圆的切线证明10道题
圆的切线问题及答案
圆的切线问题及答案1. 如图，已知正方形ABCD ，点E 是边AB 的中点，点O 是线段AE 上的一个动点（不与A 、E 重合），以O 为圆心，OB 为半径的圆与边AD 相交于点M ，过点M 作⊙O 的切线交DC 于点N 。
（1）求证：MN=AM+CN ；（2）延长MA 交⊙O 于点F ，连接EN ，若AF=4，AO:BO=3:5，求EN.2. 如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，直线CD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线上于点D ，且∠CAB=2∠BCD．（1）如图1，求证：AB=AC（2）如图,2，连接CM ，求证：∠CAB=∠MCD （3）若BC=53，BD:CD=5:1，求△ACD 的周长．3. 如图，⊙O 的半径OD 经过弦AB (不是直径)的中点C ，过AB 的延长线上一点P 作⊙O 的切线PE ，E 为切点，PE ∥OD ；延长直径AG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ，交PE 于点K ． （1）求证：四边形OCPE 是矩形； （2）求证：HK ＝HG ；（3）若EF ＝2，FO ＝1，求KE 的长．N M E B A D O N F M EB A D O图1M N D A O C B M ND A O CB 图2ABCDEFPO 4. 如图，⊙O 的半径r 为25，AD 是⊙O 的切线，切点为点D ，割线AC 与⊙O 相交于点B 、C ，弦DE ⊥AC ，垂足为点F ，连接CE 、OE. （1）求证：∠ A=∠ OED； （2）若43tan =∠A ，求DE 的长； （3）在（2）的条件下，若31tan =∠BCE ，求△ADF 的面积.5. 己知：如图:△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 干点F ，交⊙O 于点D ，DF ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD. （1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P 是线段AF 的中点 （3）若⊙O 的半径为5，AF=152，求tan ∠ABF 的值.6. 如图，已知⊙O 的直径为AB ，AC ⊥AB 于点A ，BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得ED =EA .（1）求证：ED 是⊙O 的切线.（2）当OA =3，AE =4时，求BC 的长度.7. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．8. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．(1)求证：OD∥BE；(2)若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．EOB10. 如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．（1）求证：E是AC的中点；（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．答案1. （1）连接OM 、BM 、BN ，过点B 作BP ⊥MN 与点P ∵在⊙O 中，MN 与⊙O 相切 ∴OM ⊥MN ∴∠OMN=90° ∴∠OMB+∠BMP=90°又∵正方形ABCD ∴∠ABC=∠A=∠C=90°，AB=BC ∴ ∠AMB+∠ABM=90°又∵在⊙O 中，BO=MO ∴∠OBM=∠OMB ∴∠AMB=∠PMB 又∵AB ⊥AD ，BP ⊥MN ∴AB=BP=BC ，∠A=∠BPN=∠C=90° 又∵BM=BM ∴Rt △ABM ≌Rt △PBM ∴AM=PM 又∵BN=BN ∴Rt △BPN ≌Rt △BCN ∴PN=CN ∴MN=MP+NP=AM+CN（2）过点N 作NQ ⊥AB 于点Q∵在⊙O 中，OA ⊥FM ∴FA=AM=4∵AO:BO=3:5 ∴AO:MO=3:5 ∴设AO=3x ，BO=MO=5x ，则AB=8x∴在Rt △OAM 中，AO 2+AM 2=MO 2 ∴（3x ）2+42=（5x ）2x=1 ∴AB=CD=BC=AD=8 ∴MD=AD-AM=4设CN=a ∴DN=CD-CN=8-a ∴MN=AM+CN=4+a∴在Rt △MND 中，MD 2+ND 2=MN 2∴（4）2+（8-a ）2=（4+a ）2a=38 ∴CN=38 又∵NQ ⊥AB ∴∠NQB=∠B=∠C=90°∴矩形BCNQ ∴QN=BC=8，QB=CN=38∴EQ=EB-BQ=4-38=34∴在Rt △EQN 中 EN=22QN EQ +=33742. （1）、连接AN 。
证明圆的切线经典例题
证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有:、若直线l过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连0A，证明OA丄l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F.求证：EF与O 0相切.证明：连结OE, AD.•/ AB是O 0的直径，••• AD 丄BC.n 又••• AB=BC ,•••/ 3= / 4.——• BD=DE，/ 1 = / 2.又••• OB=OE , OF=OF ,•••△ BOF ◎△ EOF ( SAS) •••/OBF= / OEF.••• BF与O O相切，• OB 丄BF.•••/ OEF=9O°.• EF与O O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA 与O O 相切.作直径AE ，连结EC. •/ AD 是/ BAC 的平分线， •••/ DAB= / DAC. •/ PA=PD , •••/ 2= / 1+ / DAC.•••/ 2= / B+ / DAB , •••/ 1 = / B.又•••/ B= / E , •••/ 1 = / E•/ AE 是O O 的直径，• AC 丄 EC , / E+ / EAC=90 .•••/ 1 + / EAC=90°.即OA 丄PA. • PA 与O O 相切.延长AD 交O O 于E ,连结OA , OE.•/ AD 是/ BAC 的平分线, • BE=C ® ,• OE 丄 BC. •••/ E+/ BDE=90 0. •/ OA=OE , •••/ E=/ 1. •/ PA=PD , • / PAD= / PDA. 又•••/ PDA= / BDE, •••/ 1 + / PAD=90 0证明一:证明二:即OA丄PA.• PA与O O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用例3 如图，AB=AC , AB是O O的直径，O O交BC于D, DM丄AC于M求证：DM与O O相切.证明一：连结OD.•/ AB=AC ,•••/ B= / C.•/ OB=OD ,•••/ 仁/ B.•••/ 仁/C.• OD // AC.•/ DM 丄AC ,• DM 丄OD.• DM与O O相切证明二：连结OD , AD.•/ AB是O O的直径,• AD 丄BC.又••• AB=AC,• / 1= / 2.•/ DM 丄AC ,•/ 2+Z 4=90°•/ OA=OD ,•/ 仁/3., , 0•/ 3+Z 4=90 .即OD丄DM.• DM是O O的切线.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分说明：证明一是通过证平行来证明垂直的利用已知及图上已知例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长 线上•••• OB=BC.•/ OB=BD , • OB=BC=BD. • OC 丄 CD. • DC 是O O 的切线.此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且OA 2=OD • OP.2•/ OA =OD • OP , OA=OC ,2• OC 2=OD • OP ,•/ CD 丄 AB ,• / OCP=90 . • PC 是O O 的切线.求证: DC 是O O 的切线 证明: 连结OC 、BC.•/ OA=OC ,又••• OC=OB ,说明:求证: PC 是O O 的切线. 证明: 连结OCOC OP OD OC说明: 此题是通过证三角形相似证明垂直的 PD例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.求证：CE与厶CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△ CFG的外接圆，但△ CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点0,连结0C,证明CE丄OC即可得解.证明：取FG中点0,连结0C.T ABCD是正方形，••• BC 丄CD , △ CFG 是Rt△•/ 0是FG的中点，• 0是Rt A CFG的外心.•/ 0C=0G ,•••/ 3= / G,•/ AD // BC,•/ G= / 4.•/ AD=CD , DE=DE ,o/ ADE= / CDE=45 ,•△ ADE ◎△ CDE (SAS)•••/ 4= / 1,Z 1 = / 3.•••/ 2+ / 3=90°,•••/ 1 + / 2=90°.即CE丄0C.• CE与厶CFG的外接圆相切、若直线l与O O没有已知的公共点，又要证明I是O O的切线，只需作OA丄I, A为垂足，证明OA是O O的半径就行了，简称："作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC , D为BC中点，O D与AB切于E点.求证：AC与O D相切.证明一：连结DE,作DF丄AC , F是垂足.••• AB是O D的切线，••• DE 丄AB.•/ DF 丄AC ,•••/ DEB= / DFC=90°.•/ AB=AC ,•••/ B= / C.又••• BD=CD ,•••△ BDE ◎△ CDF (AAS )• DF=DE.• F在O D上.• AC是O D的切线证明二：连结DE , AD，作DF丄AC , F是垂足.••• AB与O D相切，• DE 丄AB.