九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的线段试题 (新版)青岛版
青岛版初中数学九年级上册《直线与圆的位置关系》同步测试练习题卷练习题2
二、选择题：
O
B
C
ͼ3-28
1. 如图 3-28，△ABC 中，∠A = 70°，⊙O 在△ABC 的三条边上所截得的弦长
都相等，则∠BOC 的度数是（ ）；
A. 140°
B. 135°
C. 130°
D. 125°
2. 在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 16 cm，O 是 AB 边上的一点，
D A O BC
ͼ3-29
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【综合练习】 已知：如图 3-30，BC 是⊙O 的直径，A 是弦 BD 延长线上一点，切线 DE 交 AC 于点 E，且 AE = EC. 你能确定 AC 与⊙O 的位置关系吗？请说明理由.
A
D
E
B
OC
ͼ3-30
Байду номын сангаас
【探究练习】
如图 3-31，已知：在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AC = 13 cm，AB = 5 cm，O 是
144 （1） ；
13 （2）AC 与⊙O 相切（提示：过 O 作 OE⊥AC，设垂足为 E，证 OE = 2.4 cm）.
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
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3.4 直线与圆的位置关系
【基础练习】
一、填空题：
1. 已知点 O 是∠ABC 的角平分线上一点，若以 O 为圆心的⊙O 与 AB 相切，则
九年级数学上册专题突破讲练三招判定切线试题新版青岛版20180719344
三招判定切线直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。
如何判定直线和圆相切？以下三招可以 助你一臂之力！第一招：确定直线和圆交点的个数。
如果直线和圆有唯一的公共点，那么这条线是圆的切线，这个点是切点。
第二招：比较圆心到直线的距离与半径的大小。
如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条线是圆的一条切线。
说明：第三招：利用切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，如图：点 A 是直线 AB 与圆 O 的公共点，如果OA⊥AB ，那么直线 AB 是圆 O 的一条切线。
说 明：该定理必须具备两个条件：⑴经过半径的外端；⑵垂直于半径；两个条件缺一不可。
例题 1 如图，直线 AB 、CD 相交于点 O ，∠AOC=30°，半径为 1cm 的圆 P 的圆心在射线 OA 上，开始时，PO=6cm ，如果圆 P 以 1cm/秒的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么当圆 P 的运动 时间 t （秒）满足什么条件时，圆 P 与直线 CD 相切？DA P O BC解析：要想保证圆 P 与直线 CD 相切，就要使点 P 到直线 CD 的距离等于 1cm 。
符合条件的 圆有两个，圆心分别在点 O 的两侧。
答案：如下图DA P 1 E FP 2 OB C（1）当圆P运动到点P1时，可得，又因为∠AOC=30°，所以PE CO OP PE1 2 1 21 16 2=2cm，所以圆P运动到圆P所用的时间t 4 （秒）；1 11（2）当圆P继续向B运动，当点P到达点P2时，F P2=1cm同理可得： 2 8 （秒）。
t点拨：根据圆心到直线的距离可以判定圆和直线的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径，则直线和圆相切；当圆心到直线的距离大于半径，则直线和圆相离；当圆心到直线的距离小于半径，则直线和圆相交。
例题2 已知：如图，在Rt△ABC中，C90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D、E，且CBD A。
九年级数学上册专题突破讲练与圆有关的角试题新版青岛版
与圆有关的角角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。
圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。
1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
OBACD说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索。
2. 圆周角定理推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是直径。
推论2：圆内接四边形的对角互补。
说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题； 由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。
3. 弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。
4. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决。
示例：如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO与⊙O 交于点C ，若∠BAO=40°，则∠OCB 的度数为（ ）A. 40°B. 50°C. 65°D. 75°解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。
解：∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=21（180°－50°）=65°，故选C 。
2019九年级数学上册 专题突破讲练 圆中辅助线添加技巧试题 (新版)青岛版
圆中辅助线添加技巧1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。
说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。
方法依据：（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2. 辅助线方法：连中点说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。
方法依据：（垂径定理推论）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3. 与切线有关的辅助线作法：（1）点已知，连半径，证垂直说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径。
（2）点未知，作垂直，证半径说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径(r)。
