2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数
解析：角 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则 α＋β＝2kπ＋π，所以 α ＝2kπ＋π－β，k∈Z，答案为 C. 答案：C
2．弧度与角度的互化 (1)1 弧度的角 长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角， 用符号 rad 表示． (2)角 α 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么角 α 的弧 l 度数的绝对值是|α|＝r. (3)角度与弧度的换算
1．角的有关概念 π (1)锐角的集合是 {α|0＜α＜ } ． 2 π (2)第一象限角的集合是 {α|2kπ＜α＜2kπ＋ ，k∈Z} ． 2 (3)终边在 x 轴上的角的集合是 {α|α＝kπ，k∈Z} ． π (4)终边在 y 轴上的角的集合是 {α|α＝kπ＋2，k∈Z} ．
• •
2．三角函数的符号 在第一象限三种三角函数的值全为 ，在第二象限只有 正数 的值为正数，在第三象限只有 的值为正数，在第四象限只有 的值为正数．
• 【归纳提升】 所有与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示 为β＝k·360°＋α，k∈Z；在确定α角所在象限时，有时需要对整数 k的奇、偶情况进行讨论．
针对训练 3 7 1．设 α1＝－570° ，α2＝750° ，β1＝ π，β2＝－ π. 5 3 (1)将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限； (2)将 β1，β2 用角度制表示出来，并在－720° ～0° 之间找出与它 们终边相同的角．
答案：D
题型三
扇形的弧长、面积公式的应用 已知扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长为 l.
(1)若 α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长 l； (2)若扇形的周长为 L cm，当扇形的圆心角 α 为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ π (3)若 α＝ ，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 3
180 π ①1° ＝ 180 rad；②1 rad＝ π ° .
(4)扇形的弧长、面积公式 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α(rad)，半径为 r，则 l＝rα，扇 1 12 形的面积为 S＝ 2lr ＝ 2r α .
• •
• 对点演练 (1) 弧 长为 3π ， 圆 心角 为 135°的扇 形半 径为 ________ ，面 积为 ________． 答案：46π
3 . 2 3 2
1 答案： －2，
3．任意角的三角函数 (1)定义：设角 α 的终边与单位圆交于 P(x，y)，则 sin α＝ y， y x cos α＝ ，tan α＝ (x≠0)． x (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．
三角函数 线
• •
易错易混：三角函数定义中忽略分类讨论致误 【典例】 (2014·天津模拟)已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0)， 则sin θ＝________.
【规范解答】 ∴r＝
∵x＝3a，y＝4a，
3a2＋4a2＝5|a|.
y 4 (1)当 a＞0 时，r＝5a，∴sin θ＝r ＝5. y 4 (2)当 a＜0 时，r＝－5a，∴sin θ＝ ＝－ . r 5 4 ∴sin θ＝± 5. 4 【答案】 ± 5
【答案】 D
• 【归纳提升】 任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点 的终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r最后根 据定义求解.
针对训练 2．(2014· 江西师大附中模拟)已知 α 角终边上一点 P( 3，1)，则 2sin 2α－3tan α＝ ( A．－1－3 3 C．－2 3 B．1－3 3 D．0 )
• •
•
针对训练 3．(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长， 那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？ (2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时， 这个扇形的面积最大？
解：(1)设扇形的圆心角为 θ rad，则扇形的周长是 2r＋rθ. 依题意：2r＋rθ＝πr，∴θ＝(π－2)rad. 12 1 ∴扇形的面积 S＝2r θ＝2(π－2)r2. (2)设扇形的半径为 r，弧长为 l， 则 l＋2r＝20，即 l＝20－2r(0＜r＜10)． 1 1 ∴扇形的面积 S＝2lr＝2(20－2r)r ＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25. ∴当 r＝5 时，S 有最大值 25， l 此时 l＝10，α＝ ＝2 rad. r 因此，当 α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值．
π 7π (2)因为 30° ＝6，210° ＝ 6 ，所以图(2)中对应的角的集合是
π π θ|2kπ＋ ＜θ＜2kπ＋ ，k∈Z∪ 6 2
7π 3π θ|2kπ＋ ＜θ＜2kπ＋ ，k∈Z， 6 2 π π 即 θ|2kπ＋6＜θ＜2kπ＋2，k∈Z∪ π π θ|2k＋1π＋ ＜θ＜2k＋1π＋ ，k∈Z， 6 2 π π 所以θ|kπ＋6＜θ＜kπ＋2，k∈Z.