•/ AB=AC , BD=CD ,•••/ 仁/2.•/ DE 丄AB , DF 丄AC ,• DE=DF.• F在O D上.• AC与O D相切.的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关•例8 已知：如图，AC, BD与O O切于A、B,且AC // BD，若/ COD=90°.求证：CD是O O的切线.证明一：连结OA , OB，作OE丄CD , E为垂足.••• AC , BD 与O O 相切，••• AC 丄OA , BD 丄OB.•/ AC // BD ,, , , , 0•••/ 1 + / 2+ / 3+ / 4=180 .•••/ COD=90°,•/ 2+ / 3=90°,/ 1 + / 4=90°. •••/ 4+ / 5=900.•/ 1 = / 5.• Rt△ AOC s Rt△ BDO.•AC OC"OB - OD .•/ OA=OB ,•A C OC"OA - OD.又•••/ CAO= / COD=900,• △ AOC ODC ,•/ 1 = / 2.又••• OA 丄AC , OE 丄CD,• OE=OA.• E点在O O上.• CD是O O的切线.证明二：连结OA , OB，作OE丄CD于E,••• AC , BD 与O O 相切，• AC 丄OA , BD 丄OB.•/ AC // BD ,•/ F=/ BDO.又••• OA=OB ,•△ AOF ◎△ BOD (AAS )• OF=OD.•••/ COD=90 0,• CF=CD，/ 1= / 2.又••• OA 丄AC , OE 丄CD ,••• OE=OA.••• E点在O O上.• CD是O O的切线.证明连结AO并延长，作OE丄CD于E,取CD中点F，连结OF.三：••• AC与O O相切，• AC 丄AO.•/ AC // BD ,• AO 丄BD.••• BD与O O相切于B,• AO的延长线必经过点 B.• AB是O O的直径.•/ AC // BD，OA=OB，CF=DF ,• OF // AC ,•/ 仁/COF.•••/ COD=9O°, CF=DF ,1•OF CD 二CF .2•/ 2=Z COF.•/ 仁/2.•/ OA 丄AC , OE 丄CD,• OE=OA.• E点在O O上.• CD是O O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明/ 1 = / 2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明/ 1 = 7 2•证明三是利用梯形的性质证明/ 1 = 7 2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.11。
圆的切线问题二级结论
圆的切线问题二级结论一、圆的切线相关二级结论1. 切线长定理- 结论：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
- 题目解析- 例如：已知圆O，点P是圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B。
- 求证：PA = PB，∠ APO=∠ BPO。
- 证明：连接OA、OB、OP。
因为PA、PB是圆O的切线，所以OA⊥PA，OB⊥ PB（切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径）。
- 在Rt△ PAO和Rt△ PBO中，OA = OB（圆的半径相等），OP = OP （公共边），所以Rt△ PAO≅ Rt△ PBO（HL定理）。
- 则PA = PB，∠ APO=∠ BPO。
2. 弦切角定理- 结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
- 题目解析- 例如：已知圆O，AB是圆O的弦，CD是圆O的切线，切点为A，∠BAC是弦切角，∠ ADC是圆周角，widehat{AC}是它们所夹的弧。
- 求证：∠ BAC=∠ ADC。
- 证明：连接AO并延长交圆O于点E，连接EC。
- 因为CD是圆O的切线，所以∠ EAC +∠ BAC = 90^∘（切线的性质）。
- 又因为AE是直径，所以∠ ACE = 90^∘，在△ ACE中，∠ EAC+∠ E = 90^∘，所以∠ BAC=∠ E。
- 而∠ E和∠ ADC所对的弧都是widehat{AC}，根据同弧所对的圆周角相等，所以∠ E=∠ ADC，从而∠ BAC=∠ ADC。
3. 切割线定理- 结论：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
- 题目解析- 例如：已知圆O，点P是圆O外一点，PT是圆O的切线，切点为T，PAB是圆O的割线，A、B是割线与圆的交点。
- 求证：PT^2=PA· PB。
- 证明：连接TA、TB。
因为∠ PTA=∠ B（弦切角定理），∠ P=∠ P（公共角），所以△ PTAsim△ PBT（两角对应相等的两个三角形相似）。
人教版数学中考专题复习：圆的切线证明题专项训练
人教版数学中考专题复习：圆的切线证明题专项训练1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的∠O经过点D．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若∠C＝30°，且CD＝2．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A．D的∠O分别交AB，AC于点E，F．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若BE=8，sin B≈513，求∠O的半径；(3)求证：AD2=AB•AF．3．如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，点E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若2DE =，30BDE ∠=︒，求OC 的长．4．如图，∠O 的弦AB 、CD 交于点E ，点A 是CD 的中点，连接AC 、BC ，延长DC 到点P ，连接PB ．(1)若PB ＝PE ，判断PB 与∠O 的位置关系，并说明理由．(2)若AC 2＝2AE 2，求证：点E 是AB 的中点．5．如图，在Rt ABC 中，∠BAC =90°，以AD 为直径的∠O 与边BC 有公共点E ，且AB =BE ．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若BE=3，BC=7，求∠O的半径．⊥于点C，交O于点E，CD与BA的延长线交于点6．如图，AB为O直径，D为O上一点，BC CDF，BD平分ABC∠．(1)求证：CD是O的切线；BC=，求BD的长．(2)若3AB=，27．如图，四边形ABCD内接于∠O，AB是∠O的直径，点P为CA的延长线上一点，∠CAD＝45°．(1)若AB＝8，求图中阴影部分的面积；(2)若BC＝AD，AD＝AP，求证：PD是∠O的切线．8．如图，在∠ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE∠AC，垂足为E，∠O经过A，B，D三点．(1)证明：AB是∠O的直径(2)试判断DE与∠O的位置关系，并说明理由；(3)若DE的长为3，∠BAC＝60°，求∠O的半径．9．如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的∠O与AB边交于点D，连接DE．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)若CD＝3cm，5cm2DE ，求∠O直径的长．10．如图，点D在∠O的直径AB的延长线上，点C在∠O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．(1)求证：CD是∠O的切线；(2)若∠O的半径为2，求图中阴影部分的面积．11．如图，在∠ABC中，AB=AC，以AB为直径的∠O与BC相交于点D，DE∠AC于E．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)若∠O的半径为5，BC=16，求DE的长．12．如图，AB是∠O的直径，C、D是∠O上的点，BD平分∠ABC，DE∠BE，DE交BC的延长线于点E．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)如果CE＝1，AC＝∠O的半径r．13．如图，AB是O的直径，点C、G为圆上的两点，当点C是弧BG的中点时，CD垂直直线AG，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ．(1)求证：DC 与O 相切；(2)求证：PC PF =；(3)若1tan 3E =，BE =PF 的长．14．如图，∠O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 是∠O 的直径，BE ∠DC ，交DC 的延长线于点E ，CB 平分∠ACE ．(1)求证：BE 是∠O 的切线．(2)若AC ＝4，CE ＝1，求tan∠BAD ．15．如图，AB 为∠O 的直径，射线AD 交∠O 于点F ，C 为BF 的中点，过点C 作CE ∠AD ，连接AC ．(1)求证：CE是∠O的切线；(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．16．如图，∠O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与∠O交于点E，连接AE．(1)求证△ABC∠∠ADE；(2)求证：AD是∠O的切线．．以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DE∠AC于点17．已知：如图，在∠ABC中，AB ACE．(1)求证：DE与O相切；AB ，sin B，求线段AF的长．(2)延长DE交BA的延长线于点F，若618．如图，Rt∠ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE．(1)求证：DE是半圆∠O的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．19．如图，AB是∠O的直径，点E是劣弧AD上一点，∠PBD＝∠BED，且DEBE平分∠ABD，BE与AD交于点F．