圆的切线专题证明题
答案--如何证明圆的切线
圆的切线证明一、连半径，证垂直要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．1、如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30º． 求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可．证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90º时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90º．2、如图，已知⊙Ｏ是△ABC 的外接圆，AB 是⊙Ｏ的直径，D 是AB 的延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB ．求证：DE 是⊙O 的切线．证明：连接OC ，则OA =OC ，所以∠CAO =∠ACO ， 因为AC 平分∠EAB ，所以∠EAC =∠CAO =∠AC Ｏ，所以AE ∥CO ，又AE ⊥DE ， 所以CO ⊥DE ，所以DE 是⊙O 的切线．3、已知⊙O 中，AB 是直径，过B 点作⊙O 的切线，连结CO ，若AD ∥OC 交⊙O 于D ，求证：CD 是⊙O 的切线。
点悟：要证CD 是⊙O 的切线，须证CD 垂直于过切点D 的半径，由此想到连结OD 。
证明：连结OD 。
∵AD ∥OC ，∴∠COB ＝∠A 及∠COD ＝∠ODA∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD∴∠COB ＝∠COD∵CO 为公用边，OD ＝OB∴△COB ≌△COD ，即∠B ＝∠ODC∵BC 是切线，AB 是直径，∴∠B ＝90°，∠ODC ＝90°，∴CD 是⊙O 的切线。
中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)
中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)1.(24年湖北中考)Rt ABC 中,90ACB ︒∠=,点O 在AC 上,以OC 为半径的圆交AB 于点D ,交AC 于点E .(1)求证:AB 是O 的切线。
(2)连接OB 交O 于点F ,若1AD AE ==,求弧CF 的长.2.(24年成都中考)如图,在Rt ABC ∆中,90C ︒∠=,D 为斜边AB 上一点,以BD 为直径作O ,交AC 于,E F 两点,连接,,BE BF DF .(1)BC DF BF CE ⋅=⋅(2)若,A CBF ∠=∠tan BFC AF ∠==,求CF 的长和O 的直径.3.(24年浙江中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,ADC BAD∠<∠,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连结EF,使AFE ADC∠=∠.(1)若60O∠的度数.∠=,CD为直径,求ABDAFE(2)求证:①EF∥BC ②EF=BD.4.(24年辽宁中考)如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,点D在BC上,AC BD=,E ∠=∠．在BA的延长线上,CEA CAD(1)如图1,求证:CE是O的切线OA=,求BD的长．(2)如图2,若2CEA DAB∠=∠,85.(24年安徽中考)如图,O 是ABC ∆的外接圆,D 是直径AB 上一点,ACD ∠的平分线交AB 于点E ,交O 于另一点,.F FA FE =(1)求证:;CD AB ⊥(2)设FM AB ⊥,垂足为M ,若1OM OE ==,求AC 的长.6.(24年新疆中考)如图,在O 中,AB 是O 的直径,弦CD 交AB 于点E,AD BD =.(1)求证：△ACD ∽△ECB.(2)若AC=3,BC=1,求CE 的长.7.(24年江西中考)如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弦AC 延长线上一点,连接BD BC ，,60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证:BD 是半圆O 的切线.(2)当3BC =时,求AC 的长．8.(24年呼伦贝尔中考)如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥,垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30,C CD ∠=︒=,求扇形OBD 的面积．9.(24年扬州中考)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论．如图,已知ABC ,CA CB =, O 是ABC 的外接圆,点D 在O 上(AD BD >),连接AD ,BD ,CD ．【特殊化感知】(1)如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD -与CD 的数量关系为________【一般化探究】(2)如图2,若60ACB ∠=︒,点C ,D 在AB 同侧,判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由【拓展性延伸】(3)若ACB α∠=,直接写出AD ,BD ,CD 满足的数量关系．(用含α的式子表示)10.(24年赤峰中考)如图,ABC中,90ACB∠=︒,AC BC=,O经过B,C两点,与斜边AB交于点E,连接CO并延长交AB于点M,交O于点D,过点E作EF CD∥,交AC于点F．(1)求证:EF是O的切线;(2)若BM=,1tan2BCD∠=,求OM的长．11.(24年绥化中考)如图1,O是正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OC长为半径的O 与AD相切于点E,与AC相交于点F．(1)求证:AB与O相切．(2)若正方形ABCD1,求O的半径．(3)如图2,在(2)的条件下,若点M是半径OC上的一个动点,过点M作MN OC⊥交CE于点N．当:1:4CM FM=时,求CN的长．12.(24年河北中考)已知O的半径为3,弦MN=ABC中.∠=︒==在平面上,先将ABC和O按图1位置摆放(点B与点N重90,3,ABC AB BC合,点A在O上,点C在O内),随后移动ABC,使点B在弦MN上移动,点A始终在O上=．随之移动,设BN x(1)当点B与点N重合时,求劣弧AN的长.(2)当OA MN∥时,如图2,求点B到OA的距离,并求此时x的值.(3)设点O到BC的距离为d．①当点A在劣弧MN上,且过点A的切线与AC垂直时,求d的值.①直接写出d的最小值．13.(24年滨州中考)【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题: 如图,在锐角ABC 中,探究sin a A ,sin b B ,sin c C之间的关系．(提示:分别作AB 和BC 边上的高．)【得出结论】sin sin sin a b c A B C==． 【基础应用】在ABC 中,75B ∠=︒,45C ∠=︒,2BC =,利用以上结论求AB 的长;【推广证明】进一步研究发现,sin sin sin a b c A B C==不仅在锐角三角形中成立,在任意三角形中均成立,并且还满足2sin sin sin a b c R A B C===(R 为ABC 外接圆的半径)． 请利用图1证明:2sin sin sin a b c R A B C ===．【拓展应用】如图2,四边形ABCD 中,2AB =,3BC =,4CD =,90B C ∠=∠=︒．求过A,B,D 三点的圆的半径．14.(24年苏州中考)如图,ABC 中,AB =为AB 中点,BAC BCD ∠=∠cos ADC ∠=. O 是ACD 的外接圆．(1)求BC 的长(2)求O 的半径．15.(24年乐山中考)如图,O 是ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作O 的切线CD 交BA 延长线于点D,点E 为CB 上一点,且AC CE =．