解：(1)∵180° ＝π rad， 570 19 ∴－570° ＝－ π＝－ π， 180 6 5 ∴α1＝－2×2π＋ π. 6 π 同理 α2＝2×2π＋6， ∴α1 在第二象限，α2 在第一象限．
3 3 (2)∵5π＝5×180° ＝108° ， 设 θ＝k· 360° ＋β1(k∈Z) 由－720° ≤θ＜0° ，∴－720° ≤k· 360° ＋108° ＜0° ∴k＝－2 或 k＝－1. ∴在－720° ～0° 之间与 β1 有相同终边的角是－612° 和－252° . 同理 β2＝－420° ， 且在－720° ～0° 间与 β2 有相同终边的角是－60° .
• 【易误警示】 本题易出现的错误是：由终边上一点求三角函数时， 由于没有考虑参数的取值情况没有分类讨论，从而求出 r＝5a， 导致结果错误．
• • • • • •
1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为 、 、 ． 零角 ②按终边位置不同分为 正角 和 ． 负角 (2)终边相同的角 象限角 轴线角 终 边 与 角 α 相 同 的 角 可 写 成 α ＋ k·360°(k∈Z) 或 α ＋ k·2π(k∈Z)．
对点演练 角 α 和角 β 的始边都是 x 轴的非负半轴，终边关于 y 轴对称，则 用 β 表示角 α 为 π A．2kπ＋ －β，k∈Z 2 C．(2k＋1)π－β，k∈Z B．2kπ－β，k∈Z D．2kπ＋β，k∈Z ( )
1 3 解析： 由已知得|OP|＝2， 由三角函数定义可知 sin α＝2， cos α＝ 2 ， π 即 α＝2kπ＋6(k∈Z)． 所以 2sin 2α－3tan
π π α＝2sin4kπ＋3－3tan2kπ＋6＝2sin
π 3－3tan
π 3 3 ＝2× －3× ＝0. 6 2 3
有向线段 为正弦线；有向线段 AT 为余弦线；有向线段 为正切 线
MP
OM
• • • •
• 对点演练 (1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是
• A．第一象限角 C．第三象限角 答案：C B．第二象限角 D．第四象限角 ( )
n (2)设点 P(m，n)(n≠0)是角为 60° 的终边上的一点，则 的值为 m ( A．－ 2 C．－ 3 n 解析： ＝tan 60° ＝ 3. m 答案：D B. 2 D. 3 )
第1课时
任意角和弧度制及任意角的三角函数
• (一)考纲点击 •1．了解任意角的概念． •2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． •3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
•
(二)命题趋势
•通过近三年的高考试题分析，单独考查三角函数定义的问题，难度 较低；若结合三角函数的基础知识及三角恒等变形，涉及的知识点 较多，难度稍大．题型均以选择题、填空题出现．
题型二
三角函数的定义 (2014· 河南三市三模)已知角 θ 的顶点与坐标原点重合，始
边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在直线 y＝3x 上，则 cos 2θ＝ ( 3 A. 4 3 C．－ 5 2 B. 3 4 D．－ 5 )
【解析】
由已知条件知：(1)当终边落在第一象限时，在直线 y
1 4 2 ＝3x 上取一点 P(1,3)，则 cos θ＝ ，cos 2θ＝2cos θ－1＝－ . 5 10 (2)当终边落在第三象限时，在直线 y＝3x 上取一点 P(－1，－3)， 1 4 则 cos θ＝－ ，此时 cos 2θ＝－5.故选 D. 10
【解】
π 10π (1)l＝10×3＝ 3 (cm)．
(2)由已知得：l＋2R＝L， 1 1 所以 S＝ lR＝ (L－2R)R 2 2
2 1 L L ＝ LR－R2＝－(R－ )2＋ ， 2 4 16
L L2 L 所以 R＝ 4时，S 取得最大值16，此时 l＝ 2 ，α＝2 rad.