（3）见切线，连半径，得垂直说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
例题1 ⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。
求证：PO平分∠APD。
解析：由等弦AC=BD可得出弧AC等于弧BD，进一步得出弧AB等于弧CD，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。
答案：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F∵AC=BD∴AC BD=∴AB CD=∴AB=CD∴OE OFOEP OFP OP OP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠OPE=∠OPF∴ PO平分∠APD.点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例题2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆O，与BC交于点E，过点E作ED⊥AB，垂足为点D。
求证：DE为⊙O的切线。
解析：连接OE，根据等边对等角，由AB=AC得到∠B=∠C，再由半径OC与OE相等得到∠C=∠CEO，利用等量代换得到∠B=∠CEO，由同位角相等两直线平行，得到AB与EO平行，再根据两直线平行内错角相等，由角BDE 为直角得到角DEO为直角，又OE为圆O的半径，根据切线的判断方法得到DE为⊙O的切线。
2019九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的角试题 (新版)青岛版
与圆有关的角角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。
圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。
1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
D说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索。
2. 圆周角定理推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是直径。
推论2：圆内接四边形的对角互补。
说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。
3. 弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。
4. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决。
为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）示例：如图，AB是⊙O的切线，BA. 40°B. 50°C. 65°D. 75°解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。
1解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=2（180°－50°）=65°，故选C。
例题已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D。
九年级数学上册专题突破讲练与圆有关的动态问题试题新版青岛版
与圆有关的动态问题与圆有关的动态问题是一类综合性的问题。
解题时，既要熟悉圆的有关性质定理，还要注意动静结合，特殊和一般结合，结合图形全面考虑，细心分析，灵活运用有关的性质定理，必要时还需添加恰当的辅助线，加强图形间的内在联系，以便转化，使问题顺利解决。
在与圆有关的动态问题中，最常用到的定理有：1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
说明：在遇到切线时，连接圆心与切点是常见的辅助线，可以构造直角三角形，为解题架设了桥梁。
3. 弧、弦、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。
4. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
5. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
例题1如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析：本题考查了直线与圆的位置关系；掌握切线的性质与判定是解题的关键。
根据题意找出当OP⊥AP时，∠OAP取得最大值。
所以在Rt△AOP中，利用直角三角形可以求得此时∠OAP的值。
解：根据题意知，当∠OAP的取最大值时，OP⊥AP；在Rt△AOP中，∵OP＝OB，OB＝AB，∴OA ＝2OP，∴∠OA P＝30°。
故选A。
答案：A点拨：在点P的运动过程中，∠OAP取最大值时，AP正好是⊙O的切线。
例题2 （北京中考）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2，设弦AP 的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）解析：考虑用特殊值验证的方法。
2019九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的角试题 (新版)青岛版
与圆有关的角角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。
圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。
1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
D说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索。
2. 圆周角定理推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是直径。
推论2：圆内接四边形的对角互补。
说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。
3. 弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。
4. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决。
AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）示例：如图，AB是⊙O的切线，B为切点，A. 40°B. 50°C. 65°D. 75°解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。
1解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=2（180°－50°）=65°，故选C。
