2018年中考数学复习第4单元图形的初步认识与三角形第22课时锐角三角函数及其应用检测湘教版

课时训练(二十二)锐角三角函数及其应用|夯 实 基 础|一、选择题1．[2017·天津]cos60°的值等于( ) A. 3 B ．1 C.22 D.122．[2017·湖州]如图K22－1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cosB 的值是( )A.35B.45C.34D.43K22－1K22－23．[2017·宜昌]△ABC 在网格中的位置如图K22－2所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列选项中，错误的是( )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝14．[2017·益阳]如图K22－3，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A 、D 、B 在同一条直线上)( )A.h sin αB.h cos αC.htan αD ．h ·cos αK22－3K22－45．[2017·兰州]如图K22－4，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )A.513 B.1213 C.512 D.13126．[2017·滨州]如图K22－5，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( )A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 3 二、填空题7．[2017·烟台]在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A2＝________．8．[2017·宁波]如图K22－6，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)K22－6K22－79．[2017·临沂]如图K22－7，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O.若AB ＝4，BD ＝10，sin ∠BDC ＝35，则▱ABCD的面积是________．三、解答题10．[2017·衡阳]衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内．如图K22－8，为了测量来雁塔的高度，在Ε处用高为1.5米的测角仪AE ，测得塔顶C 的仰角为30°，再向塔身前进10.4米，又测得塔顶C 的仰角为60°，求来雁塔的高度．(结果精确到0.1米)图K22－811.[2017·郴州]如图K22－9所示，C 城市在A 城市正东方向，现计划在A 、C 两城市间修建一条高速铁路(即线段AC)，经测量，森林保护区的中心P 在A 城市的北偏东60°方向上，在线段AC 上距A 城市120 km 的B 处测得P 在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P 为圆心，100 km 为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：3≈1.73)图K22－912．[2017·常德]图K22－10①②分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC ＝0.60米，底座BC 与支架AC 所形成的角∠ACB＝75°，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮筐D 的距离FD ＝1.35米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D 到地面的距离(精确到0.01米)．(参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)图K22－1013．[2017·长沙]为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图K22－11，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东30°方向上．(1)求∠APB 的度数；(2)已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？图K22－11|拓 展 提 升|14．[2017·舟山]如图K22－12，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝______，…，按此规律，写出tan ∠BA n C ＝________(用含n 的代数式表示)．图K22－1215．如图K22－13，根据图中数据完成填空，再按要求答题：图K22－13sin 2A 1＋sin 2B 1＝________；sin 2A 2＋sin 2B 2＝________；sin 2A 3＋sin 2B 3＝________.(1)观察上述等式，猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，都有sin 2A ＋sin 2B ＝________；(2)如图④，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知∠A＋∠B＝90°，且sinA ＝513，求sinB.参考答案1．D2．A [解析] 在Rt △ABC 中，cosB ＝邻边斜边＝BC AB ＝35.3．C [解析] sin α＝cos α＝22 2＝12，tanC ＝21＝2，sin β＝cos(90°－β)，故选C.4．B [解析] 根据同角的余角相等得，∠CAD ＝∠BCD，由cos ∠BCD ＝CD BC ，知BC ＝CD cos ∠BCD ＝hcos α，因此选B.5．C [解析] 在直角三角形中，根据勾股定理可知水平的直角边长度为120 m ，正切值为对边比邻边，故斜坡与水平地面夹角的正切值等于50120＝512，故选C.6．A [解析] 设AC ＝a ，则AB ＝a÷sin30°＝2a ，BC ＝a ÷tan30°＝3a ，∴BD ＝AB ＝2a.∴tan ∠DAC ＝DCAC ＝（2＋3）aa＝2＋ 3. 7.12 [解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，∴sinA ＝32，∴∠A ＝60°. ∴sin A 2＝12.8．280 [解析] 在Rt △ABC 中，sinB ＝ACAB，∴AC ＝ABsin34°≈500×0.56＝280.9．24 [解析] 过C 作CE⊥BD 于E ，在Rt △CDE 中，∵sin ∠BDC ＝35＝CE CD ＝CE AB ，AB ＝4，∴CE ＝125，∴S ▱ABCD ＝2×12×BD×CE＝24.10．解：因为∠CBD＝60°，∠CAD ＝30°， 所以∠ACB＝30°，所以AB ＝BC ＝10.4米．在直角三角形CBD 中，BC ＝10.4米，∠CBD ＝60°，所以CD ＝BC×sin ∠CBD ＝10.4×32≈9.0(米)，所以塔高为9.0＋1.5＝10.5(米)． 答：来雁塔的高度约为10.5米．11．解：如图，过点P 作PH⊥AC，交AC由题意得∠EAP＝60°，∠FBP ＝30°， ∴∠PAB ＝30°，∠PBH ＝60°， ∴∠APB ＝30°，∴AB ＝PB ＝120，∴在Rt △PBH 中，PH ＝PBsin ∠PBH ＝120×sin60°＝60 3≈103.8， ∵103.8＞100，∴要修建的这条高速铁路不会穿越森林保护区．12．解：如图，过点A 作AM⊥FE 交FE ∵∠FHE ＝60°，∴∠F ＝30°.在Rt △AFM 中，FM ＝AF·cosF ＝AF·cos30°＝2.50×32≈2.165(米)． 在Rt △ABC 中，AB ＝BC·tan ∠ACB ＝BC·tan75°≈0.60×3.732＝2.2392(米)． ∴篮板顶端F 点到地面的距离为：FM ＋AB ＝2.165＋2.2392＝4.4042(米)， ∴篮筐D 到地面的距离为：4.4042－FD ＝4.4042－1.35＝3.0542≈3.05(米)． 13．解：(1)∵∠PAB＝30°，∠ABP ＝120°， ∴∠APB ＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°. (2)作PH⊥AB 于H.∵∠BAP ＝∠BPA＝30°， ∴BA ＝BP ＝50，在Rt △PBH 中，PH ＝PB·sin60°＝50×32＝25 3，∵25 3>25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．14.113 1n 2－n ＋1 [解析] 过点C 作CH⊥BA 4于H ，由勾股定理得BA 4＝42＋12＝17， A 4C ＝32＋12＝10，∵△BA 4C 的面积＝4－12×1×4－12×1×3＝12，∴12×17CH ＝12，∴CH ＝1717， 则A 4H ＝A 4C 2－CH 2＝13 1717， ∴tan ∠BA 4C ＝CH A 4H ＝171713 1717＝113，∵1＝12－1＋1，3＝22－2＋1，7＝32－3＋1，13＝42－4＋1，∴tan ∠BA n C ＝1n 2－n ＋1.15．解： 1 1 1 (1)1(2)证明：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.∵sinA ＝a c ，sinB ＝bc，∴sin 2A ＋sin 2B ＝a 2＋b 2c2.∵∠C ＝90°，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴sin 2A ＋sin 2B ＝1.(3)∵sinA ＝513，sin 2A ＋sin 2B ＝1，∴sinB ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.。