(3)设弓形面积为 S 弓． 2π 由题知 l＝ cm， 3 1 2π 1 π 2 S 弓＝S 扇－S△＝ × ×2－ ×2 ×sin 2 3 2 3
2π (2)点 P 从(1,0)出发， 沿单位圆 x ＋y ＝1 按逆时针方向运动 3 弧
2 2
长到达点 Q，则点 Q 的坐标为________． 2π 解析：由弧长公式 l＝|α|r，l＝ 3 ，r＝1 得点 P 按逆时针方向转
2π 2π 2π 过的角度为 α＝ ，所以点 Q 的坐标为cos 3 ，sin 3 ，即 3 1 －2，
正弦
正切
余弦
• 题型一 角的有关问题 • 用弧度表示下列终边落在阴影部分内角的集合．
【解】
π (1)因为 330° 与－30° 的终边相同，而－30° ＝－ ，75° ＝ 6
π 5π 75×180＝12，所以阴影部分对应角的集合是
π 5π θ|2kπ－ ＜θ＜2kπ＋ ，k∈Z. 6 12
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高考数学(理)一轮复习课件：任意角和弧度制及任意角的三角函数
1 lr 2
1 2 r 2
α·r
3.任意角的三角函数 (1)定义 设任意角α的终边与单位圆交于点(x,y),则sin α=__, cos α=__,tan α=__(x≠0).
x
y x
y
(2)三角函数线
三 角 函 数 三 角 函 数
正弦
余弦
正切
MP AT
OM
有向线段___为正弦线,有向线段___
源自教材 P21·A组T9 P4·例1 P20·A组T2
P13·例3
考向一 象限角与终边相同的角 【典例1】(1)设θ是第三象限角,且 则 是 ( ) A.第一象限角 C.第三象限角
B.第二象限角 D.第四象限角
2
|cos | cos ， 2 2
(2)(2018· 福州模拟)与-2 010°终边相同的最小正角是________.
4 5 64m 2 9
4 5 8m
1 2
4.(2014· 全国卷Ⅰ)若tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0 【解析】选C.由tan α>0可得:kπ<α<kπ+ (k∈Z), 故2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z),正确的结论只有sin 2α >0.
负
零
α+k·360°,k∈Z
2.弧度制 (1)弧度角:长度等于_______的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角;1弧度=______. (2)弧长、扇形面积的公式:设扇形的弧长为l,圆心角 大小为α(rad),半径为r,则l=______,扇形的面积为S= ____=_______. 半径长
3-1第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数(2015年高考总复习)
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第三章
第一节
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5．三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边 与单位圆相交于点 P，过 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M.由三角函数的 定义知，点 P 的坐标为(cosα，sinα)，即 P(cosα，sinα)，其中 cosα ＝ OM ，sinα＝ MP ，单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A，单位圆 在 A 点的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tanα ＝ AT .我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的 余弦线、正弦线 、 正切线 .
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(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边 相同的角的同一三角函数值相等．
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2．对三角函数的理解要透彻 三角函数也是一种函数， 它可以看成是从一个角(弧度制)的集 合到一个比值的集合的函数．也可以看成是以实数为自变量的函 数，定义域为使比值有意义的角的范围． y 如 tanα＝x有意义的条件是角 α 终边上任一点 P(x，y)的横坐 标不等于零，也就是角 α 的终边不能与 y 轴重合，故正切函数的 π 定义域为{α|α≠kπ＋ ，k∈Z}． 2
答案 A
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第三章
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3．若 sinα＜0 且 tanα＞0，则 α 是( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
高考理科数学一轮复习课时精讲课件：第3章 3.1《任意角和弧度制及任意角的三角函数》
2.弧度与角度的互化 (1)1弧度的角:长度等于_半__径__长__的弧所对的圆心角.
l
(2)角α的弧度数公式:|α|=__r _.
