11切线证明题课件
九年级数学《切线长定理》课件
∴CE＝BF,即BF＝CE.
7.(创新题)如图,☉O是△ABC的内切圆,过点O作DE∥BC,与 AB,AC分别交于点D,E.求证:BD＋CE＝DE.
证明:∵☉O是△ABC的内切圆, ∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴∠OBC＝∠OBD,∠ECO＝∠BCO. ∵DE∥BC,∴∠DBO＝∠OBC＝∠DOB, ∠ECO＝∠BCO＝∠EOC, ∴BD＝DO,EC＝EO,∴BD＋CE＝DE.
10.如图,☉O是△ABC的外接圆,BC为☉O的直径,点E为 △ABC的内心,连接AE并延长交☉O于点D,连接BD并延长至 F,使得BD＝DF,连接CF,BE. (1)求证:DB＝DE; (2)求证:直线CF为☉O的切线.
证明:(1)∵E是△ABC的内心, ∴∠BAE＝∠CAE,∠EBA＝∠EBC, ∵∠DBC＝∠CAE, ∴∠DBC＝∠BAE, ∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA,∠DBE＝∠EBC＋∠DBC, ∴∠DBE＝∠BED,∴DB＝DE.
9.如图,☉O的直径AB为10 cm,点E是圆内接△ABC的内心,CE 的延长线交☉O于点D.
(1)求AD的长; (2)求DE的长.
解:(1)如图,连接 BD,
∵AB 为☉O 的直径,∴∠ACB＝∠ADB＝90°,
∵点 E 是圆内接△ABC 的内心,
∴CE 平分∠ACB,∴∠1＝45°,∴∠DBA＝∠1＝45°, 答案图
(2)解:设OA＝r.∵OB＝OC,∴∠OBC＝∠OCB, ∵OB∥QD,∴∠QDC＝∠B, ∵∠OCB＝∠QCD,∴∠QCD＝∠QDC,∴QC＝QD＝6, ∵QO＝QP,∴OC＝DP＝r, ∵PC是☉O的切线,∴OC⊥PC, ∴∠OCP＝∠PCQ＝90°, 在Rt△PCQ中,∵PQ2＝PC2＋QC2, 又PC＝PA＝AB＝2r, ∴(6＋r)2＝(2r)2＋62,解得r＝4或0(不合题意,舍去),
高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0
切线证明(共5篇)
切线证明〔共5篇〕第1篇：证明切线的方法证明切线的方法证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进展分析^p 。
〔1〕圆和直线的唯一公共点，方法是：连半径，证垂直〔比拟常用〕。
〔2〕圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂直，证半径。
例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。
DE是圆O的切线吗？分析^p ：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。
DE是切线。
证明：连接OD。
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C。
又∵OB＝OD，∴∠B＝∠1。
∴∠1＝∠C。
而DE⊥AC，∴∠C＋∠2＝90°。
∴∠1＋∠2＝90°。
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。
∴DE是圆O的切线。
AB第2篇：证明圆的切线方法证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. 又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒ ⌒∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF〔SAS〕. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒ ⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE，∴∠E=∠1. ∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OD，∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C.∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切D 证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,C ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用及图上.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD，∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC是⊙O的切线.D 说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP， OCOP.ODOC 又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB，∴∠OCP=900. ∴PC是⊙O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析^p ：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC. ∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心. ∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4. ∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE〔SAS〕∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC. ∴CE与△CFG的外接圆相切二、假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB. ∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. 又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF〔AAS〕∴DF=DE. ∴F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC 与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8 ：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，假设∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5. ∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴ACOC.OBODACOC.OAODO ∵OA=OB，∴ 又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD 于E，延长DO交CA延长线于F. ∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD〔AAS〕∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD 与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF，∴OF1CD CF.2∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.