(1)求证：BP是∠O的切线；(2)若tan∠DBE EF的长；(3)延长DE，BA交于点C，若CA＝AO，求∠O的半径．20．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作∠O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH．设旋转角为α（0°＜α＜360°）．(1)当α＝90°时，求证：BH是∠O的切线；(2)当BH与∠O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；(3)当△AHB面积最小时，请直接写出此时点H到AB的距离．参考答案：1．(1)连接OD，∠AD是∠BAC的平分线，∠∠DAB＝∠DAO，∠OD＝OA，∠∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∠DO∠AB，而∠B＝90°，∠∠ODB＝90°，∠BC是∠O的切线；(2)连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，∠∠C＝30°，CD＝∠OD＝CD•tan30°＝3，∠∠DAB＝∠DAE＝30°，∠DE＝DF，∠∠DOE＝60°，∠∠DOF＝60°，∠∠FOA＝60°，∠∠OFD、△OF A是等边三角形，∠DF∠AC，∠S阴影＝S扇形DFO＝2603360π⨯⨯＝32π．2．(1)证明： 如图，连接OD ，∠OA =OD ，∠∠ODA =∠OAD ，∠AD 平分∠BAC ，∠∠OAD =∠CAD ，∠∠ODA =∠CAD∠OD AC ∥，∠∠C =90°，∠ ∠ODB =∠C =90°，又∠OD 是∠O 的半径，∠BC 是∠O 的切线；(2)解：90BDO ∠=︒，∴在Rt∠BDO 中，5sin 813OD OD OD B BO BE OD OD ====++， 解得5OD =，故∠O 的半径为5；(3)证明：如图：连接EF ，∠AE 是直径，∠90AFE ACB ∠=︒=∠，∠EF BC ∥，∠AEF B ∠=∠，又∠AEF ADF ∠=∠，∠B ADF ∠=∠，又∠OAD CAD ∠=∠，∠∠DAB ∠∠F AD ， ∠AD AF AB AD=， ∠2AD AB AF =⋅．3．(1)解：连接OD ，∠OD OB =，∠B ODB ∠=∠，又∠B CDA ∠=∠，∠ODB CDA ∠=∠，∠AB 是圆O 的直径，∠∠ADB =90°，∠90ODB ODA ∠+∠=︒，∠90CDA ODA ∠+∠=︒即90ODC ∠=︒， ∠CD 是O 的切线；(2)解：连接BE 、OE∠E 是BD 的中点，∠2BE DE ==，OE BD ⊥，260BOE BDE ∠=∠=︒， ∠OBE △是等边三角形，∠2OB BE ==，60BOE ∠=︒∠OB OD =，OE BD ⊥，∠60BOE DOE ∠=∠=︒，∠60DOC ∠=︒在Rt ODC ，60DOC ∠=︒，∠∠C =30°，∠24OC OD ==．4．(1)PB 与∠O 相切，理由是：连接OA 、OB ，OA 交CD 于F ，∠点A 是CD 的中点，∠OA ∠CD ，∠∠AFE ＝90°，∠∠OAE ＋∠AED ＝90°，∠OA＝OB，PB＝PE，∠∠OAE＝∠OBA，∠PEB＝∠PBE，∠∠AED＝∠PEB，∠∠OBA＋∠PBE＝90°，即∠OBP＝90°，∠OB∠PB，∠PB与∠O相切；(2)∠AC＝AD，∠∠ACE＝∠ABC，∠∠CAE＝∠BAC，∠∠ACE∠∠ABC，∠ACAE＝ABAC，∠AC2＝AE•AB，∠AC2＝2AE2，∠AE•AB＝2AE2，∠AB＝2AE，∠E为AB的中点．5．(1)证明：连接OB，OE，如图所示，在ABO和EBO△中，AB BE OA OE OB OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠()SSS ABO EBO △△≌， ∠90BEO BAO ∠=∠=︒，即OE BC ⊥,∠BC 是O 的切线；(2)解：∠3BE =，7BC =，∠3AB BE ==，4CE =，∠AC == ∠OE BC ⊥，∠222OE EC OC +=，即()2224OE OE +=，解得：OE = ∠O6．(1)连接OD ，如图，∠BD 平分ABC ∠，∠ABD DBC ∠=∠，∠OB OD =，∠OBD ODB ∠=∠∠DBC ODB ∠=∠，∠∥OD BC ，∠ODF C ∠=∠∠BC CD ⊥，∠90C ∠=︒，∠90ODF C ∠=∠=︒，即OD DC ⊥，∠CD 是O 的切线(2)连接AD ，如图，∠AB 为O 直径，∠90ADB ∠=︒∠90C ∠=︒，∠90ADB C ∠=∠=︒∠ABD DBC ∠=∠，∠ABD DBC △△∽ ∠BC BD BD AB =，即23BD BD =， ∠BD =∠BD ．7．(1)解：如图，连接OC ，OD ，∠∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，∠∠COD＝90°，∠AB＝8，∠OC＝12AB＝4，∠S扇形COD＝2904360π⨯⨯＝4π，S△OCD＝12×OC×OD＝12×4×4＝8，∠S阴影= S扇形COD- S△OCD =4π﹣8．(2)证明：∠BC＝AD，∠BC AD=，∠∠BOC＝∠AOD，∠∠COD＝90°，∠∠AOD＝45°，∠OA＝OD，∠∠ODA＝∠OAD，∠∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，∠∠ODA＝67.5°，∠AD＝AP，∠∠ADP＝∠APD，∠∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，∠∠ADP＝12∠CAD＝22.5°，∠∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，∠PD是∠O的切线．8．(1)解：如图所示，连接AD∠AB＝AC，BD＝DC，∠AD∠BC即∠ADB＝90°，∠AB是∠O的直径．(2)解：DE与∠O相切，理由如下：如图所示，连接OD，∠OB＝OA，BD＝DC，∠OD是∠ABC的中位线，∥．∠OD AC∠DE∠AC，∠DE∠OD即∠ODE＝90°，∠DE与∠O相切．(3)解：∠AB＝AC，AD∠BC，∠BAC＝60°，∠∠BAD＝∠DAE＝30°．∠DE∠AC，AD∠BD，∠AD＝2DE＝6，AB＝2BD．在∠ABD 中，222BD AD AB +=， ∠()22262BD BD +=，解得BD =∠2AB BD ==，∠∠O 的半径为9．(1)连接OD∠AC 为圆O 的直径 ∠∠ADC ＝90°∠OD ＝OC∠∠ODC ＝∠OCD在Rt ∠BCD 中，∠E 为BC 中点 ∠12DE BC CE == ∠∠EDC ＝∠ECD∠∠ODC ＋∠EDC ＝∠OCD ＋ECD ＝90° 即∠ODE ＝90°∠OD ∠DE∠DE 是圆O 的切线(2)在Rt∠BCD中，∠E为BC中点∠BC＝2DE＝5∠CD＝3∠BD=4∠AC为直径，∠∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°，又∠∠B＝∠B∠∠ABC∠∠CBD，∠AC BC CD BD=∠5 34 AC=∠154=AC cm10．(1)证明：如图，连接OC，∠CD＝AC，∠∠CAD＝∠D，又∠∠ACD＝120°，∠∠CAD＝∠D＝12（180°﹣∠ACD）＝30°，∠OC＝OA，∠∠A＝∠2＝30°，∠∠COD＝60°，又∠∠D＝30°，∠∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，∠OC∠CD∠OC是∠ O的半径∠CD是∠ O的切线；(2)解：∠∠A ＝30°，∠∠1＝2∠A ＝60°． ∠260223603OBC S ππ⨯==扇形 ，在Rt ∠OCD 中，tan 60CD OC ==•︒=∠11222Rt OCD S OC CD =⨯=⨯⨯=△．∠图中阴影部分的面积为23π．11．(1)证明：如图：连接OD ．∠AB =AC ，∠∠B =∠C ，又∠OD =OB ，∠∠ODB =∠OBD ．∠∠ODB =∠ACB ．∠OD AC ∥，∠DE ∠AC ．∠OD ∠DE ．∠OD 是圆的半径，∠DE 是∠O 的切线；(2)解：如图：连接AD ，∠AB为∠O的直径，∠∠ADB=90°，即AD∠BC，又∠AB=AC，BC=16，∠BD=CD=8，∠∠O的半径为5，∠AC=AB=10，∠6 AD=，∠S△ADC11••22AC DE CD AD ＝＝，∠10DE=8×6，∠DE=4.8．12．(1)解：连接OD，如下图所示：∠OB=OD，∠∠OBD=∠ODB，∠BD平分∠ABC，∠∠OBD=∠DBE，∠∠ODB=∠DBE，∠OD∥BE，∠DE∠BE于点E，∠∠E=90°，∠∠ODE=180°-∠E=180°-90°=90°，∠OD∠DE；∠DE是∠O的切线．(2)解：设OD交AC于点M，如下图：∠AB为∠O的直径，∠∠ACB=∠ACE=90°，由(1)知，∠ODE=90°，∠∠ACE=∠E=∠ODE=90°，∠四边形DECM为矩形，∠EC=DM=1，∠MO∥CB，O为AC的中点，∠MO为∠ABC的中位线，且∠AMO=∠ACB=90°，AC∠AM=MC=12设圆的半径为r，则MO=DO-DM=r-1，在Rt∠AMO中，由勾股定理可知：AO²=AM²+MO²，代入数据：222=+-，r r(1)解出：4r=，故圆∠O的半径为4．13．(1)解：（1）CD AD ⊥，90D ∴∠=︒，∠∠DAC +∠DCA =90°，点c 是弧BG 的中点，∠CG BC =DAC BAC ∴∠=∠，OA OC =，OCA BAC ∴∠=∠，OCA DAC ∠=∠∴，//∴AD OC ，∠∠D =∠OCP =90°， OC 是圆O 的半径，DC ∴与O 相切，(2) AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90PCB ACD ∴∠+∠=︒，由（1）得：90DAC DCA ∠+∠=︒，PCB DAC ∴∠=∠，DAC BAC ∠=∠，PCB BAC ∴∠=∠， CE 平分ACB ∠，ACF BCF ∴∠=∠，∠∠PFC =∠BAC +∠ACF ，∠PCF =∠PCB +∠BCF ，PFC PCF ∴∠=∠，PC PF ∴=；(3)连接AE ，CE 平分ACB ∠，∴AE BE =，AE BE ∴=， AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，AEB ∴∆为等腰直角三角形，∠AB ，∠OB =OC ∠1tan 3E = ∠1tan 3BC CAB AC ==∠， ∠∠PCB =∠BAC ，∠P =∠P ，∠△PCB ∠△P AC ， ∠13BC PB AC PC ==， ∴设PB x =，3=PC x ，在Rt OCP ∆中，222OC PC OP +=，∠222(3))x x +=，∠x =x =0(舍去)，∠PC∠PF 14．