x , x ) = 2x 2- x 2+ ax 2+ 2x x - 8x x + 2x x在 正 交 变 换 x = Qy下 的 标 准 形 为1231231 21 32 3λ y 2 + λ y 2 ，求a 的值及一个正交矩阵Q ．1 12 2⎛ 2 1-4 ⎫ 【详解】二次型矩阵 A =1 -1 1 ⎪⎪ -4 1 a ⎪ ⎝ ⎭因为二次型的标准形为λ y 2 + λ y 2．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A = 0 ，故a = 2.1 12 2λ -1 -1 4λ E - A = 1 λ +11 = λ(λ + 3)(λ - 6)4-1λ - 2令 λ E - A = 0 得矩阵的特征值为λ1 = -3, λ2 = 6, λ3 = 0 ．1 ⎪1 ⎪ 1 ⎪ ⎨ ⎩⎩ =通过分别解方程组(λ E - A )x = 0 得矩阵的属于特征值λ = -3 的特征向量ξ =⎛ 1 ⎫ 1 -1⎪ ，属于特征值特 i⎛ -1⎫ 1 1⎛ 1 ⎫3 ⎪ ⎝ ⎭ 征值λ = 6 的特征向量ξ = 1 0 ⎪， λ = 0 的特征向量ξ =1 2 ⎪ ，2 2 2 ⎪ 3⎝ ⎭ 36 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 1 - 11 ⎫ 32 6 ⎪ ⎪ 所以Q = (ξ ,ξ ,ξ ) = -10 2 ⎪为所求正交矩阵． 1 2 3 36 ⎪⎪ 1 1 1 ⎪ 3 2 6 ⎪ ⎝⎭22．（本题满分 11 分）设随机变量 X ,Y 相互独立， 且 X 的概率分布为 P {X = 0} = P {X = 2} = 1， Y 的概率密度为2f ( y ) = ⎧2 y , 0 < y < 1．⎨0, 其他（1） 求概率 P （Y ≤ EY ）；（2）求 Z = X + Y 的概率密度． 【详解】（1） EY = +∞122 yf ( y )dy2 y dy = . ⎰-∞ Y⎰0 3 ⎧ 2 ⎫24 所以 P {Y ≤ EY } = P ⎨Y ≤ ⎬ = ⎰ 32 ydy = .⎩ 3 ⎭ 09 （2） Z = X + Y 的分布函数为F Z (z ) = P {Z ≤ z } = P {X + Y ≤ z } = P {X + Y ≤ z , X = 0} + P {X + Y ≤ z , X = 2}= P {X = 0,Y ≤ z } + P {X = 2,Y ≤ z - 2}= 1 P {Y ≤ z } + 1P {Y ≤ z - 2} 2 2 = 1[F (z ) + F (z - 2)]2 YY故 Z = X + Y 的概率密度为f (z ) = F '(z ) = 1[ f (z ) + f (z - 2)] Z Z2⎧z , 0 ≤ z ≤ 1 = ⎪z - 2, 2 ≤ z < 3 23．（本题满分 11 分）⎪0, 其他 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量 μ 是已知的，设X i - μX i - μ 2π 2π Z n1 ∑ n z2 ii =1 1 2 nZ= = n ∑ σ σ = 2σ2 2σ nn nn 次测量结果 X , X , , X 相互独立且均服从正态分布 N (μ,σ 2). 该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 Z i = X i - μ , (i = 1, 2, , n ) ，利用 Z 1 , Z 2 , , Z n 估计参数σ ．（1） 求 Z i 的概率密度；（2） 利用一阶矩求σ 的矩估计量； （3） 求参数σ 最大似然估计量．【详解】（1）先求 Z i 的分布函数为F (z ) = P {Z ≤ z } = P { X- μ ≤ z } = P⎧ ≤z ⎫Zii⎨σσ ⎬当 z < 0 时，显然 F Z (z ) = 0 ；⎩⎭⎧ z ⎫ ⎛ z ⎫当 z ≥ 0 时， F Z (z ) = P {Z i ≤ z } = P { X i - μ ≤ z } = P ⎨ σ ≤ σ ⎬ = 2Φ σ⎪ -1 ； ⎩ ⎭ ⎝ ⎭ ⎧ - z 2 所以 Z 的概率密度为 f (z ) = F ' (z ) = ⎪⎩+∞+∞2σ 2, z ≥ 0 ． 0, z < 02-z 22σ（2）数学期望 EZ i = ⎰ z f (z )dz = ⎰ ze 2σ 2dz = ，0 01 n令 EZ Z Z i ，解得 的矩估计量 i =1 ∑ Z i ． i =1（3）设 Z 1, Z 2 , , Z n 的观测值为 z 1 , z 2 , , z n ．当 z i > 0, i = 1, 2, n 时n12似然函数为 L (σ ) = ∏ f (z i ,σ ) = i =1 - 2 ∑ z ii =1 ，n 1 n 2取对数得： ln L (σ ) = n ln 2 - ln(2π ) - n ln σ - 2 ∑ z ii =1d ln L (σ )n 1n2令= - + d σσ σ 3 ∑ z ii =1 = 0 ，得参数σ 最大似然估计量为σ = ．2πσ 2πσ 2π ( 2πσ )n2n。
17年考研数一真题详解
17年考研数一真题详解17年考研数一真题详解在众多考研科目中，数学一科目一直以来都是考生们的难点和重点。
2017年的考研数学一真题也不例外，题目难度较大，需要考生们具备扎实的数学基础和逻辑思维能力。
下面我们将对2017年的考研数学一真题进行详解。
第一题是一道概率论的题目。
题目给出了一个概率分布表，要求求出两个随机变量的相关系数。
首先，我们需要计算出两个随机变量的期望和方差，然后利用相关系数的定义式进行计算。
这道题目考察了考生对概率论的理解和运用能力。
第二题是一道线性代数的题目。
题目给出了一个矩阵和一个向量，要求求出矩阵的特征值和特征向量。
首先，我们需要求出矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求出特征值，最后再求出对应的特征向量。
这道题目考察了考生对线性代数的掌握程度和运算能力。
第三题是一道数学分析的题目。
题目给出了一个函数的定义和性质，要求求出函数的极值点和拐点。
首先，我们需要求出函数的一阶和二阶导数，然后令一阶导数等于零求出极值点，再令二阶导数等于零求出拐点。
这道题目考察了考生对函数的导数和极值点、拐点的求解能力。
第四题是一道实变函数的题目。
题目给出了一个函数的定义和性质，要求证明函数在某个区间上是连续的。
首先，我们需要利用函数的定义和性质来证明函数在该区间上是有界的，然后再利用连续函数的性质来证明函数在该区间上是连续的。
这道题目考察了考生对实变函数的理解和证明能力。
第五题是一道概率论的题目。
题目给出了一个概率分布表和一个随机变量的定义，要求求出该随机变量的期望和方差。
首先，我们需要利用概率分布表来计算出随机变量的期望和方差的定义式，然后再进行计算。
这道题目考察了考生对概率论的计算能力和运用能力。
通过对以上五道题目的详解，我们可以看出2017年考研数学一真题的难度较大，需要考生们具备扎实的数学基础和逻辑思维能力。
因此，考生们在备考过程中应该注重理论知识的学习和运用能力的培养。
同时，做好真题的分析和总结也是提高考试成绩的有效方法。