第3篇：圆的切线方程公式证明:圆的方程为:(xb)² = r², 圆上一点P(x0, y0) 解:圆心C(a, b)直线CP的斜率:k1 = (y0a)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 =a) / (y0y0 = k2 (xy0 = [- (x0b)] (xx0)(x0y0)(y0ax +ax0 + y0yx0²a)² + (y02ax0 + a² + y1²x0²2by0 + a²+ b²ax + ax0 + y0y2by0 + a² + b²axyba)(xb)(y(x0 + D/2) / (y0 + E/2)根据点斜式, 求得切线方程：yx0)yx0)整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2 -x0²x0²Dx0/2a)² + (yMC²)(根据勾股定理)= √ [(x0b)²MC²)(根据勾股定理)= √ [ (x0 + D/2)² + (y0 + E/2)² - ((√(D²+E²-4F))/2)² ](半径:r=(√(D²+E²-4F)) / 2)= √ (x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F)第4篇：切线的两种证明方法浅谈切线的两种证明方法在中学学习圆的时候，我们学过切线的断定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
《初中几何证明题》课件
提高练习题
总结词：能力提升
详细描述：提高练习题是在基础练习题的基础上，进一步加深对几何证明题的理解和应用。这些题目 通常涉及多个知识点，需要学生综合运用所学知识进行解答，有助于提高学生的思维能力和解题技巧 。
竞赛练习题
总结词
挑战与突破
VS
详细描述
竞赛练习题是针对初中数学竞赛的几何证 明题，难度较大，对学生的思维能力和解 题技巧提出了更高的要求。这些题目通常 需要学生突破常规思维，寻找独特的解题 方法，有助于培养学生的创新思维和解决 问题的能力。
反证法
总结词
通过假设结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明结论成立 。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法。首先假设结论不成立，然后 在此基础上进行推理和计算，如果推导出矛盾，则说明假设 不成立，从而证明结论成立。
综合法与分析法
总结词
综合法是从已知条件出发，逐步推导到结论；分析法是从结论出发，逐步推导到已知条 件。
05
几何证明题总结与反思
总结几何证明题的解题思路
明确已知条件和求证目标
在解题前，应仔细阅读题目，明确已 知的条件和需要证明的目标，以便确 定解题方向。
分析图形结构
根据题目的描述，分析图形的结构， 包括角度、线段、平行、垂直等关系 ，为解题提供依据。
选择合适的证明方法
根据图形的结构和已知条件，选择合 适的证明方法，如利用全等三角形、 相似三角形、勾股定理等。
逐步推导
根据选择的证明方法，逐步推导所需 证明的结论，每一步推导都要有明确 的逻辑依据。
反思几何证明题的常见错误与注意事项
常见错误
在解题过程中，容易出现一些常 见的错误，如混淆已知条件和求 证目标、忽略图形的结构、选择 错误的证明方法等。
中考真题;切线的判定与性质(答案详解)
中考复习：切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）EM ＝FM 。
：【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证：AC 是⊙O 的切线。
》【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。
<（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。
•例1图321MFOEDCB A例2图 EO D C B A •例3图321OD C BA探索与创新：【问题一】如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD 于F ，交BA 的延长线于G ，GA ＝8。
（1）求∠G 的余弦值；!（2）求AE 的长。
【问题二】如图，已知△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α（定值），⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。
,（1）求∠POQ ；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。
(|•问题一图 G F E O DCB A 问题二图NQ P EO DC BA答案精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
导数证明题——切线与数列类——一题五解
叠乘则有： e
1 1 1 1 2 3 n
n 1，
e
1 2
3 ， 2
1 1 1 取对数即为： 1 ln(n 1) 2 3 n
（相当于 ln x x 1 中令 x
n 1 1 ，然后进行叠加） n n n 1 n
，
f ( x) f (2) ，又 f (2) 2 2ln 2 0 ，
f ( x) x 2ln x 0 ，即当 x 0 时 e x x 2
图 10 构成的命题：当 x 2 时，求证 ex ln( x 2)
图 11 构成的命题：当 x 0 时，求证 e x 1 ln( x 1)
2 e 综合得，(a＋1)b 的最大值为 . 2
1 2
1 2
符号混乱是难点.
x 1 ln x
1 1 lnx x 1 x
变形—数列叠加、叠乘 变形—赋值法、转化
1 1 lnn n 1 n
2 2n 1 2 ln 2n 1 2n 1 2n 1
1 2x ax b 1) ( ab (2)若 f ( x ) xe ,求 的最大值. (2)由已知条件得 － (a ＋ x≥ .1)b① 2
求g(x)的最小值
1－b (i)若 a＋1<0， 则对任意 b， 当 x<0， 且 x< 时， 可得 ex－(a＋1)x<b， a＋1 因此①式不成立． (ii)若 a＋1＝0，则(a＋1)b＝0. (iii)若 a＋1>0，设 g(x)＝ex－(a＋1)x，则 g′(x)＝ex－(a＋1)．
令 1－2ln(a＋ 1) 0 ，解得 a e 1
切 线 长 定 理PPT课件
。
O
A
P
3
知识目标：
教 1、理解切线长定理，懂得定理的产生过程；
学 目
2、会灵活运用切线长定理探究一些结论，并应 用定理解题。
能力目标：
标
探求问题，寻求结论
重点：
切线长定理的应用
难点：
定理的探求、延伸
2020年10月2日
4
阅读课文 P118， 思考下列 问题：
1、什么叫做圆外一点到圆的切线长？ 2、切线长定理的内容是什么？ 3、这个定理是怎样证明的？
是定值（PA+PB）
⑵ ∠DOE的大小是定值 （∠AOB/2）
若∠P=40°，你能说出∠DOE的度数吗？
2020年10月2日
11
如图：AE、BF分别切⊙O于A、 y B，且AE∥BF，EF切⊙O于C。
试证：⑴ AB是⊙O的直径
⑵ OE⊥OF
⑶ OC是AE、BF的 比例中项
BF
x
⑷ 若⊙O 的半径为6，点C分半圆为1：2两 部分，求AE、BF的长。
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
18
若已知圆的四条切线呢？
想一想
圆的外切四边形具 有什么性质？
圆的外切四边形的 两组对边的和相等。
D