(1)证明：如图，连接OB，∠CB平分∠ACE．∠∠ACB＝∠ECB，∠OB＝OC，∠∠BCO＝∠CBO，∠∠BCE＝∠CBO，∠OB∠ED．∠BE∠ED，∠EB∠BO．∠BE是∠O的切线；(2)解：∠AC是∠O的直径，∠∠ABC＝90°，∠BE∠ED，∠∠E＝90°，∠∠E＝∠ABC，∠∠BCE＝∠ACB，∠∠BCE∠∠ACB，∠BC CE AC BC=，∠AC＝4，CE＝1，∠2BC==，∠BE，∠∠BCD+∠BAD＝∠BCD+∠BCE＝180°，∠∠BCE＝∠BAD，∠tan tan BE BAD BCE CE∠=∠== 15．(1) 解：（1）连接BF ，OC ，∠AB 是∠O 的直径，∠∠AFB ＝90°，即BF ∠AD ，∠CE ∠AD ，∠BF ∠CE ，∠点C 为劣弧BF 的中点，∠OC ∠BF ，又BF ∠CE ，∠OC ∠CE ，∠OC 是∠O 的半径，∠CE 是∠O 的切线；(2)解：连接OF ，CF ，∠OA ＝OC ，∴∠OCA =∠BAC ＝30°，∠∠BOC ＝60°，∠点C 为劣弧BF 的中点，∠FC BC =，∠∠FOC ＝∠BOC ＝60°，∠OF ＝OC ，∴△FOC为等边三角形，∠∠OCF＝∠COB=60°，∠CF∠AB，∠S△ACF＝S△OCF，∠阴影部分的面积等于S扇形COF，∠AB＝4，∠FO＝OC＝OB＝2，∠S扇形FOC＝260223603ππ⋅⨯=，即阴影部分的面积为23π．16．(1)解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠B＝∠D．∠四边形ABCE为∠O的内接四边形，∠∠B+∠AEC＝180°．∠∠AED+∠AEC＝180°．∠∠B＝∠AED．∠AB＝AC，∠AB＝∠ACB∠∠ACB＝∠AED．∠∠ABC∠∠ADE．(2)解：如图，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．∠AB＝AC，OB＝OC，∠AM垂直平分BC．∠∠AMC＝90°．∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∠BC．∠∠DAO＝90°．∠点A在∠O上，∠AD是∠O的切线．17．(1)证明：连接OD，∠AB=AC，∠=∠，∠B C=，又∠OB OD∠1∠=∠，B∠C1∠=∠，∥，∠OD AC∠DE∠AC于E，∠DE∠OD，∠OD是O的半径，∠DE与O相切；(2)解：如图：连接AD，∠AB为O的直径，∠∠ADB=90°，∠AB =6，sin B∠sin AD AB B =⋅ ∠123290∠+∠=∠+∠=︒， ∠13∠=∠，∠3B ∠=∠，在∠AED 中，∠AED =90°，∠sin 3AE AD ∠==∠65AE AD ===. 又∠OD AE ∥， ∠∠FAE ∠∠FOD ， ∠FA AE FO OD=， ∠6AB =，∠3OD AO ==， ∠235FA FA =+， ∠2AF =．18．(1)连接OD ，BD ，如图，AB 是直径，90ADB ∴∠=︒， 90BDC ∴∠=︒，E 是BC 的中点，12DE BE EC BC ∴=== EBD EDB ∠∠∴=，OB OD =OBD ODB ∠∠∴=OBD EBD ODB EDB ∠∠∠∠∴+=+即90ODE ABC ∠=∠=︒OD DE ∴⊥ OD 是半径，∴DE 是半圆∠O 的切线．(2)2DE =24BC ED ∴==30BAC ∠=︒28AC BC ∴==AB ∴==12BD AB ∴==6AD ∴=．19．(1) 证明：∠AB 是∠O 的直径，∠∠ADB ＝90︒，∠∠DAB +∠ABD ＝90︒，∠∠BED ＝∠DAB ，∠PBD ＝∠BED ，∠∠DAB ＝∠PBD ，∠∠PBD +∠ABD ＝90︒，∠∠ABP ＝90︒，∠AB ∠PB ，∠BP 是∠O 的切线；(2)解：连接AE ，∠AB 是直径∠∠AEB ＝90︒，∠BE 平分∠ABD ，∠∠ABE ＝∠DBE ，∠AE DE =，∠AE ＝DE∠∠ABE ＝∠DBE ＝∠DAE ，∠tan tan tan EF DBE ABE DAE EA ∠∠∠==＝＝，∠EF (3)解：连接OE ，∠OE =OB ，∠∠ABE =∠OEB ，∠∠ABE =∠DBE ，∠∠DBE =∠OEB ，∠//OE BD ∠CE OC DE OB=， ∠CA =AO ，设CA =AO =BO =R ， ∠22CE R DE R==，2=， ∠CE∠DC = CE +DE∠∠ADC =∠ABE ，∠C =∠C ，∠CAD CEB △∽△， ∠CD AC CB CE=，= ∠R，∠∠O20．(1)证明：∠α＝90°，∠AOB ＝90°，∠∠AOP ＝∠BOH ，在∠AOP 和∠BOH 中，OA OB AOP BOH OP OH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AOP ∠∠BOH （SAS ），∠∠OP A＝∠OHB，∠AP是∠O的切线，∠∠OP A＝90°，∠OHB＝90°，即OH∠BH于点H，∠BH是∠O的切线；(2)如图，过点B作∠O的切线BC，BD，切点分别为C，D，连接OC，OD，则有OC∠BC，OD∠BD，∠OC＝2，OB＝4，∠cos2142OCBOCOB===∠∠∠BOC＝60°，同理∠BOD＝60°，当点H与点C重合时，由（1）知：α＝90°，∠∠OHB＝90°．∠圆弧PH的长为902180ππ⨯=；当点H与点D重合时，α＝∠POC+∠BOC+∠BOD＝90°+2×60°＝210°，∠圆弧PH的长为21027 1803ππ⨯=，∠当BH与∠O相切时，旋转角α＝90°或210°，点H运动路径的长为π或73π；(3)设h表示点H到直线AB的距离，作ON∠AB于点N，H在圆O上，在Rt∠ONB中，∠OBN＝45°，OB＝4，∠ON＝4cos45°＝∠h的最小值为＝ON﹣r＝2∠当∠AHB面积最小时，点H到AB的距离为2。
圆的切线证明 中考数学专项训练(含答案解析)
圆的切线证明(1)求证：CD 为O 切线；(2)若1CD =，5AC =，求PB (1)求证：CD 是O 的切线；(2)若16ABCD S =正方形，求CE3．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F 连接OF 交AD 于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若60OFA ∠=︒，半径为4，在圆O 上取点P ，使15PDE ∠=︒，求点P 到直线DE 的距离．4．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足是点H ，过点C 作直线分别与AB ，AD 的延长线交于点E ，F ，且2ECD BAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)如果20AB =，12CD =，求AE 的长．5．如图，O 是ABC 的外接圆，O 点在BC 边上，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线，与AB 的延长线相交于点P ．(1)求证：PD 是O 的切线；(2)若3AB =，4AC =，求线段BD 的长．6．如图，已知以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O ，与斜边AC 交于点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若AD ，AB 的长是方程210240x x -+=的两个根，求直角边BC 的长．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求图中阴影部分的面积．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2AB =，30C ∠=︒，求9．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，BAC DAC ∠=∠，过点C 作直线EF AD ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接BC ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若30CAO ∠=︒，2BC =，求CE 的长．10．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得ACQ ABC ∠=∠．(1)求证：直线PQ 是O 的切线．(2)过点A 作AD PQ ⊥于点D ，交O 于点E ，若O 的半径为2，30DAC ∠=︒，求图中阴影部分的面积．11．如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线；(2)若6AB =，求阴影部分的面积12．如图，AB 是ABC 外接圆O 的直径，PA 是O 的切线，BD OP ∥，点D 在O 上．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若ABC 的边6cm AC =，8cm BC =，I 是ABC 的内心，求IO 的长度．13．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，点D 是O 上一点，OD AB ⊥，连接CD 交AB 于点E ，F 是AB 延长线上的一点，且CF EF =．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若8CF =，4BF =，求弧BD 的长度．14．如图所示，在Rt ABC △中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，分别与BC 、AB 相交于点D 、E ，连接AD ，已知CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若23AD CD ==时，求阴影部分的面积．(1)求证：PA是O(2)若tan CAD∠=(3)延长CD，AB交于点(1)求证：DE BG=；(2)求证：BF是O的切线；(3)若23DEEG=时，AE(1)当60A ∠=︒，2AD =时，求(2)求证：DF 是O 的切线．