(1)求证:DC AE ∥;(2)若EF 垂直平分OB ,3DA =,求阴影部分的面积．16.(24年武汉中考)如图,ABC ∆为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,腰AC 与半圆O 相切于点D ,底边BC 与半圆O 交于E ,F 两点．(1)求证:AB 与半圆O 相切(2)连接OA ．若4CD =,2CF =,求sin OAC ∠的值．17.(24年甘肃武威中考)如图,AB 是O 的直径,BC BD =,点E 在AD 的延长线上,且ADC AEB ∠=∠．(1)求证:BE 是O 的切线;(2)当O 的半径为2,3BC =时,求tan AEB ∠的值．18.(24年深圳中考)如图,在ABD △中,AB BD =,O 为ABD △的外接圆,BE 为O 的切线,AC 为O 的直径,连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证:DE BE ⊥(2)若AB =5BE =,求O 的半径．19.(24年盐城中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,过点C 作O 的切线l,过点A 作AD l ⊥,垂足为D,连接AC BC 、．(1)求证:ABC ACD △△∽;(2)若5AC =,4CD =,求O 的半径．20.(24年广西中考)如图,已知O 是ABC ∆的外接圆,AB AC =．点D,E 分别是BC ,AC 的中点,连接DE 并延长至点F,使DE EF =,连接AF ．(1)求证:四边形ABDF 是平行四边形(2)求证:AF 与O 相切(3)若3tan 4BAC ∠=,12BC =,求O 的半径． 21.(24年四川广安中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,点D 在BA 的延长线上,DCA CBA ∠=∠．(1)求证:DC 是O 的切线;(2)点G 是半径OB 上的点,过点G 作OB 的垂线与BC 交于点F ,与DC 的延长线交于点E ,若4sin 5D =,2DA FG ==,求CE 的长．22.(24年四川南充中考)如图,在O 中,AB 是直径,AE 是弦,点F 是AE 上一点,AF BE =,,AE BF 交于点C,点D 为BF 延长线上一点,且CAD CDA ∠=∠．(1)求证:AD 是O 的切线．(2)若4,BE AD ==求O 的半径长．23.(24年四川泸州中考)如图,ABC ∆是O 的内接三角形,AB 是O 的直径,过点B 作O 的切线与AC 的延长线交于点D,点E 在O 上,AC CE =,CE 交AB 于点F ．(1)求证:CAE D ∠=∠;(2)过点C 作CG AB ⊥于点G,若3OA =,BD =求FG 的长．24.(24年四川德阳中考)已知O 的半径为5,B C 、是O 上两定点,点A 是O 上一动点,且60,BAC BAC ∠=︒∠的平分线交O 于点D ．(1)证明:点D 为BC 上一定点;(2)过点D 作BC 的平行线交AB 的延长线于点F ．①判断DF 与O 的位置关系,并说明理由;①若ABC 为锐角三角形,求DF 的取值范围．25.(24年四川宜宾中考)如图,ABC 内接于O ,10AB AC ==,过点A 作AE BC ∥,交O 的直径BD 的延长线于点E,连接CD ．(1)求证:AE 是O 的切线;(2)若1tan 2ABE ∠=,求CD 和DE 的长．26.(24年内蒙古通辽中考)如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,点O 为AC 边上一点,以点O 为圆心,OC 为半径作圆与AB 相切于点D ,连接CD ．(1)求证:2ABC ACD ∠=∠;(2)若8AC =,6BC =,求O 的半径．27.(24年四川达州中考)如图,BD 是O 的直径．四边形ABCD 内接于O ．连接AC ,且AB AC =,以AD 为边作DAF ACD ∠=∠交BD 的延长线于点F ．(1)求证:AF 是O 的切线;(2)过点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ．若3CD DE =,求cos ABC ∠的值．28.(24年四川遂宁中考)如图,AB 是O 的直径,AC 是一条弦,点D 是AC 的中点,DN AB ⊥于点E ,交AC 于点F ,连结DB 交AC 于点G ．(1)求证:AF DF =;(2)延长GD 至点M ,使DM DG =,连接AM ．①求证:AM 是O 的切线;①若6DG =,5DF =,求O 的半径．29.(24年包头中考)如图,AB 是O 的直径,,BC BD 是O 的两条弦,点C 与点D 在AB 的两侧,E 是OB 上一点(OE BE >),连接,OC CE ,且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1,若1BE =,CE =求O 的半径;(2)如图2,若2BD OE =,求证:BD OC ∥．(请用两种证法解答)30.(24年四川自贡中考)在Rt ABC △中,90C ∠=︒,O 是ABC 的内切圆,切点分别为D,E,F ．(1)图1中三组相等的线段分别是CE CF =,AF =________,BD =________;若3AC =,4BC =,则O 半径长为________;(2)如图2,延长AC 到点M,使AM AB =,过点M 作MN AB ⊥于点N ．求证:MN 是O 的切线．31.(24年山东枣庄中考)如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,60DAB ∠=︒,22AB BC AD ===． 以点A 为圆心,以AD 为半径作DE 交AB 于点E ,以点B 为圆心,以BE 为半径作EF 所交BC 于点F ,连接FD 交EF 于另一点G ,连接CG ．(1)求证：CG 为EF 所在圆的切线(2)求图中阴影部分面积．(结果保留π)32.(24年青海中考) 如图,直线AB经过点C,且OA OB=．=,CA CB(1)求证:直线AB是O的切线;(2)若圆的半径为4,30∠=︒,求阴影部分的面积．B中考压轴题圆的切线证明与计算答案1.(24年湖北中考)【答案】(1)略 (2)弧CF 的长为3π2.(24年成都中考)【答案】(1)略(2)CF =;O 的直径为3.(24年浙江中考)【答案】(1)30o (2)证明略4.(24年辽宁中考)【答案】(1)见详解 (2)2π5.(24年安徽中考)【答案】(1)略 (2).6.(24年新疆中考)【答案】(1) 略 (2)CE =.7.(24年江西中考)【答案】(1)见解析 (2)2π8.(24年呼伦贝尔中考)【答案】(1)略 (2)43π 9.(24年扬州中考)【答案】(1)AD BD CD -=.(2)AD BD CD -=(3)当D 在BC 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=-.当D 在AB 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=+10.(24年赤峰中考)【答案】(1)略 (2)OM =11.(24年绥化中考)【答案】(1)证明略 (2)12.(24年河北中考)【答案】(1)π (2)点B 到OA 的距离为2;3 (3)①3d =2313.(24年滨州中考)【答案】教材呈现:见解析;基础应用:AB =;推广证明:见解析;拓展应用:6R =．14.(24年苏州中考)【答案】(1)4BC = (2)O 的半径为715.(24年乐山中考)【答案】(1)略 (2)3π-16.(24年武汉中考)【答案】(1)略 (2)4517.(24年甘肃武威中考)【答案】(1)略 (2)tan 3AEB ∠=18.(24年深圳中考)【答案】(1)略 (2)19.(24年盐城中考)【答案】(1)略 (2)25620.(24年广西中考)【答案】(1)略 (2)略 (3)1021.(24年四川广安中考)【答案】(1)略 (2)1422.(24年四川南充中考)【答案】(1)略 (2)23.(24年四川泸州中考)【答案】(1)证明略 (2)45 24.(24年四川德阳中考)【答案】(1)证明略(2)①DF 与O 相切,理由见解析;①DF 的取值范围为2DF <<25.(24年四川宜宾中考)【答案】(1)略 (2)CD =DE =． 26.(24年内蒙古通辽中考)【答案】(1)证明略 (2)327.(24年四川达州中考)【答案】(1)证明略 28.(24年四川遂宁中考)【答案】(1)证明略 (2)①证明略,①O 的半径为203． 29.(24年包头中考)【答案】(1)3 (2)略30.(24年四川自贡中考)【答案】(1)AD ;BE ;1 (2)略31.(24年山东枣庄中考)【答案】(1)略 3π32.(24年青海中考) 【答案】(1)详见解析 (2) 83S π=阴影。
