2.1.1平面

作用：判定直线是否在平面内．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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图形、文字、符号
l
A
l
A
点A在直线l上． Al 点A在直线l外． Al
l

A
外．
平面
A
l B
直线l在平面
内或者
直线l在平面

经过直线l．
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l
l
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c ,
画图的顺序:先画大件(平面),再画小件(点、线)
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如果直线 l 与平面α只有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
直线 l 不在在平面α内
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如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在平面α内？ 实际生活有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以 看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
A
C
B
相邻两个平面有一个公共点， 如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有 一个公共点B’，经过点B有且只 有一条过该点的公共直线B’C’. 这条公共直线B’C’叫做这两个 平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交 线．
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D
A B
C
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公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有无数个公共点，它们形成两平面的交线． 符号表示
C
B A
D
C1 D1
A1
B1
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例3.如图所示，若A，B，C， D四点在平面α内，E，F分别 是AC，BD上的一点，判断直 线EF是否在平面α内． A∈α ⇒AC⊂α 解析： 根据题设有 C∈α 又 E∈AC，∴E∈α， 同理 F∈α， E∈α ⇒EF⊂α， 由 F∈α 即直线 EF 在平面 α 内．
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1．下列说法中正确的是( ) A．平静的太平洋就是一个平面 B．有一个平面的长是40 m，宽是10 m C．平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展 的抽象的数学概念 D．平面的形状是平行四边形 答案： C
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l
P l , 且P l

P
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
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在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： ①直线 AC1在平面 CC1B1B 内；错误
直线 l 一定在平面α内
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公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这整条直线都在此平面内． A l B
在生产、生活中，人 们经过长期观察与实践，总 结出大家公认为真确的道理 我们把它作为公理．这些 公理是进一步推理的基础．

符号表示
A l , B l , A , B l
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
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空间点、直线、平面的位置关系
引言
观察：长方体，你能发现长方体的顶点，棱所
在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
D
A
C
长方体由上下、前后、 左右六个面围成． 有些面是平行的，有些 面是相交的；有些棱所在直 线与面平行，有些棱所在直 线与面相交，每条棱所在的 直线都可以看成是某个平面 内的直线，等等．
D
C1 D1 O1
A1
B1
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在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： ③由点A，O，C可以确定一个平面； 错误
C O
B A
D
C1 D1
A1
B1
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在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正 确，并说明理由： ④由 A, C1 , B1 确定的平面是 ADC1B1 ； 正确 ⑤由 A, C1 , B1 确定的平面与由 A, C1 , D 确定的平面 是同一个平面． 正确

B
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把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
不只是相交于一个点，而是一条直线

B
因为平面是无限延展的
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观察：长方体的两个相交平面有公共直线 吗？
D
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B
D
A B
C
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实例引入 观察：海面，呈现出怎样的形象？
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实例引入
观察：教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样
的形象？
表面是平平的
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生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、 黑板面、海面都给我们以平面的形象．你还能 从ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ活中举出类似平面形的物体吗？ 几何里所说的“平面”（plane）就是从这 样的一些物体中抽象出来的，并且几何里的平 面是无限延展的． (1)平面是无限延展的；(2)并且是不计大小， 不计厚度，不计重量的。
l, a , b , a l P, b l P.
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例2.将下列符号语言转化为图形语言： A , B , A l , B l （1）
a , （ 2）
b , a // c , b c p

A
点A在平面 内， 记作 A ． 记作 B ． 点B在平面 外，
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平面的概念 判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)平面的形状是平行四边形； (2)任何一个平面图形都可以表示平面； (3)平面 ABCD 的面积为 10 cm2； (4)空间图形中，后引的辅助线是虚线； (5)10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来 厚； (6)画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm.
生活中经常看到用三角架支撑照相机．
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测量员用三角架支撑测量用的平板仪．
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存在性
公理2 平面． 过不在一条直线上的三点，有且只有一个
B
唯一性

A
C
不共线的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．
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例4.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α， CD⊂β. 求证：AB，CD，l共点(三线共点)．
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证明： ∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰， ∴AB，CD必定相交于一点． 如图，设AB∩CD＝M. 又∵AB⊂α，CD⊂β， ∴M∈α，且M∈β， ∴M∈α∩β. 又∵α∩β＝l， ∴M∈l， 即AB，CD，l共点．
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平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边 形，用平行四边形表示平面． 平行四边形的锐角通常画成45°，且横边 长等于其邻边长的2倍．
D A B C
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平面的画法 为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚 线画出来．（立体几何中的辅助线也遵循这一 方法）
C
B A
D
C1 D1
A1
B1
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在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否正 确，并说明理由：
O1, ②设正方形ABCD与 A1B1C1D1 的中心分别为O, 平面AA1C1C与平面 BB1D1D 的交线为 OO1
C O
B A
正确
D A E F
B C
被遮挡部分用虚线表示
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平面的表示
（1）常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行 四边形的一个角上，如平面α、平面β等；（2）也可以 用代表平面的四边形的四个顶点，（3）或者相对的两 个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称． D A
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作业：
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2．如下四图表示两个相交平面，其中画法正 确的是( )
答案：
D
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例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系．

a

A l

a l b P （ 2）
B

（ 1） 解：（1）： （2）：
l, a A, a B.