(1)求证：DF 是O (2)若 BE DE =，tan(1)求证：直线AB 为O 的切线；(2)若4tan 3A =，O 的半径为2，求AB (1)求证：BF 是O 的切线；(2)若6EF =，cos ABC ∠①求BF 的长；②求O 的半径．参考答案：∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵OC OA =，∴OCA OAC ∠=∠，∵的平分线AC 交O 于∵AB 为O 直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ADC ACB ∠=∠=︒，∵DAC OAC ∠=∠，∴，【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．3．(1)见解析(2)232-或423-【分析】（1）连接OD ，可得（2）①过点P 作PN DE ⊥交交于H ，可求60EOD ∠=︒，即可求解；②连接OD ，OP 60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，可证求解．【详解】（1）解：如图，连接∴OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，， ∠=︒PDE15=，PE PE ∴∠=︒POE30，OA OF∠=︒60OFA=，∴∠=︒，OAF60∠的平分线， AD是BAC同理可求60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，1302DOL EOD ∴∠=∠=︒，30DOP EOD POE ∠=∠-∠=︒，DOP DOL ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，AO OB =，AB CD ⊥ ，AB ∴平分弦CD ，AB 平分 CD，CH HD ∴=， CBDB =，90CHA CHE ∠=︒=∠，BAD BAC DCB ∴∠=∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴BDC 为直角三角形，∵E 为BC 边上的中点，∴ED EB =，∴12∠=∠，∵OB OD =，3=4∠∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设OB OD r ==，∴ABC ODB ∠=∠，∵AB AC =，23CD =，C ∠=∴23BD CD ==，30B C ∠=∠=∴1803030120BOD ∠=︒-︒-︒=︒OF BD ⊥==OB OD AB AC,∴∠=∠，B CB ODB∠=∠∴∠=∠．ODB C∴∥．OD AC，=OA OC∴∠=∠，OAC OCAQ，∠=∠DAC BAC∴∠=∠，DAC OCA∥，∴AD OC，EF AD⊥∴⊥，而OC为半径，EF OC的切线；∴是OEF的直径，（2）解：AB为O（1）根据题意连接OC ，可知90ACB ∠=︒，可知AOC 是等腰三角形，OAC OCA ∠=∠，继而可证90OCD ∠=︒；（2）连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，根据题意可知60EAO ∠=︒即可得知AEO △为等边三角形，再求出扇形AOE 面积减去AEO △的面积即为阴影面积．【详解】（1）解：连接OC ，，∵OA OC =，AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒，∴AOC 是等腰三角形，∴OAC OCA ∠=∠，∵ACQ ABC ∠=∠，∴90ACQ OCA ∠+∠=︒，∴OC PQ ⊥，∴直线PQ 是O 的切线；（2）解：连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，，∵AD PQ ⊥，ACQ ABC ∠=∠，∴30DAC CAB ∠=∠=︒，∴60EAO ∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∵BD OP ∥，∴OP AD ⊥，OP 是AD 的垂直平分线，∴PD PA =，则IU IV IQ ==，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵6cm AC =，8cm BC =，∴226810AB =+=，5OB OA ==(2)3π．【分析】本题考查了切线的判定，求弧长；（1）如图，连接OC ，OD ．证明90OCF ∠=︒即可；（2）设O 的半径为r ，在Rt COF △中，勾股定理可得6r =，再根据弧长公式可解决问题．【详解】（1）证明：连接OCCF EF= CEF ECF∴∠=∠OD AB⊥ 90DOE ∴∠=︒，90ODE OED ∴∠+∠=︒，OD OC = ，ODE OCD ∴∠=∠，CEF OED ∠=∠ ，OED ECF ∴∠=∠，90OCD ECF ∴∠+∠=︒，即90OCF ∠=︒，OC CF ∴⊥，CF ∴是O 的切线．（2）设O 的半径为r ，∵4BF =，∴4OF r =+，在Rt OCF 中，90,∠=︒ACB∴∠+∠CAD ADC=,OB OD∴∠=∠,B ODB则sin 30OH OD =⋅ODB S S S ∴=-阴影扇形∴CAD BAD ∠=∠，∴5CD BD ==，∵AB 为直径，点∴90ADB ∠=︒，∵2DOB DAB ∠=∠=∠又∵DFO CFA ∠=∠，∴DOF CAF ∽，又∵OB BF OA ==，∴23DF FO FC FA ==，∴90EHB BGF ∠=∠=︒，∵点C 为劣弧BD 中点，∴ CDBC =，∴DAC BAC DBC ∠=∠=∠∵AD 是O 的直径，∴90AED ∠=︒，∵60A ∠=︒，2AD =∴30ADE ∠=︒，则12AE =∴2222DE AD AE =-=∵AD 是直径，∴90AED ∠=︒，∴1809090DEB ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 为菱形，∴DBE DBF ∠=∠，AD ∥∵BE BF =，DB DB =，∴()SAS DBE DBF ≌，∴90DFB DEB ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴90ADF DFB ∠=∠=︒，∴AD DF ⊥，∵AD 为直径，∴DF 是O 的切线．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．18．(1)见解析(2)52AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90BDC ∴∠=︒，90BDF CDF ∠∠∴+=︒，OB OD = ，OBD ODB ∴∠=∠，CDF ABD ∠∠= ，ODB CDF ∠∠∴=，90ODB BDF ∴∠+∠=︒，90ODF ∴∠=︒，DF OD ∴⊥，OD 是O 的半径，DF ∴是O 的切线；（2）如图，连接AE ，∵ BEDE =，BAE CAE ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，90AEC ∴∠=︒，AEB AEC ∴∠=∠，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠．设OCD ODC α∠=∠=，∴22A BCD α∠=∠=．∵90ACB ∠=︒，。
圆的切线证明方法专题(巩固篇)(专项练习)
专题2.10 圆的切线证明方法专题（巩固篇）（专项练习）一、解答题1．如图，AD ，BD 是O 的弦，AD BD ⊥，且28BD AD ==，点C 是BD 的延长线上的一点，2CD =，求证：AC 是O 的切线．2．如图，四边形OAEC 是平行四边形，以O 为圆心，OC 为半径的圆交CE 于D ，延长CO 交O 于B ，连接AD 、AB ，AB 是O 的切线． (1) 求证：AD 是O 的切线． (2) 若O 的半径为4，8AB =，求平行四边形OAEC 的面积．3．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，,AB CD ⊥连接,.AC OD(1) 求证：2;BOD A ∠=∠(2) 连接DB ,过点C 作,CE DB ⊥交DB 的延长线于点E ，延长,DO 交AC 于点F ，若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为O 的切线．4．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．(1) 求证：EF是⊙O的切线；(2) 若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．5．如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC(1) 求证：DE是⊙O的切线：(2) 若CE=2，DE=4，求⊙O的半径．6．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．(1) 求证：CD是⊙O的切线；(2) 若AC=8，CD=12，求半径的长度．7．如图，以AB为直径作O，在O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，⊥交DC的延长线于点E．∠=∠，过点A作AE ADDCB DAC(1) 求证：CD是O的切线；(2) 若4CD=，2DB=，求AE的长．8．如图，AB是O的直径，过点A作O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD//OP，交O于点D，连接PD．(1) 求证：PD是O的切线；(2) 当APO的度数为______时，四边形POBD是平行四边形．9．如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，过点D作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E．连接DA、DB．(1) 求证：DE是⊙O的切线；(2) 延长ED交AB的延长线于F，若AD＝DF，DEO的半径．10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC延长线于点E，若BC平分∠ACE．(1) 求证：BE是⊙O的切线；(2) 若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．11．如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．