圆的切线练习题
圆的切线练习题一、选择题1. 已知圆的半径为5，点P到圆心的距离为10，则点P与圆的位置关系是（）。
A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外2. 圆的切线与圆相切于点A，若切线与圆心的距离为6，则圆的半径是（）。
A. 3B. 6C. 12D. 9二、填空题1. 若圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d等于r时，点P与圆的位置关系是________。
2. 已知圆的切线在圆上与点A相切，若切线与圆心的距离为d，圆的半径为r，则切线与圆心的距离d等于________。
三、计算题1. 已知圆的半径为7，圆上一点A的坐标为(3,4)，求过点A的圆的切线方程。
2. 圆心坐标为(0,0)，半径为5，求过点(3,3)的圆的切线方程。
四、证明题1. 证明：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2. 证明：若两圆相切于点A，且两圆的半径分别为r1和r2，点P在两圆的公共切线上，且PA=PB，则PA=PB=r1+r2。
五、应用题1. 一个圆的半径为10，圆心在原点(0,0)，求过点(6,8)的圆的切线方程。
2. 已知两圆外切，圆心分别为O1(-3,0)和O2(3,0)，半径分别为5和3，求两圆的公共切线方程。
六、综合题1. 在平面直角坐标系中，圆C的圆心在(1,2)，半径为3。
点A的坐标为(4,0)，求过点A的圆C的切线方程。
2. 圆心在(2,3)的圆与x轴相切，求圆的半径，并求出切点坐标。
七、探索题1. 探索：若圆的半径为定值，当圆上一点到圆心的距离逐渐增大时，过该点的圆的切线数量会如何变化？2. 探索：若两圆相切，且已知一圆的半径和两圆心的距离，如何求另一圆的半径？八、开放性问题1. 若圆的切线与圆心构成一个直角三角形，求切线的长度与圆的半径之间的关系。
2. 设想一个实际问题，其中涉及到圆的切线，并尝试构建一个数学模型来解决这个问题。
请注意，以上题目仅为示例，具体题目应根据实际教学大纲和学生水平进行适当调整。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明1．如图，△ABD是△O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是△O外一点，且△DBC＝△A＝60°，连接OE并延长与△O相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为6cm，求弦BD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果∠BAC=60°，AE=4√3，求AC长．3．如图，AC与△O相切，切点为C，点B在CO的延长线上，BD△AO，垂足为D，△ABD=△BO D．（1）求证：AB为△O的切线；（2）若BC=4，AC=3，求BD的长．4．如图，AB 是△O 的直径，点E 在△O 上，连接AE 和BE ，BC 平分△ABE 交△O 于点C ，过点C 作CD△BE ，交BE 的延长线于点D ，连接CE ．（1）请判断直线CD 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若sin△ECD ＝35，CE ＝5，求△O 的半径． 5．如图，AB 为△O 的直径，C 、D 为△O 上不同于A 、B 的两点，△ABD ＝2△BAC ，连接CD ，过点C 作CE△DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点．（1）求证：CF 是△O 的切线；（2）当BD ＝ 185 ，sinF ＝ 35时，求OF 的长． 6．如图，线段AB 经过圆心O ，交△O 于点A 、C ，点D 为△O 上一点，连结AD 、OD 、BD ，△A ＝△B ＝30°．（1）求证：BD 是△O 的切线．（2）若OA ＝5，求OA 、OD 与AD 围成的扇形的面积．7．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的△O 分别交AC 、BC 于点M 、N ，过点N 作NE△AB ，垂足为E（1）若△O的半径为52，AC＝6，求BN的长；（2）求证：NE与△O相切.8．如图，AB是△O的弦，OP△OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为√5，OP=1，求BC的长．9．如图，AB是△O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分△CAE交△O于点D，且AE△CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是△O的切线．（2）若BC=3，CD=3 √2，求弦AD的长．10．如图，AB为圆的直径，C是△O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M.作AD△MC，垂足为D，已知AC平分△MAD .（1）求证：MC是△O的切线：（2）若AB＝BM＝4，求tan△MAC的值11．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，BD平分∠ABC交△O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E.（1）求证：DE与△O相切；（2）若AB=10，AD=6，求DE的长.12．如图，点O在△APB的平分线上，△O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与△O相切；（2）PO的延长线与△O交于点E．若△O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．13．如图，已知A（﹣5，0）、B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，△CBO＝45°，CD△AB，△CDA＝90°点，P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间ts．（1）求点C的坐标；（2）当△BCP＝15°时，且△OPC中最长边是最短边的2倍，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的△P随点P的运动而变化，当△P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．14．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD=CB．（1）如图1，若AC=AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．①若⊙O的直径为√10，sinB=√10，求AD的长；10②若CD=2CE，求cosB的值．15．如图，AB、AC分别是△O的直径和弦，OD△AC于点D，过点A作△O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是△O的切线；（2）若△ABC=60°，AB=10，求线段CF的长，16．