(3)角度与弧度的换算: 360°=_2_π__rad,1°=__18_0_rad,1rad=(_18_0_)°≈57°18′.
(4)扇形的弧长及面积公式:
弧长公式:l=_α__·__r_.
D.cos2α>0
【解析】选C.由tanα>0可得:kπ<α<kπ+ (k∈Z),
2
故2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z),正确的结论只有sin2α>0.
5.(2016·滨州模拟)在平面直角坐标系中,点M(3,m)在
角α的终边上,若sinα= 2 5，则m= ( )
5
A.-6或1
B.-1或6
C.6
第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的
三角函数
【知识梳理】 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、 负角、零角. ①正角:按_逆__时__针__方向旋转形成的角; ②负角:按_顺__时__针__方向旋转形成的角;
③零角:如果一条射线_没__有__作__任__何__旋__转__,我们称它形成 了一个零角. (2)终边相同角:与α终边相同的角可表示为: _{_β__|_β__=_α__+_2_k_π__,_k_∈__Z_}_.
C.tan 1 3
B.cos 3 1Байду номын сангаас 10
D.tan 3
【解析】选D.根据三角函数的定义, r 10，sin 10 ，
10
cos 3 10 ，所tan以 ta1n，α=3错误.
高三数学一轮复习 3.1任意角和弧制及任意角的三角函数课件
∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)． ∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴．
第十六页，共48页。
在(3)的条件下，判断α2为第几象限角？ 解：∵π＋2kπ＜α＜32π＋2kπ(k∈Z)， ∴π2＋kπ＜α2＜34π＋kπ(k∈Z)． 当 k＝2n(n∈Z)时，π2＋2nπ＜α2＜34π＋2nπ， 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，32π＋2nπ＜α2＜74π＋2nπ， ∴α2为第二或第四象限角．
提示：锐角是大于0°且小于90°的角，第一(dìyī)象限角不一 定是锐角，如390°，－300°都是第一(dìyī)象限角．小于90°的 角不一定是锐角，如0°，－30°都不是锐角．
第五页，共48页。
3．任意(rènyì)角的三角函数
三角函数 正弦
余弦
正切
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
定义
P(x，y)，那么
y
叫做α的
x
叫做α的余弦，
y x
叫做α的正
正弦，记作
记作cos α
切，记作tan α
sin α
各象限 Ⅰ _正__
_正__
_正__
符号 Ⅱ _正__
_负__
_负__
第六页，共48页。
三角函数 各象 Ⅲ 限符 Ⅳ 号 口诀
正弦 _负__ _负__
余弦 _负__ _正__
正切 _正__ _负__
第二十七页，共48页。
(3)S 弓形＝12R2α－12R2sinπ3
＝12×4×π3－12×4×
3 2
＝23π－ 3，
即弓形的面积为23π－ 3 cm2.
第二十八页，共48页。
若将本例(1)中的“R＝10 cm”改为“扇形的弦 AB＝ 10 2 cm”求扇形的弧长 l.