(1) 求证：AE是⊙O的切线；(2) 连接AC交⊙O于点P，若AP=BF＝1，求⊙O的半径．12．如图，在ABC中，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点E，且BD CD=，过点D作O的切线交AC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G，交O于点H．⊥；(1) 求证：DF ACOG=，求AE的长．(2) 若1⊥，垂足为点E，交O于点13．如图，AB为O的切线，B为切点，过点B作BC OAC，延长CO与AB的延长线交于点D．(1) 求证：AC为O的切线；(2) 若2OC=，5OD=，求线段AD的长．14．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．(1)求证：AC为⊙O的切线；(2)若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．(1) 如图1，求证：AD是⊙O的切线；(2) 如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG＝BG；②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．16．如图，AB是⊙O的直径，D在AB上，C为⊙O上一点，AD＝AC，CD的延长线交⊙O于点E．(1)点F在CD延长线上，BC＝BF，求证：BF是⊙O的切线；(2)若AB＝2，CE CAE的度数．17．如图，ABC中，2∠<∠，CO平分ACBACB B∠交AB于O点，以OA为半径的圆O∠=∠．与AC相切于点A，D为AC上一点且ODA B(1) 求证：BC所在直线与圆O相切；(2) 若1CD=，2AD=，求圆O的半径．18．如图，P A为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与P A的延长线交于点D．(1) 求证：PB为⊙O的切线；(2) 若OB＝3，OD＝5，求PB和AB的长．19．如图所示，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，其中∠BAC ＝90°，过点A 作直线AD 交CB 的延长线于D ，且∠BAD ＝∠C ．(1) 求证：AD 为⊙O 的切线；(2) ①F 为OB 中点，OE ⊥AC 于E ，连接OA 、EF 交于G 点，探究EG 与GF 的关系并说明理由；② 延长AO 交⊙O 于H ，连接FH ，若EF ＝FH ，则∠ACB ＝______度．20．如图，半圆O 的直径是AB ，AD 、BC 是两条切线，切点分别为A 、B ，CO 平分BCD ∠．(1) 求证：CD 是半圈O 的切线．(2) 若20AD =，50CD =，求BC 和AB 的长．21．如图，PB切⊙O于点B，连接PO并延长交⊙O于点E，过点B作BA⊥PE交⊙O于点A，连接AP，AE．(1) 求证：P A是⊙O的切线；(2) 如果AB＝DE，OD＝3，求⊙O的半径．⊥，垂足为点E，交O于点22．如图，AB为O的切线，B为切点，过点B作BC OAC，延长CO与AB的延长线交于点D．(1)求证：AC为O的切线；(2)若2OC=，5OD=，求线段AD和AC的长．23．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，P 为AB 延长线上一点，∠BCP ＝∠BAC ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，交AB 于点E ，(1) 求证：PC 是⊙O 的切线；(2) 若AC ＋BC ＝2时，求CD 的长．24．如图，点O 是矩形ABCD 中AB 边上的一点，以O 为圆心，OB 为半径作圆，O 交CD 边于点E ，且恰好过点D ，连接BD ，过点E 作EF ∥BD ，(1) 若120BOD ∠=︒，① 求CEF ∠的度数；② 求证：EF 是O 的切线．(2) 若2CF =，3FB =，求OD 的长．25．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，90CAB ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作A ，交BC 边于点E ，交AC 于点F ，连接DE ．(1) 求证：DE与A相切；AB=，求EF的长．(2) 若30∠=︒，6ADE26．如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．(1) 求证：CF是⊙O的切线；(2) 求证：∠ACD＝∠F；(3) 若AB＝10，BC＝6，求AD的长．27．已知：四边形ABCD是O的内接四边形，AC是直径，点D是AC的中点，过点D DE AC交BA的延长线于点E，四边形ABCD的面积为25作∥(1) 求证：DE是O的切线；(2) 求BD的长．28．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，以AD 为直径的O 交BC 于点E ，过点C 作CG AB ⊥交AB 于点G ，交AE 于点F ，过点E 作EP AB ⊥交AB 于点P ，EAD DEB ∠=∠．(1) 求证：BC 是O 的切线；(2) 求证：CE EP =；(3) 若12CG =，13AC =，求四边形CFPE 的面积．参考答案1．证明见分析．【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可．证明：连接AB ，∵AD BD ⊥，且28BD AD ==∴AB 为直径，AB 2=82+42=80，∵CD =2，AD =4∴AC 2=22+42=20∵CD =2，BD =8,∴BC 2=102=100∴222AC AB CB +=，∴90BAC ∠=︒∴AC 是O 的切线．【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形．2．(1)见分析(2)32【分析】（1）连接OD ，证明AOB AOD △≌△，可得OBA ODA ∠∠=，根据切线的性质可得90OBA ∠=︒，进而可得90ODA =∠°，即可证明AD 是O 的切线；（2）根据平行四边形OAEC 2倍ADO S △即可求解．(1)证明：连接OD ．∵四边形OAEC 是平行四边形，∴AO CE ∥，,AOD ODC AOB OCD ∠∠∠∠∴==OD OC =ODC OCD ∴∠=∠AOB AOD ∴∠=∠又∵,AO AO OD OB ==，AOB AOD ∴△≌△∴OBA ODA ∠∠=，∵AB 与O 相切于点B ，OB AB ∴⊥90OBA ∴∠=︒∴90ODA =∠°，OD AD ∴⊥又∵OD 是O 的半径，∴AD 为O 的切线．(2)∵AOB AOD ≅△△8AB AD ∴==在Rt △AOD 中，84AD OD ==，∴平行四边形OABC 的面积是28432ADO S =⨯=△【点拨】本题考查了切线的性质与判定，平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．3．(1)答案见分析(2)答案见分析【分析】（1）设AB 交CD 于点H ，连接OC ，证明Rt COH Rt DOH ∆≅∆ ，故可得COH DOH ∠=∠ ，于是BC BD = ，即可得到2BOD A ∠=∠；（2）连接，解出60COB ∠=︒，根据AB 为直径得到90ADB ∠=︒，进而得到60ABD ∠=︒，即可证明//OC DB ，故可证明直线CE 为O 的切线．（1）证明：设AB 交CD 于点H ，连接OC ，由题可知，OC OD ∴=，90OHC OHD ∠=∠=︒，OH OH =，()Rt COH Rt DOH HL ∴∆≅∆，COH DOH ∴∠=∠，BC BD ∴=，COB BOD ∴∠=∠，2COB A ∠=∠，2BOD A ∴∠=∠；（2）证明：连接AD ，OA OD =，OAD ODA ∠=∠∴，同理可得：OAC OCA ∠=∠,OCD ODC ∠=∠，∵点H 是CD 的中点，点F 是AC 的中点，OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠，180OAD ODA OAC OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，30OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，223060COB CAO ∴∠=∠=⨯︒=︒， AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90903060ABD DAO ∴∠=-∠=︒-︒=︒，60ABD COB ∴∠=∠=︒，//OC DE ∴，CE BE ⊥，CE OC ∴⊥，∴直线CE 为O 的切线．【点拨】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．4．(1)见分析(2)⊙O半径为13 4【分析】(1)连接OE，利用等腰三角形的性质，证明OE// AC即可解答；(2)过点O作OG⊥AD，垂足为G，易证四边形OEFG是矩形，从而得出OG = EF= 3，设⊙O的半径为x，然后利用垂径定理表示出AG，最后在Rt∆OAG利用勾股定理列出关于x 的方程进行计算即可解答．(1)证明：连接OE，∵EF⊥AC，∴∠EFD=∠EFC=90°∵AB= AC，∴∠B=∠C，∵OB= OE，∴∠B=∠OEB，∴∠OEB=∠C，∴OE// AC，∴∠OEF=∠EFC = 90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；(2)过点O作OG⊥AD，垂足为G，∴∠OGF = 90°∵∠OEF=∠EFG=90°∴四边形OEFG是矩形，∴OG= EF= 3，设⊙O的半径为x，∴AB=AC=2x，∵CD= 4，∴AD= AC-CD= 2x- 4，∵OG⊥AD，∴AG=12AD=x-2，在Rt△OAG中，AG2 +OG2 =OA2 (x-2)2+9=x2x=13 4⊙O的半径为134．【点拨】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．(1)见分析(2)5【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OD∥BE，再根据垂线和平行线的性质得出OD⊥DE，进而得出DE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理和垂径定理得出AF=FC=DE=4，在Rt△OAF中，由勾股定理列方程求解即可．