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，△BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，△P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是△P的切线；（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OB ，如图所示：∵E 是弦BD 的中点，∴BE ＝DE ，OE△BD ， BF ⌢=12BD ⌢ ， ∴△BOE ＝△A ，△OBE+△BOE ＝90°，∵△DBC ＝△A ，∴△BOE ＝△DBC ，∴△OBE+△DBC ＝90°，∴△OBC ＝90°，即BC△OB ，∴BC 是△O 的切线；（2）解：∵OB ＝6，△DBC ＝△A ＝60°，BC△OB ， ∴OC ＝12，∵△OBC 的面积＝ 12 OC•BE ＝ 12OB•BC ， ∴BE ＝ OB×BC OC =6×6√312=3√3 ， ∴BD ＝2BE ＝6 √3 ，即弦BD 的长为6 √3 ．2．【答案】（1）证明：连接 OD ，如图，∵∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D ，∴∠BAD=∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠DAC，∴OD//AE，∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，OD为半径，∴DE是⊙O的切线（2）解：作OF⊥AC于F∵∠BAC=60°，∴∠DAE=30°，在RtΔADE中，DE=AE⋅tan30°=4四边形ODEF为矩形，∴OF=DE=4，在RtΔOAF中，∵∠OAF=60°∴AF=√3=4√33∴AC=2AF=8√3 33．【答案】（1）证明：作OH△AB，垂足为H∵AC与△O相切，切点为C，∴△ACO=90°∴△OAC+△AOC=90°又BD△AO∴△BDO=90°∴△BOD+△DBO=90°，△BAD+△ABD=90°又△BOD=△AOC，△ABD=△BOD∴△OAC=△BAD∴OH=OC又OC为△O半径∴AB为△O的切线（2）解：在Rt△BOH和Rt△BAC中AB=√BC2+AC2=5sin∠ABC=OHOB=ACAB=354−OB OB=35，解得OB=52，OC=32，OA=√OC2+AC2=32√5∵△AOC=△BOD，△C=△D=90°∴△AOC△△BOD∴OAOB=ACBD∴32√552=3BD，解得：BD=√5．4．【答案】（1）解：结论：CD是△O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴△OCB＝△OBC，∵BC平分△ABD，∴△OBC＝△CBE，∴△OCB＝△CBE，∴OC//BD ，∵CD△BD ，∴CD△OC ，∵OC 是半径，∴CD 是△O 的切线；（2）解：设OA ＝OC ＝r ，设AE 交OC 于点J ．∵AB 是直径，∴△AEB ＝90°，∵OC△DC ，CD△DB ，∴△D ＝△DCJ ＝△DEJ ＝90°，∴四边形CDEJ 是矩形，∴△CJE ＝90°，CD ＝EJ ，CJ ＝DE ，∴OC△AE ，∴AJ ＝EJ ，∵sin△ECD ＝DE CE ＝35，CE ＝5， ∴DE ＝3，CD ＝4，∴AJ ＝EJ ＝CD ＝4，CJ ＝DE ＝3，在Rt△AJO 中，r 2＝（r ﹣3）2+42，∴r ＝256， ∴△O 的半径为256． 5．【答案】（1）解：连接OC ．如图1所示：∵OA＝OC，∴△1＝△2．又∵△3＝△1+△2，∴△3＝2△1．又∵△4＝2△1，∴△4＝△3，∴OC△DB．∵CE△DB，∴OC△CF．又∵OC为△O的半径，∴CF为△O的切线；（2）解：连接AD．如图2所示：∵AB是直径，∴△D＝90°，∴CF△AD，∴△BAD＝△F，∴sin△BAD＝sinF＝BDAB＝35，∴AB＝53BD＝6，∴OB＝OC＝3，∵OC△CF，∴△OCF＝90°，∴sinF＝OCOF＝35，解得：OF＝5．6．【答案】（1）证明：∵△ADO＝△BAD＝30°，∴△DOB＝60°∵△ABD＝30°，∴△ODB＝90°∴OD△BD．∵点D为△O上一点，∴BD是△O的切线．（2）解：∵△DOB＝60°，∴△AOD＝120°．∵OA＝5，∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为120·π·52360=253π．7．【答案】（1）解：∵ △O 的半径为52，则CD=5，AB=10，BC=√AB2−AC2=√100−36=8CD为直径，得DN△BC，D为AB的中点，则BD=CD，则△BDC为等腰三角形，由三线合一知，BN=NC=12BC=4。
专题-------圆的切线证明(武汉专版)
专题——圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线•在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交0D 延长线于F.求证：EF与O 0相切•证明：连结OE, AD.•/ AB是O 0的直径，••• AD 丄BC.又••• AB=BC ,•••/ 3= / 4.——• BD=DE，/ 1 = / 2.又••• OB=OE , OF=OF ,•••△ BOF ◎△ EOF ( SAS)•••/ OBF= / OEF.••• BF与O O相切，• OB 丄BF.•••/ OEF=9O°.• EF与O O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是/ BAC的平分线, P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与O O相切.证明一：作直径AE，连结EC.•/ AD是/ BAC的平分线,•••/ DAB= / DAC.•/ PA=PD,•••/ 2= / 1+ / DAC.•/ AE是O O的直径,• AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°.•••/ 1 + / EAC=90 0即OA丄PA.• PA与O O相切.OA , OE.证明二：延长AD交O O于E,连结••• AD是/ BAC的平分线,• BE=CE,• 0E 丄BC.•••/ E+/ BDE=90•/ OA=OE ,•••/ E=/ 1.•/ PA=PD,•/ PAD= / PDA.又•••/ PDA= / BDE,•••/ 1 + / PAD=90 0即OA丄PA.• PA与O O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用例3 如图，AB=AC , AB是O O的直径，OO交BC于D, DM丄AC于M求证：DM与O O相切. 证明一：连结OD.•/ AB=AC ,•••/ B= / C.•/ OB=OD ,•••/ 仁/B.•••/ 1= / C.•••OD //AC.•/ DM 丄AC ,• DM 丄OD.• DM与O O相切证明二:•••/ 2+/ 4=900•/ OA=OD ,•••/ 3+/4=90°.即OD丄DM.• DM是O O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的•证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知•如图，已知：AB是O O的直径, 占八、、C 在O O 上，且/ CAB=30 °, BD=OB , D 在AB 的延长线上.求证: DC是O O的切线证明: 连结OC、BC.•/ OA=OC ,•••/ A= / 1= /30°.•••/ BOC= / A+ / 仁60°.又•••OC=OB ,• △ OBC是等边三角形.F••• OB=BC.•/ OB=BD , • OB=BC=BD. • OC 丄 CD. • DC 是O O 的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ,且OA 2=OD • OP. 求证：PC 是O O 的切线. 证明：连结OC•/ OA 2=OD • OP , OA=OC , • OC 2=OD • OP ,OC OP OD OC .