例：等腰梯形各边都与⊙O 相切， ⊙O的直径为6cm， 等腰梯形的腰等于8cm，则 梯形的面积为_____。
2020年10月2日
8
68
14
通过这节课的复习，你有什么收获或体会？ 关于切线长定理，你还有什么不明白的问题？
证明：连结AB
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA=PB ∠OPA=∠OPB
P
∴OP⊥AB
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直〞，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径〞例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 ：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，假设∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦〔非直径〕，C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．，BF和AD交于E，例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．〔1〕求证：AD=DC．〔2〕求证：DE是⊙O1的切线．AB CDEF G O例6如图，直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．〔1〕求∠ACM 的度数．〔2〕在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． 〔1〕假设圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ 〔2〕假设点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；〔3〕假设3(22)OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。
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D A C
E
AD是 0的切线。
课外练习
1、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝
∠B＝30°，边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗？为什么？
解：BD是⊙O的切线 .连结OD. ∵ OA＝OD ， ∠BAD＝30°(已知)
∴∠ODA＝∠A＝30°(等边对等角)
∴∠BOD＝∠A＋∠ODA＝60° 又∵∠B＋∠BOD＋∠BDO ＝ 180° A
证明：过O作OE CD，垂足为E，则OE//AD//BC 又 OA OB, DE CE , OE是梯形ABCD的中位线， 1 OE AD BC . 2 又 AB AD BC , 1 OE AB. 2 CD是 O的切线.
O E A D
C
B
例题解析 例4：设c线段AB的中点，四边形BCDE是以 BC为一边的正方形.作以B为圆心，BD长为半 径的圆B,连接AD.求证：AD是圆B的切线. • 证明：连接BD.
四边形BCDE是正方形， CD=CB. CA=CB, CD=CA=CB. ADB=90 , 即AD BD.
证AT 是⊙O的切线.
证明: ∵ ∠ABT = 45°， ∴ ∠ATB = ∠ABT=45 °. ∴ ∠TAB = 180°－∠ATB－∠ABT = 90°. ∴ TA⊥OA.
B O ·
∵ OA是⊙O的半径， ∴ AT是⊙O的切线.
T
A
例3：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切 点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线． 分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切 点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利 用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB， OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以 ∠ODC＝∠OBC＝90°． 证明：连结OD．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2， ∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． D 2 ∴∠3＝∠4．∵OD＝OB，OC＝OC， 43 A ∴△ODC≌△OBC．∴∠ODC＝∠OBC． 1 O ∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°． ∴∠ODC＝90°．∴DC是⊙O的切线．
●
D
O
C
B
∴∠BDO＝180°－∠B－∠BOD＝90°
∴ 直线BD⊥OD 又∵直线BD 经过⊙O上的D点 ∴直线BD是⊙O的切线
例题解析
求证： 0和AC也相切
解析：由于 O与AC的公共点没有确定，所以可作OE AC于E， 然后证明OE等于 O的半径OD 证明：连接OA OD，作OE AC于E AB AC , O是BC的中点， AO平分BAC. O切AB于D, OD AB, 又 OE AC , OE OD, O与AC相切.
B
C
课外练习
练习3：如右图所示，已知OC平分∠AOB，D是OC上 任意一点，⊙D与OA相切于点E.那么，OB是⊙D的切
线吗？请说明理由.
解：OB是⊙D的切线.理由如下：
连结DE，过D点作DF⊥OB，垂足为F A ∵ OA 与⊙D 相切于点E ∴ OE⊥OA E 又∵ OC平分∠AOB， DF⊥OB D ∴ DF ＝ DE O 即d＝r F ∴ OB是⊙D的切线 .
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的 半径
●
O
∴CD⊥OA.
C
A
D
切线的判定定理
• 定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线.
如图 ∵OA是⊙O的半径, 且 CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.
C
●
O
A
D
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要 作出过这一点的半径，再证明直线垂直 于这条半径即可； 2、如果不明确直线与圆的交点，往往要 作出圆心到直线的垂线段，再证明这条 垂线段等于半径即可．
●
C
┐
B
例5：如图，在 ABC中，AB=AC,O是BC的中点，以O为圆心的 0切AB于D。
A
D
B O
E
C
课外练习
练习2：已知，如图梯形ABCD中，AD//BC，D是 直径，且AB=AD+BC。求证：CD是 0的切线。
解析：作OE CD，垂足为E，只要证明垂线段OE是 O的半径 就可得到CD经过半径外端且垂直于这条半径， 结论可证。
例题解析 例1 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并 且OA=OB， CA=CB，求证直线AB是⊙O 的切线.
证明：连接OC ∵ OA=OB ， CA=CB ，
A C O
B
∴△OAB是等腰三角形，OC是底边 AB上的中线. ∴ OC⊥AB. ∴ AB是⊙O的切线.
课堂练习
1.如图 AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB,求