(1)解：如图，连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，又∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，∴∠ODB=∠DBC，∵DE ⊥BE ，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线；(2)如图，连接AC ，交OD 于F ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，又∵∠FDE =90°，∠DEC =90°，∴四边形FDEC 是矩形，∴DF =CE =2，FC =DE =4．由垂径定理可知4AF CF ==设⊙O 的半径为r ，在Rt △OAF 中，由勾股定理得，222OF AF OA +=即（r -2）2+42=r 2，解得r =5．即半径为5．【点拨】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，掌握圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的关键．6．(1)答案见分析(2)5【分析】（1）连接OD ，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠DAB +∠DBA ＝90°，再由∠CDA ＝∠CBD 可得∠CDA +∠DAO ＝90°，然后利用OD ＝OA 证出∠DAB ＝∠ADO ，从而得∠CDO ＝90°，根据切线的判定即可得出；（2）在Rt △CDO 中利用勾股定理列出关于r 的方程即可解答．(1)证明：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB +∠DBA ＝90°，∵∠CDA ＝∠CBD ，∴∠DAB +∠CDA ＝90°，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，∴122+r2＝（8+r）2，∴r＝5，∴半径的长度为5．【点拨】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．7．(1)见分析(2)AE＝6【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，求得∠ACO＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）根据勾股定理求出OB＝3，可得AB＝6，AD＝8，根据切线长定理得到AE＝CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到结论．（1）证明：连接OC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAD，又∵∠DCB＝∠CAD，∴∠ACO＝∠DCB，∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2＋CD2＝OD2∴OB2＋42＝（OB＋2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，AD＝8，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线，∵CD是⊙O的切线，∴AE＝CE，∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，∴82＋AE2＝（4＋AE）2，∴AE＝6．【点拨】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．8．(1)见分析(2)45°【分析】（1）连接OD，根据切线的性质求出∠P AO=90°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠DOP=∠AOP，根据全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP（SAS），根据全等三角形的性质得出∠PDO=∠P AO=90°，再根据切线的判定得出即可；（2）根据全等得出P A=PD，根据平行四边形的性质得出PD=OB，求出P A=OA，再求出答案即可．（1）解：证明：连接OD，∵P A切⊙O于A，∴P A⊥AB，即∠P AO=90°，∵OP∥BD，∴∠DBO=∠AOP，∠BDO=∠DOP，∵OD=OB，∴∠BDO =∠DBO ，∴∠DOP =∠AOP ，在△AOP 和△DOP 中，AO DO AOP DOP PO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOP ≌△DOP （SAS ），∴∠PDO =∠P AO ，∵∠P AO =90°，∴∠PDO =90°，即OD ⊥PD ，∵OD 过O ，∴PD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知：△AOP ≌△DOP ，∴PA=PD ，∵四边形POBD 是平行四边形，∴PD=OB ，∵OB=OA ，∴PA=OA ，∴∠APO=∠AOP ，∵∠PAO=90°，∴∠APO=∠AOP=45°．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键．9．(1)详见分析(2)2【分析】（1）连接OD ，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得出OD ⊥DE ，则可得出结论； （2）由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出∠EAD ＝∠F ＝∠DAB ＝30°，则得出答案．（1）证明：连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥DE，∴DE为半圆O的切线；（2）解：∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DF A，又∵∠EAD＝∠DAF，∴∠EAD＝∠DAF＝∠DF A，∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴∠EAD＝∠F＝∠DAB＝30°，∴AD＝2DE＝∴BD2AD==，∴AB＝2BD＝4，∴⊙O的半径为2．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10．(1)见分析(2)r=【分析】(1）连接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；(2）根据圆周角定理得到∠ABC=∠D=90°，构造矩形BEDF，根据矩形性质、垂径定理、勾股定理即可得到结论．(1)证明：∵AC 是⊙O 直径，∴90ADC ∠=︒∵BE AD ∥，∴1801809090BED D ∠=︒-∠=︒-︒=︒连接OB ，∵OC OB =，∴13∠=∠又∵BC 平分ACE ∠，∴12∠=∠，∴23∠∠=∴OB DE ∥，∴18090OBE DEB ∠=︒-∠=︒又∵OB 为半径，∴BE 为⊙O 切线(2)延长BO 交AD 于点F ，∵90D DEB FBE ∠=∠=∠=︒∴四边形FBED 为矩形，∴90DFB ∠=︒，即OF ⊥AD ，∵OF 过圆心，3DF BE ==， ∴11×6=322DF AF AD ===Rt ADC中，AC ==r =【点拨】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，熟知这些基本知识点正确添加辅助线是解题的关键．11．(1)见分析(2)32【分析】（1）如图所示，连接AF ，先证明∠AFB =90°，然后证明△AED ≌△AFB 得到∠DAE =∠BAF ，即可证明∠BAE =90°，从而证明结论；（2）如图所示，连接BP ，根据三线合一定理求出2AC AP ==O 的半径为r ，则2AB BC r ==，21CF BC BF r =-=-，根据勾股定理可得(()2222141r r --=-，由此即可求解．(1)解：如图所示，连接AF ，∵AB 是圆O 的直径，∴∠AFB =90°，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =AB =CD =BC ，∠B =∠D ，AD BC ∥，∴∠DAF =∠AFB =90°，∵CE =CF ，∴CD -CE =BC -CF ，即DE =BF ，∴△AED ≌△AFB （SAS ），∴∠DAE =∠BAF ，∴∠DAE +∠EAF =90°=∠BAF +∠EAF ，∴∠BAE =90°，又∵AB 是圆O 的直径，∴AE 是圆O 的切线；(2)解：如图所示，连接BP ，∵AB 是圆O 的直径，∴∠APB =90°，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =CB ，∴2AC AP ==设圆O 的半径为r ，则2AB BC r ==，∴21CF BC BF r =-=-，在Rt △ACF 中，222AF AC CF =-，在Rt △ABF 中，222AF AB BF =-，∴(()2222141r r --=-， 解得32r =或1r =-（舍去）， ∴圆O 的半径为32．【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理,解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键．12．(1)证明见分析(2)2AE =【分析】（1）根据切线，得到90ODF ∠=︒；连接OD ，通过证OD 是ABC 的中位线，证OD AC ∥，进而得到90CFD ODF ∠=∠=︒，即可证明；（2）连接DE ，分别证AC = AB =2OB ，CD =DE ，得到CF =BG ，CF =EF ，再利用222AE AC CF EF OB BG OG =--=-=，即可求解．(1)证明：∵过点D 作O 的切线交AC 于点F ，∴90ODF ∠=︒，连接OD ，∵BD CD =，OA =OB ，∴OD 是ABC 的中位线，∴OD AC ∥，∴90CFD ODF ∠=∠=︒，∴DF AC ⊥．