专业英语翻译1

当一个命题函数的所有变量都赋上了值，所得到的语句就有了真假值。然而,还有另一个重要的方法,称为量词化,为了从一个命题函数中生成一个命题，两种形式的量词化将在本节中被讨论，即全称量词和存在量词。

许多数学家陈述断言，对于所有在特定的定义域内的变量，它的取值是真的，其中特定的定义域称为论域，像这样的量词化例子我们通常用全称量词化。全称量词化是一个命题函数对于在论域内的所有x的取值，P(x)都是真的，论域指的是对于x可能取的值。

定义1：P(x)的全称量词化是这样一个命题：对论域中的所有x,P(x)都是真的。把P(x)的全称量词化记作∀xP(x)。这里∀是被叫做全称量词。

命题xP(X)也可以表达成“对于所有的xP(x)”或者对于“每一个

xP(x)”

注意：最好不用any这个词，因为它可能意指“每一个”或“某一个”，经常导致意义含糊不清。而在某些情况下，例如用于否定句中，如在句子“there is not any reason not to study hard.”（没有任何不努力学习的理由）中，any的含义却是清楚的。

例题5. 用全称量词化表达一个句子“对于班上的每一个学生都学习了微积分。”

方法：设P(x)为语句“x 学习了微积分。”

然后语句“对于班上每一个学生都学习了微积分”可以被写成∀xP(x)的形式，然而学生都包含在班上这个论域里。

这个语句也能被表达成

∀x(s(x)→P(x)),

然而S(x)语句是“x在班上”。

P(x)同前者一样，论域是所有学生的集合。

例题5说明，对于一个定理，可采用不止一种的好办法来证明。

许多数学家陈述断言，对于一个有特定取值的元素，像这样的语句通常用存在量词化，对于存在量词化，我们形成一个命题是正确的，当且仅当P(x)是真的至少对于一个在论域内的x。

定义2.P(x)的存在量词化是这样一个命题：在论域中存在一个元素x 使得P(x)都是真的，把P(x)的存在量词化记作∃xP(x)。这里∃是存在量词。

存在量词化∃xP(x)也可以表达为“对于P(x)存在一个x”,“对于P(x)至少有一个x”,或者对于一些xP(x)”。

例题6.设P(x)为语句“x>3”.对于存在量词化∃xP(x)在那些情况下是真的，然而论域是真值的集合。

方法：因为“x>3”是真的，例如，当x=4则对于存在量词化P(x)，即∃xP(x)是真的。