第十六页，共48页。
在(3)的条件下，判断α2为第几象限角？ 解：∵π＋2kπ＜α＜32π＋2kπ(k∈Z)， ∴π2＋kπ＜α2＜34π＋kπ(k∈Z)． 当 k＝2n(n∈Z)时，π2＋2nπ＜α2＜34π＋2nπ， 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，32π＋2nπ＜α2＜74π＋2nπ， ∴α2为第二或第四象限角．
提示：锐角是大于0°且小于90°的角，第一(dìyī)象限角不一 定是锐角，如390°，－300°都是第一(dìyī)象限角．小于90°的 角不一定是锐角，如0°，－30°都不是锐角．
第五页，共48页。
3．任意(rènyì)角的三角函数
三角函数 正弦
余弦
正切
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
定义
P(x，y)，那么
y
叫做α的
x
叫做α的余弦，
y x
叫做α的正
正弦，记作
记作cos α
切，记作tan α
sin α
各象限 Ⅰ _正__
_正__
_正__
符号 Ⅱ _正__
_负__
_负__
第六页，共48页。
三角函数 各象 Ⅲ 限符 Ⅳ 号 口诀
正弦 _负__ _负__
余弦 _负__ _正__
正切 _正__ _负__
第二十七页，共48页。
(3)S 弓形＝12R2α－12R2sinπ3
＝12×4×π3－12×4×
3 2
＝23π－ 3，
即弓形的面积为23π－ 3 cm2.
第二十八页，共48页。
若将本例(1)中的“R＝10 cm”改为“扇形的弦 AB＝ 10 2 cm”求扇形的弧长 l.
2015年高考数学第一轮复习课件：3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数
沿单位圆 x2＋y2＝1 逆时针方向运
动23π弧长到达 Q 点，则 OQ＝( )．
A.－12， 23
B.－
23，－12
C.－12，－ 23
D.－
23，12
Q(x, y)
O
2
3
●P(1，0)
解析 设 α＝∠POQ， 由三角函数定义可知， Q 点的坐标(x，y) 满足 x＝cos α，y＝sin α，
∴ 当S且扇仅＝当12αα·R2＝2＝412，α即·2＋αC＝α22＝ radC2时2α·，4＋扇4形1α＋面α积2＝有积 简 (C(22最12)和捷·)求4在大＋弧．扇弧值α1长形度＋C1比62面制α4. 在≤积下角C1，的62度.计最制算值下扇应更形从方的扇便面、
法二 由已知，得 l＋2R＝C，
度记作 rad.
(2)公式：
角 α 的弧度数公式 |α|＝rl(弧长用 l 表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝1π80rad ②1 rad＝1π80°
弧长公式
弧长 l＝ |α|r
扇形面积公式
S＝ 12lr ＝ 12|α|r2
第二页，编辑于星期五：十一点 四十八分。
3．任意角的三角函数
三角函数
定义
各Ⅰ 象Ⅱ 限Ⅲ 符Ⅳ 号 口诀
3＝－ 2
46，
tan θ＝xy＝－－
5＝ 3
315.
综上可知，cos θ＝－ 46，tan θ＝－
15 3
利用三角函数的定义求一个角的 三角函数值，需确定三个量：角 的终边上任意一个异于原点的点
的横坐标x、纵坐标y、该点到
原点的距离r.若题目中已知角的
终边在一条直线上，此时注意在 终边上任取一点有两种情况(点所 在象限不同)．
动23π弧长到达 Q 点，则 OQ＝( )．
A.－12， 23
B.－
23，－12
C.－12，－ 23
D.－
23，12
Q(x, y)
O
2
3
●P(1，0)
解析 设 α＝∠POQ， 由三角函数定义可知， Q 点的坐标(x，y) 满足 x＝cos α，y＝sin α，
∴ 当S且扇仅＝当12αα·R2＝2＝412，α即·2＋αC＝α22＝ radC2时2α·，4＋扇4形1α＋面α积2＝有积 简 (C(22最12)和捷·)求4在大＋弧．扇弧值α1长形度＋C1比62面制α4. 在≤积下角C1，的62度.计最制算值下扇应更形从方的扇便面、
法二 由已知，得 l＋2R＝C，
度记作 rad.
(2)公式：
角 α 的弧度数公式 |α|＝rl(弧长用 l 表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝1π80rad ②1 rad＝1π80°
弧长公式
弧长 l＝ |α|r
扇形面积公式
S＝ 12lr ＝ 12|α|r2
第二页，编辑于星期五：十一点 四十八分。
3．任意角的三角函数
三角函数
定义
各Ⅰ 象Ⅱ 限Ⅲ 符Ⅳ 号 口诀
3＝－ 2
46，
tan θ＝xy＝－－
5＝ 3
315.