又•••/ 1= /1, •••△ OCP ODC. • / OCP= / ODC. •/ CD 丄 AB , • / OCP=9O °. • PC 是O O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的 二、若直线I 与O O 没有已知的公共点，又要证明 I 是O O 的切线，只需作 OA 丄I , A 为垂足，证明OA 是O O 的半径就行了，简称："作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC , D 为BC 中点，O D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与O D 相切.证明一：连结DE ,作DF 丄AC , F 是垂足.••• AB 是O D 的切线，• DE 丄 AB. •/ DF 丄 AC ,• / DEB= / DFC=90°. • / B= / C.•/ AB=AC ,B C又••• BD=CD ,•••△ BDE ◎△ CDF (AAS )••• DF=DE.• AC是O D的切线连结DE , AD，作DF丄AC , F是垂足.证明二:••• AB与O D相切，• DE 丄AB.•/ AB=AC , BD=CD ,• / 仁/2.•/ DE 丄AB , DF 丄AC , •DE=DF.• F在O D上.• AC与O D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关例8 已知：如图，AC , BD与O O切于A、B,且AC // BD，若/ COD=9O0.求证：CD是O O的切线.证明一：连结OA , OB，作OE丄CD , E为垂足.••• AC , BD 与O O 相切,•AC 丄OA , BD 丄OB.•/ AC // BD ,• / 1 + / 2+ / 3+ / 4=180°.•••/ COD=90°,•/ 2+Z 3=90°,/ 1 + Z 4=90°.•••/ 4+/ 5=900.• / 仁/5.•Rt△AOC s Rt△BDO.•AC OC"OB OD.•/ OA=OB ,AC OCOA OD又•••/ CAO= / COD=90°,•••△ AOC ODC ,•••/ 仁/2.又••• OA 丄AC , OE 丄CD,• OE=OA.• E点在O O上.• CD是O O的切线.证明二：连结OA , OB，作OE丄CD于E,延长DO交CA延长线于F.••• AC，BD 与O O 相切，• AC 丄OA , BD 丄OB.•/ AC // BD ,•/ F=Z BDO.又••• OA=OB ,•△ AOF ◎△ BOD (AAS• OF=OD.•••/ COD=9O°,• CF=CD，/ 1= / 2.又••• OA 丄AC , OE 丄CD ,• OE=OA.• E点在O O上.• CD是O O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE丄CD于E,取CD中点F，连结OF.••• AC与O O相切,• AC 丄AO.•/ AC // BD ,• AO 丄BD.••• BD与O O相切于B,• AO的延长线必经过点 B.• AB是O O的直径.•/ AC // BD , OA=OB , CF=DF ,••• OF // AC ,•••/ 仁/COF.•••/ COD=9O°, CF=DF ,1• OF —CD CF . 2•••/ 2=Z COF.•/ OA 丄AC , OE 丄CD,• OE=OA.• E点在O O上.• CD是O O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明/ 仁/2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明/ 仁/2•证明三是利用梯形的性质证明/ 1 = / 2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考以下是武汉市2007----2010中考题汇编:（2007中考）22 .（本题8分）如图，等腰三角形ABC中，AC = BC= 10 , AB = 12。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
第二十四章 圆
专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
类型1 已知圆的切线，求角的度数或线段长 1．(山西中考)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC 为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于 点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．
解：连接 OB，∵⊙O 与 AB 相切于点 B，∴OB⊥AB，∵四边形 ABCO 为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵
则点 D 为⊙M 与 x 轴的切点，即 PM＝MD，设 P(x，－34 x2＋94 x＋3)， M(x，－34 x＋3)，则 PD＝－34 x2＋49 x＋3，MD＝－34 x＋3，∴(－43 x2 ＋49 x＋3)－(－34 x＋3)＝－34 x＋3，解得 x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为 MD＝－43 ＋3＝94 ；当⊙M 与 y 轴相切时，如图②所示， 延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，则点 E 为⊙M 与 y 轴的切点，即 PM＝ME，PD－MD＝EM＝x，
6．(天水中考)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D. 过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD， ∴PA＝PC，∵OP＝OP，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线
圆的相关证明与计算--与切线有关的证明与计算(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
圆的相关证明与计算-中考数学重难点题型与切线有关的证明与计算（专题训练）1.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，E 为AB 上一点，BE BC =，延长CE 交AD 于点D ，AD AC =．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若1tan 3ACE ∠=，3OE =，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据BE BC =，可得BEC BCE ∠=∠，根据对顶角相等可得AED BEC ∠=∠，进而可得BCE AED ∠=∠，根据AD AC =，可得ADC ACE ∠=∠，结合90ACB ∠=︒，根据角度的转化可得90AED D ∠+∠=︒，进而即可证明AD 是O 的切线；（2）根据ADC ACE ∠=∠，可得1tan tan 3EA D ACE DA ==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，分别求得,,AC AB BC ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得x ，进而根据6BC x =+即可求得．【详解】（1） BE BC =，∴BEC BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，∴BCE AED ∠=∠，AD AC =，∴ADC ACE ∠=∠，AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，90D AED ACD BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴AD 是O 的切线；（2）AD AC = ，∴ADC ACE ∠=∠，1tan tan 3EA D ACE DA ∴==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，3,336OB OA AE OE x BC BE OE OB x x ==+=+==+=++=+，226AB OA x ==+，在Rt ABC 中，222AC BC AB +=，即()()()2223626x x x ++=+，解得122,0x x ==（舍去），68BC x ∴=+=．