例题已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D。
2020九年级数学上册 专题突破讲练 三招判定切线试题 (新版)青岛版
三招判定切线直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。
如何判定直线和圆相切？以下三招可以助你一臂之力！第一招：确定直线和圆交点的个数。
如果直线和圆有唯一的公共点，那么这条线是圆的切线，这个点是切点。
第二招：比较圆心到直线的距离与半径的大小。
如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条线是圆的一条切线。
说明：第三招：利用切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，如图：点A是直线AB与圆O的公共点，如果OA⊥AB，那么直线AB是圆O的一条切线。
说明：该定理必须具备两个条件：⑴经过半径的外端；⑵垂直于半径；两个条件缺一不可。
例题1 如图，直线AB、CD相交于点O，∠A OC=30°，半径为1cm的圆P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm，如果圆P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当圆P 的运动时间t（秒）满足什么条件时，圆P与直线CD相切？PDCO BA解析：要想保证圆P与直线CD相切，就要使点P到直线CD的距离等于1cm。
符合条件的圆有两个，圆心分别在点O的两侧。
答案：如下图（1）当圆P 11又因为∠AOC=30°，所以11221OP PE ==⨯ =2cm ，所以圆P 运动到圆1P 所用的时间16241t -==（秒）； （2）当圆P 继续向B 运动，当点P 到达点P 2时，F P 2=1cm 同理可得：28t =（秒）。
点拨：根据圆心到直线的距离可以判定圆和直线的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径，则直线和圆相切；当圆心到直线的距离大于半径，则直线和圆相离；当圆心到直线的距离小于半径，则直线和圆相交。
例题2 已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D 、E ，且CBD A ∠=∠。
判断直线BD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论。
解析：本题是常见的切线问题，根据图形中各个角的关系得出∠ODB=90°即可。
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与圆有关的线段在圆中的线段主要有以下几种：半径、直径、弦，弦心距还有切线长。
求圆中线段的长是中考的一个重要考点，在选择题、填空题、解答题、探索题都会出现。
因此，这部分内容在中考中占举足轻重的地位。
垂径定理、勾股定理是解决圆中线段问题的重要工具，也是比较常用的定理，有时候也需要以下定理：圆心角定理、圆周角定理、切线的判定（性质）定理、切线长定理、等腰三角形的性质定理，在有些探索类型的题目中还有可能用到相交弦定理、切割定理等。
（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
符号语言：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，∴PC=PD，BC=BD，AC=AD。
（2）圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（3）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
例题1 （温州市中考）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB。
延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC、CE。
（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC－AC=2，求CE的长。
解析：要求CE 长，可通过证明CE=AB ，转化为求AB 长，结合∠E=∠B 及等腰三角形的性质、勾股定理，可解决问题。
答案：解：（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC；∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D。
（2）设BC=x ，则AC=x －2。
在Rt△ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，∴（x －2）2+x 2=4，解得71,7121-=+=x x （舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB∴CE=CB=1+7。
点拨：本题综合考查了圆周角、垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的性质，解题的关键是正确理解和应用有关定理。
与圆周角有关的问题，需要灵活运用同弧或等弧所对的圆周角相等、同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角等知识点，由于图形中的角比较多，解题时要仔细观察图形特点。
例题2 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交BC 于D ．若BC=8，ED ＝2，求⊙O 的半径．E OBAC解析：根据垂径定理可以知道线段EB 的长，设出圆的半径，然后用半径表示出OE ，这样就可以在Rt 直角三角形OEB 中，根据勾股定理，就可以求出圆的半径．解：因为，OD ⊥BC ， 所以，BE ＝CE=12BC=4． 设⊙O 的半径为R ，则OE=OD-DE=R-2．在Rt △OEB 中，由勾股定理得OE 2＋BE 2=OB 2，即(R-2)2＋42=R 2．解得R ＝5，∴⊙O 的半径为5．点拨：在求圆的半径时，关键是利用垂径定理构造直角三角形，然后设半径根据勾股定理列出方程，解得答案．如何解决圆中的线段问题圆中的线段包括：半径、直径、弦、切线。
求这些线段长是这部分的主要题型，综合利用圆中性质定理、勾股定理、等腰三角形的性质定理是解题的关键所在。
在解题的过程中，你能否掌握其中的技巧吗？满分训练（湛江中考）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC。
（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=253，求AC的长。
COABP解析：（1）设法证出∠OAP=90°即可；（2）利用垂径定理，勾股定理及面积法可求AC 的长。
答案：解：（1）设AC与OP相交于点H。
∵AB是直径，∴AC⊥BC，∠BAC+∠B=90°，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，∠AOB=∠B．∵∠P=∠BAC∴∠P+∠AOP=90°，于是∠OAB=90°，∴PA为⊙O的切线。