综上可知，cos θ＝－ 46，tan θ＝－
15 3
利用三角函数的定义求一个角的 三角函数值，需确定三个量：角 的终边上任意一个异于原点的点
的横坐标x、纵坐标y、该点到
原点的距离r.若题目中已知角的
终边在一条直线上，此时注意在 终边上任取一点有两种情况(点所 在象限不同)．
高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数(51张PPT)
{α|k·360°＋180°<α<k·360°
＋270°，k∈Z}
第四象限角
终边位于第 {α|k·360°＋270°<α<k·360° 四象限的角 ＋_3_6_0_°__，__k__∈__Z_}____________
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第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
双
向
固
基
概念
集合表示
础
(续表)
双
向
固
基 础
2．[教材练习改编] (1)－160°＝________rad；(2)130π rad
＝________°.
[答案] (1)－89π (2)54
[解析] (1)－160°＝－116800×π＝－89π；(2)130π rad＝ 130×180°＝54°.
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第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
双
向
—— 链接教材 ——
固
基 础
1．[教材改编]终边在直线 y＝x 上的角的集合是_______．
[答案] {α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}
[解析] 终边在直线 y＝x 上的最小正角为 45°，225°， 写出与其终边相同的角的集合，整合即得．
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第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
数，零角的弧度数是零
换算 公式
扇形
π
rad＝180°，1°＝
π 180
rad≈0.017
45
rad，1
rad＝
1π80°≈57.3°＝57°18′ 半径为r，弧长为l的扇形，其圆心角的
弧长 弧度数是|α|＝rl，即l＝|α|r
面积 S＝12|α|r2＝21lr
高考数学(理)一轮复习精选课件：第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的3角函数
高频考点全通关——三角函数的定义
闯关四：及时演练，强化提升解题技能
1. 点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π弧长到达 3
Q 点，则点 Q 的坐标为( )
－1， 3
－ 3，－1
－1，－ 3
－ 3，1
A. 2 2 B. 2 2 C. 2 2 D. 2 2
解析：选 A 由三角函数定义可知点 Q 的坐标(x，y)满足
高频考点全通关——三角函数的定义 闯关二：典题针对讲解——与向量等问题形成交汇问题
[例 3] (2012·山东高考) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)， 此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心 位于(2,1)时，OP 的坐标为___________．
(2)三角函数值的符号及角的位置的判断． 已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定 出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐 标轴上的特殊情况．
(3)与向量等问题形成的交汇问题． 抓住问题的实质，寻找相应的角度，然后通过解三角形求得解．
[例 2] (2014·日照模拟)已知点 P(sin θcos θ，2cos θ)
位于第三象限，则角θ是第________象限角．
【解析】因为点 P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，
所以
sin
θcos
θ＜0,2cos
θ＜0，即
sin θ＞0， cos θ＜0，
所以θ为第二象限角．
【答案】 二
【解析】如图，连接 AP，分别过 P，A 作 PC，AB 垂直 x 轴于
高三数学北师大版(理)一轮复习课件第3章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
课
(1) 2 [由圆的几何性质可知，圆内接正方形的边长为 2r，故弧长为 2r 真
前
题
知 识
的弧所对的圆心角为 2.
自 主
全
验
通
(2)[解] 设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.
效
关
果
又S＝12θr2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.
课
堂
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r＝
课 堂 题 型 全 突
课 后 限 时 集 训
破
返 首 页
课
真
前
题
知 识
3．终边在直线y＝ 3x上的角的集合是________．
自 主
全
验
通 关
{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}
[终边在y＝
3 x上的角可表示为α＝k·180°＋
效 果
60°，k∈Z.]
课 堂 题 型 全 突
课 后 限 时 集 训
( )主 验
通 关
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．
效
( )果
(3)不相等的角终边一定不相同．
课 堂
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.