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．2.如图，ABC 内接于O ，AB AC =，AD 是O 的直径，交BC 于点E，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F，连接BD ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）DF =【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出90ABC CBD ∠+∠=︒，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出FBD FDA ~△△，继而运用相似比FB FD FD FA =即可求出DF 的长．【详解】解：（1）证明：∵AD 是O 的直径∴90ABD ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）即90ABC CBD ∠+∠=︒∵AB AC=∴ABC C ∠=∠（等边对等角）∵ AB AB=∴ADB C ∠=∠（同弧或等弧所对的圆周角相等）∴ABC ADB∠=∠∵//BC DF ，∴CBD FDB∠=∠∴90ADB FDB ∠+∠=︒即90ADF ∠=︒∴AD DF⊥又∵AD 是O 的直径∴DF 是O 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（2）解：∵12AB AC ==，15AF =∴3BF AF AB =-=∵F F ∠=∠，90FBD FDA ∠=∠=∴FBD FDA ~△△（两个角分别相等的两个三角形相似）∴FB FD FD FA=，∴231545FD FB FA =⋅=⨯=∴DF =【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．3.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为AB 上一点，BD BC =，过点A 作AE AB ⊥交CD 的延长线于点E，CE 交O 于点G，连接AC，AG，在EA 的延长线上取点F，使2FCA E ∠=∠．（1）求证：CF 是O 的切线；（2）若6AC =，AG ，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据题意判定ADG DCB ∽，然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ∠∠＝，从而可得FCA AGD ∠∠＝，然后结合等腰三角形的性质求得90FCO ∠︒＝，从而判定CF 是O 的切线；（2）由切线长定理可得AF CF ＝，从而可得2FAC E ∠∠＝，得到AC AE ＝，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：B AGC ∠∠ ＝，ADG CDB ∠∠＝，ADG DCB ∴ ∽，BD BC GD GA∴=，BD BC ＝，GD GA ∴＝，ADG DAG ∴∠∠＝，又AE AB ⊥ ，90EAD ∴∠︒＝，90GAE DAG E ADG ∴∠+∠∠+∠︒＝＝，GAE E ∴∠∠＝，AG DG EG ∴＝＝，2AGD E ∠∠＝，2FCA E ∠∠ ＝，FCA AGD B ∴∠∠∠＝＝，AB 是O 的直径，90CAB B ∴∠+∠︒＝，又OA OC Q ＝，ACO CAB ∴∠∠＝，90FCA ACO ∴∠+∠︒＝，90FCO ∴∠︒＝，即CF 是O 的切线；（2） CF 是O 的切线，AE AB ⊥，AF CF ∴＝，2FAC FCA E ∴∠∠∠＝＝，6AC AE ∴＝＝，又AG DG EG ＝＝在Rt ADE △中，2AD ===，设O 的半径为x，则2AB x ＝，22BD BC x＝＝﹣，在Rt ABC △中，2226222x x +（﹣）＝（），解得：5x ＝，O ∴ 的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练4.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE⊥AD 交AD 的延长线于点E，延长EC，AB 交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD 内接于⊙O，得CDE OBC ∠∠＝，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE ∠︒＝，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵OB OC ＝，∴OCB OBC ∠∠＝，∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴180CDA ABC ∠+∠=︒又180CDE CDA ∠+∠=︒∴CDE OBC ∠∠＝，∵CE AD ⊥，∴90E CDE ECD ∠∠∠︒＝＋＝，∵ECD BCF ∠∠＝，∴90OCB BCF ∠∠︒＋＝，∴90OCE ∠︒＝，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 为⊙O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，∵90E OCE ∠∠︒＝＝，∴四边形OGEC 是矩形，∴OC EG OG EC ＝，＝，设⊙O 的半径为x，Rt△CDE 中，31CD DE ＝，＝，∴EC =∴OG =1GD xOD x ＝﹣，＝，由勾股定理得222OD OG DG +：＝，∴222(1)x x =+-，解得： 4.5x ＝，∴⊙O 的半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．5.如图， ABC 内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD 与CO 的延长线交于点D．（1）求证：直线AD 是⊙O（2）若【答案】（1）见解析；（2）6π-【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD 即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．【详解】解：（1）如图，连接OA 并延长交BC 于E，∵AB=AC，△ABC 内接于⊙O，∴AE 所在的直线是△ABC 的对称轴，也是⊙O 的对称轴，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=12×180°=90°，即AD⊥OA，∴AD 是⊙O 的切线；（2）连接OB，∴△AOD∽△EOC，∴AD OA EC OE =，由（1）可知AO 是ABC ∆的对称轴，OE ∴垂直平分BC ，132CE BC ∴==，设半径为r ，在Rt EOC ∆中，由勾股定理得，OE∴，解得6r =（取正值），经检验6r =是原方程的解，即6OB OC OA ===，又6BC = ，OBC ∴∆是等边三角形，60BOC ∴∠=︒，OE ==BOC BOC S S S ∆∴=-阴影部分扇形2606163602π⨯=-⨯⨯6π=-【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．6.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点D 作//DG BC ，DG 交线段AC 于点G，交AB 于点E，交⊙O 于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD 与⊙O 相切；（2）若AE＝OE，CF 平分∠ACB，BD＝12，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图1，延长DB 至H ，证明90ABD ∠=︒，即可根据切线的判定可得BD 与O 相切；（2）如图2，连接OF ，先根据圆周角定理证明OF AB ⊥，再证明EFO EDB △∽△，列比例式可得4OF =，即O 的半径为4，根据勾股定理可得DE 的长．