（2）∵OP⊥AC，∴AC=2AH，在直角三角形PAO中，AP=22222520()533OP OA-=-=由面积法可知：20534253OA APAHOP⨯⨯===，所以AC=8。
点拨：本题考查了圆的切线的证明以及有关圆的计算，掌握圆的切线的证法以及圆中基本的计算方式是解题的关键。
求线段的长度有以下常用的方法：（1）用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中；（2）用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中；（3）面积法，适用于有直角三角形中有高的存在的图形。
（答题时间：30分钟）1. 如图，ABC△内接于⊙O，30C∠=o，2AB=，则⊙O的半径为（）A. 3B. 2C. 23D. 42. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A. 6，3232 3 C. 6，3 D. 2，323. 如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长为（）A. 24B. 28 C. 52 D. 544. 如图，AB是⊙O的弦，点C是弦AB上一点，且BC︰CA＝2︰1，连结OC并延长交⊙O 于D，又DC＝2厘米，OC＝3厘米，则圆心O到AB的距离为（）A. 6厘米B. 7厘米C. 2厘米D. 3厘米COA BD5. 如图⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为（）A. 52 B. 8 C. 102 D. 1326. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB=10，AC=6，OD⊥BC，垂足为D，则BD的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 67. 如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A. 45cmB. 35cmC. 55cmD. 4cm8. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC＝。
9. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D 为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC。
（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r。
10. 如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结PB。
（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线。
11. 如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形。
（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由。
∠=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且12. 如图，△ABC内接于⊙O，BAP=AC。
PD=，求⊙O的直径。
（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若31. B 解析：过点B 作圆的直径BD ，交圆于点D ，连接AD ，根据圆周角定理，得：∠C=∠D=30°，∠DAB=90°，所以在Rt△ADB 中，因为，∠D=30°，AB=2，所以，DB=4，所以，圆的半径为2。
2. B 解析：画图如下，由正方形的性质，垂径定理可得OE=AE=3，OA=32。
故选B 。
3. D 解析：连接OC ，如图，设OC 的长为r ，∵AB＝12，BP ︰AP=1︰5，∴AP＝10，∴OP ＝4。
由垂径定理可得△OPC 是直角三角形，并且CD ＝2CP 。
在Rt△OCP 中，由勾股定理CP ＝52462222=-=-OP OC ，∴CD＝54，故选D 。
BPOC DA4. B 解析：延长DO 交⊙O 于E ，过点O 作OF⊥AB 于F ，则CE ＝8厘米。
由相交弦定理，得DC·CE＝AC·CB，所以AC·2 AC＝2×8，故AC ＝22（厘米），从而BC ＝42厘米。
由垂径定理，得AF ＝FB ＝21（22＋42）＝32（厘米）．所以CF ＝32－22＝2（厘米）。
在Rt△COF 中，OF ＝22OF OC -＝22)2(3-＝7（厘米）。
5. D 解析：连接BE ，∵⊙O 的半径OD⊥弦AB 于点C ，AB=8，∴AC=21AB=4， 设⊙O 的半径为r ，则OC=r-2，在Rt△AOC 中，∵AC=4，OC=r-2，∴OA 2=AC 2+OC 2，即r 2=42+（r-2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE 中，∵AE=10，AB=8，∴BE=2222810-=-AB AE =6，在Rt△BCE 中，∵BE=6，BC=4，∴CE= 132462222=+=+BC BE 。
6. C 解析：因为AB 是直径，因此∠C 是直角，∴BC=22106-=8，∵OD⊥BC，根据垂径定理，BD 等于BC 的一半，所以BD=4。
故选C 。
7. A 解析：连接BC 、BD 、OD ，则OD 、BC 交于E 。
由于AD 平分∠BAC，所以BD CD =，所以OD⊥BC，又半圆O 的直径AB ＝10cm ，弦AC ＝6cm ，所以BC ＝8cm ，所以BE ＝4，又OB ＝5cm ，所以OE ＝3cm ，所以ED ＝5－3＝2（cm ），在Rt△BED 中，BD ＝22DE BE +＝2cm ，又∠ADB＝90°，所以AD ＝22AB BD -＝45cm 。
故选A 。
8. 6 解析：因为BD 为⊙O 的直径，根据圆周角定理，得：∠C=∠D，∠DAB=90°。
又因为，∠BAC=120°，AB=AC ，所以，∠C=∠CBA=∠D=30°，∠DBA=60°，所以，∠DBC=30°。
在Rt 直角三角形ABD 中，有：cos 30°=BD AD，又AD=6，所以，BD==23643，连接DC ，则∠BCD=90°，在Rt 直角三角形BCD 中，∠DBC=30°，BD=43，得：cos 30°=BDBC，BC=43×23=6．9. 解析：（1）连接OA 、OD ，则OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA，∵D 为BE 的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD=90°，∴∠OAD+∠OFD=90°，∵∠OFD=∠AFC，∴∠OAD+∠AFC=90°，∵AC=FC，∴∠FAC=∠AFC，∴∠OAD+∠FAC=90°，∴AC 是⊙O 的切线。
（2）BF=8，DF=40，∴OF=8－r ，∴在直角三角形OFD 中，r 2+（8－r ）2=2(40)，解得，r=2。
10. 解析：（1）连接OB ，∵弦AB⊥OC，劣弧AB 的度数为120°，∴∠COB=60°，又∵OC=OB，∴△OBC 是正三角形，∴BC=OC=2。