题
型 全
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
突
破
()
课
( )后
限 时 集 训
返 首 页
课
真
前
题
知 识
2．(教材改编)若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在( )
(2)设扇形的半径为r cm，如图．
2015年高考数学一轮总复习精品课件：第三章+三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三
2
4
2
2
关闭
∴π- 是第一或第三象限的角.
2
B
解析
考点一
考点二
考点三
误区警示
答案
答案
第十五页，编辑于星期五：十一点 十一分。
16
探究突破
方法提炼
1.对与角 α 终边相同的角的一般形式 α+k·360°的理解.
(1)k∈Z;
(2)α 是任意角;
(3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角
方法求解,
若角 α 终边上任意一点 P(x,y),|OP|=r,则 sinα= ,cosα= ,tanα= .
正解:P(4,y)是角 θ 终边上的一点,
由三角函数的定义知 sinθ=
,
16+2
又因为
2 5
2 5
sinθ=- ,则
=- ,解得
5
5
2
16+
y=-8.
4
梳理自测
1.任意角
(1)角的分类
任意角可按旋转方向分为
正角 、 负角
、
零角 .
(2)象限角
第一象限
角的集合
α 2k < < 2 + ,k∈Z
2
第二象限
角的集合
2π + < < 2 + π,∈Z
第三象限
角的集合
2π + π < < 2π +
第四象限
角的集合
3
3
3
1 10π
1
π
4
2
2
关闭
∴π- 是第一或第三象限的角.
2
B
解析
考点一
考点二
考点三
误区警示
答案
答案
第十五页，编辑于星期五：十一点 十一分。
16
探究突破
方法提炼
1.对与角 α 终边相同的角的一般形式 α+k·360°的理解.
(1)k∈Z;
(2)α 是任意角;
(3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角
方法求解,
若角 α 终边上任意一点 P(x,y),|OP|=r,则 sinα= ,cosα= ,tanα= .
正解:P(4,y)是角 θ 终边上的一点,
由三角函数的定义知 sinθ=
,
16+2
又因为
2 5
2 5
sinθ=- ,则
=- ,解得
5
5
2
16+
y=-8.
4
梳理自测
1.任意角
(1)角的分类
任意角可按旋转方向分为
正角 、 负角
、
零角 .
(2)象限角
第一象限
角的集合
α 2k < < 2 + ,k∈Z
2
第二象限
角的集合
2π + < < 2 + π,∈Z
第三象限
角的集合
2π + π < < 2π +
第四象限
角的集合
3
3
3
1 10π
1
π
人教版高三数学(理)一轮总复习PPT课件：3-1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
答案：－675°或－315°
第15页
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数学
(1)利用终边相同的角的集合 S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一 个角 β 所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π)范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和，然后判断角 α 的象限． (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法 是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中 的参数 k 赋值来求得所需角．
第16页
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数学
考点二 命题点 三角函数的定义
角的终边上点的坐标特点
两种三角函数的定义 (1)在直角坐标系 xOy 中，设 P(x，y)是角 α 终边上任意一点， y x y 且|OP|＝r，则 sin α＝r ；cos α＝r ；tan α＝x. (2)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y y)，则 sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ x (x≠0)．
角的分类 角可分为正角 、负角和零角 可分为象限角 和轴线角
360°，k∈Z β＝ α＋k·
(或 α＋k· 2π，k∈Z)
第11页
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数学
1 1．若 α 是第三象限的角，则 π－2α 是( A．第一或第二象限的角 C．第二或第三象限的角
)
B．第一或第三象限的角 D．第二或第四象限的角
第12页
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第4页
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数学
1．(2014· 高考大纲全国卷)已知角 α 的终边经过点(－4，3)， 则 cos α ＝( 4 A. 5 3 C．－ 5 ) 3 B. 5 4 D．－ 5
第5页
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数学
解析：选 D.因为角 α 的终边经过点(－4，3)，所以 x＝－4， 4 x y＝3，r＝5，所以 cos α＝r ＝－5.