【详解】（1）证明：如图1，延长DB 至H ，，DG BC//∴∠=∠，CBH D，∠=∠A D∴∠=∠，A CBH的直径，Q是OAB∴∠=︒，ACB90∴∠+∠=︒，A ABC90∴∠+∠=︒，90CBH ABC∴∠=︒，90ABD∴AB⊥BD，相切；∴与OBD（2）解：如图2，连接OF，CF平分ACB∠，∴∠=∠，ACF BCF∴=，AF BF∴∠AOF＝∠BOF＝90°，OF AB ∴⊥，BD AB ⊥ ，//OF BD ∴，EFO EDB ∴△∽△，∴OF OE BD BE=，AE OE = ，∴13OE EB =，∴1123OF =，4OF ∴=，4OA OB OF ∴===，246BE OE OB ∴=+=+=，DE ∴=．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明EFO EDB △∽△．7.如图，在Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，点O 在CD 上，作⊙O，使⊙O 与AD 相切于点B，⊙O 与CD 交于点E，过点D 作DF∥AC，交AO 的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F 的值．【答案】（1）见详解；（2）12．【分析】（1）由题意，先证明OA 是∠BAC 的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立；（2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出6AB AC ==，10AD =，结合直角三角形ODF，即可求出tan∠F 的值．【详解】解：（1）∵DF∥AC，∴∠CAO=∠F，∵∠OAB＝∠F，∴∠CAO=∠OAB，∴OA 是∠BAC 的角平分线，∵AD 是⊙O 的切线，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴BO=CO，又∵AC⊥OC，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由题意，∵OC＝3，DE＝2，∴OD=5，OB=3，CD=8，∴4BD ==，由切线长定理，则AB=AC，设AB AC x ==，在直角三角形ACD 222AC CD AD +=，即2228(4)x x +=+，解得：6x =，∴6AB AC ==，6410AD =+=，∵∠OAB＝∠F，∴10DF AD ==，∵90FDO ACO ∠=∠=︒，∴51tan 102OD F DF ∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．8.如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ，与BC 交于点M ，与AB 的另一个交点为E ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ．（1）求证：MN 是O 的切线；（2）若O 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．【答案】（1）见解析；（2）75ED =．【解析】【分析】（1）欲证明MN 为⊙O 的切线，只要证明OM⊥MN．（2）连接,DM CE ，分别求出BD=5，BE=325，根据ED BE BD =-求解即可．【详解】（1）证明：连接OM ，OC OM = ，OCM OMC ∴∠=∠．在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD ∴==，DCB DBC ∴∠=∠，OMC DBC ∴∠=∠，//OM BD ∴，MN BD ⊥ ，MN OM ∴⊥，MN ∴是O 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ⊥⊥，由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点，3sin 5B =，4cos 5B ∴=，在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =⋅=，28BC BM ∴==．在Rt CEB 中，32cos 5BE BC B =⋅=，327555ED BE BD ∴=-=-=．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．9.如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB ∆∆≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径，证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB ∠=∠从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径，90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 BC于点D，过点D 作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，AB为⊙O的直径，90,ACB∴∠=︒∵DE∥BC，∴∠E＝ACB=∠90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BF BA BD=，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．11.如图，在⨀O中，AB为⨀O的直径，C为⨀O上一点，P是 BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC 的延长线于点D．（1）求证：DP 是⨀O 的切线；（2）若AC=5，5sin 13APC ∠=,求AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）AP=．【解析】【分析】（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行分析证明即可；（2）根据题意连接BC，交于OP 于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.【详解】解：（1）证明：连接OP；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P 为 BC的中点；∴ PCPB =∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP∥DA；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP 为⨀O 半径；∴DP 为⨀O 的切线；（2）连接BC，交于OP 于点G；∵AB 是圆O 的直径；∴∠ACB 为直角；∵5sin 13APC ∠=∴sin∠ABC=513AC=5,则AB=13,半径为132由勾股定理的12=，那么CG=6又∵四边形DCGP 为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt△ADP ==.【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE ＝12，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝BC AC ＝tan∠BCE＝BE CE ＝12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC ＝CD AD ＝12，∵AD＝8，∴CD＝4．