(2)解：设圆与AC 相交于点E ，连接DE ，由（1）可知，OD AC ∥，∴ODB C ∠=∠，∵OD =OB ，∴ODB ABC ∠=∠，∴C ABC ∠=∠，∴AC = AB =2OB ，∵在Rt CFD △和Rt BGD 中，90DFC DGB C ABCCD BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()Rt CFD Rt BGD AAS ≌，∴CF =BG ，又∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴180AED ABC ∠+∠=︒，又∵180AED CED ∠+∠=︒，∴ABC CED ∠=∠，∴C CED ∠=∠，∴CD =DE ，又∵DF AC ⊥，∴CF =EF ，∴22AE AC CF EF OB BG =--=-，即()222AE OB BG OG =-==．【点拨】本题考查圆、全等三角形和等腰三角形的相关知识．包括圆的切线，圆内接四边形；以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强．熟练掌握圆、全等三角形和等腰三角形的判定和性质是本题解题的关键．13．(1)见分析；【分析】（1）连接OB ，证明△CAO ≌△BAO （SSS ），由全等三角形的性质得出∠OCA ＝∠OBA ．由切线的性质得出∠ABO ＝90°，则∠OCA ＝90°，可得出结论；（2）由勾股定理求出BD 的长，设AC ＝x ，则AC ＝AB ＝x，得出方程(2227x x +=，解方程可得x ，进一步得出答案． (1)证明：如图，连接OB ，∵OC OB =，∴ △OBC 是等腰三角形，∵OA BC ⊥，∴EC BE =，∴OA 是CB 的垂直平分线，∴AC AB =，在△CAO 和△BAO 中AC AB AO AO CO BO =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴CAO BAO ≌（SSS ），∴OCA OBA ∠=∠，∵AB 为O 的切线，∴OB ⊥AB ,∴90OBA ∠=︒，∴90OCA ∠=︒，∴AC OC ⊥，∵OC 是O 的半径，∴AC 为O 的切线；(2)解：∵2OC =，5OD =，∴2OB =，7CD OC OD =+=，∵90OBD ∠=︒，∴BD设AC x =，则AC AB x ==，∵222AC CD AD +=，∴(2227x x +=，∴x =（负根已舍去），∴3 AC=∴AD AB BD AC BD=+=+==【点拨】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明△CAO≌△BAO是解题的关键．14．(1)证明见分析【分析】（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程(2227x x+=，解方程可得出答案．(1)证明：连接OB，则OC＝OB，如图所示：∵OA⊥BC，∴EC＝BE，∴OA是CB的垂直平分线，∴AC＝AB，∵在△CAO和△BAO中AO AOAC ABOC OB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△CAO≌△BAO（SSS），∴∠OCA＝∠OBA．∵AB为⊙O的切线，B为切点，∴∠ABO＝90°，∴∠OCA＝90°，即AC⊥OC，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵OC ＝2，OD ＝5，∴OB ＝2，CD ＝OC +OD ＝7，∵∠OBD ＝90°，∴BD=设AC ＝x ，则AC ＝AB ＝x ，∵CD 2+AC 2＝AD 2，∴(2227x x +=，解得x =∴AC =∴AD ＝AB +BD ＝AC +BD =【点拨】本题主要考查了切线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．15．(1)AD 是OO 的切线(2)①AG BG =；②54FG =【分析】（1)连接OA ，OB ，OC ，由AC =AB ，OA =OA ，OC =OB 可证出ΔOAC ≌ΔOAB (SSS ),利用全等三角形的性质可得出∠OAC =∠OAB ,即AO 平分∠BAC ，利用垂径定理可得出AO ⊥BC ,结合AD //BC 可得出AD ⊥AO ，由此即可证出AD 是OO 的切线；（2)①连接AE ，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE =90°可得出∠BAE =90°，由同角的余角相等可得出∠BAG =∠AEB ，结合∠ABC =∠ACB =∠AEB 可得出∠BAG =∠ABC ，再利用等角对等腰可证出AG =BG ；②由∠ADC =∠AFB =90°，∠ACD =∠ABF ，AC =AB 可证出ΔADC ≌ΔAFB (AAS )，利用全等三角形的性质可求出AF ，BF 的长，设FG =x ，在Rt ΔBFG 中，利用勾股定理可求出x 的值，此题得解．(1)证明：如图1，连接OA ，OB ，OC ．在△OAC 和△OAB 中，AC AB OA OA OC OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()OAC OAB SSS ≌，∴OAC OAB ∠=∠，∴AO 平分BAC ∠，∴AO BC ⊥，又∵AD BC ∥，∴AD AO ⊥，∴AD 是O 的切线．(2)①证明：如图2，连接AE ．∵90BCE ∠=︒，∴90BAE ∠=︒.又∵AF BE ⊥，∴90AFB ∠=︒．∵90BAG EAF AEB EAF ∠+∠=∠+∠=︒∴BAG AEB ∠=∠.∵ABC ACB AEB ∠=∠=∠，∴BAG ABC ∠=∠，∴AG BG =．②在△ADC 和△AFB 中，90ADC AFB ACD ABFAC AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ADC AFB AAS ≌，∴2AF AD ==，3BF CD ==．设FG x =，在Rt BFG 中，FG x =，3BF =，2BG AG x ==+，∴222FG BF BG ，即()22232x x +=+， ∴54x =， ∴54FG =． 【点拨】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定义、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1)利用全等三角形的性质及垂径定理，找出AO ⊥BC ；(2)①利用等角的余角相等及圆周角定理，找出∠BAG =∠ABC ；②在Rt ΔBFG 中，利用勾股定理求出FG 的长。
圆的切线证明(中考)
D C A B A BCD OC A P ODCE OA DB 第二十四章 圆 练习1. 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=__________。
2. 如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。
3. 如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=__________。
4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。
5. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。
6. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜OM ＜57. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°8、如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在上，若PA 长为3，则△PEF 的周长是__________9. 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，则BC=_________，∠ADO=_______.10. 如图所示，Rt △ABC 的两直角边BC=3cm ，AC=4cm ，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以r 1=2cm ，r 2=2.4cm ，r 3=3cm ，为半径作圆，试判断点D 与这三个圆的位置关系。
《圆》切线的性质与判定专题练习
《圆》切线的性质和判定专题练习卷已知直线与圆有公共点，证明切线的方法是:“连半径，证垂直”.证明垂直的方法有以下几种:(1)利用勾股定理的逆定理证垂直;(2)利用特殊角或一般角之间的转化证垂直;(3)利用三角形全等证明要证的角等于已知的某个直角;(4)利用平行线的性质证明要证的角等于已知的某个直角等。
若直线与圆没有公共点，证切线的方法是“作垂直，证相等”.圆的相关计算需将圆的基本性质定理灵活运用。
圆内常见添加辅助线的方法：(1)连半径；(2)作弦心距；(3)利用直径构造直角等.1.如图,⊙0是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°,P是⊙0外一点,PA切⊙0于点A,且PA=PB.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)已知PA=√3，∠ACB=60°,求⊙0的半径.2.如图，AB是⊙0的直径，BD平分∠ABC交⊙O于D，DE⊥BC.(1)求证:DE是⊙0的切线;(2)若CE=2,DE=4,求⊙0的半径的长.3.如图，四边形ABCD中,AD//BC,∠BAD=90°,CB=CD,连接BD,以点B为圆心，BA长为半径作⊙B,交BD于点E.(1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由;(2)若AB=2√3，∠B CD=60°，求图中阴影部分面积.4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙0分别交AC,BC于点M,N，过点N作NE⊥AB,垂足为E.(1)求证:NE与⊙0相切；,AC=6,求BN长.(2)若⊙0的半径为525.如图，四边形ABCD内接于⊙0,AB为⊙0的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E,延长EC,AB交于点F,∠ECD=∠BCF.(1)求证:CE为⊙0的切线;(2)若DE=1,CD=3,求⊙0的半径.6.如图，直线AB经过⊙0上的点C,直线AO与⊙0交于点E和点D,OB与⊙0交于点F,连接DF,DC.已知0A=OB,CA=CB,DE=10,DF=6.(1)求证: ①直线AB是⊙0的切线; ②∠FDC=∠EDC;(2)求CD的长.。