【点睛】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．13.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，CAB ∠的平分线AD 交 BC于点D ，过点D 作//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，连接BD ．若1OF =，2BF =，求BD 的长度．【答案】（1）见解析；（2）BD =【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC 得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB 的值，进而得出AF 和BA 的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD 2的值，求算术平方根即可得出BD 的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD 平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°−∠E＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）因AB 为直径，则90ADB ∠=︒∵1OF =，2BF =∴OB=3∴4AF =，6BA =∵∠ADB=∠DFB=90°,∠B=∠B∴△DBF∽△ABD ∴BF BD BD AB=∴22612BD BF BA =⋅=⨯=所以BD ．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．。
圆的切线证明(中考)
D C A B A BCD OC A P ODCE OA DB 第二十四章 圆 练习1. 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=__________。
2. 如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。
3. 如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=__________。
4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。
5. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。
6. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜OM ＜57. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°8、如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在上，若PA 长为3，则△PEF 的周长是__________9. 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，则BC=_________，∠ADO=_______.10. 如图所示，Rt △ABC 的两直角边BC=3cm ，AC=4cm ，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以r 1=2cm ，r 2=2.4cm ，r 3=3cm ，为半径作圆，试判断点D 与这三个圆的位置关系。
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1、.已知：如图，CB是⊙O的直径，BP是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AC平行于OP．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若∠P=60°，PB=2cm，求AC．
2、⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，D E⊥AC于E.求证：DE为⊙O的切线
3、、如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D，作D E⊥BC于E。
（1）求证：DE为⊙O的切线（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，∠A=30°.AB=8，求DG的长
4、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．
A
P
O
B
5、如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．求证：BD是⊙O 的切线；
6．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且求证：直线是⊙0的切线；
7、如图9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP上，连接DB，且AD=DB。
（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。
（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长
8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。
（1）若∠CPA=30°，求PC的长（2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的值。
9．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径．
10．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．
11、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O
的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长.
F E
D
A C
O
B P
M
B
D
C
O N
O D E
A B C F
··
B A
C
D E
F O
12如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC PC =，
2COB PCB ∠=∠．（1）求证：PC 是O ⊙的切线；
（2） 求证：1
2
BC AB =；
13如图，A 是⊙O 的直径EF 上的一点，半径OB ⊥EF ，BA 的延长线与⊙O 相交于另一点C ，若
=5
1。
（1）求∠B 的度数；（2）过C 作⊙O 的切线CD ，和OA
的延长线交于点D 。
求证：AC=CD=AD
14如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D 。
求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB ＋EB=AC.
A
E B
D
C
如图，AF 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，DE ⊥OB ，垂足为E 。
求
证：（1）D 是AB 的中点；（2）DE 是⊙C 的切线；
12.11如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；
（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC ＝6，tan ∠F ＝12
，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长．
12、12如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若2
KG=KD·GE，试判
断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=3
5
，AK=23，求FG的
长．。